江苏省南京市联合体2025-2026学年七年级下学期期末数学练习卷(苏科版)

**基本信息** 立足苏科版七八年级衔接内容，以光刻机技术、母亲节买花等真实情境为载体，分层考查运算能力、推理意识及创新思维，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|平移、幂运算、全等判定|第1题结合世界微笑日考平移，第5题综合考查垂直、平行等几何命题| |填空题|10/30|科学记数法、因式分解、旋转|第7题以中芯国际光刻机技术考科学记数法，第15题结合旋转动态过程求时间| |解答题|8/60|全等证明、方案设计、新定义|23题母亲节买花方案融合方程组与不等式，24题“和谐多项式”定义新运算考查代数推理|

2025-2026学年江苏省南京市联合体七年级（下）期末数学练习卷 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8. ．  9. ．  10.   11. ．  12. 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角  13. ．  14.   15. 或  16.   17. 【小题】 ； 【小题】 ．   18. 【小题】 解： 由得：， 解得， 将代入得：， 解得， 方程组的解为：； 【小题】 解： 解不等式得 解不等式得，， 故不等式组的解集为：．   19. 以点为旋转中心，将旋转得到，如图即为所求；  以，，，为顶点的四边形的面积为  或或或  20. 已知如图， 分别平分 且相交于点 ． 求证： ． 证明： ，  ．  分别平分 ，  ，  ，  ．   21. 【小题】 解：由题意可得 ，   得，   ，  ，  ， 解得 ； 【小题】 解：不等式移项可得，    当 时， ，不符合题意舍去；  时， ，解得 ， 由得 ， 符合的值有 ， ．   22. ，，   ，   ，   ，   即，   在和中，   ，   ≌．  23. 买支郁金香需要元，买支满天星需要元；   费用最少的买花方案为买郁金香支，满天星支，最少费用为元  24. 【小题】 解： ，  ，  ， 故多项式 ， ， 是一组和谐多项式，和谐果为． 【小题】 解： ，  ，  多项式 ， ， 是常数是一组和谐多项式， ． 【小题】 解：  多项式 ， ， 是常数是一组和谐多项式，  ， 解得 ，  ．   25. 即为所求作；    26. 【小题】 答案不唯一； 【小题】 解：存在， ， ， ， ， 或或 解得：； 【小题】 或或或或   【解析】 1. 解：由题知， 只有选项中的图案是由题干中的“微笑表情”平移得到， 所以只有选项符合题意． 故选：． 根据平移的性质对所给选项作出判断即可． 本题主要考查了平移的性质，熟知平移的性质是解题的关键． 2. 解：根据整式的运算法则逐项分析判断如下： A、，故A错误，不符合题意； B、，故B正确，符合题意； C、，故C错误，不符合题意； D、，故D错误，不符合题意； 故选：． 根据整式的运算法则逐项分析判断即可． 本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 3. 解：如图，由折叠得：， ， ，， ， ， ， 由折叠得：如图，， ， 故选：． 先由折叠得：，由平行线的性质得，如图中，根据折叠和平行线的性质得，，根据角的差可得结论． 本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质等知识；熟练掌握平行线和翻折变换的性质得出相等的角是解决问题的关键． 4. 解：，而不符合完全平方公式的结构特征，因此选项A不符合题意； B.是二项式，不符合完全平方公式的结构特征，因此选项B不符合题意； C.是二项式，符合平方差公式的结构特征，但不符合完全平方公式的结构特征，因此选项C不符合题意； D.，符合完全平方公式的结构特征，因此选项D符合题意； 故选：． 根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 本题考查公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 5. 解：该命题是真命题，符合题意； 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题是假命题，不合题意； 该命题是真命题，符合题意； 该命题是真命题，符合题意； 两条边相等及其夹角相等的两个三角形一定全等，原命题是假命题，不合题意； 真命题有个， 故选：． 根据垂线的性质、点到直线的距离、三角形外角性质、平行公理和三角形全等的判定方法逐一判断即可求解． 本题考查了命题，正确记忆相关知识点是解题关键． 6. 此题主要考查了等腰三角形的性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 在上截取，连接，设，，证明和全等得，，则，，由三角形外角性质得，则，进而得，由此得，据此即可得出答案． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 设，， 平分， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 是的外角， ， ， 在中，， ， ， 即， 要求的度数，则只需知道的度数即可． 故选：． 7. 解：． 故答案为：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 8. 解：根据题意可知，． 故答案为：． 根据计算求解即可． 本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法的运算法则是关键． 9. 解：，， ，， ， ， 故答案为：． 根据，进行计算即可． 本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 10. 因为方程组的解满足方程，则解出方程组，得出和的代数式，代入方程中，则得到关于的方程，解方程可得的值． 【详解】解：解方程组得，，，代入方程得， ， 解得，， 故答案为． 11. 先解不等式，再结合不等式的正整数解可得关于的不等式，解之可得． 【详解】解得， 不等式有个正整数解， 不等式的正整数解为、、， ， 解得：． 故答案为． 12. 本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 13. 解：由题知， 点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上， ，． 又， ， ． 故答案为：． 根据轴对称的性质，分别求出及的值，再结合的长求出的长，最后将和的长度相加即可． 本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 14. 解：， ， ， ， 所以正确； 如图，过点作于点， ，平分， ， 在和中， ， ≌， ， ，， ， ， 在中，，， ， ， 故正确； 在中，， ，， ， ， 故错误； 过点作于点，于点，如图， 又平分，， ， ，， ， ， ， ， 故正确． 故答案为：． 直接利用斜边大于直角边对进行判断；过点作于点，利用证明≌，根据全等三角形的性质、勾股定理求出，从而可对进行判断；利用勾股定理得到，利用得到，从而可对进行判断；过点作于点，于点，根据角平分线的性质，根据等腰直角三角形的性质得到，然后利用得到，从而可对进行判断． 此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰直角三角形等知识，熟记有关定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 15. 本题考查平行线的性质，能根据题意画出示意图及熟知平行线的性质是解题的关键．分两种情况画出示意图，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：当在上方时，如图， ， ， 又， ． 又， ， ， ； 当在下方时，如图所示， ， ， ， ． 综上所述，第或秒时，边与边平行． 故答案为：或． 16. 解：不等式组为 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为， ， 解得， 对于， 去分母，得， 移项，合并同类项，得， ， 分式方程有非负整数解， 且， 且，为偶数， 整数的值为，，，， 所有满足条件的整数的值之和是：． 故答案为：． 首先根据不等式组的已知解集求出的取值范围，然后利用分式方程的非负整数解求出的取值范围，最后结合两个条件即可求出的所有非负整数解决问题． 本题主要考查了不等式组的解集和分式方程的正整数解的问题，综合性比较强，能力要求比较高． 17.   本题主要考查乘方，零次幂，整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． 分别算出乘方，零次幂，绝对值的值，再根据有理数的混合运算法则计算即可；   根据单项式乘以多项式，完全平方公式计算展开，再合并同类项即可． 18.   本题主要考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算方法． 利用加减消元法求解即可；   先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可． 19. 解：以点为旋转中心，将旋转得到，如图即为所求； 以，，，为顶点的四边形的面积为；理由如下： 以，，，为顶点的四边形的面积为； 由图可得：点坐标为或或或． 根据旋转的性质作图即可得解； 利用割补法列式计算即可得解； 根据角平分线的定义并结合图形即可得解． 本题考查了作图旋转变换，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 20. 详细解答和解析过程见【答案】 21.  观察方程两式相减即可得到 ，再根据 代入求解即可得到答案；  分类解出不等式的解集，再根据 求解即可得到答案． 22. 证明：，，  ，  ，  ，  即，  在和中，  ，  ≌． 根据，，可得，根据可得，利用证明≌即可． 此题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明≌是解题的关键． 23. 解：设买支郁金香需要元，买支满天星需要元， 买支郁金香和支满天星共需元．支满天星的价格比支郁金香的价格多元．则： 根据题意得， 解得， 答：买支郁金香需要元，买支满天星需要元； 设小明买支郁金香，则买支满天星．买这两种花的总费用为元， 根据题意，得， ， 随的增大而减小， ，且， 当时，取最小值，最小值为， 此时， 答：费用最少的买花方案为买郁金香支，满天星支，最少费用为元． 根据“买支郁金香和支满天星共需元”“支满天星的价格比支郁金香的价格多元”，设未知数并列出二元一次方程组，求解得到两种花的单价； 设购买郁金香的数量为支，根据“郁金香和满天星共支”表示出满天星的数量，结合单价列出总费用的一次函数表达式，根据一次函数的增减性以及“郁金香不超过支”的限制条件，求出费用的最小值及对应的购买方案． 本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 24.   本题考查了新定义，整式的混合运算的应用，理解题意，熟练计算是解题的关键． 根据和谐多项式的概念，计算即可验证．  根据和谐多项式的概念，列式，可得结果中 和 的系数都为，即可解答．  根据和谐多项式的概念，列式，可得结果中 和 的系数都为，即可解答． 25. 解：如图，即为所求作； 证明：，， ． ， ． 在中，． ． 在与中， ≌． ． ， ， 即点为的中点． 故答案为：，，． 以点为圆心，长为半径画弧与交于两点，分别以这两点为圆心以大于这两点间距离的为半径在两侧画弧相交，连接两侧交点，必定经过点，与相交于点，此时； 根据垂直可得直角，再由等量代换可得，根据角角边的证明方法证明与全等，由此可得，由此可证明． 本题考查作图，掌握过直线外一点作已知直线的垂线是解题的关键． 26.   本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组等知识点，难度较大，解题的关键是灵活运用因式分解解决问题． 先将原式因式分解为，再根据为正整数，得到，写出符合题意的值即可； 解：， ， 为正整数， 的值可以为： 故答案为：答案不唯一；   将原式因式分解为，再枚举得到组二元一次方程组，再分别求解即可；   设长方体的长、宽、高为，，，，由题意得：，由于，则，而，故得到，再枚举求解即可． 解：设长方体的长、宽、高为，，，， 由题意得： ， ， ， ， ， 或或或或 分别解得：或或或或 或或或或． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省南京市联合体七年级（下）期末数学练习卷 考试时间：120分钟 总分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：苏科版7年级下册+八年级上第一章全等三角形 第I卷（选择题 18分） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.每年月日是世界微笑日，传递微笑也是传递温暖由图中所示的“微笑表情”平移得到的是(    ) A. B. C. D. 2.下列计算中，正确的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，图是一个四边形纸条，，点在上，点在上，将纸条沿折叠得到图，再将图沿折叠得到图，若在图中，，则图中的度数是(    ) A. B. C. D. 4.下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是(    ) A. B. C. D. 5.下列命题中，真命题的个数是(    ) 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 三角形的任何一个内角小于与它不相邻的外角 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 两条边相等及一个角相等的两个三角形一定全等 A. B. C. D. 6.如图，中，平分，点在上，，若要求的度数，则只需知道(    ) A. 的度数 B. 的度数 C. 的度数 D. 的度数 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 7.年月，中芯国际开始测试国产浸没式光刻机，标志着中国在制程核心设备领域实现里程碑式进展已知，将用科学记数法表示为        ． 8.若，，则的值是        ． 9.已知，，则的值是        ． 10.已知关于，的方程组的解满足，则            ． 11.如果不等式有个正整数解，则的取值范围是          ． 12.命题“对顶角相等”的逆命题是          ． 13.如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上若，，，则线段的长为        ． 14.如图，在中，，，平分，是上一动点不与，重合，于点设，，则下列结论：；；；其中正确的结论有        填写所有结论正确的序号 15.如图，在中，，是直角三角形，，，且边与重合，将绕点以每秒顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第          秒时，． 16.若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是______． 三、计算题：本大题共2小题，共12分。 17.计算：； 化简：． 18.解方程不等式组： ； ． 四、解答题：本题共8小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点网格线的交点，，，的坐标分别为，，，． 以点为旋转中心，将旋转得到，画出； 直接写出以，，，为顶点的四边形的面积； 在所给的网格图中确定一个格点，使得射线平分，直接写出两个符合题意的点坐标． 20.本小题分证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直． 21.本小题分 已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ． 求 的取值范围； 在  的条件下，若不等式 的解为 ，请写出符合条件的  的整数值． 22.本小题分 如图所示，、、、四点在同一条直线上，若，，，求证：≌． 23.本小题分 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 小明打算在母亲节那天买一束郁金香和满天星组合的鲜花送给妈妈． 素材一 买支郁金香和支满天星共需元． 素材二 支满天星的价格比支郁金香的价格多元． 素材三 小明准备买郁金香和满天星共支，且郁金香不超过支． 请完成下列任务： 任务一：买支郁金香，支满天星分别需要多少元？ 任务二：请你帮小明设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用． 24.本小题分 定义：多项式，，，如果满足 ，为常数时，则称多项式，，为一组和谐多项式．其中是该组和谐多项式的和谐果． 例如：对于多项式 ， ， ，因为 ，所以多项式 ， ， 是一组和谐多项式，是该组和谐多项式的和谐果． 判断多项式 ， ， 是否为一组和谐多项式？若是，请求出该组和谐多项式的和谐果；若不是，请说明理由； 多项式 ， ， 是常数是一组和谐多项式，求，，之间的数量关系； 多项式 ， ， 是常数是一组和谐多项式，请直接写出该组和谐多项式的和谐果的值． 25.本小题分 如图，在中，，，点为线段上一点，连接，过点作，交的延长线于点，且． 尺规作图：过点作的垂线，垂足为点；不写作法，保留作图痕迹 求证：点为的中点． 证明：，， ， ， ______， 在中，， ______， 在与中， ， ≌， ______， ， ， 即点为的中点． 26.本小题分 整数的简单构成，若干世纪以来一直是数学获得新生的源泉伯克霍夫 请解答下列整数问题： 写出满足的一对正整数和的值：          ． 是否存在正整数和，使得，若存在，求出满足条件的和的值；若不存在，请说明理由． 一个长方体的所有棱长都是整数，记长方体的所有棱长值之和为，所有各面的面积值之和为，体积的值为，已知，则所有可能的的值是          ． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省南京市联合体七年级（下）期末数学练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.每年月日是世界微笑日，传递微笑也是传递温暖由图中所示的“微笑表情”平移得到的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：由题知， 只有选项中的图案是由题干中的“微笑表情”平移得到， 所以只有选项符合题意． 故选：． 根据平移的性质对所给选项作出判断即可． 本题主要考查了平移的性质，熟知平移的性质是解题的关键． 2.下列计算中，正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：根据整式的运算法则逐项分析判断如下： A、，故A错误，不符合题意； B、，故B正确，符合题意； C、，故C错误，不符合题意； D、，故D错误，不符合题意； 故选：． 根据整式的运算法则逐项分析判断即可． 本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 3.如图，图是一个四边形纸条，，点在上，点在上，将纸条沿折叠得到图，再将图沿折叠得到图，若在图中，，则图中的度数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：如图，由折叠得：， ， ，， ， ， ， 由折叠得：如图，， ， 故选：． 先由折叠得：，由平行线的性质得，如图中，根据折叠和平行线的性质得，，根据角的差可得结论． 本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质等知识；熟练掌握平行线和翻折变换的性质得出相等的角是解决问题的关键． 4.下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：，而不符合完全平方公式的结构特征，因此选项A不符合题意； B.是二项式，不符合完全平方公式的结构特征，因此选项B不符合题意； C.是二项式，符合平方差公式的结构特征，但不符合完全平方公式的结构特征，因此选项C不符合题意； D.，符合完全平方公式的结构特征，因此选项D符合题意； 故选：． 根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 本题考查公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 5.下列命题中，真命题的个数是(    ) 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 三角形的任何一个内角小于与它不相邻的外角 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 两条边相等及一个角相等的两个三角形一定全等 A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：该命题是真命题，符合题意； 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，原命题是假命题，不合题意； 该命题是真命题，符合题意； 该命题是真命题，符合题意； 两条边相等及其夹角相等的两个三角形一定全等，原命题是假命题，不合题意； 真命题有个， 故选：． 根据垂线的性质、点到直线的距离、三角形外角性质、平行公理和三角形全等的判定方法逐一判断即可求解． 本题考查了命题，正确记忆相关知识点是解题关键． 6.如图，中，平分，点在上，，若要求的度数，则只需知道(    ) A. 的度数 B. 的度数 C. 的度数 D. 的度数 【答案】B  【解析】此题主要考查了等腰三角形的性质，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 在上截取，连接，设，，证明和全等得，，则，，由三角形外角性质得，则，进而得，由此得，据此即可得出答案． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 设，， 平分， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 是的外角， ， ， 在中，， ， ， 即， 要求的度数，则只需知道的度数即可． 故选：． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 7.年月，中芯国际开始测试国产浸没式光刻机，标志着中国在制程核心设备领域实现里程碑式进展已知，将用科学记数法表示为        ． 【答案】  【解析】解：． 故答案为：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 8.若，，则的值是        ． 【答案】．  【解析】解：根据题意可知，． 故答案为：． 根据计算求解即可． 本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法的运算法则是关键． 9.已知，，则的值是        ． 【答案】．  【解析】解：，， ，， ， ， 故答案为：． 根据，进行计算即可． 本题考查完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 10.已知关于，的方程组的解满足，则            ． 【答案】  【解析】因为方程组的解满足方程，则解出方程组，得出和的代数式，代入方程中，则得到关于的方程，解方程可得的值． 【详解】解：解方程组得，，，代入方程得， ， 解得，， 故答案为． 11.如果不等式有个正整数解，则的取值范围是          ． 【答案】．  【解析】先解不等式，再结合不等式的正整数解可得关于的不等式，解之可得． 【详解】解得， 不等式有个正整数解， 不等式的正整数解为、、， ， 解得：． 故答案为． 12.命题“对顶角相等”的逆命题是          ． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是对顶角  【解析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，把原命题的条件与结论互换写出对应的逆命题即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角． 13.如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上若，，，则线段的长为        ． 【答案】．  【解析】解：由题知， 点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上， ，． 又， ， ． 故答案为：． 根据轴对称的性质，分别求出及的值，再结合的长求出的长，最后将和的长度相加即可． 本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 14.如图，在中，，，平分，是上一动点不与，重合，于点设，，则下列结论：；；；其中正确的结论有        填写所有结论正确的序号 【答案】  【解析】解：， ， ， ， 所以正确； 如图，过点作于点， ，平分， ， 在和中， ， ≌， ， ，， ， ， 在中，，， ， ， 故正确； 在中，， ，， ， ， 故错误； 过点作于点，于点，如图， 又平分，， ， ，， ， ， ， ， 故正确． 故答案为：． 直接利用斜边大于直角边对进行判断；过点作于点，利用证明≌，根据全等三角形的性质、勾股定理求出，从而可对进行判断；利用勾股定理得到，利用得到，从而可对进行判断；过点作于点，于点，根据角平分线的性质，根据等腰直角三角形的性质得到，然后利用得到，从而可对进行判断． 此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰直角三角形等知识，熟记有关定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 15.如图，在中，，是直角三角形，，，且边与重合，将绕点以每秒顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第          秒时，． 【答案】或  【解析】本题考查平行线的性质，能根据题意画出示意图及熟知平行线的性质是解题的关键．分两种情况画出示意图，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：当在上方时，如图， ， ， 又， ． 又， ， ， ； 当在下方时，如图所示， ， ， ， ． 综上所述，第或秒时，边与边平行． 故答案为：或． 16.若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】  【解析】解：不等式组为 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为， ， 解得， 对于， 去分母，得， 移项，合并同类项，得， ， 分式方程有非负整数解， 且， 且，为偶数， 整数的值为，，，， 所有满足条件的整数的值之和是：． 故答案为：． 首先根据不等式组的已知解集求出的取值范围，然后利用分式方程的非负整数解求出的取值范围，最后结合两个条件即可求出的所有非负整数解决问题． 本题主要考查了不等式组的解集和分式方程的正整数解的问题，综合性比较强，能力要求比较高． 三、计算题：本大题共2小题，共12分。 17. 计算：； 化简：． 【答案】(1) ；   (2) ．   【解析】  本题主要考查乘方，零次幂，整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． 分别算出乘方，零次幂，绝对值的值，再根据有理数的混合运算法则计算即可；   根据单项式乘以多项式，完全平方公式计算展开，再合并同类项即可． 18.解方程不等式组： ； ． 【答案】(1)解：∵ 由得：， 解得， 将代入得：， 解得， ∴方程组的解为：；   (2)解：∵ 解不等式得 解不等式得，， 故不等式组的解集为：．   【解析】  本题主要考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算方法． 利用加减消元法求解即可；   先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可． 四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点网格线的交点，，，的坐标分别为，，，． 以点为旋转中心，将旋转得到，画出； 直接写出以，，，为顶点的四边形的面积； 在所给的网格图中确定一个格点，使得射线平分，直接写出两个符合题意的点坐标． 【答案】以点为旋转中心，将旋转得到，如图即为所求；  以，，，为顶点的四边形的面积为  或或或  【解析】解：以点为旋转中心，将旋转得到，如图即为所求； 以，，，为顶点的四边形的面积为；理由如下： 以，，，为顶点的四边形的面积为； 由图可得：点坐标为或或或． 根据旋转的性质作图即可得解； 利用割补法列式计算即可得解； 根据角平分线的定义并结合图形即可得解． 本题考查了作图旋转变换，角平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 20.本小题分 证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直． 【答案】已知如图， 分别平分 且相交于点 ． 求证： ． 证明： ，  ．  分别平分 ，  ，  ，  ．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 21.本小题分 已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ． 求 的取值范围； 在  的条件下，若不等式 的解为 ，请写出符合条件的  的整数值． 【答案】(1)解：由题意可得 ，   得，   ， ∵ ， ∴ ， 解得 ；   (2)解：不等式移项可得，    当 时， ，不符合题意舍去；  时， ，解得 ， 由（1）得 ， ∴符合的k值有 ， ．   【解析】 观察方程两式相减即可得到 ，再根据 代入求解即可得到答案；  分类解出不等式的解集，再根据 求解即可得到答案． 22.本小题分 如图所示，、、、四点在同一条直线上，若，，，求证：≌． 【答案】，，   ，   ，   ，   即，   在和中，   ，   ≌．  【解析】证明：，，  ，  ，  ，  即，  在和中，  ，  ≌． 根据，，可得，根据可得，利用证明≌即可． 此题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明≌是解题的关键． 23.本小题分 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 小明打算在母亲节那天买一束郁金香和满天星组合的鲜花送给妈妈． 素材一 买支郁金香和支满天星共需元． 素材二 支满天星的价格比支郁金香的价格多元． 素材三 小明准备买郁金香和满天星共支，且郁金香不超过支． 请完成下列任务： 任务一：买支郁金香，支满天星分别需要多少元？ 任务二：请你帮小明设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用． 【答案】买支郁金香需要元，买支满天星需要元；   费用最少的买花方案为买郁金香支，满天星支，最少费用为元  【解析】解：设买支郁金香需要元，买支满天星需要元， 买支郁金香和支满天星共需元．支满天星的价格比支郁金香的价格多元．则： 根据题意得， 解得， 答：买支郁金香需要元，买支满天星需要元； 设小明买支郁金香，则买支满天星．买这两种花的总费用为元， 根据题意，得， ， 随的增大而减小， ，且， 当时，取最小值，最小值为， 此时， 答：费用最少的买花方案为买郁金香支，满天星支，最少费用为元． 根据“买支郁金香和支满天星共需元”“支满天星的价格比支郁金香的价格多元”，设未知数并列出二元一次方程组，求解得到两种花的单价； 设购买郁金香的数量为支，根据“郁金香和满天星共支”表示出满天星的数量，结合单价列出总费用的一次函数表达式，根据一次函数的增减性以及“郁金香不超过支”的限制条件，求出费用的最小值及对应的购买方案． 本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 24.本小题分 定义：多项式，，，如果满足 ，为常数时，则称多项式，，为一组和谐多项式．其中是该组和谐多项式的和谐果． 例如：对于多项式 ， ， ，因为 ，所以多项式 ， ， 是一组和谐多项式，是该组和谐多项式的和谐果． 判断多项式 ， ， 是否为一组和谐多项式？若是，请求出该组和谐多项式的和谐果；若不是，请说明理由； 多项式 ， ， 是常数是一组和谐多项式，求，，之间的数量关系； 多项式 ， ， 是常数是一组和谐多项式，请直接写出该组和谐多项式的和谐果的值． 【答案】(1)解： ，  ，  ， 故多项式 ， ， 是一组和谐多项式，和谐果为.   (2)解： ，  ，  多项式 ， ， （a，b，c是常数）是一组和谐多项式， .   (3)解：  多项式 ， ， （d，e是常数）是一组和谐多项式，  ， 解得 ，  ．   【解析】  本题考查了新定义，整式的混合运算的应用，理解题意，熟练计算是解题的关键． 根据和谐多项式的概念，计算即可验证．  根据和谐多项式的概念，列式，可得结果中 和 的系数都为，即可解答．  根据和谐多项式的概念，列式，可得结果中 和 的系数都为，即可解答． 25.本小题分 如图，在中，，，点为线段上一点，连接，过点作，交的延长线于点，且． 尺规作图：过点作的垂线，垂足为点；不写作法，保留作图痕迹 求证：点为的中点． 证明：，， ， ， ______， 在中，， ______， 在与中， ， ≌， ______， ， ， 即点为的中点． 【答案】即为所求作；    【解析】解：如图，即为所求作； 证明：，， ． ， ． 在中，． ． 在与中， ≌． ． ， ， 即点为的中点． 故答案为：，，． 以点为圆心，长为半径画弧与交于两点，分别以这两点为圆心以大于这两点间距离的为半径在两侧画弧相交，连接两侧交点，必定经过点，与相交于点，此时； 根据垂直可得直角，再由等量代换可得，根据角角边的证明方法证明与全等，由此可得，由此可证明． 本题考查作图，掌握过直线外一点作已知直线的垂线是解题的关键． 26.本小题分 整数的简单构成，若干世纪以来一直是数学获得新生的源泉伯克霍夫 请解答下列整数问题： 写出满足的一对正整数和的值：          ． 是否存在正整数和，使得，若存在，求出满足条件的和的值；若不存在，请说明理由． 一个长方体的所有棱长都是整数，记长方体的所有棱长值之和为，所有各面的面积值之和为，体积的值为，已知，则所有可能的的值是          ． 【答案】(1)（答案不唯一）；  (2)解：存在， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴或或， 解得：，，；   (3)40或76或80或84或140  【解析】  本题考查了因式分解的应用，解二元一次方程组等知识点，难度较大，解题的关键是灵活运用因式分解解决问题． 先将原式因式分解为，再根据为正整数，得到，写出符合题意的值即可； 解：， ， 为正整数， 的值可以为： 故答案为：答案不唯一；   将原式因式分解为，再枚举得到组二元一次方程组，再分别求解即可；   设长方体的长、宽、高为，，，，由题意得：，由于，则，而，故得到，再枚举求解即可． 解：设长方体的长、宽、高为，，，， 由题意得： ， ， ， ， ， 或或或或 分别解得：或或或或 或或或或． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年江苏省南京市联合体七年级（下)期末数学练习卷 考试时间：120分钟总分：120分 学校： 姓名： 班级： 考号： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：苏科版7年级下册+八年级上第一章全等三角形 第I卷（选择题18分) 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.每年5月8日是世界微笑日，传递微笑也是传递温暖由图中所示的“微笑表情”平移得到的是() 2.下列计算中，正确的是() A.a4+a4=a8 B.(a42=a8 C.(2a)4=8a4 D.a4.a3=a12 3.如图，图①是一个四边形纸条ABCD,AB/CD,点E在AB上，点F在CD上，将纸条ABCD沿EF折叠得到 图②，再将图沿DF折叠得到图③，若在图③冲，∠FEM=26°，则图③冲LEFC的度数是() B M M 图① 图② 图3 A.52° B.64° C.102° D.128 4.下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是() A.a2+2a-1 B.a2+4 C.a2-1 D.a2-4a+4 5.下列命题中，真命题的个数是() (1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直 (②)从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离 第1页，共8页 (3)三角形的任何一个内角小于与它不相邻的外角 (④过直线外一点有且只有一条直线与己知直线平行 (⑤)两条边相等及一个角相等的两个三角形一定全等 A.2 B.3 C.4 D.5 6.如图，△ABC中，PC平分LACB,点D在AC上，PB=PD,若要求LPCB的度数，则只需知道() B A.∠ABP的度数 B.∠BPD的度数 C.∠CPD的度数 D.∠PBC的度数 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 7.2025年9月，中芯国际开始测试国产浸没式DUV光刻机，标志着中国在28m制程核心设备领域实现里 程碑式进展.已知28m=0.000000028m,将0.000000028用科学记数法表示为· 8.若am=2,a”=5,则am+"的值是一· 9.已知(2a+b)2=14,(2a-b)2=6,则4a2+b2的值是. 10已知关于，)附方程收十》二5的解情足2x-3y=9,测m= A 11.如果不等式3x-m≤0有3个正整数解，则m的取值范围是一 12.命题“对顶角相等”的逆命题是 13.如图，点P是∠AOB外的一点，点M,N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的 对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上.若PM= B 3.5cm,PN=4cm,MN=5cm,则线段QR的长为· R 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AD平分∠BAC,E是AD上一动点（不与A,D重合），EF1AC 于点F.设CE=a,EF=b,BC=c.则下列结论：①a-b>0;②CD=(W2- 1)c;③c-b<√a2-b2;④W2(a+b)≥c.其中正确的结论有.（填写所 D 有结论正确的序号) 第2页，共8页 15.如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=30°，△ADE是直角三角形，∠ADE=90°，∠E=30°，且边AB与AD 重合，将△ADE绕点A以每秒6顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，DE//AC. E C ☑大 B(D 牛≥49 16.若关于x的一元一次不等式组 21 x十2、+，的解集为x≥3，且关于y的分式方程+21有非负整 3 数解，则所有满足条件的整数α的值之和是_ 三、计算题：本大题共2小题，共12分。 17四计第：(-2)3+(-)°+1-3引 (2)化简：x(x-2y)-(x-y)2. 18.解方程（不等式）组： 3x+2y=8 (①)2x-y=3 第3页，共8页 2(x+1)<3x-1 (②x-2>生出 2 四、解答题：本题共8小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.(本小题6分)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系x0y,格点 (网格线的交点)A,B,C,D的坐标分别为(7,8)，(2,8)，(10,4，(5，④. (1)以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A1B1C1,画出△A1B1C1: (2)直接写出以B,C1,B1,C为顶点的四边形的面积； (3)在所给的网格图中确定一个格点E,使得射线AE平分LBAC,直接写出两个符合题意的点E坐标. B .....t 第4页，共8页 20.(本小题6分)证明：两条平行线被第三条直线所截，一对同旁内角的平分线互相垂直. 21.(本小题8分) 已知关于y的=元一次方程组侣-k+3的解满足x-y<0。 (1)求k的取值范围： (2)在(1)的条件下，若不等式(2k+1)x-2k<1的解为x>1,请写出符合条件的k的整数值. 22.(本小题8分) 如图所示，A、D、B、E四点在同一条直线上，若AD=BE,BC=EF,∠E+∠CBE=180°，求证： △ABC≌△DEF B A 第5页，共8页 23.(本小题8分) 请你根据下列素材，完成有关任务 背景 小明打算在母亲节那天买一束郁金香和满天星组合的鲜花送给妈妈. 素材一买1支郁金香和3支满天星共需14元. 素材二3支满天星的价格比4支郁金香的价格多4元. 素材三小明准备买郁金香和满天星共20支，且郁金香不超过12支. 请完成下列任务： (1)任务一：买1支郁金香，1支满天星分别需要多少元？ (2)任务二：请你帮小明设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用. 24.(本小题8分) 定义：多项式A,B,C,如果满足B2一A×C=m,m为常数时，则称多项式A,B,C为一组和谐多项式.其 中m是该组和谐多项式的和谐果。 例如：对于多项式A=x+1,B=x+3,C=x+5,因为B2-A×C=(x+3)2-(x+1)(x+5)=4, 所以多项式x+1,x+3,x+5是一组和谐多项式，4是该组和谐多项式的和谐果， (1)判断多项式A=x+3,B=x-6,C=x-15是否为一组和谐多项式？若是，请求出该组和谐多项式 的和谐果；若不是，请说明理由： (2)多项式A=x+a,B=x+b,C=x+c(a,b,c是常数)是一组和谐多项式，求a,b,c之间的数量关系： (3)多项式A=2x+1,B=4x+5,C=dx+e(d,e是常数)是一组和谐多项式，请直接写出该组和谐多项 式的和谐果m的值， 第6页，共8页 25.(本小题8分) 如图，在Rt△ABC中，LBAC=90°，AB=AC,点F为线段BC上一点，连接AF,过点C作CE1AF,交AF 的延长线于点E,且AE=2CE, (1)尺规作图：过点B作AF的垂线，垂足为点D;(不写作法，保留作图痕迹) (2)求证：点D为AE的中点. 证明：BD⊥AE,CE⊥AF, ∴.∠BDA=∠E=90°， .∠BAC=90°， E ·∠BAD十=90°， 在Rt△ABD中，∠BAD+∠ABD=90°， 在△ABD与△CAE中， (∠BDA=∠E ∠ABD=∠CAE AB=CA .∴△ABD≌△CAE(AAS), .AE=2CE, ·AE=2AD, 即点D为AE的中点. 第7页，共8页 26.(本小题8分) 整数的简单构成，若干世纪以来一直是数学获得新生的源泉一一伯克霍夫 请解答下列整数问题： (1)写出满足m2+2mn+n2=2025的一对正整数m和n的值： (2)是否存在正整数m和n,使得m2=n2-2023,若存在，求出满足条件的m和n的值；若不存在，请说明 理由 (3)一个长方体的所有棱长都是整数，记长方体的所有棱长值之和为L,所有各面的面积值之和为s,体积的 值为v,已知l+s+v=370,则所有可能的v的值是」 第8页，共8页