第二十章 勾股定理 章末小结与复习课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

该初中数学课件系统梳理了勾股定理的核心内容，包括定义、几何语言、变形式、赵爽弦图证明及逆定理，通过内容导览图串联知识，典型例题按已知条件分类，构建从基础到应用的逻辑脉络。 其亮点在于采用“问题情境-模型构建-拓展应用”策略，如通过两人行走距离、帐篷布料计算等实际问题培养模型意识和应用意识，分层练习覆盖基础题到综合题，助力教师精准教学，提升学生知识巩固效果。

章末复习 第二十章勾股定理 1 内容导览图 一.勾股定理 1.文字描述： 在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。 2.几何语言： 如图。若直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边是c，则有： a2+b2=c2. 变形式： c2=a2+b2;a2=c2−b2;b2=c2−a2. 【题型1】利用勾股定理求直角三角形的第三边 1.已知一个直角三角形的两条直角边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长为( ) A.3 B.4 C.5 D. 2.在△ABC中, ∠C=90°, AB=6, BC=2,则AC²的值为( ) A.4 B.16 C.32 D.40 3.已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边的长是( ) A.10 B.10或 C. D.或 D D B 【题型2】利用勾股定理求其他线段的长度 4.如图,在△ABC中, ∠C=90°,点D在边 BC上, AD=BD, DE平分∠ADB交AB于点E.若AC=6,BC=8,则AE的长是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 C 5.如图，△ABC的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则BC边上的高等于( ) A. B. C.2 D. 2 B 6.如图,在△ABC中, ∠ACB=90°, AD交 BC于点 D, ∠ADC=70°, ∠ABC=50°,过点 B作 BE⊥AD,垂足为 E, AE=12, BE=5,延长BE交AC的延长线于点 H,则BC=_______. 例1 在Rt△ABC中，已知两直角边分别是5和12，则第三边长度为______. 例2 若直角三角形的两边的长分别为 和2，则该直角三角形第三边长为________. 13 1或 ①已知两边，求第三边 典型例题 例3 直接求出下图中x、y和z的值. 2 x y 1 4 z 90° 90° 90° 45° 30° 60° 2 2 2 ②已知一边及一个特殊角 例4 如图，在Rt△ABC中，已知AB长度为6，BC-AC=2，求AC的长度. B A C 解：设AC的长度为x，则BC的长度为(x+2). 在Rt△ABC中，由勾股定理，得： 62+x2=(x+2)2 解得 x=8 即AC的长度为8. ③已知一边及另外两边的数量关系 6 x+2 x 二.勾股定理的证明 赵爽弦图 S大正方形=c2 =(b-a)2+4× ab 化简结果，得c2=a2+b2. 数学思想： 数形结合思想 特殊到一般的思想 转化思想 分类讨论思想 a b c 【题型1】判断可以证明勾股定理的图形 7.我国是最早了解勾股定理的国家之一，勾股定理的证明方法也十分丰富.下面图形能证明 a2+b2=c2的是 ( ). A . ①② B . ①③ C . ②③ D . ②④ C 1.有一个内角为直角的三角形是直角三角形. 2.两个内角互余的三角形是直角三角形. 3.如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. A C B b a c 勾股定理的逆定理 几何语言：∵a2+b2=c2， ∴△ABC是直角三角形. 三.勾股定理的逆定理 例5 试判断下列边长组成的三角形是否为直角三角形： （1）a=2，b=3，c=4； （2）a=6，b=8，c=10； （3）a=5，b=13，c=17. 22+32≠42，不是直角三角形. 62+82=102，是直角三角形. 52+132≠172，不是直角三角形. 像这样，能成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数. 典型例题 巩固练习 1. 如图，点 D 在 Rt△ABC 的边 AB 上，AD = 8，DB = 2， CD = 17. 求 AC 和 BC 的长. 17 8 2 解：在 Rt△ACD 中，由勾股定理， AC = = = 15. 因为AD = 8，DB = 2，所以AB = 10. 在 Rt△ABC 中，由勾股定理， BC = = =. 2. 两人从同一地点同时出发，一人以 20 m/min 的速度向北直行， 另一人以 30 m/min 的速度向东直行. 10 min 后他们相距多远 （结果取整数）？ 解：如图，设两人从 C点出发，10 min 后分别到达 A，B 两点，连接 AB. 依据题意，∠C = 90°，AC = 10× 20 = 200（m），BC =10×30 = 300（m）. 在Rt△ABC 中，由勾股定理， AB = = 361 所以10 min 后他们相距约 361 m. 3. 如图，过圆锥的顶点 P 和底面圆的圆心 O 的平面截圆锥得截面 △PAB，其中 PA = PB，AB 是圆锥底面圆 O 的直径. 已知 PA = 7 ， AB = 4 ，求截面△PAB 的面积. 解：根据题意，PA = PB，OA = OB = AB. 所以PO ⊥ AB. 所以 S△PAB = = 由勾股定理， PO = = 所以截面△PAB 的面积为 . 4. 如图，帐篷的长 l = 2.6 m，其横截面是一个底边长 a = 2 m， 高 h = 1.8 m 的等腰三角形. 制作此帐篷（不包含底面）至少 需要用多少平方米布料（结果保留小数点后一位）？ 2 个横截面面积 + 2 个侧面面积. 解：设等腰三角形的腰长为 b. 由勾股定理，h2 += b2 ， 所以 b = = ah + 2bl = 2 = ≈ 14.3 答：制作此帐篷（不包含底面）至少需要用约 14.3 m2 布料. 5. 如图，每个小正方形的边长都为 1. （1）求四边形 ABCD 的面积和周长. （2）∠BCD 是直角吗？请说明理由. 解:（1）由勾股定理，BC = =， CD = =， AD = =， AB = =， 所以四边形 ABCD 的周长为 AB + BC + CD + AD = + +3. A B C D 如图，沿格线过 A，B，C 三点作正方形 AEFG，过点 D 作 DH ⊥ AG 于点 H. 5. 如图，每个小正方形的边长都为 1. （1）求四边形 ABCD 的面积和周长. （2）∠BCD 是直角吗？请说明理由. 所以S四边形ABCD = S正方形AEFG－S△BCF－S△ABE－S△ADH－S梯形CDHG = = A B C D H E F G A B C D H E F G 5. 如图，每个小正方形的边长都为 1. （1）求四边形 ABCD 的面积和周长. （2）∠BCD 是直角吗？请说明理由. （2）∠BCD 是直角. 理由如下： 如图，连接 BD， 由勾股定理，BD = = 5. 由（1）知 CD = ，BC = ， 因此在△BCD 中，BD2 = 25，CD2 + BC2 =()2 + ()2 = 25， 所以BD2 = CD2 + BC2，所以△BCD 是直角三角形，且∠BCD 是直角. 6. 如图，在三角形支架中，AD ⊥ BC，垂足为 D，AB = 2 m， AC = 1.5 m，DC = 0.9 m. （1）求 BD 的长； （2）判断支架外框 △ABC 的形状，并说明理由. 解:（1）在 Rt△ACD 中，由勾股定理， AD2 = AC2－DC2 = 1.52－0.92 = 1.44. 在 Rt△ABD 中，由勾股定理， BD = = = 1.6 . 6. 如图，在三角形支架中，AD ⊥ BC，垂足为 D，AB = 2 m， AC = 1.5 m，DC = 0.9 m. （1）求 BD 的长； （2）判断支架外框 △ABC 的形状，并说明理由. （2）支架外框 ABC 是直角三角形. 理由如下： ∵BD = 1.6 m，DC = 0.9 m，∴BC = 2.5 m. ∵AB2 + AC2 = 22 + 1.52 = 6.25，BC2 = 2.52 = 6.25， ∴AB2 + AC2 = BC2，∴支架外框 ABC 是直角三角形. 7. 如图，一根竹子高 1 丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端 3 尺处. 折断处离地面的高度是多少？（此题出自《九章算术》，其中的 丈、尺是长度单位，1 丈= 10 尺.） 解：折断的竹子与地面上所在的线段构成直角三角形， 设折断处离地面的高度为 x 尺. 根据勾股定理可得方程：x2 + 32 = (10－x)2. 解这个方程，得 x = 4.55. ∴折断处离地面的高度为 4.55 尺. 8. 古希腊哲学家柏拉图曾指出，如果 m 表示大于 1 的整数， a = 2m，b = m2－1，c = m2 + 1，那么 a，b，c 为勾股数. 你认为这种说法正确吗？如果正确，请给出证明，并利用 这个结论写出一些勾股数. 解：正确. 证明： ∵a2 = (2m)2 = 4m2，b2 = (m2－1)2 = m4－2m2 + 1， c2 = (m2 + 1)2 = m4 + 2m2 + 1， a2 + b2 = 4m2 + m4－2m2 + 1 = m4 + 2m2 + 1 = c2 . 又易知 a，b，c 都是正整数， ∴a，b，c 为勾股数. 例：20，99，101；10，24，26. 9. 如图，一个长方形由 5 个边长为 1 的正方形组成， 请把它分割后拼接成一个大正方形. 解：分割小正方形，如图①，拼接大正方形，如图②. ① ② 10. 一根 70 cm 长的木棒，要放在长、宽、高分别是 50 cm，40 cm， 30 cm 的长方体木箱中，能放进去吗？（提示：长方体的高垂直 于底面的任何一条直线.） 分析：如图，连接 DC，AC 构建直角三角形，由勾股定理求出对角线 DC 的长. 解：如图，长方体木箱能放进木棒的最大长度应为对角线 DC 的长. 连接 DC，AC，则 AD ⊥ AC，即∠DAC = 90°. 在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，AB = 50 cm，BC = 40 cm， 由勾股定理，AC2 = AB2 + BC2 = 502 + 402 = 4100. 在 Rt△ADC 中，由勾股定理， DC = = = = 50 . ∵50> 70，∴能放进去. 11. 公园中一长方体石凳如图所示，若一只蚂蚁以 3 cm/s 的速度 从点 M 爬到点 N，最快需要多长时间（结果保留小数点后一位）？ 分析：将点 M，N 所在的面展开有 2 种情况，分别求出这 2 种情况下点 M，N 之间的距离，从而求出时间. 解：将点 M，N 所在的面展开有以下 2 种情况： 如图①，连接 MN. 由勾股定理，MN = = 20 （cm）. 如图②，连接 MN. 由勾股定理，MN = = 10 （cm）. ∵20 < 10 ， ∴最快需要 20 ÷3 ≈ 24.0（s）. 12. △ABC 的三边长分别为 a，b，c，面积为 S. 利用勾股定理 S = （提示：设 △ABC 的边 AC 上的高为 BD，利用勾股定理 先将 CD 用三边长表示，再将 BD 用三边长表示.） 证明秦九韶公式 . 解：设△ABC 的边 BC = a，AC = b，AB = c，边 AC 上的高为 BD，CD 的长为 x，则 AD 的长为 b－x. 由勾股定理，AB2－AD2 = BD2 = BC2－CD2 ， 即 c2－(b－x)2 = a2－x2 . 解得 x = ，∴ CD = ， ∴BD ==. ∴ S = BD == 四.勾股定理的应用 【题型1】勾股定理在几何中求线段 1.如图, Rt△ABC中, ∠C=90°, AD是∠BAC的平分线, DE⊥AB,垂足为E.若AB=10, AC=6,则 BE的长度为( ) A . 10 B.6 C.4 D.2 C 【题型2】勾股定理在数轴上表示无理数 2.如图,在△ABC中, AC⊥BC, AC边在数轴上,点A表示的数为1,点C表示的数为2, BC的长为2个单位长度，以A为圆心，AB的长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数为( ) A. −1− B. 1− C. −1− D. 1− D 3.如图,在△ABC中, ∠ABC=90°,直角边AB落在数轴上, AB=3个单位长度, BC=1个单位长度,点A表示的数为-1.若以点A为圆心，以斜边AC长为半径画弧交数轴于点 D，则点 D表示的数是( ) A. B. −1 C. D. −1 D 【题型3】勾股定理解决直角三角形三边所作图形的面积关系 4.如图，甲货船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，乙货船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船之间的距离是（ ） A . 40海里 B . 32 海里 C .24海里 D . 20海里 A 【题型7】勾股定理解决梯子问题 5.如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO=4m,，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也下滑1m，则梯子AB的长度为 ( ) A.3m B . 4m C.5m D . 6m C $