2026届四川省内江市第一中学九年级考前测试数学试题

**基本信息** 内江一中初三三模数学卷以文化传承（如中国鼓左视图、《九章算术》分钱问题）与实际应用（测量居民楼高度、空气净化器销售）为情境，分层考查数学抽象、推理运算及模型意识，适配中考综合能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题36分|相反数、科学记数法、视图等基础概念|结合中国鼓文化考查空间观念，第10题融入《九章算术》体现文化传承| |填空题|8题40分|因式分解、方差、动态几何（如折叠问题）|25题含30°角最小值问题，考查几何直观与转化思想| |解答题|8题84分|方程应用、函数综合、圆与几何证明|28题二次函数与正方形存在性问题，融合代数推理与几何探究，符合中考压轴题命题趋势|

内江一中初2026届初三三模数学试题 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 2．已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（　　） A．8.23×10﹣6 B．8.23×10﹣7 C．8.23×106 D．8.23×107 3．中国鼓文化是以鼓为载体，融合音乐、舞蹈等的传统艺术形式，如图是一种鼓的示意图，其左视图是（    ） A． B． C．D． 4．下列事件中，属于随机事件的是（   ） A．三角形内角和为 B．掷一枚质地均匀的骰子，朝上一面的点数为7 C．打开电视机，正在播放新闻节目 D．在一个标准大气压下，水加热到会沸腾 5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．  D．   6．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．函数的自变量x的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 8．如图，在矩形中，，，以点A为圆心，为半径的弧交于点E，则阴影部分的扇形面积是（   ） A． B． C． D． 9．如图，直线，直线与相交于点，若，且，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 10．我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙二人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．若设甲原有钱，乙原有钱，则可列方程（　　） A． B． C． D． 11．定义新运算．例如，则关于x的方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 12．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与两坐标轴交于、两点，以为边作等边∆ABC，将等边∆ABC沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线l上……当等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13．因式分解：______． 14．已知一组数据3，5，，8，8的平均数为6，则这组数据的方差是______． 15．若一个正多边形的内角和比它的外角和多，则这个正多边形的中心角度数为_____． 16．如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则_________．    三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 17．（10分）计算 (1) (2) 18．（9分）如图，点在线段上，，且，．连接，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 19．（9分）某校积极响应推进“文明城市建设”的工作，该校进行了环保知识竞赛，竞赛结束后，教务处随机抽取了部分学生成绩进行统计，发现所有学生的成绩均不低于75分，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，并绘制了不完整的统计图，请结合统计图，解答下列问题：      (1)条形统计图中，________，扇形统计图中，________．并补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，A组所对应的圆心角是_______度． (3)该校决定从获得满分的甲、乙、丙、丁4名学生中随机选取2名参加市上的比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲、乙2名学生的概率． 20．（10分）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的倾斜角为，．小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为（点，，，在同一平面内）． (1)求，两点的高度差； (2)求居民楼的高度．（结果精确到，参考数据：） 21．（10分）一次函数与双曲线（）交于点和点，连接． (1)直接写出b，m，n的值； (2)求的面积； (3)直接写出时x的取值范围． B卷（共60分） 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．） 22．已知，且，则的值为______． 23．已知是方程的两个实数根，则的值为__________． 24．如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数的图象经过C，D两点，已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为____． 25．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是______． 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 26．空气净化器越来越被人们认可，某商场购进A、B两种型号的空气净化器，如果销售5台A型和10台B型空气净化器的销售总价为20000元，销售10台A型和5台B型空气净化器的销售总价为17500元． （1）求每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售单价； （2）该商场计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不超过A型空气净化器的2倍，设购进A型空气净化器m台，这100台空气净化器的销售总价为y元． ①求y关于m的函数关系式； ②当销售总价最大时，该公司购进A型、B型空气净化器各多少台？ （3） 在（2）的条件下，若A型空气净化器每台的进价为800元，B型空气净化器每台的进价z（元）满足z=-10m+700的关系式，则销售完这批空气净化器能获取的最大利润是多少元？ 27．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG＝FG，连结CE． （1）求证：△ECF∽△GCE； （2）求证：EG是⊙O的切线； （3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan∠G＝，AH＝3，求EM的值． 28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 试卷第8页，共8页 试卷第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 数学《2》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C B C D D D A 题号 11 12 答案 B D 1．B 【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是改变原数符号后得到的． 2．B 【详解】解：0.000000823=8.23×10-7． 故选B． 3．D 【详解】解：该几何体是一个竖直放置的鼓，其上下底面是圆，侧面是向外凸出的曲面， 从左面看，其上下边缘投影为水平线段，左右边缘投影为向外凸出的曲线， 其左视图为选项D所示的图形． 4．C 【详解】解：A选项：三角形的内角和为，是必然事件，故不符合题意； B选项：骰子点数最大为6，点数为7是不可能事件，故不符合题意； C选项：打开电视机播放节目内容不确定，可能播放新闻也可能播放其他节目，是随机事件，故符合题意； D选项：水在标准大气压下加热至必然沸腾，是必然事件，故不符合题意． 故选：C． 5．B 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意． 故选：B． 6．C 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故A选项不符合题意； B．，故B选项不符合题意； C．，故C选项符合题意； D．，故D选项不符合题意， 故选：C． 7．D 【详解】解：且， 即且． 故答案为：D． 8．D 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 9．D 【详解】解：∵， ∴ , 即, ∴ , 解得． 故选：D． 10．A 【详解】解：设甲原有钱，乙原有钱， 依题意得， 故选：A． 11．B 【详解】解：由题意，关于x的方程可转化为方程， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 12．D 【详解】解：∵直线l：与两坐标轴交于、两点， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， 如图，等边经过第次翻转后，， 过点作轴于点，则，    ∵， ∴， ， 等边经过第次翻转后，， 等边经过第次翻转后，点仍在点处， ∴每经过次翻转，点向右平移个单位，向上平移个单位， ∵，第次与第次翻转后点处在同一个点， ∴点经过次翻转后，向右平移了个单位，向上平移了个单位， ∴等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是， 故选：D． 13． 【详解】解：． 14．3.6 【详解】解：由题意得， 得， 所以这组数据的方差为． 故答案为：． 15．/40度 【详解】解：设这个正多边形的边数为，任意多边形的外角和为， 根据题意，得， 解得， 正多边形的中心角和为，因此这个正多边形的中心角度数为． 16． 【详解】解：∵，，是边上的中线， ∴， ∴， 由翻折的性质可知，，， ∴， 如图，记与的交点为，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中， ， ； （2）解：∵，，， ， 又， ． 19．(1)，，补全图形见解析 (2) (3) 【详解】（1）解：人， ∴此次一共调查了400人， ∴，， ∴； E组的人数为人，补全统计图如下：   ． （2）解：； ∴在扇形统计图中，A组所对应的圆心角是； （3）解：分别用A、B、C、D表示甲、乙、丙、丁四人，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选中甲、乙2名学生的结果数有2种， ∴恰好选中甲、乙2名学生的概率为． 20．(1)9m (2)24m 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点， 在中，，， ． ． 答：，两点的高度差为． （2）过点作于， 由题意可得，， 设， 在中，， 解得， 在中，，， ， 解得， ． 答：居民楼的高度约为． 21．(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：∵一次函数与双曲线（）交于点和点， ∴将代入和（）得， ，， ∴， ∴一次函数解析式为：，反比例函数解析式为：（）， 将代入得：， ∴； （2）解：在中，令，则，令，则， ∴， 则，过点B作轴于点E，轴于点F， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴一次函数图象在反比例函数图象下方对应的交点横坐标的取值范围即为该不等式的解集， ∴或． 22． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 23． 【详解】解：，是方程 的两个实数根 由根的定义得 ， ∴ ，， 由根与系数的关系得， 原式 ． 24．(，3)/（4.5,3） 【详解】∵D(3，2)在反比例函数上 ∴ 解得： 反比例函数解析式为： 设直线OD表达式为： 将D点坐标带入得： 解得： 故直线OD： 设C(，) ∵B点在直线OD上 ∴ 解得：yC=3 故B(，3) 故答案为：(，3) 25．/ 【详解】解：∵点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)， ∴OA=3，OC=3， 作∠OCE=120°， ∵∠OCB=60°， 则∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°， 过点P作PG⊥CE于点G，如图： 在Rt△PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°， ∴CG=PC，由勾股定理得PG=PC， ∴AP+PC= AP+PG， 当A、P、G在同一直线时，AP+PG= AG的值最小， 延长AG交y轴于点F， ∵∠FCG=60°，∠CGF=90°， ∴∠CFG=30°， ∴CF=2CG，GF=CF， 在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°， ∴AF=2OA=6，OF=， ∴CF=OF-OC=， ∴GF=()=， ∴AG=AF-FG=， 即AP+PC的最小值为． 故答案为：． 26．（1）每台A型空气净化器销售单价为1000元，B型空气净化器的销售单价为1500元；（2）① y=-500m+150000，②当m=34时销售总价最大，最大值为133000元；（3）销售完这批空气净化器能获取的最大利润是82040元． 【详解】（1）设每台A型空气净化器销售单价为x元，B型空气净化器的销售单价为y元据题意得： ， 解得：， 答：每台A型空气净化器销售单价为1000元，B型空气净化器的销售单价为1500元； （2）①设购进A型空气净化器台，则购进B型空气净化器（）台， 由已知得：， 解得：， ∴， ∴（，且为正整数）． ②∵中，， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，此时， 故购进34台A型空气净化器和66台B型空气净化器的销售利润最大； （3）设销售完这批空气净化器能获取的利润是w元， ∵， ∴当大于20时，w随m的增大而减小 ， ∴当时，w有最大值为82040元 答：销售完这批空气净化器能获取的最大利润是82040元． 27．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【详解】（1）证明：如图1中， ∵AC∥EG， ∴∠G＝∠ACG， ∵AB⊥CD， ∴＝， ∴∠CEF＝∠ACG， ∴∠G＝∠CEF， ∵∠ECF＝∠ECG， ∴△ECF∽△GCE． （2）证明：如图2中，连接OE， ∵GF＝GE， ∴∠GFE＝∠GEF＝∠AFH， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， ∵∠AFH+∠FAH＝90°， ∴∠GEF+∠AEO＝90°， ∴∠GEO＝90°， ∴GE⊥OE， ∴EG是⊙O的切线． （3）解：如图3中，连接OC，设⊙O的半径为r， 在Rt△AHC中，tan∠ACH＝tan∠G═， ∵AH＝3， ∴HC＝4， 在Rt△HOC中，∵OC＝r，OH＝r﹣3，HC＝4， ∴（r﹣3）2+42＝r2， ∴r＝ ∵GM∥AC， ∴∠CAH＝∠M， ∵∠OEM＝∠AHC， ∴△AHC∽△MEO， ∴， ∴， 解得：. 28．(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∵与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 答案第14页，共16页 答案第13页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $