精品解析：陕西咸阳市永寿县中学2025-2026学年高一下学期5月练习数学试题

2025-2026学年度下期高2028届5月练习 数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，根据基底的定义，不可能有零向量作为基底，错， 对于B，显然，即，共线，故不能作为基底，错， 对于C，显然，即，共线，故不能作为基底，错， 对于D，不存在实数使成立，故，不共线，可作为基底，对. 2. 直角梯形中，，现采用斜二测画法，若平面直角坐标系的x轴平行于上、下底边，则直角梯形的直观图的面积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由原图与直观图的关系即可求解. 【详解】 如图，由直观图的画法可知直角梯形的直观图是梯形，且高为， 所以梯形的面积为. 故选：C. 3. 已知直线，直线和平面，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与直线、直线与平面的位置关系逐项分析可得答案. 【详解】对于A，若，，则或与异面，故A错误； 对于B，若，，则或与异面或与相交，故B错误； 对于C，若，过作平面，使得，则， 因为，，则，又，则，故C正确； 对于D，若，，则或或与相交，故D错误. 故选：C. 4. 复数，且为纯虚数，则可能的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算、二倍角公式化简，再复数的概念得到，结合余弦函数的性质求出，即可得解. 【详解】因为， 所以， 因为为纯虚数，所以，所以，， 所以，. 故选：B 5. 一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正四棱台的几何性质和体积计算公式，求出几何体体积. 【详解】 如图所示，正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，侧棱长为1，作斜截面, 上下底面为正方形，则，，，，， 过作正四棱台的高，可知，所以， 在直角中，根据勾股定理可知. 则正四棱台的体积. 6. 如图，在河岸上测量河对面两点间的距离，测得，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件结合内角和公式求，，在，中，分别利用正弦定理求，在中，利用余弦定理求. 【详解】因为， 所以， ， ， 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由余弦定理可得 ，则． 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式，化简已知条件，再根据余弦的二倍角公式，求出结果. 【详解】， ． 故选：A. 8. 在正方体中，点为线段上的动点（点与，不重合），则下列说法正确的个数是（ ） ① ②三棱锥的体积为定值 ③过，，三点作正方体的截面，截面图形为三角形 ④与平面所成角的正弦值最大为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由正方体性质知垂直关系可判断①，作截面判断③，由等体积法判断②，求出线面角的正弦值，得最大值判断④． 【详解】由正方体性质可知平面，平面，所以，故①正确： 令为到平面的距离，又，不在平面内，在平面内， 所以平面，又在线段上，故为定值， 由等体积法得为定值，故②正确； 根据正方体性质知， 当延长线与棱相交时，截面为三角形， 当延长线与棱相交时，截面为梯形，③错误； 在正方体中，连接，则为DP在平面上的射影，则为DP与平面所成的角， 设正方体的棱长为1，，则，， 当x取得最小值时，的值最大，即时，x的值最小为， 所以的值最大为，④正确， 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，有选错的得0分. 9. 若复数满足（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的虚部是 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出及，再逐项计算判断得解. 【详解】依题意，，则， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，的虚部是，C错误； 对于D，复数在复平面内对应的点在第一象限，D正确. 10. 正方体中，，分别是正方形和正方形的中心，正方体的棱长为，则下列说法正确的有（ ） A. 直线与直线是相交直线 B. 直线与直线是相交直线 C. 平面 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合正方体的性质，通过判断线线位置关系、线面平行、点到平面的距离，逐一分析选项. 【详解】选项A：直线是上底面中与中心的连线，延长后过点； 直线是侧面中与中心的连线，延长后也过点， 两直线交于公共点，是相交直线，A正确； 选项B：点都在对角面内，点在侧面上， 不在平面内，根据异面直线判定定理，直线与是异面直线，B错误； 选项C：连接，又，分别是正方形和正方形的中心， 故是的中位线，，又平面， 故平面，C选项正确； 选项D：连接， 由正方体性质可得：平面，又平面，故， 又正方形的对角线互相垂直且平分，故，即， 平面，可得平面， 平面平面，即平面， 故是四面体的高，则， 正方体的棱长为，对角线长度为，，， ，， 设点到平面的距离为，则， 三条边均为对角线，故是边长为的等边三角形， 的高，， 即，D正确. 11. 已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 在中，，，若三角形有唯一解，则或 C. 若，则为钝角三角形 D. 若为锐角三角形，且，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据数量积公式，可得，分析可判断A的正误；对B，根据条件，借助图形得到或，即可判断B的正误；对C，根据同角三角函数的关系及正弦、余弦定理，可得，即可判断C的正误；对D，根据诱导公式、同角三角函数的关系，可得的表达式，利用换元法，结合基本不等式，即可判断D的正误. 【详解】对于A，由向量数量积的定义得， 则，即A为锐角，但不确定B，C是否是锐角， 所以不一定是锐角三角形，故A错误. 对于B，如图，过C作所在直线于，则， 又，且三角形有唯一解，则或，即或，所以B正确， 对于C，因为，所以， 得到， 由正弦定理，得，即. 由余弦定理，得，则为钝角三角形，故C正确. 对于D，因为， 又，则， 所以，所以. 因为为锐角三角形，所以，所以. 令， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用，表示，则____________________. 【答案】 【解析】 【详解】在中，由是的中点，， 得， 所以 13. 半球的表面积与其内最大正方体的表面积之比为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出正方体的对角面，截半球得半个大圆，由此图形求得半球半径与正方体棱长的关系，从而可得表面积之比． 【详解】如图，是半球的截面，截正方体的对角面，矩形是半圆的内接矩形， 设半球半径为，正方体棱长为，则，， 半球表面积为， 正方体的表面积为， 所以． 故答案为：． 14. 如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，在平面的射影为，则在翻折过程中，给出下列四个结论： ①平面； ②与的夹角为定值； ③三棱锥体积最大值为； ④点的轨迹的长度为1. 其中所有正确结论的序号是________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用中位线性质以及线面平行判定定理判断①，由①中的结论可知与的夹角即为的补角，计算可得判断②；易知当平面时，三棱锥体积最大值为判断③；结合①中的分析可得点的轨迹与点轨迹相同,根据翻折规则可求得点的轨迹是半径为的半圆判断④. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示： 由为的中点，可得，且； 又为边的中点，所以，且，即； 即可得四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面, 因此平面，①正确； 由①可知与的夹角即为与的夹角， 由菱形性质及题干条件，可知，， 在中，，所以； 因此与的夹角即为的补角，即与的夹角为定值，②错误； 结合①②分析可知，当平面时，三棱锥体积最大， 此时，③正确； 结合①中的分析可知，点的轨迹与点轨迹相同， 在翻折过程中，点由的中点翻折到的中点过程中， 其轨迹是以的中点为圆心，为半径的半圆，即点的轨迹是半径为的半圆， 所以在平面的射影的轨迹为圆的直径，则点的轨迹的长度为1，④正确. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，记在方向上的投影向量为． （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】（1）先将求出来，后按照求模长公式求即可. （2）与的夹角为锐角，则，再排除同向共线的即可． 【小问1详解】 与的夹角为， 在方向上的投影向量． 【小问2详解】 与的夹角是锐角， ，且与不能同向共线， 即， 当与同向共线时，设，得. 且． 16. 如图，在四棱锥中，. （1）求证：平面平面； （2）若分别为的中点，求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）可以证明，结合，线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证； （2）延长交于，由中位线定理可证，以及，再结合线面平行、面面平行的判定定理即可得证. 【小问1详解】 因为，所以. 又因为平面平面， 所以平面. 又平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 延长交于， 因为分别为中点， 所以，又平面平面， 所以平面. 因为，所以，又为中点，所以， 注意到，所以，所以. 又因为，所以为中点，所以. 又因为平面平面，所以平面. 因为平面平面， 所以平面平面. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）函数图象上的所有点向左平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间上的最小值以及取得最小值时的值； （3）若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2）最小值为，此时 （3） 【解析】 【分析】（1）由图象最高点和零点坐标求出、及，代入最高点坐标求. （2）根据三角函数图象变换规律求出的解析式，结合余弦函数性质求最值. （3）利用换元法将零点问题转化为方程根的问题，结合正弦函数图象确定参数范围. 【小问1详解】 由图象可知，. 设函数的最小正周期为， 由图象可知，，解得. 因为，所以. 将点代入，得，即. 所以，解得. 不妨取，得， 得函数的解析式为. 【小问2详解】 将 的图像向左平移个单位， 得， 再将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），得：， 当时，， 当，即时，取得最小值 ， 此时的最小值为. 【小问3详解】 由，得：， 设 ，当 时， 方程 在 内的解为 ，或 ，， 在 内，有且仅有两个解，即：， 解得：. 18. 已知，，，设的内角，，所对的边分别为，，，且. （1）若，，求的周长； （2）若的面积为，为边的中点，求长的最小值； （3）若，求锐角周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先化简并由求出，应用正弦定理求得，再应用余弦定理列方程求，结合确定其值，即可得； （2）由面积公式得，利用中线向量公式，结合均值不等式求得的最小值； （3）由正弦定理得外接圆半径，将周长表示为的三角函数，结合锐角三角形条件，可求得周长范围. 【小问1详解】 ， 由 ， 由，因此， 其中，则，故， 由，可得， 由，则，可得， 所以或，又，则，即， 综上，，故三角形的周长为； 【小问2详解】 由已知，又的面积为，则，解得， 又，则 当且仅当时，等号取到，所以； 即边上中线长的最小值为． 【小问3详解】 由正弦定理可知：， 因此有 ， 由于，故，则， 可得，因此. 19. 如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面.其中，. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）为上的动点，以为直径作球，设，若球与平面相交得到的截面的面积为，求的最小值. 【答案】（1）因是圆的直径，则， 因平面，平面，则， 又平面，故平面， 由平面，则. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由平面可得，由条件易得，根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）过点作于点，连接，由平面可推出即二面角的平面角，在中，利用三角函数定义即可求得答案； （3）先求得球的半径为，设点到平面的距离为，则得点到平面的距离为，利用余弦定理求出相关边与角，根据求得，接着利用球的截面圆性质求出截面圆面积的表达式，借助于二次函数的性质即可求得其最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于点，连接，由（1）， 因平面，故平面， 又平面，则，即即二面角的平面角， 因，且平面，平面，则， 在中，等面积法可得， 则，则. 【小问3详解】 因，则，， 则球的半径为，设点到平面的距离为，则点到平面的距离为. 在中，，由余弦定理，， 则，则， 在中，，则， 由可得：，解得， 设球与平面相交得到的截面圆半径为，则， 则， 因，故当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下期高2028届5月练习 数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各组向量中，能作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 直角梯形中，，现采用斜二测画法，若平面直角坐标系的x轴平行于上、下底边，则直角梯形的直观图的面积为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 已知直线，直线和平面，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 复数，且为纯虚数，则可能的取值为（ ） A. B. C. D. 5. 一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在河岸上测量河对面两点间的距离，测得，则（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 在正方体中，点为线段上的动点（点与，不重合），则下列说法正确的个数是（ ） ① ②三棱锥的体积为定值 ③过，，三点作正方体的截面，截面图形为三角形 ④与平面所成角的正弦值最大为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，有选错的得0分. 9. 若复数满足（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的虚部是 D. 复数在复平面内对应的点在第一象限 10. 正方体中，，分别是正方形和正方形的中心，正方体的棱长为，则下列说法正确的有（ ） A. 直线与直线是相交直线 B. 直线与直线是相交直线 C. 平面 D. 点到平面的距离为 11. 已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 在中，，，若三角形有唯一解，则或 C. 若，则为钝角三角形 D. 若为锐角三角形，且，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在中，是的中点，为上的点，且，若，，则用，表示，则____________________. 13. 半球的表面积与其内最大正方体的表面积之比为______． 14. 如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，在平面的射影为，则在翻折过程中，给出下列四个结论： ①平面； ②与的夹角为定值； ③三棱锥体积最大值为； ④点的轨迹的长度为1. 其中所有正确结论的序号是________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，记在方向上的投影向量为． （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 16. 如图，在四棱锥中，. （1）求证：平面平面； （2）若分别为的中点，求证：平面平面. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）函数图象上的所有点向左平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间上的最小值以及取得最小值时的值； （3）若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围. 18. 已知，，，设的内角，，所对的边分别为，，，且. （1）若，，求的周长； （2）若的面积为，为边的中点，求长的最小值； （3）若，求锐角周长的取值范围. 19. 如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面.其中，. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）为上的动点，以为直径作球，设，若球与平面相交得到的截面的面积为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $