3 整数乘法运算定律推广到小数乘法（导学案）新五年级数学暑假自学课（北京版·新教材）

3 整数乘法运算定律推广到小数乘法 编者的话 亲爱的同学们，欢迎来到小数乘法的进阶课堂！在前两课时中，我们已经掌握了小数乘法的基本计算方法。你是否发现，有时候直接计算比较繁琐？其实，整数乘法中的“好朋友”——交换律、结合律和分配律，在小数世界里同样适用！本课时将带你探索如何利用这些定律让计算变得更快、更准。这不仅是一次计算技巧的提升，更是数学思维灵活性的锻炼。请仔细阅读知识要点，体会“凑整”的妙处，并在自我评量中检验你的掌握情况。记住，简便运算的核心在于“观察”，愿你在这个夏天练就一双慧眼，轻松驾驭小数运算！ 学习目标 1.理解迁移：知道整数乘法的交换律、结合律和分配律对于小数乘法同样适用，能用自己的语言解释其合理性。 2.掌握简算：能根据数据特点，灵活运用乘法运算定律进行小数的简便计算，提高计算速度和正确率。 3.解决问题：在解决实际问题时，能主动寻找简便算法，培养优化意识和逻辑思维习惯。 知识要点 知识点一、运算定律的推广 整数乘法的运算定律可以推广到小数乘法，用字母表示如下： 1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 (1)公式： (2)示例： 2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 (1)公式： (2)示例： 3.乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。 (1)公式： (2)逆用： (3)示例： 知识点二、常见“凑整”组合 在进行小数简便运算时，熟记以下常见的“好朋友”组合至关重要： 1. 与 ： (1)小数形式： ， ， 2. 与 ： (1)小数形式： ， ， 3. 与 ： (1)小数形式： ， 知识点三、简便运算的策略与步骤 1.一看：观察题目中的数字，寻找是否有上述“凑整”组合，或者是否有相同的因数（用于分配律）。 2.二想：思考运用哪个运算定律可以使计算简便。 (1)连乘且含有 等，通常考虑交换律和结合律。 (2)含有两级运算（乘加或乘减）且有相同因数，通常考虑分配律。 3.三算：按照定律重新组合算式，进行口算或笔算。 4.四查：检查是否改变了原题的大小，小数点位置是否正确。 知识点四、易错点警示 1.混淆定律：不要将乘法分配律与结合律混淆。 (1)错误示例： （错！这是分配律，中间应该是加号） (2)正确做法： 2.漏乘项：使用分配律时，括号外的数要与括号内的每一项都相乘。 (1)错误示例： （错！ 也要乘 ） (2)正确做法： 3.拆分错误：将一个数拆分成两个数的和或积时，要确保数值相等。 (1)例如： 可以拆成 （用于结合律），也可以拆成 （用于分配律），需根据另一个因数选择。 自我评量 一、选择题 1.计算 时，最简便的方法是运用（ ）。 A. 乘法交换律 B. 乘法结合律 C. 乘法交换律和结合律 D. 乘法分配律 2.下面各式中，与 结果相等的是（ ）。 A. B. C. D. 3. 可以写成（ ）进行简便计算。 A. B. C. D. 二、判断题 4.小数乘法的简便运算只能运用乘法交换律。（ ） 5.，这里运用了乘法结合律。（ ） 6.。（ ） 7.整数乘法的运算定律推广到小数后，计算结果可能会改变。（ ） 三、填空题 8.简便计算0.45×14.6＋0.45×5.4时，运用( )律，可以先算( )＋( )，再乘( )。 9.计算0.44×2.5时，把它改写为0.11×（4×2.5）是运用了乘法( )律；把它改写为（0.4＋0.04）×2.5是运用了乘法( )律。 10.根据乘法的运算定律填空。 （1）2.5×5.6×0.8＝（( )×____）×____ （2）8×7.2×1.25＝____×（( )×1.25） （3）5.2×3.7＋4.8×3.7＝（( )＋____）×____ （4）2.02×8.5＝____×____＋____×____ 四、计算题 11.脱式计算。（能简便的要简便计算） 98.3×1.5＋1.5×1.7         0.25×3.2×12.5 12.3×4.2－25.8         202×0.75 12.怎样简便就怎样计算。 (1) (2) (3) (4) 五、解答题 13.一台拖拉机每小时耕地0.85公顷，照这样计算，8台拖拉机12.5小时能耕地多少公顷？ 14.学校食堂买回大米和面粉各 袋，大米每袋 千克，面粉每袋 千克。食堂一共买回粮食多少千克？（请用简便方法计算） 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3 整数乘法运算定律推广到小数乘法 编者的话 亲爱的同学们，欢迎来到小数乘法的进阶课堂！在前两课时中，我们已经掌握了小数乘法的基本计算方法。你是否发现，有时候直接计算比较繁琐？其实，整数乘法中的“好朋友”——交换律、结合律和分配律，在小数世界里同样适用！本课时将带你探索如何利用这些定律让计算变得更快、更准。这不仅是一次计算技巧的提升，更是数学思维灵活性的锻炼。请仔细阅读知识要点，体会“凑整”的妙处，并在自我评量中检验你的掌握情况。记住，简便运算的核心在于“观察”，愿你在这个夏天练就一双慧眼，轻松驾驭小数运算！ 学习目标 1.理解迁移：知道整数乘法的交换律、结合律和分配律对于小数乘法同样适用，能用自己的语言解释其合理性。 2.掌握简算：能根据数据特点，灵活运用乘法运算定律进行小数的简便计算，提高计算速度和正确率。 3.解决问题：在解决实际问题时，能主动寻找简便算法，培养优化意识和逻辑思维习惯。 知识要点 知识点一、运算定律的推广 整数乘法的运算定律可以推广到小数乘法，用字母表示如下： 1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 (1)公式： (2)示例： 2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 (1)公式： (2)示例： 3.乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。 (1)公式： (2)逆用： (3)示例： 知识点二、常见“凑整”组合 在进行小数简便运算时，熟记以下常见的“好朋友”组合至关重要： 1. 与 ： (1)小数形式： ， ， 2. 与 ： (1)小数形式： ， ， 3. 与 ： (1)小数形式： ， 知识点三、简便运算的策略与步骤 1.一看：观察题目中的数字，寻找是否有上述“凑整”组合，或者是否有相同的因数（用于分配律）。 2.二想：思考运用哪个运算定律可以使计算简便。 (1)连乘且含有 等，通常考虑交换律和结合律。 (2)含有两级运算（乘加或乘减）且有相同因数，通常考虑分配律。 3.三算：按照定律重新组合算式，进行口算或笔算。 4.四查：检查是否改变了原题的大小，小数点位置是否正确。 知识点四、易错点警示 1.混淆定律：不要将乘法分配律与结合律混淆。 (1)错误示例： （错！这是分配律，中间应该是加号） (2)正确做法： 2.漏乘项：使用分配律时，括号外的数要与括号内的每一项都相乘。 (1)错误示例： （错！ 也要乘 ） (2)正确做法： 3.拆分错误：将一个数拆分成两个数的和或积时，要确保数值相等。 (1)例如： 可以拆成 （用于结合律），也可以拆成 （用于分配律），需根据另一个因数选择。 自我评量 一、选择题 1.计算 时，最简便的方法是运用（ ）。 A. 乘法交换律 B. 乘法结合律 C. 乘法交换律和结合律 D. 乘法分配律 【答案】 C 【详解】 观察发现 和 相乘得 。 原式 （运用了交换律，交换 和 的位置） （运用了结合律，先算前两个数） 所以同时运用了交换律和结合律。故选C。 2.下面各式中，与 结果相等的是（ ）。 A. B. C. D. 【答案】 B 【详解】 将 拆分为 。 原式 根据乘法分配律： A选项结果为 ，C选项虽逻辑正确但不如B直接对应拆分，D选项拆分为9不对。B选项完全符合分配律推导。故选B。 3. 可以写成（ ）进行简便计算。 A. B. C. D. 【答案】 B 【详解】 将 拆分为 。 原式 。 故选B。 二、判断题 4.小数乘法的简便运算只能运用乘法交换律。（ ） 【答案】 × 【详解】 错。小数乘法可以运用交换律、结合律和分配律，具体视题目数据特征而定。 5.，这里运用了乘法结合律。（ ） 【答案】 √ 【详解】 对。将 拆分为 ，然后先算 ，这是典型的利用结合律进行简算。 6.。（ ） 【答案】 × 【详解】 错。根据乘法分配律，括号外的 必须与括号内的每一项相乘。 正确应为： 。题目中漏乘了 。 7.整数乘法的运算定律推广到小数后，计算结果可能会改变。（ ） 【答案】 × 【详解】 错。运算定律只改变计算顺序或形式，不改变计算结果（积的大小）。 三、填空题 8.简便计算0.45×14.6＋0.45×5.4时，运用( )律，可以先算( )＋( )，再乘( )。 【答案】 乘法分配 14.6 5.4 0.45 【分析】观察算式发现有相同的因数0.45，符合乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c的特征，因此运用乘法分配律进行简便计算，把14.6和5.4先相加，再乘0.45。 【详解】0.45×14.6＋0.45×5.4 ＝0.45×（14.6＋5.4） ＝0.45×20 ＝9 简便计算0.45×14.6＋0.45×5.4时，运用乘法分配律，可以先算14.6＋5.4，再乘0.45，结果是9。 9.计算0.44×2.5时，把它改写为0.11×（4×2.5）是运用了乘法( )律；把它改写为（0.4＋0.04）×2.5是运用了乘法( )律。 【答案】 结合 分配 【分析】0.44×2.5，就是将0.44分成0.11和4相乘，即0.44×2.5＝0.11×4×2.5，然后将4和2.5先相乘，利用乘法的结合律； 将0.44拆分为0.4＋0.04，然后利用乘法分配律进行简便计算。 【详解】0.44×2.5 ＝0.11×4×2.5 ＝0.11×（4×2.5） ＝0.11×10 ＝1.1 0.44×2.5 ＝（0.4＋0.04）×2.5 ＝0.4×2.5＋0.04×2.5 ＝1＋0.1 ＝1.1 计算0.44×2.5时，把它改写为0.11×（4×2.5）是运用了乘法结合律；把它改写为（0.4＋0.04）×2.5是运用了乘法分配律。 10.根据乘法的运算定律填空。 （1）2.5×5.6×0.8＝（( )×____）×____ （2）8×7.2×1.25＝____×（( )×1.25） （3）5.2×3.7＋4.8×3.7＝（( )＋____）×____ （4）2.02×8.5＝____×____＋____×____ 【答案】 2.5；0.8；5.6 7.2；8 5.2；4.8；3.7 2；8.5；0.02；8.5 【分析】运用乘法交换律进行简便计算； 运用乘法交换律与乘法结合律进行简便计算； 运用乘法分配律进行简便计算； 运用乘法分配律进行简便计算。 【详解】根据分析填空： （1） （2） （3） （4） 四、计算题 11.脱式计算。（能简便的要简便计算） 98.3×1.5＋1.5×1.7         0.25×3.2×12.5 12.3×4.2－25.8         202×0.75 【答案】150；10； 25.86；151.5 【分析】计算98.3×1.5＋1.5×1.7；利用乘法分配律变式为1.5×（1.7＋98.3）进行计算； 计算0.25×3.2×12.5，先拆分3.2＝0.4×8，再用乘法结合律变式为（0.25×0.4）×（8×12.5）进行简便计算； 计算12.3×4.2－25.8；先算乘法，再算减法； 计算202×0.75；把202拆为200＋2，用乘法分配律变式为200×0.75＋2×0.75进行简便运算。 【详解】98.3×1.5＋1.5×1.7 ＝1.5×（1.7＋98.3） ＝1.5×100 ＝150 0.25×3.2×12.5 ＝0.25×（0.4×8）×12.5 ＝（0.25×0.4）×（8×12.5） ＝0.1×100 ＝10 12.3×4.2－25.8 ＝51.66－25.8 ＝25.86 202×0.75 ＝200×0.75＋2×0.75 ＝150＋1.5 ＝151.5 12.怎样简便就怎样计算。 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】 (1) 将 拆分为 。 原式 (2) 将 拆分为 。 原式 (3) 方法一：将 拆为 。 原式 方法二：将 拆为 。 原式 (4) 逆用乘法分配律，提取公因数 。 原式 五、解答题 13.一台拖拉机每小时耕地0.85公顷，照这样计算，8台拖拉机12.5小时能耕地多少公顷？ 【答案】85公顷 【分析】要求8台拖拉机12.5小时耕地的总公顷数，可先计算1台拖拉机12.5小时的工作量，再乘8；或先计算8台拖拉机1小时的工作量，再乘12.5小时。两种方法均通过连乘计算总工作量。 【详解】 （公顷） 答：8台拖拉机12.5小时能耕地85公顷。 14.学校食堂买回大米和面粉各 袋，大米每袋 千克，面粉每袋 千克。食堂一共买回粮食多少千克？（请用简便方法计算） 【答案】 千克 【详解】 方法一：分别计算再相加。 利用乘法分配律逆运算： （千克） 方法二：先算一袋大米和一袋面粉的和，再乘袋数。 （千克） 答：食堂一共买回粮食 千克。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $