精品解析：陕西省咸阳市永寿县中学2024-2025学年高一下学期第三次月考数学试题

永寿县中学2024-2025学年度第二学期第三次月考 高一数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数在复平面上对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 1或3 3. 已知，那么的夹角（ ） A. B. C. D. 4. 在正方体的六个面中，与垂直的平面有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 已知点不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且，则 A. 点P在线段AB上 B. 点P在线段AB的反向延长线上 C. 点P在线段AB的延长线上 D. 点P不直线AB上 6. 以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 设、是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 8. 正四棱锥的侧棱长为,底面ABCD边长为2,E为AD的中点,则BD与PE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知点、、、，则（ ） A. B. C. D. 10. 某市12月17日至21日期间空气质量呈现重度及以上污染水平,经市政府批准,该市启动了空气重污染红色预警,期间实行机动车“单双号”限行等措施.某报社会调查中心联合问卷网,对2400人进行问卷调查,并根据调查结果得到如下饼图则下列结论正确的是（ ） A. “不支持”部分所占的比例大约是整体的; B. “一般”部分所占的人数估计是800人; C. 饼图中如果圆的半径为2,则“非常支持”部分扇形的面积是; D. “支持”部分所占的人数估计是1100人 11. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则 C. 若，，则面积最大值为3 D. ，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 复数________ 13 已知向量，，，若，则实数___________． 14. 若三角形三边长之比为，那么这个三角形最大角是_____． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知平面向量． （1）若，求的值； （2）若与夹角为锐角，求的取值范围． 16. 已知复数（是虚数单位）是关于的实系数方程的根. （1）求的值； （2）复数满足是实数，且复数的实部与虚部的平方和为，求复数. 17. 杭州市某高中从学生中招收志愿者参加迎亚运专题活动，现已有高一540人、高二360人，高三180人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取120名．对抽出的120名同学某天参加运动的时间进行了统计，运动时间均在39.5至99.5分钟之间，其频率分布直方图如下： （1）需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人； （2）请补全频率分布直方图． 18. 如图，四边形为菱形，，平面. （1）证明：平面； （2）若，求三棱锥的体积. 19. 已知四棱锥的底面为平行四边形，平面，为中点． (1)求证:平面． (2)若，求证:平面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永寿县中学2024-2025学年度第二学期第三次月考 高一数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数在复平面上对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】先化简，再根据复数的几何意义判断即可 【详解】,则对应的点在第四象限 故选 ：D 2. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 1或3 【答案】C 【解析】 分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理，，即，，解得. 故选：C 3. 已知，那么的夹角（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，利用数量积的定义即可求出. 【详解】， ， ， ，. 故选：D. 4. 在正方体的六个面中，与垂直的平面有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的结构特征，可直接得出结果. 【详解】在正方体中，侧棱都和底面垂直，故在正方体的六个面中，与垂直的平面有平面和平面，共两个. 故选：B 5. 已知点不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且，则 A. 点P在线段AB上 B. 点P在线段AB的反向延长线上 C. 点P在线段AB的延长线上 D. 点P不在直线AB上 【答案】B 【解析】 【详解】∵ ∴ ∴，即 ∴点在线段的反向延长线上 故选B. 点睛：本题考查共线向量定理以及向量加减法的三角形法则，解答本题的关键是对的变形，得到，从而得出是线段靠近的一个三等分点. 6. 以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】据正三角形绕一边所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的圆锥,利用圆锥的侧面积公式即可求解． 【详解】如图，正三角形绕所在直线旋转轴旋转一周， 得到几何体是两个同底的圆锥， 圆锥的底面半径为， 所得几何体的表面积为． 故选：C． 7. 设、是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A、D项，根据线面平行的性质可过作，可得，进而根据面面垂直的判定即可判断；对于B、C项，由已知可推出或，因此无法判断与的关系. 【详解】对于A项，因为，，所以，因为，过作平面与平面交线为，则，，因为，由面面垂直的判定定理可得，故A错误； 对于B项，因为，，所以或，又因为，所以与的位置关系不确定，故B项错误； 对于C项，因为，，所以或，又因为，所以与的位置关系不确定，故C项错误； 对于D项，因为，，所以，因为，过作平面与平面交线为，则，，因为，由面面垂直的判定定理可得，故D正确. 故选：D. 8. 正四棱锥的侧棱长为,底面ABCD边长为2,E为AD的中点,则BD与PE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点为，连接，得到 BD与PE所成角为，在中，利用余弦定理得到答案. 【详解】如图所示：取中点为，连接，易知 故BD与PE所成角为 在中， 利用余弦定理得到： 解得 故选 【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知点、、、，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量的模长公式可判断B选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断CD选项. 【详解】对于A选项，，，则，故，A对； 对于B选项，，所以，，B对； 对于C选项，，所以，，C对； 对于D选项，，则，D错. 故选：ABC. 10. 某市12月17日至21日期间空气质量呈现重度及以上污染水平,经市政府批准,该市启动了空气重污染红色预警,期间实行机动车“单双号”限行等措施.某报社会调查中心联合问卷网,对2400人进行问卷调查,并根据调查结果得到如下饼图则下列结论正确的是（ ） A. “不支持”部分所占的比例大约是整体的; B. “一般”部分所占的人数估计是800人; C. 饼图中如果圆的半径为2,则“非常支持”部分扇形的面积是; D. “支持”部分所占的人数估计是1100人 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据支持是，约占总体的一半，所以圆的面积是，依次进行判断即可。 【详解】A选项：“不支持”部分所占，所以比例大约是整体的，正确。 B选项：“一般”部分所占比例为，所以占的人数估计是人，不正确； C选项：“非常支持”部分占比例，所以面积是，正确； D选项：“支持”部分所占比例，共有，正确. 故选：ACD 【点睛】此题考查饼图在实际问题的应用，注意各部分所占比重，属于简单题目。 11. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则 C. 若，，则面积最大值为3 D. ，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦定理和二倍角公式即可判断AB；对C，利用余弦定理和二次函数性质即可判断；对D，根据三角形面积公式和乘“1”法即可判断. 详解】对于A：若，根据正弦定理则， 即，因为，所以或 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误； 对B，因为，则，， 则根据正弦定理有， 故B正确； 对C，设，. 则， ， 所以 ， 当时，三角形的面积取得最大值，故C正确； 对D，由题意可知，， 由角平分线性质和三角形面积公式得， 化简得，即， 因此， 当且仅当，即时取等号，即的最小值为，则D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 复数________ 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法化简可得结果. 【详解】. 故答案为：. 13. 已知向量，，，若，则实数___________． 【答案】1 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示计算． 【详解】解：∵，，∴，∵，， ∴，∴ 故答案为：1． 14. 若三角形三边长之比为，那么这个三角形的最大角是_____． 【答案】 【解析】 【分析】确定最大角所对边，再利用余弦定理求解即得. 【详解】设三角形三边长分别为，且，则边长为边所对角最大，记为， 令，由余弦定理得， 而，解得，所以这个三角形的最大角是. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知平面向量． （1）若，求的值； （2）若与的夹角为锐角，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行利用共线定理解方程组即可求出结果； （2）依题意可知且与不共线，由向量数量积的坐标表示计算解不等式可得结果. 【小问1详解】 由可得存在实数，使得， 即，因为不共线， 所以，即可得； 【小问2详解】 由可得，； 若与的夹角为锐角，可知且与不共线， 因此，且； 即可得且， 因此的取值范围为. 16. 已知复数（是虚数单位）是关于的实系数方程的根. （1）求的值； （2）复数满足是实数，且复数的实部与虚部的平方和为，求复数. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用根与系数的关系求出p，q，再求. （2）设，利用已知条件列方程解出a，b，进而求得复数w. 【小问1详解】 解：关于的实系数方程的虚根是互为共轭复数的， 所以它的另一个根是， 根据根与系数的关系可得， 解得， 所以. 【小问2详解】 解：设. 由，得. 因为， 所以或， 因此或. 17. 杭州市某高中从学生中招收志愿者参加迎亚运专题活动，现已有高一540人、高二360人，高三180人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取120名．对抽出的120名同学某天参加运动的时间进行了统计，运动时间均在39.5至99.5分钟之间，其频率分布直方图如下： （1）需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人； （2）请补全频率分布直方图． 【答案】（1）高一抽取60人，高二抽取40人，高三抽取20人 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的定义按比例求解即可； （2）由各组的频率和为1求出第三组的频率，从而可求出第三组的小矩形的高度，进而可补全频率分布直方图. 【小问1详解】 报名的学生共有1080人，抽取的比例为， 所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人； 【小问2详解】 第三组的频率为， 故第三组的小矩形的高度为，补全频率分布直方图得 18. 如图，四边形为菱形，，平面. （1）证明：平面； （2）若，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用直线与平面垂直的判定定理证明； （2）由平面，利用求解. 【小问1详解】 证明：四边形菱形， . 平面，平面， . ，平面，平面， 平面. 【小问2详解】 四边形为菱形，，， ，. . . 19. 已知四棱锥的底面为平行四边形，平面，为中点． (1)求证:平面． (2)若，求证:平面． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】 【分析】(1)设AC∩BD=H，连接EH，由平行四边形的性质结合题意证出MH为中位线，从而得到MHPA，利用线面平行的判定定理，即可证出PA平面MBD． (2)由线面垂直的定义证出PD⊥AD，结合AD⊥PB得到AD⊥平面PDB，得AD⊥BD，再根据PD⊥BD且PD、AD是平面PAD内的相交直线，可得BD⊥平面PAD． 【详解】(1)因为底面是平行四边形，所以点为的中点， 又为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面． (2)因为平面，平面，所以， 因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $