精品解析：2025年四川省南充市营山县中考数学第二次模拟考试题

2025年初中学业水平第二次模拟考试 数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前将姓名、准考证号等填在答题卡指定位置． 2．所有解答内容均需涂、写在答题卡上． 3．选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂． 4．填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 如图，数轴上点所对应的数分别是0，1，2，3，4．若点 对应的数是，则点 落在（ ） A. 点 和点 之间 B. 点 和点 之间 C. 点 和点 之间 D. 点 和点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，先估算出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴若点 对应的数是，则点 落在点 和点 之间， 故选：C． 2. 珠海市举办了第36届“青少年艺术花会”比赛．已知某节目的礼仪服装、语言表达这两项的得分分别为90分和80分，若依次按照， 的百分比确定成绩，则该节目的成绩是（ ） A. 81分 B. 82分 C. 83分 D. 84分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算公式计算即可． 【详解】解：该节目的成绩是：（分）． 故选：C 3. 如图，直角三角板的直角顶点 在直线 上，且直线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，由可得，进而由平行线的性质得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选： ． 4. 下列整式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的相关运算法则对选项进行判断即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能相加，故原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的加法、整式的除法、积的乘方以及同底数幂乘法等知识点，熟练掌握整式的相关运算法则是解本题的关键． 5. 如图，在中，，， 为 的垂直平分线，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含 度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，先利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，进而可得，利用含度 角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵ 为 的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸：瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少？（注：）设两蔓相遇时瓜蔓的长度为 寸，葫芦蔓的长度为 寸，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是行程问题中的相遇，读懂题意，找出数量关系，列出二元一次方程组是解答关键． 设两蔓相遇时瓜蔓的长度为 寸，葫芦蔓的长度为 寸，根据两蔓相遇时，它们的长度之和等于高度寸，两蔓生长天数相同来列出方程求解． 【详解】解： 1尺寸， 高9尺就是寸， 所以． 故选：D． 7. 已知不等式组无解，则 的取值范围是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先分别求出不等式组中两个不等式得解集，再根据不等式组无解进行求解即可． 【详解】解： 解不等式①得： ， 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴， 故选：B． 8. 如图，在 中，，以点B为圆心任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O，连接 ，并延长交 于点D，若，则 的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证，再证，得则，则点D是 的黄金分割点，求出的长，即可求解． 【详解】解：， ， 由题意得： 平分， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D是 的黄金分割点，， ，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了黄金分割、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 9. 当时，一次函数最大值4，则实数m的值为（ ） A. 或0 B. 0或1 C. 或 D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当时和当，根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：当即时，一次函数y随x的增大而增大， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 当即时，一次函数y随x的增大而减小， ∴当时，， 即， 整理得： 解得：或（舍去） 综上，或， 故选：A． 10. 如图，正方形的边长为 ，点 在边 上运动（不与点A， 重合），，点 在射线 上，且， 与相交于点 ，点 在 ，且，连接 ， ，，．则下列结论：①；②的周长为 ；③；④的面积的最大值是；⑤当时， 是线段的中点．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②④⑤ C. ①③④ D. ①④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】证明故可判断①正确；设，则，可得，利用二次函数性质可判断④正确；延长到I，使得，则，再证明，进而由的周长，故②错误；由，可得，即可判断③错误；设，则， 由，得当时， 的面积的最大值为．可判断④正确； 当时，，，设，则，，在中，由勾股定理可得，即得G是线段的中点，即可判断⑤正确． 【详解】解：∵正方形中，，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确，  如图，延长到I，使得， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，   ∴的周长 ， 故②错误； ∵， ∴， 故③错误，  设，则， ∴ ， ∵， ∴时， 的面积的最大值为． 故④正确； 当时，，， 设， 则，， 在中， 有， 解得， ∴， 即G是线段的中点， 故⑤正确， 综上，正确的结论是①④⑤． 故选：D． 【点睛】本题考查正方形与三角形综合．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用、勾股定理，添加合适的辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应题号的横线上． 11. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，利用同底数幂的除法法则进行运算即可求出答案． 【详解】解：， 故答案为：1． 12. 若一组数据3，x，4，2的众数和中位数相等，则x的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由一组数据3，x，4，2有众数，可得或 或 再分类讨论即可得到答案. 【详解】解： 一组数据3，x，4，2有众数， 或 或 当时，则数据为： 此时中位数为 众数为2，不合题意，舍去， 当时，则数据为： 此时中位数为 众数为3，符合题意， 当时，则数据为： 此时中位数为 众数为4，不符合题意，舍去， 综上： 故答案为： 【点睛】本题考查的是中位数与众数的含义，有清晰的分类讨论思想是解题的关键. 13. 如图， 是 的直径，点 ， 是 上位于直径 两侧的点，连接 ， ，且，则______度． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，由圆周角定理得出，再根据得出，进而即可求出答案． 【详解】解：连接， 是 的直径， ， 又 ， ， ， 故答案为：45． 14. 设 是方程的一个实数根，则的值为______． 【答案】4050 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，根据方程的解满足方程得到，进而代值求解即可． 【详解】解：∵ 是方程的一个实数根， ∴，则， ∴， 故答案为：4050． 15. 如图，已知长方形，，E为 边上一点，将 沿直线 折叠后，点B落在点F处，的角平分线 交于点G，延长交 边于点H，则的长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点 作，证明，得到，设，求出的长，根据，列出方程求出 的值，根据平行线分线段成比例，得到，求出 的长，过点 作，设，证明，求出的长，再用求出的长即可． 【详解】解：∵长方形，， ∴，， ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， ∵将 沿直线 折叠后，点B落在点F处， ∴， 过点 作， 则：，四边形为长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴， ，过点 作，设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于填空题中的压轴题，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊三角形和相似三角形，是解题的关键． 16. 抛物线交 轴于点和，交 轴于点 ，顶点为点 ，将其向左平移一个单位长度后图象关于 轴对称．下列四个命题，其中真命题的序号是_________； ①； ②对于任意实数，总有； ③抛物线上有两点和，若，且，则； ④点 关于抛物线对称轴的对称点为 ，点分别在 轴和 轴上，当时，四边形周长的最小值为． 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质、轴对称最短路径等内容．由抛物线与x轴两交点关于对称轴对称即可判断①；由题易得抛物线关于直线 对称，所以当 有最大值，对于任意实数t，，当 时取等，即可判断②；根据，且，可以得到点Q距离对称轴更远，因此再根据开口方向即可判断出③；先求出抛物线解析式，再求出D和E坐标，进而画出图形，作对称，根据两点距离公式求解即可判断④． 【详解】解：∵将抛物线向左平移一个单位长度后图象关于y轴对称， ∴平移后的交点和关于y轴对称， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵将抛物线向左平移一个单位长度后图象关于y轴对称， ∴抛物线关于直线 对称， ∴当 时，y有最大值，即， ∴对于任意实数t，， ∴， 故②错误，不符合题意； ∵， ∴点P和点Q在对称轴两侧，即点P在对称轴左侧，点Q在对称轴右侧， ∵， ∴， ∴点Q距离对称轴更远， ∵开口向下， ∴， 故③正确，符合题意； ∵抛物线关于直线 对称， ∴， ∴， 当时，抛物线解析式为， ∴，， ∵点C和点E关于对称轴对称， ∴， ∴， 如图，作点D关于y轴对称点，作点E关于x轴对称点，则，， ∴， 四边形周长， 当四点共线时，， 此时四边形周长有最小值为， 故④错误，不符合题意； 综上，真命题的有①③， 故答案为：①③． 三、解答题（共86分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4 【解析】 【分析】先根据多项式除以单项式的计算法则和平方差公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，熟知整式的混合计算法则是解题的关键． 18. 如图，点在同一条直线上，． （1）求证： ； （2）若，求 的长． 【答案】（1） 证明：∵． ∴ ∵ ∴； （2）3 【解析】 【分析】此题考查平行线的性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据平行线的性质得到，由此根据证明三角形全等； （2）根据三角形的全等的性质得到，由此求出 的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 19. 为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）． 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）获奖总人数为__________人，__________，A所对的圆心角度数是__________ ； （2）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）40，30，36 （2） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率： （1） 的人数除以所占的比例求出总人数，利用条形图中的数据求出 的人数，再除以总人数求出 的值，360度乘以 的人数所占的比例求出圆心角的度数即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：获奖总人数为（人）， ，即； A所对的圆心角度数； 故答案为：40，30，36 【小问2详解】 画树状图为： 共有12种等可能的结果，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的结果数为6， 所以抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 20. 已知关于 的一元二次方程． （1）求证：无论 为何值时，方程总有两个不相等实数根； （2）若方程的两个根为，，且满足，求 的值． 【答案】（1） 证明： ， ，， ，  ， ， ，  ， ， ， 无论 为何值时，方程总有两个不相等实数根． （2）或1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式与根与系数的关系． （1）计算判别式的值，再利用配方法得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）根据根与系数的关系得到，，而，然后解关于 的方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得， ， ， ， ， 解得： ， 或1． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图像交于点C．已知点A坐标为，点C坐标为． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）点D在线段 上，过点D且平行于x轴的直线交 于点E，交反比例函数图像于点F．当时，求点F的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像与一次函数图像的交点问题，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）设，则，证明，列出比例式求出的值，进而求出点 的纵坐标，代入反比例函数解析式，进行求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ∴反比例函数的表达式为 将点和点分别代入， 得 解得 故一次函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，， ∴， ∴ ∵， ∴， 设，则． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，故点． ∴ 的纵坐标为， 将代入，得， ∴点． 22. 如图， 是 的直径， 为 上的一点，的平分线交 于点 ，过点 的直线交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ． 且． （1）求证：为 的切线； （2）若，，求 的半径及 的长． 【答案】（1） 证明：连接 ， 平分， ， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， 是半径， 是 的切线； （2）半径是3， 的长为4 【解析】 【分析】（1）欲证明是 的切线，只要证明即可； （2）设，证明，可得，推出，利用相似三角形性质求出 即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接 ，设， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， ． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的判定，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会有添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考压轴题． 23. “五一”黄金周期间，丹尼斯百货计划购进A、B两种商品．已知购进3件A商品和2件B商品，需1200元；购进2件A商品和3件B商品，需1300元． （1）A、B两种商品的进货单价分别是多少？ （2）设A商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当时，A商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x（元/件） 220 380 日销售量y（件） 180 20 请写出当时，y与x之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，设A商品的日销售利润为w元，当A商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）A、B两种商品的进货单价分别是200元/件、300元/件 （2） （3）A商品的销售单价定为300元/件时，日销售利润最大，最大利润是10000元 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，然后列出二元一次方程组并求解即可； （2）设y与x之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （3）先列出利润和销售量的函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设A、B两种商品的进货单价分别是a、b元/件， 由题意得：， 解得：， ∴A、B两种商品的进货单价分别是200元/件、300元/件； 【小问2详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：由题意得： ， ∴当时，w取得最大值10000， ∴当A商品的销售单价定为300元/件时，日销售利润最大，最大利润是10000元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、运用待定系数法则求函数解析式以及二次函数的性质求最值等知识点，弄懂题意、列出方程组或函数解析式是解答本题的关键． 24. 如图，在正方形中，连接 ，点 是边 上一点（不与 、 重合），将绕点 顺时针旋转90°得到 ，连接 ，分别交 、 于点 、 ． （1）求证：； （2）求证：； （3）如图2，当点 是边 的中点时，求的值． 【答案】（1）证明： 四边形是正方形， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ． （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）证明，可得，即可解决问题． （3）如图2中，设正方形的边长为 ．用含 的式子表示 ，，，证明，列出比例式，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设正方形的边长为 ． ∵绕点A顺时针旋转90°得到 ， ∴，， ∵ ， ∴， ∴ ， ， 共线， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转变换，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 25. 已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴负半轴交于点A． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图，若直线 下方的抛物线上有一动点P，过点P作y轴平行线交 于点F，过点P作 的垂线，垂足为E，求周长的最大值； （3）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点M，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，直接写出出点M坐标及定值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，为定值4． 【解析】 【分析】（1）把点，点代入，得出关于 、 的二元一次方程组，解方程组求出 、 的值，即可得解； （2）根据抛物线解析式求出点，利用待定系数法求出直线 解析式为，根据轴，，以及，，得到为等腰直角三角形，继而得到，设，则，，根据动点P在直线 下方的抛物线上得，求得，进而得到周长为，利用二次函数的性质求出最大值即可； （3）根据平移规律得出新的抛物线解析式为，设直线的解析式为，点，点，则，联立新抛物线与直线的解析式得，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，结合两点间的距离公式，进而得到，根据为定值，求出 值及定值即可． 【小问1详解】 解： 抛物线与x轴交于点和点， ， 解得， 该抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解： 抛物线的函数表达式为， 当，， ， ，又， ， 轴， ， 又， 为等腰直角三角形， ， 设直线 解析式为，将，代入，则 ， 解得， 直线 解析式为， 设，由于动点P在直线 下方的抛物线上， ， 轴， ， 在直线 上， ， ， 周长为 ， 当时，周长最大值为． 【小问3详解】 解：将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线为，即， 设直线的解析式为，点，点，则， 联立新抛物线与直线的解析式得： ， ， ，， ， 同理可得，， ， 为定值， ， 解得， 当时，， 存在点，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值4． 【点睛】本题考查二次函数的综合，待定系数法求函数解析式、二次函数图像的平移、求二次函数的最大值、一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，等腰三角形的性质，两点间的距离公式，熟练掌握相关的性质及规律是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平第二次模拟考试 数学试卷 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前将姓名、准考证号等填在答题卡指定位置． 2．所有解答内容均需涂、写在答题卡上． 3．选择题须用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂． 4．填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5毫米黑色字迹笔书写． 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 如图，数轴上点所对应的数分别是0，1，2，3，4．若点 对应的数是，则点 落在（ ） A. 点 和点 之间 B. 点 和点 之间 C. 点 和点 之间 D. 点 和点 2. 珠海市举办了第36届“青少年艺术花会”比赛．已知某节目的礼仪服装、语言表达这两项的得分分别为90分和80分，若依次按照， 的百分比确定成绩，则该节目的成绩是（ ） A. 81分 B. 82分 C. 83分 D. 84分 3. 如图，直角三角板的直角顶点 在直线 上，且直线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列整式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在 中，，， 为 的垂直平分线，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 6. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸：瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？瓜、瓠各长几何？大意是：已知墙高9尺，长在墙头的瓜蔓每天向下长7寸；同时，长在墙下的葫芦每天向上长1尺，问经过多少天两蔓相遇，此时瓜蔓、葫芦蔓的长度各为多少？（注：）设两蔓相遇时瓜蔓的长度为 寸，葫芦蔓的长度为 寸，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知不等式组无解，则 的取值范围是　　 A. B. C. D. 8. 如图，在中，，以点B为圆心任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点O，连接 ，并延长交 于点D，若，则 的长为（　　） A. B. C. D. 9. 当时，一次函数最大值4，则实数m的值为（ ） A. 或0 B. 0或1 C. 或 D. 或1 10. 如图，正方形 的边长为 ，点 在边 上运动（不与点A， 重合），，点 在射线 上，且， 与 相交于点 ，点 在 ，且，连接， ，，．则下列结论：①；②的周长为 ；③；④的面积的最大值是；⑤当时， 是线段 的中点．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②④⑤ C. ①③④ D. ①④⑤ 二、填空题（每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应题号的横线上． 11. 计算：______． 12. 若一组数据3，x，4，2的众数和中位数相等，则x的值为________． 13. 如图， 是 的直径，点 ， 是 上位于直径 两侧的点，连接 ， ，且，则______度． 14. 设 是方程的一个实数根，则的值为______． 15. 如图，已知长方形 ，，E为 边上一点，将 沿直线 折叠后，点B落在点F处，的角平分线 交于点G，延长交 边于点H，则的长是__________． 16. 抛物线交 轴于点和，交 轴于点 ，顶点为点 ，将其向左平移一个单位长度后图象关于 轴对称．下列四个命题，其中真命题的序号是_________； ①； ②对于任意实数 ，总有； ③抛物线上有两点和，若，且，则； ④点 关于抛物线对称轴的对称点为 ，点分别在 轴和 轴上，当时，四边形周长的最小值为． 三、解答题（共86分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，点在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求 的长． 19. 为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”）． 请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）获奖总人数为__________人，__________，A所对的圆心角度数是__________ ； （2）学校将从获得一等奖的4名同学（其中有一名男生，三名女生）中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 20. 已知关于 的一元二次方程． （1）求证：无论 为何值时，方程总有两个不相等实数根； （2）若方程的两个根为，，且满足，求 的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图像交于点C．已知点A坐标为，点C坐标为． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）点D在线段 上，过点D且平行于x轴的直线交 于点E，交反比例函数图像于点F．当时，求点F的坐标． 22. 如图， 是 的直径， 为 上的一点，的平分线交 于点 ，过点 的直线交 的延长线于点 ，交 的延长线于点 ． 且． （1）求证： 为 的切线； （2）若，，求 的半径及 的长． 23. “五一”黄金周期间，丹尼斯百货计划购进A、B两种商品．已知购进3件A商品和2件B商品，需1200元；购进2件A商品和3件B商品，需1300元． （1）A、B两种商品的进货单价分别是多少？ （2）设A商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当时，A商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表： 销售单价x（元/件） 220 380 日销售量y（件） 180 20 请写出当时，y与x之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，设A商品的日销售利润为w元，当A商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 24. 如图，在正方形 中，连接 ，点 是边 上一点（不与 、 重合），将 绕点 顺时针旋转90°得到，连接 ，分别交 、 于点 、 ． （1）求证：； （2）求证：； （3）如图2，当点 是边 的中点时，求的值． 25. 已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴负半轴交于点A． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图，若直线 下方的抛物线上有一动点P，过点P作y轴平行线交 于点F，过点P作 的垂线，垂足为E，求周长的最大值； （3）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点M，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有为定值？若存在，直接写出出点M坐标及定值，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $