21.1四边形及多边形 课件2025-2026学年 人教版八年级数学下册

21.1　四边形及多边形 第二十一章　四边形 上一页 下一页 返回导航 21.1　四边形及多边形 第1课时　四边形及其内角和 第二十一章　四边形 上一页 下一页 返回导航 知识点 　四边形的相关概念 (1)四边形：如图1，在平面内，由不在同一直线上的四 条线段首尾顺次相接组成的图形. (2)基本要素：4条边，4个顶点，4个角，2条对角线. (3)表示：如图1，记作“四边形ABCD”. 上一页 下一页 返回导航 (4)凸四边形：如图2，画出四边形ABCD的任何一条边 (例如CD)所在直线，整个四边形都在这条直线的同一 侧的四边形. 上一页 下一页 返回导航 典例1　(1)如图1所示的四边形记作 ⁠.四边形的四条边 是 ；四个顶点是 ；四个内角 是 ；对角线有 . (2)如图2，∠DCE为四边形的一个 .(填“内角”或“外角”) 四边形ABCD　 AB，BC，CD，DA　 A，B，C，D　 ∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC　 AC，BD　 外角　 上一页 下一页 返回导航 变式1　(1)如图，下面四边形的表示方法：①四边形 ABCD；②四边形ACBD；③四边形ABDC；④四边形 ADCB. 其中正确的有(　B　) A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 B (2)过四边形的一个顶点可以作 ⁠条对角线，可将四 边形分割成 个三角形. 1　 2　 上一页 下一页 返回导航 知识点 　四边形的内角和 典例2　(教材P47思考∙改编)求证：任意一个四边形的内角和等于360°. 证明：如图，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为两个三角形， 即△ABC和△ACD. (将证明过程补充完整) 由三角形内角和定理，得∠1＋∠4＋∠D＝180°， ∠2＋∠B＋∠3＝180°. ∴∠BAD＋∠B＋∠BCD＋∠D＝∠1＋∠2＋∠B＋ ∠3＋∠4＋∠D＝(∠1＋∠4＋∠D)＋(∠2＋∠B＋∠3) ＝180°＋180°＝360°. ∴四边形ABCD的内角和是360°， 即任意一个四边形的内角和等于360°. 上一页 下一页 返回导航 变式2　(教材P49练习T1∙节选)求出下列图形中x的值： x＝ x＝ ⁠ 65　 30 上一页 下一页 返回导航 知识点 　四边形的外角和 典例3　(教材P47例1∙改编)如图，∠1，∠2，∠3，∠4是四边形ABCD的外角.求证：∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°. 证明：∵∠1＋∠BAD＝180°，∠2＋∠ABC＝180°， ∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDA＝180°， ∴∠1＋∠BAD＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠BCD＋ ∠4＋∠CDA＝180°×4＝720°. ∵∠BAD＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＝360°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°. 上一页 下一页 返回导航 变式3　如图，已知∠1＋∠2＋∠3＝280°，则∠4的度 数为(　B　) A. 70° B. 80° C. 90° D. 100° B 上一页 下一页 返回导航 知识点 　四边形的不稳定性 典例4　如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架， 要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是 (　B　) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 B 上一页 下一页 返回导航 变式4　四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性 主要体现在(　A　) A. 内角可发生变化 B. 边长发生变化 C. 周长发生变化 D. 内角和发生变化 A 上一页 下一页 返回导航 1. 如图，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°， ∠ADE是四边形ABCD的一个外角.若∠B＝75°，则 ∠ADE的度数为(　D　) A. 125° B. 105° C. 90° D. 75° D A层　基础 上一页 下一页 返回导航 2. 盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先 在窗框上斜钉一根木条来防止窗框变形，你认为这样做 的理由是(　D　) A. 让窗框更加美观 B. 两点之间线段最短 C. 四边形具有稳定性 D. 三角形具有稳定性 D A层　基础 上一页 下一页 返回导航 3. 如图，以四边形ABCD(边长均大于2)的四个顶点为 圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积是 ⁠. π　 B层　提升 上一页 下一页 返回导航 4. 如图，∠FCD，∠EDC是四边形ABCD的外角， CP，DP分别平分∠FCD和∠EDC且相交于点P. 若 ∠A＝70°，∠B＝80°，则∠CPD＝ ⁠. 105°　 C层　拓展 上一页 下一页 返回导航 21.1　四边形及多边形 第2课时　多边形及其内角和 第二十一章　四边形 上一页 下一页 返回导航 知识点 　多边形的相关概念 (1)多边形：在平面内，由n(n≥3)条线段首尾顺次相 接，组成的图形叫作多边形. (2)凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果 整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就 是凸多边形. (3)多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的概念与四 边形相应的概念相似. 上一页 下一页 返回导航 典例1　下列图形中不是多边形的是(　C　) 注意：多边形的边为线段，而不是曲线. 变式1　下列多边形中，不是凸多边形的是(　B　) C B 上一页 下一页 返回导航 知识点 　正多边形的概念 正多边形的各个角都相等，各条边都相等. 典例2　下列图形为正多边形的是(　D　) D 上一页 下一页 返回导航 变式2　下列图形是正多边形的是(　B　) A. 直角三角形 B. 正方形 C. 长方形 D. 圆 B 上一页 下一页 返回导航 知识点 　多边形的对角线与内角和 探究n边形的内角和：根据下图，完成下面的表格. 多边形的边数 3 4 5 6 … n 从多边形的一个顶点出发，可作对角线的条数 0 1 2 3 … n－3 分成的三角形的个数 1 2 3 4 … n－2 多边形的内角和 180° 2×180° ×180° ° … (n－ 2)×180° 2 3 n－3 3 4 n－2 3×180° 4×180° (n－2)×180° 结论：n边形的内角和等于 (n≥3且n为整数). (n－2)×180°　 上一页 下一页 返回导航 典例3　过七边形的一个顶点可以画n条对角线，则n的 值是(　B　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 B 变式3　若从多边形的一个顶点出发有15条对角线，则 该多边形的边数是(　D　) A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 D 上一页 下一页 返回导航 典例4　填空： (1)四边形的内角和为 ⁠； (2)五边形的内角和为 ⁠； (3)六边形的内角和为 ⁠. 360°　 540°　 720°　 上一页 下一页 返回导航 变式4　(教材P52练习T2(1)∙改编)一个多边形的内角和 等于1 620°，求这个多边形的边数. 解：设这个多边形的边数为n. 根据题意，得(n－2)×180°＝1 620°. 解得n＝11. ∴这个多边形的边数为11. 解：设这个多边形的边数为n. 根据题意，得(n－2)×180°＝1 620°. 解得n＝11. ∴这个多边形的边数为11. 上一页 下一页 返回导航 1. 从多边形的一个顶点引对角线，能将这个多边形分 成10个三角形，则这个多边形的边数为(　A　) A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 A A层　基础 上一页 下一页 返回导航 2. 如图是一枚正十二边形纪念币(每个内角相等)，则该 正十二边形的每个内角为(　A　) A. 150° B. 145° C. 140° D. 135° A A层　基础 上一页 下一页 返回导航 3. (教材P52练习T1)求出下列图形中x的值： 解：(1)∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°， ∴x°＋2x°＋150°＋120°＋90°＝540°. 解得x＝60. 解：(1)∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°， ∴x°＋2x°＋150°＋120°＋90°＝540°. 解得x＝60. A层　基础 上一页 下一页 返回导航 (2)∵六边形的内角和为(6－2)×180°＝720°， ∴90°＋x°＋x°＋x°＋x°＋90°＝720°. 解得x＝135. 3. (教材P52练习T1)求出下列图形中x的值： A层　基础 上一页 下一页 返回导航 (3)∵AB∥CD， ∴∠B＋∠C＝180°. ∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°， ∴135°＋x°＋150°＋180°＝540°. 解得x＝75. 3. (教材P52练习T1)求出下列图形中x的值： A层　基础 上一页 下一页 返回导航 4. (教材P52练习T2(2))一个多边形的每一个内角都等于 120°，这个多边形是几边形？ 解：设这个正多边形的边数为n. 根据题意，得120n＝(n－2)×180. 解得n＝6. ∴这个多边形是六边形. 解：设这个正多边形的边数为n. 根据题意，得120n＝(n－2)×180. 解得n＝6. ∴这个多边形是六边形. B层　提升 上一页 下一页 返回导航 5. (教材P53习题T7)如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1＝∠2， ∠3＝∠4，求x的值. 解：五边形的内角和是(5－2)×180°＝540°. ∵五边形ABCDE的内角都相等， ∴每个内角为540°÷5＝108°. ∴∠E＝∠EDC＝∠C＝108°. 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， 由三角形内角和定理可知， ∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝(180°－108°)÷2＝36°. ∴∠1＋x°＋∠3＝108°， 即36°＋x°＋36°＝108°.解得x＝36. B层　提升 上一页 下一页 返回导航 6. 【思想方法∙分类讨论】一个多边形切去一个角后， 形成的另一个多边形的内角和为1 080°，那么原多边 形的边数为(　D　) A. 7 B. 7或9 C. 8或9 D. 7或8或9 D C层　拓展 上一页 下一页 返回导航 21.1　四边形及多边形 第3课时　多边形的外角和 第二十一章　四边形 上一页 下一页 返回导航 知识点 　多边形的外角和 多边形的外角和等于360°. 典例1　填表. 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 内角和 180° 360° 540° 720° … (n－2)×180° 外角和 360° 360° 360° 360° … 360° 每一个内角的度数 60° 90° 108° 120° … ​ 每一个外角的度数 120° 90° 72° 60° … ​_x001A_𝟑𝟔𝟎°_x001B_𝒏_x001B_ 180° 360° 540° 720° … (n－2)×180° 360° 360° 360° 360° … 360° 60° 90° 108° 120° … ​ 120° 90° 72° 60° … ​ 上一页 下一页 返回导航 知识点 　运用正多边形的外角求边数 典例2　若正n边形的一个外角为72°，则n＝ ⁠. 变式2　一个正多边形的一个外角等于36°，则这个正 多边形的内角和为 . 5　 1 440°　 上一页 下一页 返回导航 知识点 　多边形的内角和与外角和的综合 典例3　(教材P52例2∙改编)一个多边形的内角和是它的 外角和的3倍，求这个多边形的边数. 解：设这个多边形的边数为n. 由题意，得(n－2)×180°＝360°×3. 解得n＝8. ∴这个多边形的边数是8. 解：设这个多边形的边数为n. 由题意，得(n－2)×180°＝360°×3. 解得n＝8. ∴这个多边形的边数是8. 上一页 下一页 返回导航 变式3　一个多边形的内角和与外角和的差为1 440°， 求这个多边形的边数及内角和. 解：设这个多边形的边数为n. 由题意，得(n－2)×180°－360°＝1 440°. 解得n＝12. ∴内角和为(12－2)×180°＝1 800°. ∴这个多边形的边数为12，内角和为1 800°. 解：设这个多边形的边数为n. 由题意，得(n－2)×180°－360°＝1 440°. 解得n＝12. ∴内角和为(12－2)×180°＝1 800°. ∴这个多边形的边数为12，内角和为1 800°. 上一页 下一页 返回导航 知识点 　多边形外角和的实际应用 典例4　如图，小林从P点向西直走12米后，向左转， 转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了 96米回到点P. 求α的度数. 解：根据题意可知小林走的路线是一个正多边形， ∵小林共走了96米，且每转动一次角度，就会走12米， ∴这个正多边形的边数为96÷12＝8. ∵α为该正多边形的外角， ∴α＝360°÷8＝45°. 上一页 下一页 返回导航 变式4　如图，小华从点A出发，沿直线前进10 m后左 转24°，再沿直线前进10 m，又向左转24°，如此重 复，照这样走下去，他能否回到原地？ 解：假设小华能回到原地，则小华走的路线是一个正多 边形， ∵正多边形的外角和为360°，且每一个外角均为24°， ∴该正多边形的边数为 ＝15. ∴小华能回到原地. 上一页 下一页 返回导航 1. 多边形的边数由3增加到2 026时，其外角和的度数 (　C　) A. 增加 B. 减少 C. 不变 D. 不能确定 2. 若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该 多边形的内角和为 ，边数是 ⁠. C 540°　 5　 A层　基础 上一页 下一页 返回导航 3. 已知一个多边形的每一个外角都等于36°，下列说 法错误的是(　B　) A. 这个多边形是十边形 B. 这个多边形的内角和是1 800° C. 这个多边形的每个内角都是144° D. 这个多边形的外角和是360° B A层　基础 上一页 下一页 返回导航 4. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多 180°，求这个多边形的边数. 解：设这个多边形的边数为n. 由题意，得180°×(n－2)＝360°×3＋180°. 解得n＝9. ∴这个多边形的边数是9. 解：设这个多边形的边数为n. 由题意，得180°×(n－2)＝360°×3＋180°. 解得n＝9. ∴这个多边形的边数是9. A层　基础 上一页 下一页 返回导航 5. 在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于与它相邻的内角的 ， 求这个多边形每一个内角的度数和它的边数. 解：∵多边形的各个内角都相等， ∴多边形的各个外角也都相等. 设一个内角的度数为x，则一个外角的度数为 x. 由题意，得x＋ x＝180°.解得x＝150°. ∴这个多边形每一个内角的度数为150°，每一个外角的度数为30°. ∴这个多边形的边数为 ＝12. ∴这个多边形每一个内角的度数为150°，边数为12. A层　基础 上一页 下一页 返回导航 6. “花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中 蕴含着许多的数学元素.如图是窗棂中的部分图案.若 ∠1＝∠2＝75°，∠3＝∠4，∠5＝80°，则∠3的度数 是 ⁠. 65°　 B层　提升 上一页 下一页 返回导航 7. 如图，小明从点A向东出发前进15 m到达A1，然后 向右转20°；再前进15 m到达A2，然后又向右转 20°……，一直这样走下去，他第一次回到出发点A 时，一共走了(　A　) A. 270 m B. 285 m C. 300 m D. 360 m A B层　提升 上一页 下一页 返回导航 8. 【思想方法∙转化思想】如图，在七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O. 若∠1，∠2，∠3，∠4对应的邻补角和等于220°，求∠BOD的度数. 解：如图，延长BC交OE于点H. 答图 在七边形ABCDEFG中，∠1， ∠2，∠3，∠4对应的邻补角和等于220°， ∴∠7＋∠6＋∠5＝360°－220°＝140°. 又∵∠8＝∠5＋∠6，∴∠7＋∠8＝140°. ∴∠BOD＝180°－140°＝40°. C层　拓展 上一页 下一页 返回导航 $