2026届四川省内江市威远县凤翔中学中考考前模拟考试数学试题

**基本信息** 以“鸡兔同笼”“圆材埋壁”等传统文化题与射击成绩分析、阳光体育调查等现实情境融合，通过基础巩固与探究创新的梯度设计，适配中考三模综合检测，培养数学眼光、思维与语言能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|12/36|实数运算、图形对称、三视图|基础全面，如科学记数法考查数感，几何图形识别培养空间观念| |填空|8/40|因式分解、方程根与系数、圆锥展开|综合应用，如圆锥最短路线结合空间观念，反比例函数面积体现模型意识| |解答|8/96|统计概率、几何证明、函数综合|梯度分明，阳光体育调查培养数据意识，二次函数动态问题发展推理能力，费用优化题体现数学思维的现实应用|

四川省内江市威远县凤翔中学2026届中考第三次模拟考试数学试题 A卷（100分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列有理数中，的倒数是（　 　） A． B． C． D．2026 2．世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．如图是由五个相同的小正方体组成的几何体，其主视图为（    ） A． B． C． D． 5．下列运算正确的是（　 　） A． B． C． D． 6．函数中自变量的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 7．某位运动员在一次射击训练中，次射击的成绩如图，则这10次成绩的平均数和中位数分别是（   ）    A．， B．， C．， D．， 8．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 9．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组（  ） A． B． C． D． 10．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点D，寸，尺（10寸），则圆的直径长度是（   ） A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸 11．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若△BDE的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 12．如图所示，每个三角形中的三个数字之间存在某种规律，三角形间也存在着某种规律，请问在第⑥个三角形中，的值是（   ） A． B．62 C．98 D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13．因式分解： _______． 14．已知一元二次方程：的两个根分别是，，则的值________． 15．如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________． 16．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴负半轴上，则正方形的面积为__________． 三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 17．(1)计算：． (2)先化简，再求值：，其中． 18．如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点与点重合． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，求的长． 19．某校开展“阳光体育”活动，项目有：篮球；：足球；：跳绳；：羽毛球．学生需任选一项参加．学校进行抽样调查，并根据数据绘制了两幅不完整统计图． (1)在这次调查中，一共抽取了___________名学生； (2)补全条形统计图； (3)若该校共有学生名，请估计参加项活动的学生人数； (4)小明和小丽参加了上述活动，请用画树状图或列表的方法，求他们参加同一项活动的概率． 20．如图，某公园修建了观景台，测量小组先在点处使用侧倾器，测得观景台顶端的仰角为，再往观景台方向前进至点处，测得观景台顶端的仰角为．已知点，，在同一条水平直线上，测倾器的高度忽略不计． (1)设观景台高度，用含的代数式分别表示，； (2)求观景台的高度（结果精确到；参考数据：，，）． 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点C和点D，与反比例函数的图象交于点和点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出当时x的取值范围； (3)点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积； B卷（60分） 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．） 22．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们定义一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，例如：．则______． 23．如果一个多位数各个数位上的数字之和为的整数倍，则称这个数为“向阳数”．例如是“向阳数”，因为．若一个四位“向阳数”，十位上的数字是千位上的倍，个位上的数字比百位上的小．设该四位“向阳数”的千位上的数字为，百位上的数字为． （1）这个四位数可以表示为______； （2）若百位上的数字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的倍，则满足条件的四位“向阳数”为______． 24．如图，中，，，D、E分别在边和的延长线上，若，则____． 25．如图，在矩形中，，，点为矩形内一个动点，连接，，，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为__________． 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 26．阅读材料：为实数，且，，因为，所以，从而，当时取等号． 阅读材料：若（，，为常数），由阅读材料的结论可知，所以当，即时，取最小值． 阅读上述内容，解答下列问题： (1)已知，则当________时，取得最小值，且最小值为________； (2)已知，，求的最小值． (3)某大学学生会在月日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入元；二是参加活动的同学午餐费每人元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入支出总费用/参加活动的同学人数） 27．如图，在△ABC中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积； (3)连接，若，求的值． 28．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由； (3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省内江市威远县凤翔中学2026届中考第三次模拟考试数学试题 A卷（100分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列有理数中，的倒数是（　 　） A． B． C． D．2026 【答案】A 【详解】解：∵乘积为1的两个数互为倒数， 设的倒数为，可得 ， ， 即的倒数是． 2．世界上最小的开花结果的植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有．将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法， “对于一个绝对值小于1的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为负整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键，由题意可知本题中，，即可得到答案． 【详解】解：． 故选：B． 3．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，由此逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意； 故选：D． 4．如图是由五个相同的小正方体组成的几何体，其主视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的右边是两个小正方形． 故选：C． 【点睛】此题考查三视图中主视图：在平面内由前向后观察物体得到的视图叫做主视图． 5．下列运算正确的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据合并同类项，同底数幂的乘除法运算，幂的乘方运算法则一一判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，不符合题意； D、，原选项错误，不符合题意； 故选：A． 6．函数中自变量的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求函数的自变量取值范围，熟知二次根式和分式有意义的条件是解答的关键．求函数自变量的取值范围需满足分母不为零及根号内非负的条件． 【详解】解：在函数中，需满足且， 解得且，故选：A． 7．某位运动员在一次射击训练中，次射击的成绩如图，则这10次成绩的平均数和中位数分别是（   ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据折线图将成绩从小到大依次排列，然后求中位数与平均数即可． 【详解】解：由图可知，次的成绩由小到大依次排列为、、、、、、、、、， ∴10次成绩的中位数为， 平均数为，故B正确．故选：B． 【点睛】本题考查了中位数、平均数．解题的关键在于熟练掌握中位数与平均数的定义与求解方法． 8．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，根据重力竖直向下、摩擦力平行斜面，结合图形利用三角形外角定理即可求解． 【详解】解：如图所示： 重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， ∵， ∴． 摩擦力的方向与斜面平行， ． 9．我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有16头，下有44足，问鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是找出等量关系． 设鸡只，兔只，根据上有16头，下有44足列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设鸡只，兔只， 根据题意得，．故选：A． 10．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点D，寸，尺（10寸），则圆的直径长度是（   ） A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理的应用． 连接，设的半径是寸，由垂径定理得到寸，由勾股定理得到，求出，即可得到圆的直径长． 【详解】解：连接， 设的半径是寸， ∵弦，垂足为点， 寸， 寸， 寸， ， ， ， ∴直径的长度为寸． 故选：D． 11．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若△BDE的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 设，可证明，则，，那么，再由，即可求解． 【详解】解：设， 由题意得， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 12．如图所示，每个三角形中的三个数字之间存在某种规律，三角形间也存在着某种规律，请问在第⑥个三角形中，的值是（   ） A． B．62 C．98 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数字规律问题，解题的关键是找出数字之间的规律． 由题意易得三角形最下面的数字之间的规律为，三角形左边的数字之间的规律为，三角形右边的数字之间的规律为，然后问题可求解． 【详解】解：由图可知： 三角形最下面的数字分别为，，，，…；所以三角形最下面的数字之间的规律为， 三角形左边的数字分别为，，，，…；所以三角形左边的数字之间的规律为， 三角形右边的数字分别为，，，，…；所以三角形右边的数字之间的规律为， ∴第⑥个三角形中，，，， ∴．故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13．因式分解： _______． 【答案】 【分析】先提取多项式的公因式，再利用完全平方公式对剩余多项式因式分解。 【详解】解：． 14．已知一元二次方程：的两个根分别是，，则的值________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式因式分解后，代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程， ，，， 由根与系数的关系得：，， ∴． 15．如图，将一个圆锥的侧面展开后得到一个圆心角为、面积为的扇形，一只蚂蚁从圆锥的底部边缘爬行到顶部，那么它爬行的最短路线长是________． 【答案】 【分析】蚂蚁从圆锥底部边缘爬行到顶部的最短路线长即为圆锥的母线长，也就是侧面展开图扇形的半径，利用扇形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为，， ∴圆锥侧面展开图扇形的半径为 ， 将，，代入扇形面积公式， 可得，，解得， ∴蚂蚁爬行的最短路线长为． 16．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴负半轴上，则正方形的面积为__________． 【答案】10 【分析】作轴于点D，根据正方形的性质得到，进而可知，即，根据k的几何意义求出，根据勾股定理求出，根据正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，作轴于点D， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴正方形的面积为． 三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 17．(1)计算：． 【答案】 【详解】解：原式． (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】原式， 当时，原式． 18．如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点与点重合． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)． 【分析】（）根据矩形和翻折的性质即可解决问题； （）根据矩形和翻折的性质可得，，即可解决问题； （）设，则，根据勾股定理列出方程求解即可； 本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 由翻折可知: ， ∴， ∴度数为； （2）证明：∵四边形是矩形, ∴， 由翻折可知: ，， ∴，， 在和中， ， ∴； （3）解：设，则， ∵沿翻折后点与点重合， ∴， 在中，由勾股定理得，即 ， 解得，∴． 19．某校开展“阳光体育”活动，项目有：篮球；：足球；：跳绳；：羽毛球．学生需任选一项参加．学校进行抽样调查，并根据数据绘制了两幅不完整统计图． (1)在这次调查中，一共抽取了___________名学生； (2)补全条形统计图； (3)若该校共有学生名，请估计参加项活动的学生人数； (4)小明和小丽参加了上述活动，请用画树状图或列表的方法，求他们参加同一项活动的概率． 【答案】(1)；(2)如图所示： (3)名；(4) 【分析】（）由的人数除以所占的比例即可； （）根据扇形圆心角占比计算项目人数：对应圆心角，人数为，据此补全条形统计图即可； （）由该校共有学生乘以参加项活动的学生所占的比例即可； （）列表法，共有种等可能的结果，其中小明和小丽参加同一项活动的结果有种，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：已知项目人数为，对应扇形圆心角为， 总人数为：（名）； （2） （3）解：项目对应圆心角，样本中的占比为， ∴全校人中，估计参加项目的人数为：（名）； （4）解：用列表法分析所有等可能结果： 小明\小丽 总共有种等可能结果，其中两人参加同一项活动的结果有种， 因此概率：． 20．如图，某公园修建了观景台，测量小组先在点处使用侧倾器，测得观景台顶端的仰角为，再往观景台方向前进至点处，测得观景台顶端的仰角为．已知点，，在同一条水平直线上，测倾器的高度忽略不计． (1)设观景台高度，用含的代数式分别表示，； (2)求观景台的高度（结果精确到；参考数据：，，）． 【答案】(1)；；(2)． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）根据，，即可知是等腰直角三角形，因此，再利用正切函数的定义，即可求的大小； （2）根据题目可知，将（1）中、的大小代入，即可解答出的值． 【详解】（1）解：在中，，， 所以是等腰直角三角形，因此， 在中，，， 根据正切函数的定义，即， ， 综上：；； （2）解：由题意可知，将，代入得： 通分得到：， 化简得：，解得， 答：观景台的高度约为． 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点C和点D，与反比例函数的图象交于点和点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出当时x的取值范围； (3)点是反比例函数图象上一点，连接、，求的面积； 【答案】(1)，；(2)或；(3) 【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式，可求解k的值，由此可求解反比例函数表达式，再将点B的坐标代入反比例函数表达式可求解m的值，再将点A，点B的坐标代入一次函数中，即可求解一次函数的表达式； （2）根据图象求解即可； （3）添加辅助线，过B点作轴，垂足为H；过E点作轴，垂足为F，求解出点E的坐标，再求解出点，由求解面积即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． ∴把点A的坐标代入反比例函数得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式； 把点B的坐标代入反比例函数得：， 解得：， ∴点， 把点A，点B的坐标分别代入一次函数，得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式； （2）解：当时，表示函数的图象位于函数的图象上方，不包含交点， ∴由图象可知，或； （3）解：过B点作轴，垂足为H；过E点作轴，垂足为F，如图1， ∵点， ∴，， 把点代入反比例函数中得： ， ∴点， ∴，， 对于一次函数， 当时，得：，解得：， ∴点， ∴， ∴， ∴． B卷（60分） 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．） 22．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们定义一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，例如：．则______． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算与规律探究，根据新定义得出的指数的循环规律，每4个为一个循环，每个循环的和为0，计算总项数除以4的余数，再根据余数计算最终结果即可 【详解】解：由题意得： ，，，，， 可得的指数每4个一循环，且一个循环的和为， ， 即共有506个完整循环，剩余2项为和， ，， 23．如果一个多位数各个数位上的数字之和为的整数倍，则称这个数为“向阳数”．例如是“向阳数”，因为．若一个四位“向阳数”，十位上的数字是千位上的倍，个位上的数字比百位上的小．设该四位“向阳数”的千位上的数字为，百位上的数字为． （1）这个四位数可以表示为______； （2）若百位上的数字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的倍，则满足条件的四位“向阳数”为______． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减的应用，理解题意列出代数式是解题的关键． （1）根据千位上的数字为，百位上的数字为，则十位上的数字为，个位上的数字为，即可进行表达； （2）根据百位上的数字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的倍可列出式子，得到，分析与的值即可解答． 【详解】（1）∵该四位“向阳数”的千位上的数字为，百位上的数字为，则十位上的数字为，个位上的数字为， ∴这个四位数可以表示为； （2）由题意得，， ∵， ∴，则或， ∴四位数为或， ∵，， ∴满足条件的四位向阳数为． 24．如图，中，，，D、E分别在边和的延长线上，若，则____． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质求出和的度数，进而求出和的度数；利用已知等式及推出对应边成比例，结合夹角相等证明；根据相似三角形的性质得到，最后利用外角的性质及角的和差关系求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ． 25．如图，在矩形中，，，点为矩形内一个动点，连接，，，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】由点为矩形内一个动点，且得点在以为直径的圆上（矩形内部的一段弧），要求的最小值，即求的最小值，当三点共线时，的值最小，由勾股定理求出，可得的最小值为，根据三角形中位线定理可得的最小值为． 【详解】解：∵点为矩形内一个动点，且， ∴点在以为直径的圆上（矩形内部的一段弧），如图， 设的中点为O，则O是圆心，半径，连接 ∵M、N分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 因此，要求的最小值，即求的最小值， 当三点共线时，的值最小， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即的最小值为． 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 26．阅读材料：为实数，且，，因为，所以，从而，当时取等号． 阅读材料：若（，，为常数），由阅读材料的结论可知，所以当，即时，取最小值． 阅读上述内容，解答下列问题： (1)已知，则当________时，取得最小值，且最小值为________； (2)已知，，求的最小值． (3)某大学学生会在月日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入元；二是参加活动的同学午餐费每人元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低．最低费用是多少元？（人均投入支出总费用/参加活动的同学人数） 【答案】(1)，；(2)；(3)当参加活动的同学人数为人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是元 【分析】（）由题意求出的最小值，即可求出的最小值； （）把代入化成的 形式，即可求出最小值； （）设参加活动的同学人数为人，人均投入为 ，化成的形式，即可求出答案； 本题考查了配方法的应用，解题的关键是要正确理解题意，把所求代数式化成公式中完全平方的形式． 【详解】（1）解：由题意得，当 即时，取最小值为，     ∴的最小值为， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ∴当，即时，取最小值为， ∴的最小值为； （3）解：设参加活动的同学人数为人，则人均投入为， 当，即时，取最小值为， ∴最低费用是(元)， 答：当参加活动的同学人数为人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是元． 27．如图，在△ABC中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积； (3)连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析；(2)；(3) 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，切线的判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，由角平分线的定义得到，再由等边对等角得到，则，据此可证明，得到，由此可证明是的切线； （2）根据线段之间的关系证明，解直角三角形可得，则可求出，再根据列式计算即可； （3）由直径所对的圆周角是直角得到，解得到，设，由勾股定理可得；证明，进而证明，得到，则，，进而可求出，再根据余弦的定义可得答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵点E为的中点， ∴， ∵，∴， 由（1）可得， 在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是的直径，∴， 在中，， 设， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 28．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由； (3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接，过点M作交直线l于点N．若，求点M的坐标． 【答案】(1)；(2)存在最大值；最大值为；(3)点M的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入抛物线求出a、b的值，即可得出抛物线的解析式； （2）先求出点C的坐标为，连接、、，根据轴对称的性质得出，，得出当最大时，最大，根据当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大，求出最大值即可； （3）过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，设点M的坐标为：，得出，，证明，得出，从而得出，分四种情况：当时，当时，当时，当时，分别求出点M的坐标即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：存在最大值； 把代入得：， ∴点C的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接、、，如图所示： ∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， ∴当点A、C、P三点在同一直线上时，最大，即当点P在点时，最大， ∴最大值为：． （3）解：过点M作轴，过点C作于点D，过点N作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴， 设点M的坐标为：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 当时，，，则： ， 解得：，（舍去）， 此时点M坐标为：； 综上分析可知：点M坐标为：或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，解直角三角形的相关计算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $