精品解析：2026年四川省南充市营山县二模数学试题

营山县2026年初中学业水平第二次模拟考试 数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 注意事项：1．答题前将姓名、准考证号等填在答题卡指定位置； 2．所有解答内容均需涂、写在答题卡上； 3．选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂； 4．填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分． 1. 下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，求解即可． 【详解】解：根据中心对称图形的概念可得， 只有D选项的图案是中心对称图形，符合题意． 2. “神威·太湖之光”是我国自主研发的超级计算机，全系统合计约有1065万计算核心，将1065万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：万． 3. 若直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为（ ） A. 5或 B. 1 C. 7 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】分两种情况利用勾股定理计算第三边长即可． 【详解】解：当长为的边是斜边，长为的边是直角边时， 由勾股定理可得：第三边长为； 当长为和的边都是直角边，第三边为斜边时， 由勾股定理得：第三边长为； 综上所述，第三边长为或． 4. 某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是12 B. 中位数是75 C. 众数是21 D. 众数是85 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数与中位数，一组数据中出现次数最多的数叫做众数；把一组数据按大小排列，最中间一个（奇数个数据）或两个（偶数个数据）数据的平均数是中位数，按照这两个概念进行求解即可． 【详解】解：从统计图知，85分出现的次数最多，故众数是85；把分数按大小排列，最中间的两个数是第30与31个数，而，故中位数是；故只有选项D正确； 故选：D． 5. 我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个……．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查根据实际问题列二元一次方程，熟练掌握从实际情境中找出等量关系是解题关键．根据题目中“每 3 个一数，剩余 2 个；每 5 个一数，剩余 3 个”这两个条件，分别找出物体总数与、的等式关系，进而列出方程． 【详解】解：∵每 3 个一数，数了次，剩余 2 个， ∴物体总数可表示为 ． 又∵每 5 个一数，数了次，剩余 3 个， ∴物体总数也可表示为 ． 由于物体总数是固定的， ∴ 故选：A． 6. 如图，用尺规作出了，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：由作法可知：，， ， ． 故选：A． 7. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，得，得到，代入计算解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件，通过分式通分化简求解，用到分式的基本运算性质，将已知条件代入化简即可得到结果． 【详解】解：， ． 9. 如图，在中，，于O，于E，以点O为圆心，为半径作半圆，交于点F，若点F为的中点，，点P是边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作E点关于直线的对称点D，连接，交于点P，连接，，，交于点N，过D点作，交的延长线于点M，根据对称性可得，即当点D、P、F三点共线时，最短，最短为线段的长，根据在中，，可得，证明是等边三角形，即有，即有，，再证明四边形是矩形，即有，，进而有，最后利用勾股定理即可作答． 【详解】作E点关于直线的对称点D，连接，交于点P，连接，，，交于点N，过D点作，交的延长线于点M，如图， ∵E点关于直线的对称点为点D， ∴垂直平分线段， ∴，，， ∴， 即当点D、P、F三点共线时，最短，最短为线段的长，如上图所示， ∵，点F为的中点， ∴， ∵， ∴在中，， ∴，即， ∵在中， ， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查了对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，此类是将军饮马问题，构造出合理的辅助线，是解答本题的关键． 10. 一辆货车从地开往地，一辆小汽车从地开往地，同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（ ） ①两车相遇时，货车离地千米； ②两车相距千米时，或； ③小汽车比货车提前到达目的地； ④小汽车到达目的地时，货车离地千米． A. ①②④ B. ①② C. ②③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数图象与行程问题的关系，求出A、B两地全程距离、货车与小汽车的行驶速度，再结合速度、时间、路程的关系，逐一验证题目中的四个说法是否正确，最终确定正确选项． 【详解】解：设货车速度为千米/小时，小汽车速度为千米/小时． 两车在小时相遇， ． ， 小汽车从B到A用时2小时， 千米/小时， 千米/小时． 两车相遇时，货车行驶路程：千米， 货车离B地距离：千米，故①正确． 相遇前相距80千米：， 解得； 相遇后相距80千米：， 解得，故②正确． 货车到达A地用时：小时， 小汽车到达用时2小时， 小时，即小汽车比货车提前1小时到达，故③错误． 小汽车到达目的地时（），货车行驶路程：千米， 货车离A地100千米，故④错误． 综上，①②正确． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 请将答案填在答题卡对应的横线上． 11. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是绝对值的含义，根据，可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：， ， ； 故答案为：． 12. 如图，某城市人民广场，甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入环岛，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出，则甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意利用列表法列举出所有等可能的结果，再找出甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果数，最后利用概率公式求解即可． 【详解】解：由题意列表如下： 甲\乙 A B C A B C 由表可知，共有种等可能的结果， 其中甲、乙两辆车从同一出口驶出的结果有，，，共种， 甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是． 13. 如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数为_____________． 【答案】65 【解析】 【分析】由是的直径，得，而，则，然后由所对应的圆周角相等即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ， ∴， 又∵所对应的圆周角相等， ∴． 14. 若不等式组的解集是，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集列出关于、的方程，求出、的值，继而代入计算即可． 【详解】解：解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 不等式组的解集为， ，， 解得，， ． 15. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流从增加到时，电阻减小了_______． 【答案】 【解析】 【分析】先由待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行计算即可得到答案． 【详解】解：设， 把代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， 当电流I从增加到时，电阻R减小了． 16. 如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接，则在下列说法中：①；②四边形是正方形；③的大小随着点的运动不断改变；④的值是定值；正确的有_________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，如图，作于M，于N，得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据正方形的判定定理得到矩形是正方形，故②正确；根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，得到是定值，故③错误；根据正方形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得是定值，故④正确． 【详解】解：如图，作于M，于N， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵点E是正方形对角线上的点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形，故②正确； ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵是正方形对角线， ∴，， ∴是定值，故③错误； ∵， ∴， ∴是定值．故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分） 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 4 【解析】 【分析】先分别计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、零指数幂和立方根，再进行加减运算即可． 【详解】 解：       ． 18. 如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得，再根据即可证得结论； （2）结合（1）利用线段的和差即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴． 19. 中国人工智能公司推出的人工智能助手成为全球范围内广泛关注的焦点．某学校为了解学生对的了解程度，随机调查了部分学生，并根据收集到的信息绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．根据图中信息，回答下列问题： （1）接受随机调查的学生人数_____人，条形统计图中的值为_____； （2）如果该校共有学生2000人，根据上述调查结果，求该校学生中对达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数大约是多少； （3）达到“非常了解”程度的学生是2名男生和2名女生，若从这4名学生中随机抽取2人调查具体的使用情况，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）50，7 （2）1320人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频数除以所占百分比等于样本容量，各频数之和等于样本容量计算即可； （2）利用样本估计总体的思想，计算解答即可； （3）画树状图，求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得（人）， （人）． 【小问2详解】 解：该校学生中对达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数大约是（人） 答：该校学生中对达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数大约是1320人． 【小问3详解】 解：根据题意，有女生2名，男生2名． 画树状图如图，共有12种等可能情况，一男一女的可能性有8种， 故一男一女的概率是． 20. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式进行证明即可； （2）根据韦达定理求出，再由进行计算即可． 【小问1详解】 证明：， ， 方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：由题意可得：， ， ， 解得或． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，与轴相交于点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）若点与点关于轴对称，求的面积． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 （2）8 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）求出点，利用三角形面积公式求解． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 解得， ∴反比例函数的表达式为； 将代入得， ， 解得， ∴， 将和代入得， ，解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，是的直径，点在上，，点在上，连接，过点作的平行线，交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，得到，再结合平行线的性质得，根据是半径，即可得出结论． （2）连接，过点作交延长线于点，可得，再分别解求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ，为直径， ∴， ∴ ， ∵ ∴． 又是的半径， 为的切线． 【小问2详解】 解：连接，过点作交延长线于点， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，而， ∵， ∴由勾股定理得，， ∴， 解得（舍负）， ∴， ∴． 23. 根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素 材 1 某学校在校园内建成了一处劳动实践基地，2026年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素 材 2 甲种蔬菜种植总成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的每平方米种植成本为36元． 问题解决： （1）任务1：确定函数关系，求甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式 （2）任务2：设计种植方案，设2026年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？并求出W的最小值 （3）任务3：改进种植方案，经过技术改进，乙种蔬菜的成本每平方米减少a元（a是常数且），问此时x取何值时总费用最少？最少总费用是多少？（可以用含a的代数式表示） 【答案】（1） （2）种植甲种蔬菜，乙种蔬菜，W最小，W的最小值为3820元 （3）当时，总费用最少，最少费用元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可得甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式； （2）依据题意，求出，再根据一次函数性质可得答案； （3）依据题意，求出，再根据a的范围结合一次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：设甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式为， 根据函数图象可得：， 解得：， ∴甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式为． 【小问2详解】 解：根据题意得：， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∴当时，W取最小值，最小值为（元）， ∴种植甲种蔬菜，乙种蔬菜，W最小，W的最小值为3820元． 【小问3详解】 解：根据题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴当时，W最小，最小值为：， ∴当时，总费用最少，最少费用元． 24. 【经典再现】 人教（2013年版）八年级数学下册教科书69页14题，原文如下：如图1，四边形是正方形，是边的中点，且交正方形外角的平分线于点． 求证：．（提示：取的中点，连接．） （1）请你写出证明过程； 【类比探究】 （2）将图1中的“四边形是正方形”换成“四边形是矩形，且”，其它条件不变（如图2所示）．猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 【综合应用】 （3）将图2中“”换成“”，其它条件不变，增加条件“为边上一点，，”（如图3所示）．请你直接写出的长． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，如图1所示，由正方形性质、中点定义、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线定义得到相关角度与线段关系，再由两个三角形全等的判定与性质即可得证； （2）在上截取，连接，如图2所示，不妨设，则，由得，，同（1）得到，再由三角形相似的判定与性质即可得证； （3）延长，交于点，作，交延长线于，交的延长线与，作于，如图所示，可设，则，可证得，从而，可证得，从而得出，，由（2），同理可得，则，从而得出，从而，根据勾股定理得到，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：（1）取的中点，连接，如图1所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵是的中点， ∴， 在中，，，则， 是正方形外角的平分线， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ； （2）， 证明如下： 在上截取，连接，如图2所示： ∵是的中点， ， 不妨设，则， ， ，则， 由（1），同理可得， ∴， ∴，即与的数量关系是； （3）在上截取，连接，延长，交于点，作，交延长线于，交的延长线与，作于，如图所示： ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∵， ∴可设，则， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1），同理可得， ∵， ∴， ， ，， ， ， ∴， ∴， ∴， 由（2），同理可得，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 在中，由勾股定理可得，则， ，解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查四边形综合，难度较大，涉及正方形的性质、中点定义、角平分线定义、等腰直角三角形的判定与性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形及相似三角形． 25. 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的取值范围； （3）已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图像上，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）过点作轴交于，过点作轴交于，利用待定系数法可得到直线的解析式为，设，且，则，由，得，可得，即取最大值，结合，即可求得答案； （3）当点绕着点顺时针旋转得到点时，过点作轴于点，过点作轴于点，可证得，得出，，设点，则，，可得；当点绕着点逆时针旋转得到点时，则，代入抛物线解析式即可求得答案． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为， 将点的坐标代入上式得：， 解得， 故抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 如图，过点作轴交于，过点作轴交于， 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 设，且，则， ， 将代入，得到 ， ，， 轴，轴， ， ， ， ， 当时，取得最大值， ， ， 的最大值为， ； 【小问3详解】 当点绕着点顺时针旋转得到点时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ，， ， ， ， ， ，， 点在直线：上，设点， 则，， ，， 点的坐标为， 点在抛物线上，代入抛物线解析式得：， 解得：，， 点的坐标为或 当点绕着点逆时针旋转得到点时， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 同理可得点的坐标为 点在抛物线上，代入抛物线解析式得：， 解得：，， 点的坐标为或； 综上所述点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式，同角的余角相等,全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 营山县2026年初中学业水平第二次模拟考试 数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 注意事项：1．答题前将姓名、准考证号等填在答题卡指定位置； 2．所有解答内容均需涂、写在答题卡上； 3．选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂； 4．填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分． 1. 下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “神威·太湖之光”是我国自主研发的超级计算机，全系统合计约有1065万计算核心，将1065万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为（ ） A. 5或 B. 1 C. 7 D. 25 4. 某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是12 B. 中位数是75 C. 众数是21 D. 众数是85 5. 我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个……．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（ ） A. B. C D. 6. 如图，用尺规作出了，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 7. 小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知与交于点O，．若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，于O，于E，以点O为圆心，为半径作半圆，交于点F，若点F为的中点，，点P是边上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 一辆货车从地开往地，一辆小汽车从地开往地，同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（ ） ①两车相遇时，货车离地千米； ②两车相距千米时，或； ③小汽车比货车提前到达目地； ④小汽车到达目的地时，货车离地千米． A. ①②④ B. ①② C. ②③④ D. ①④ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 请将答案填在答题卡对应的横线上． 11. 如果，那么______． 12. 如图，某城市人民广场，甲、乙两辆车从人民大街由南向北驶入环岛，它们各自从A、B、C三个出口中随机选择一个出口驶出，则甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率是_________． 13. 如图，是的直径，点C，D在上，，则的度数为_____________． 14. 若不等式组的解集是，则______． 15. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流从增加到时，电阻减小了_______． 16. 如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接，则在下列说法中：①；②四边形是正方形；③的大小随着点的运动不断改变；④的值是定值；正确的有_________． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分） 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 中国人工智能公司推出的人工智能助手成为全球范围内广泛关注的焦点．某学校为了解学生对的了解程度，随机调查了部分学生，并根据收集到的信息绘制了图1和图2两幅不完整的统计图．根据图中信息，回答下列问题： （1）接受随机调查的学生人数_____人，条形统计图中的值为_____； （2）如果该校共有学生2000人，根据上述调查结果，求该校学生中对达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数大约是多少； （3）达到“非常了解”程度的学生是2名男生和2名女生，若从这4名学生中随机抽取2人调查具体的使用情况，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 20. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个实数根为，，且，求的值． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，与轴相交于点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）若点与点关于轴对称，求的面积． 22. 如图，是的直径，点在上，，点在上，连接，过点作的平行线，交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 23. 根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素 材 1 某学校在校园内建成了一处劳动实践基地，2026年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素 材 2 甲种蔬菜种植总成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的每平方米种植成本为36元． 问题解决： （1）任务1：确定函数关系，求甲种蔬菜种植总成本y与其种植面积x的函数关系式 （2）任务2：设计种植方案，设2026年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？并求出W的最小值 （3）任务3：改进种植方案，经过技术改进，乙种蔬菜的成本每平方米减少a元（a是常数且），问此时x取何值时总费用最少？最少总费用是多少？（可以用含a的代数式表示） 24. 【经典再现】 人教（2013年版）八年级数学下册教科书69页14题，原文如下：如图1，四边形是正方形，是边的中点，且交正方形外角的平分线于点． 求证：．（提示：取的中点，连接．） （1）请你写出证明过程； 类比探究】 （2）将图1中“四边形是正方形”换成“四边形是矩形，且”，其它条件不变（如图2所示）．猜想与的数量关系，并证明你的猜想； 【综合应用】 （3）将图2中“”换成“”，其它条件不变，增加条件“为边上一点，，”（如图3所示）．请你直接写出的长． 25. 如图，已知抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点，若，求的取值范围； （3）已知是直线上一动点，将点绕着点旋转得到点，若点恰好落在二次函数的图像上，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $