9 除数是整数的小数除法（商为无限小数）（导学案）新五年级数学暑假自学课（北京版·新教材）

9 除数是整数的小数除法（商为无限小数） 编者的话 亲爱的同学们，欢迎回到2026年暑假的数学课堂！在上一课中，我们学会了当余数补0后能最终除尽的情况。但在生活中，很多除法计算并不会那么“完美”地结束，余数可能会反复出现，导致商也永远写不完。这听起来是不是很神奇？本节课我们将通过计算蔬菜营养成分倍数关系等真实情境，揭开“循环小数”的神秘面纱。你将学习如何识别那些不断重复的数字，如何用简洁的符号记录它们，并了解小数的大家族——有限小数与无限小数。请准备好你的探索精神，让我们一起走进这个无限延伸的数学世界，感受规律之美！ 学习目标 1.理解在除数是整数的小数除法中，当余数重复出现时，商也会重复出现的算理，认识循环小数。 2.掌握循环节的概念，能正确识别循环节，并学会用简便形式表示循环小数。 3.初步了解有限小数和无限小数（包括循环小数和无限不循环小数）的分类，能区分它们。 4.能运用所学知识解决简单的实际问题，培养观察、分析和归纳的能力。 知识要点 知识点一、情境探究：为什么商总也除不尽？ 1.每 茄子中维生素C的含量是红萝卜的多少倍？ 已知：茄子维生素C含量 ，红萝卜维生素C含量 。 列式： 竖式计算过程分析： 观察发现： (1)余数重复：每次除得的余数都是 。 (2)商重复：因为余数总是 ，添 后变成 ， 商总是 ，余数还是 。 (3)结论：这个过程会无限重复下去，商的小数部分依次不断重复出现数字“ ”。 2.每 黄瓜中的钙含量是茄子的多少倍？ 已知：黄瓜钙含量 ，茄子钙含量 。 列式： 观察发现： (1)余数依次重复出现“ ”和“ ”（注意：第一次余3，补0成30，商1余8；8补0成80，商3余14；14补0成140，商6余8……此后余数在8和14之间循环）。 (2)商的小数部分从十分位后的第二位开始，依次不断重复出现“ ”和“ ”。 知识点二、核心概念：循环小数与循环节 1. 循环小数的定义 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 例如： ， ， 2. 循环节 循环小数中，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 (1) 的循环节是 。 (2) 的循环节是 （注意：是从第一个重复的数字组开始，这里 不重复， 重复）。 (3) 的循环节是 。 3. 循环小数的简便写法 为了书写方便，循环小数可以只写一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 (1) 写作： (2) 写作： (3) 写作： 知识点三、小数的分类 根据小数部分的位数是否有限，小数可以分为两类： 1. 有限小数 小数部分的位数是有限的小数。 (1)例如： ， ， 。 (2)特点：能除尽，余数最终为0。 2. 无限小数 小数部分的位数是无限的小数。它又分为两种： (1)无限循环小数：小数部分有规律地重复出现。即我们刚才学习的循环小数。 例如： ， 。 (2)无限不循环小数：小数部分数字排列无规律且位数无限。 例如： 图示总结： 知识点四、易错点提示 1.判断循环节要看清起点：不是所有重复的数字都是循环节，必须是从某一位起“依次不断”重复。如 ，循环节是 ，而不是 或 。 2.简便写法的点位：如果循环节只有一个数字，点一个点；如果循环节有多个数字，只在首尾两个数字上点点。 3.计算终止条件：在笔算除数是整数的小数除法时，如果发现余数重复出现，就可以确定商是循环小数，无需一直算下去，直接写出循环节即可。 自我评量 一、选择题 1.下列小数中，（ ）是循环小数。 A. B. C. D. 【答案】C 【详解】A是有限小数；B是有限小数（虽然有三个5，但没有省略号表示无限）；C是无限且“123”依次不断重复，是循环小数；D是无限不循环小数。 2. 的商用简便形式表示是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】C 【详解】 ，循环节是 ，简便写法是在 上面点一个点，即 。 3. 的循环节是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】A 【详解】观察小数部分， 依次不断重复出现，所以循环节是 。 4.关于小数的分类，下列说法正确的是（ ）。 A. 无限小数一定是循环小数 B. 循环小数一定是无限小数 C. 有限小数也可能是循环小数 D. 无限不循环小数是循环小数的一种 【答案】B 【详解】A错误，无限小数还包括无限不循环小数；B正确，循环小数定义为无限重复，故必为无限小数；C错误，有限小数位数有限，不可能循环；D错误，两者是并列关系。 二、判断题 5. 是循环小数。（ ） 【答案】× 【详解】 是三位小数，位数有限，是有限小数。循环小数必须是无限的，通常会有省略号或简便记法。 6. 的循环节是 。（ ） 【答案】√ 【详解】小数部分从十分位起，数字 依次不断重复出现，循环节确实是 。 7. 表示的循环小数是 。（ ） 【答案】√ 【详解】点在 和 上，表示 是循环节，即 ，表述正确。 8.两个数相除，如果除不尽，商一定是循环小数。（ ） 【答案】× 三、填空题 9. 的商是（ ），循环节是（ ），简便写法是（ ）。 【答案】 ； ； 【详解】 ，重复部分是 。 10. 可以写作（ ）。 【答案】 【详解】循环节是 ，首尾点点。 11.在 ， ， ， 中，有限小数是（ ），循环小数是（ ），无限不循环小数是（ ）。 【答案】 ； 和 ； 【详解】 位数有限； 循环节 ， 循环节 ； （ 的前几位）无规律重复，属无限不循环。 四、计算题 12.列竖式计算，商是循环小数的用简便形式表示。 【答案】 ； 【详解】 五、解答题 13.规律探索：用计算器计算下面各题，你发现了什么规律？ 【答案】 【详解】 通过计算发现，除数都是 ，商都是循环小数，且循环节都由 这六个数字组成，只是起始数字不同。这是数学中著名的“走马灯数”现象。这展示了无限小数中蕴含的奇妙规律。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 9 除数是整数的小数除法（商为无限小数） 编者的话 亲爱的同学们，欢迎回到2026年暑假的数学课堂！在上一课中，我们学会了当余数补0后能最终除尽的情况。但在生活中，很多除法计算并不会那么“完美”地结束，余数可能会反复出现，导致商也永远写不完。这听起来是不是很神奇？本节课我们将通过计算蔬菜营养成分倍数关系等真实情境，揭开“循环小数”的神秘面纱。你将学习如何识别那些不断重复的数字，如何用简洁的符号记录它们，并了解小数的大家族——有限小数与无限小数。请准备好你的探索精神，让我们一起走进这个无限延伸的数学世界，感受规律之美！ 学习目标 1.理解在除数是整数的小数除法中，当余数重复出现时，商也会重复出现的算理，认识循环小数。 2.掌握循环节的概念，能正确识别循环节，并学会用简便形式表示循环小数。 3.初步了解有限小数和无限小数（包括循环小数和无限不循环小数）的分类，能区分它们。 4.能运用所学知识解决简单的实际问题，培养观察、分析和归纳的能力。 知识要点 知识点一、情境探究：为什么商总也除不尽？ 1.每 茄子中维生素C的含量是红萝卜的多少倍？ 已知：茄子维生素C含量 ，红萝卜维生素C含量 。 列式： 竖式计算过程分析： 观察发现： (1)余数重复：每次除得的余数都是 。 (2)商重复：因为余数总是 ，添 后变成 ， 商总是 ，余数还是 。 (3)结论：这个过程会无限重复下去，商的小数部分依次不断重复出现数字“ ”。 2.每 黄瓜中的钙含量是茄子的多少倍？ 已知：黄瓜钙含量 ，茄子钙含量 。 列式： 观察发现： (1)余数依次重复出现“ ”和“ ”（注意：第一次余3，补0成30，商1余8；8补0成80，商3余14；14补0成140，商6余8……此后余数在8和14之间循环）。 (2)商的小数部分从十分位后的第二位开始，依次不断重复出现“ ”和“ ”。 知识点二、核心概念：循环小数与循环节 1. 循环小数的定义 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 例如： ， ， 2. 循环节 循环小数中，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 (1) 的循环节是 。 (2) 的循环节是 （注意：是从第一个重复的数字组开始，这里 不重复， 重复）。 (3) 的循环节是 。 3. 循环小数的简便写法 为了书写方便，循环小数可以只写一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 (1) 写作： (2) 写作： (3) 写作： 知识点三、小数的分类 根据小数部分的位数是否有限，小数可以分为两类： 1. 有限小数 小数部分的位数是有限的小数。 (1)例如： ， ， 。 (2)特点：能除尽，余数最终为0。 2. 无限小数 小数部分的位数是无限的小数。它又分为两种： (1)无限循环小数：小数部分有规律地重复出现。即我们刚才学习的循环小数。 例如： ， 。 (2)无限不循环小数：小数部分数字排列无规律且位数无限。 例如： 图示总结： 知识点四、易错点提示 1.判断循环节要看清起点：不是所有重复的数字都是循环节，必须是从某一位起“依次不断”重复。如 ，循环节是 ，而不是 或 。 2.简便写法的点位：如果循环节只有一个数字，点一个点；如果循环节有多个数字，只在首尾两个数字上点点。 3.计算终止条件：在笔算除数是整数的小数除法时，如果发现余数重复出现，就可以确定商是循环小数，无需一直算下去，直接写出循环节即可。 自我评量 一、选择题 1.下列小数中，（ ）是循环小数。 A. B. C. D. 2. 的商用简便形式表示是（ ）。 A. B. C. D. 3. 的循环节是（ ）。 A. B. C. D. 4.关于小数的分类，下列说法正确的是（ ）。 A. 无限小数一定是循环小数 B. 循环小数一定是无限小数 C. 有限小数也可能是循环小数 D. 无限不循环小数是循环小数的一种 二、判断题 5. 是循环小数。（ ） 6. 的循环节是 。（ ） 7. 表示的循环小数是 。（ ） 8.两个数相除，如果除不尽，商一定是循环小数。（ ） 三、填空题 9. 的商是（ ），循环节是（ ），简便写法是（ ）。 10. 可以写作（ ）。 11.在 ， ， ， 中，有限小数是（ ），循环小数是（ ），无限不循环小数是（ ）。 四、计算题 12.列竖式计算，商是循环小数的用简便形式表示。 五、解答题 13.规律探索：用计算器计算下面各题，你发现了什么规律？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $