专题01 期末复习 32个易错点 2025--2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦6章核心内容，以32个易错点为纲，通过典型例题强化概念辨析与解题规范，培养推理意识与抽象能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式|6个易错点|概念辨析、性质应用、运算技巧|从定义到性质再到混合运算，强化隐含条件挖掘| |勾股定理|5个易错点|斜边判断、概念理解、分类讨论|结合图形性质，突出多情境下的分类思想与几何直观| |四边形|6个易错点|性质判定混淆、中点四边形识别|从一般到特殊平行四边形，构建性质与判定的关联网络| |函数|4个易错点|概念理解、图像识别、实际应用|通过图像与实际问题，培养函数观念与模型意识| |一次函数|7个易错点|参数求解、图像平移、与方程不等式结合|体现代数推理，强化数形结合思想与分类讨论能力| |数据的分析|3个易错点|加权平均、四分位数、统计量选择|围绕数据处理，培养数据意识与合理决策能力|

专题01 期末复习易错题32个易错点 【新教材人教版】 第19章 二次根式 【易错1 二次根式有意义的条件】............................................................................................................2 【易错2 二次根式的性质化简】................................................................................................................2 【易错3 忽略隐含条件】............................................................................................................................3 【易错4 二次根式的混合运算】................................................................................................................3 【易错5 已知条件式，化简求值】............................................................................................................4 【易错6 比较二次根式大小】....................................................................................................................4 第20章 勾股定理 【易错7 主观确定斜边】............................................................................................................................5 【易错8 概念不明确】................................................................................................................................5 【易错9 忽略高在三角形外】....................................................................................................................6 【易错10 勾股定理与无理数】..................................................................................................................6 【易错11 分类讨论时考虑不全面】..........................................................................................................7 第21章 四边形 【易错12 多边形内角和、外角和综合】..................................................................................................8 【易错13 多边形对角线条数问题】..........................................................................................................8 【易错14 多边形截角后的问题】..............................................................................................................9 【易错15 混淆平行四边形与特殊平行四边形的性质】..........................................................................9 【易错16 混淆平行四边形与特殊平行四边形的判定】.........................................................................10 【易错17 平行四边形与特殊平行四边形性质的应用】.........................................................................11 【易错18 不能准确识别中点四边形形状】.............................................................................................12 第22章 函数 【易错19 函数的相关概念】.....................................................................................................................13 【易错20 求自变量或函数值】.................................................................................................................14 【易错21 函数图象识别】.........................................................................................................................14 【易错22 从函数图象中获取信息】.........................................................................................................15 第23章 一次函数 【易错23 根据定义求参数】.....................................................................................................................16 【易错24 判断一次函数图像】.................................................................................................................17 【易错25 已知函数经过的象限求参数范围】.........................................................................................18 【易错26 一次函数平移问题】.................................................................................................................18 【易错27 一次函数与方程（组）】...........................................................................................................19 【易错28 一次函数与不等式（组）】.......................................................................................................20 【易错29 忽略分类讨论导致漏解】.........................................................................................................21 第24章 数据的分析 【易错30 求加权平均数时忘了每个数据的权】.....................................................................................22 【易错31 求四分位数忘排序】.................................................................................................................23 【易错32 按要求选择合适的统计量】.....................................................................................................23 易错1 二次根式有意义的条件 1．（25-26八年级下·河南商丘·期中）使得式子在实数范围内有意义的的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 2．（2026·浙江舟山·一模）若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 3．（2026·江苏连云港·二模）在函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·吉林松原·期中）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 易错2 二次根式的性质化简 1．（25-26八年级下·江西宜春·期中）如果，那么（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子的结果是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______． 4．（2026八年级下·全国·专题练习）已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简． 易错3 忽略隐含条件 1．（25-26八年级下·安徽池州·期中）已知，则二次根式化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖北荆门·期中）化简：化成最简二次根式为______． 3．（25-26八年级上·上海·阶段检测）化各式为最简二次根式：①___________；②__________； 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面一题的解答过程，并判断是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程． 已知为实数，化简． 解：． 易错4 二次根式的混合运算 1．（25-26八年级下·山东临沂·期中）计算： (1) (2) 2．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）计算： (1)； (2)． 3．（25-26八年级下·全国·期末）计算： (1) (2) 4．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 易错5 已知条件式，化简求值 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 2．（25-26八年级下·贵州黔东南·阶段检测）若，，则代数式的值等于____． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则_________． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为_________． 易错6 比较二次根式大小 1．（25-26八年级下·广东广州·期中）比较大小：_______，_______2，_______． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 3．（25-26八年级下·广西钦州·期中）阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如： 将分母有理化． 解：原式． 运用以上方法解决下列问题： (1)将分母有理化； (2)比较大小： 填写“”，“”或“”)； (3)计算：． 4．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：，， ∵， ∴． (1)对二次根式进行“分子有理化”； (2)比较和的大小． 易错7 主观确定斜边 1．（25-26八年级下·广东肇庆·期中）已知一个直角三角形的两直角边长分别为6和8，则第三边的长是（    ） A．10 B．10或 C． D．或 2．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）若，则以为边的直角三角形斜边长为（    ） A． B．3 C．或3 D．13 3．（25-26八年级下·广西玉林·期中）直角三角形有两边长分别为3，4，则该直角三角形第三边的长度为_____． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在中，，，则点到的距离为______． 易错8 概念不明确 1．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A． B．0.3，0.4，0.5 C．6，8，10 D． 3．（25-26八年级下·青海西宁·期中）在中，，，的对边分别是，，，下列条件所对应的中，不是直角三角形的是（     ） A． B．，， C． D． 4．（25-26八年级下·广东珠海·期中）已知中，，，分别是，，的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 易错9 忽略高在三角形外 1．（25-26八年级下·广东广州·期中）已知直角三角形的两边分别为6和8，则斜边上的高是（   ）． A． B． C．或 D．或 2．（24-25七年级上·四川自贡·期中）在中，，边上的高，，则的面积为（   ） A．16 B．8 C．12 D．8或16 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，分别是的高和中线，若，，则的长为（   ） A． B． C． D．或 4．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）若等腰三角形一腰上的高长为，且与底边的夹角为，则这个等腰三角形的面积为（    ） A． B． C．6 D．或 易错10 勾股定理与无理数 1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，数轴上的点A与原点重合，点B表示的数是3，点C在数轴上方，连接，，且，以点A为圆心，为半径画弧交数轴于点D（点D在点B右侧），则点D表示的数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ） A． B． C． D． ∴， 又∵该线段的一端在数轴上表示的点，另一端为点， ∴ 点表示的数． 3．（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，已知到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·广西崇左·期中）如图，长方形的边落在数轴上，两点在数轴上对应的数分别为和，连接，以为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点E在数轴上所表示的数为（   ） A．3 B． C． D．2.2 易错11 分类讨论时考虑不全面 1．（25-26八年级下·江西上饶·阶段检测）如图，在由的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且是直角三角形，则符合要求的点C共有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）在平面直角坐标系中，点，点在轴上，且为等腰三角形（为坐标原点），则点的坐标为______． 3．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）在平面直角坐标系中，以为原点，的坐标为，点在轴正半轴上．若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点的坐标为_______． 4．（20-21八年级下·吉林四平·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 易错12 多边形内角和、外角和综合 1．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是（   ） A．五 B．六 C．七 D．八 2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有（    ）条 A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）已知一个正多边形的内角和是其外角和的4倍，求这个正多边形每一个外角的度数． 4．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）已知一个多边形的每个外角都相等，且它的一个内角与其相邻外角的度数之比为，求这个多边形的边数． 易错13 多边形对角线条数问题 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）填空： （1）从四边形的一个顶点出发可以画出_________条对角线，四边形共有_________条对角线； （2）从五边形的一个顶点出发可以画出_________条对角线，五边形共有_________条对角线； （3）从六边形的一个顶点出发可以画出_________条对角线，六边形共有_________条对角线； （4）从n边形的一个顶点出发可以画出_________条对角线，n边形共有_________条对角线． 2．（25-26八年级下·云南昭通·期中）从六边形的一个顶点出发可以作________条对角线，它将六边形分成________个三角形． 3．（25-26八年级下·云南普洱·期中）从七边形一个顶点出发，最多可引________条对角线． 4．（25-26八年级下·重庆潼南·期中）一个正边形的每个内角为，这个正边形的所有对角线的条数为_____． 易错14 多边形截角后的问题 1．（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）把一个四边形截去一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形或四边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 2．（25-26八年级下·山东德州·期中）若一个多边形截去一个角后，变成七边形，则原来的多边形的边数不可能为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A．8或9 B．9或10 C．8或9或10 D．9或10或11 4．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）若一个多边形的内角和为，则将该多边形截去一个角后，剩下的多边形的内角和不可能为（    ） A． B． C． D． 易错15 混淆平行四边形与特殊平行四边形的性质 1．（25-26八年级下·重庆长寿·期中）平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且相等 C．对角线互相垂直平分且相等 D．四条边相等，四个角相等 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 3．（25-26八年级下·湖南永州·期中）下列说法错误的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的每一条对角线平分一组对角 D．正方形的对角线相等、互相垂直且平分 4．（25-26八年级下·湖北黄石·期中）下列说法不正确的是（    ） A．矩形的对角线相等且互相平分 B．菱形的对角线垂直且互相平分 C．正方形的对角线相等、垂直且互相平分 D．平行四边形是轴对称图形 易错16 混淆平行四边形与特殊平行四边形的判定 1．（20-21八年级下·浙江台州·期末）下列命题中，不成立的是（    ） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角互补的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 2．（25-26八年级下·福建南平·期中）下列命题中正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 3．（25-26八年级下·福建龙岩·期中）下列命题中是假命题的是（   ） A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B．四条边相等的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是菱形 易错17 平行四边形与特殊平行四边形性质的应用 1．（25-26八年级下·海南海口·期中）如图，在中，对角线，相交于点，过点的直线交于点，交于点，且，若，则阴影部分面积是______． 2．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，四边形是菱形，，，于，则的长是（  ）． A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 易错18 不能准确识别中点四边形形状 1．（25-26八年级下·广西北海·期中）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 2．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点若四边形为菱形，则对角线，应满足的条件是（    ） A． B． C．与相互平分 D．不确定 3．（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·内蒙古通辽·三模）中国传统剪纸艺术讲究“对称精巧，形意兼备”，其图案设计常蕴含几何规律．如图是某剪纸作品中的四边形，点，，，分别是边的中点，顺次连接，，，得到四边形．已知对角线，，且，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 易错19 函数的相关概念 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中是一条折线）．则这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列4个关系式中：① ② ③ ④，y不是x的函数的有_________个． 3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）截至2025年，“天宫课堂”系列太空授课活动在中国空间站持续开展，中国航天员（太空教师团队）通过多场别开生面的太空课，持续引发学生探究科学的热潮．小颖把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，已知该弹簧最大能够承受的重物，下表是实验中小颖记录的弹簧长度与所挂物体质量的对应值： 所挂物体的质量 0 2 4 6 8 10 弹簧的长度 15 18 21 24 27 30 (1)在这个变化过程中，___________是自变量； (2)设所挂物体的质量为，弹簧的长度，则与之间的关系式为___________，自变量的取值范围是___________； (3)当弹簧长度为时，求所挂物体的质量为多少． 4．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，在一个边长为的正方形的四个角处，都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，两个变量分别是_________，_________． (2)如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请用含的代数式表示． (3)当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？ 易错20 求自变量或函数值 1．（25-26八年级下·四川内江·期中）下列函数中，自变量x的取值范围是的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·四川内江·期中）在函数中，自变量x的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D． 3．（25-26八年级下·吉林松原·期中）已知y与x之间的函数解析式为，当时，自变量x的值是（     ） A． B． C．1 D．2 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）当和时，分别求出下列函数的函数值： (1)； (2)； (3)． 易错21 函数图象识别 1．（25-26八年级下·广东汕头·阶段检测）下列各曲线中哪些表示y不是x的函数（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）下列各图象中，变量不是的函数的是（     ） A．B．C． D． 3．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列曲线中，能表示y是x的函数的是（    ） A．B． C． D． 易错22 从函数图象中获取信息 1．（25-26八年级下·广东江门·期中）如图，小明从家跑步到儿童公园，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y（米）与时间t（分）的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行__________米． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）4月2日，贵阳突降冰雹，政府部门立即开展救援物资配送．已知在配送物资过程中，物资车离分拣中心的距离和行驶时间之间的函数关系如下图所示，根据图中的信息，下列说法错误的是（　　） A．物资车往返总路程为 B．物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度慢于出发后第1个小时内的速度 C．物资车中途卸货停留0.5小时 D．物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度逐渐变小 3．（25-26八年级下·广西钦州·阶段检测）周六，小峰去博物馆参观学习．他从家出发，先去早餐店吃完早餐，然后继续骑自行车去博物馆，参观完博物馆后直接骑自行车回家，如图是小峰离家的距离（）和小峰离家的时间（）之间的关系．根据图象完成下列各题： (1)在这个过程中，自变量是________，因变量是_______； (2)博物馆离家的路程为________，小峰在博物馆参观的时间为________； (3)小峰从博物馆骑自行车回家的平均速度是多少？ 4．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）小颖放学步行从学校回家，当她走了一段路后，想起要去买彩笔做画报，于是原路返回到刚经过的文具用品店，买到彩笔后继续往家走，如图所示为小颖离家的距离（）与所用时间（）的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)自变量是________，因变量是________； (2)小颖家与学校的距离是________； (3)小颖本次从学校回家的整个过程中，走的路程是多少米？ (4)买到彩笔后，小颖从文具用品店回到家步行的平均速度是多少？ 易错23 根据定义求参数 1．（25-26八年级下·北京·开学考试）若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知函数是关于的一次函数，则的值为_____． 3．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）当________时，函数是关于x的一次函数． 4．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）已知函数． (1)当，为何值时，是的一次函数？ (2)当，为何值时，是的正比例函数？ 易错24 判断一次函数图像 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·三模）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数和，函数和的图象可能是（    ） A．B．C．D． 易错25 已知函数经过的象限求参数范围 1．（25-26八年级下·福建泉州·期中）一次函数的图象不经过第四象限，则（   ） A． ， B． ， C． ， D．， 2．（25-26八年级下·北京·期中）是关于的一次函数，图象过第一、二、三象限，则的取值范围是______． 3．（25-26八年级下·上海·阶段检测）一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是_____． 4．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知关于的一次函数． (1)若该一次函数的图象过，求一次函数表达式： (2)当该一次函数的随的增大而减小，且图象经过第三象限时，求实数的取值范围． 易错26 一次函数平移问题 1．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）将直线平移后，得到直线，则原直线（     ） A．向上平移了个单位长度 B．向下平移了个单位长度 C．向左平移了个单位长度 D．向右平移了个单位长度 2．（2026·山东聊城·模拟预测）在平面直角坐标系中，将直线向右平移两个单位得到直线，则直线的表达式是______． 3．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）将直线向左平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（     ） A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于 C．与y轴交于 D．y随x的增大而减小 4．（25-26八年级下·河南周口·期中）将一次函数的图象向下平移3个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则m的值为（   ） A．2 B． C．8 D． 易错27 一次函数与方程（组） 1．（2026·贵州·模拟预测）如图，一次函数的图象经过点和，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）如图，一次函数与图像的交点是，观察图像，直接写出方程组的解为______ 4．（25-26八年级下·北京·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（     ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x，y的方程组的解是 D．不等式的解集是 易错28 一次函数与不等式（组） 1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（a，b是常数）的图像经过第一、二、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东东营·期中）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为______． 3．（25-26八年级下·广西钦州·阶段检测）一次函数和的图象如图所示，则关于的不等式的解集是_______． 4．（2026·广东清远·二模）如图，函数和的图象相交于点，则的解集为（     ） A． B． C． D． 易错29 忽略分类讨论导致漏解 1．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴交于点，与直线交于点，且点的横坐标为1． (1)求直线的表达式； (2)若点在直线上，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 2．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点；直线经过点和点，且与相交于点，连接． (1)填空：______，点的坐标为______； (2)根据图象写出的解集； (3)求的面积； (4)已知点为轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点的坐标． 3．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出此函数的图象；观察图象，当时，x的取值范围是 ； (3)若点C是y轴上一点，且的面积为2，求点C的坐标． 4．（25-26八年级下·江苏南通·期中）已知直线解析式为，过点，． (1)求直线的解析式； (2)过点作垂直于轴的直线，与直线交于点． ①当时，求的取值范围； ②若，点是直线上的一点，直线将的面积分成的两部分，求点的坐标． 易错30 求加权平均数时忘了每个数据的权 1．（25-26八年级下·天津·期末）家乐福超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是（     ）分． 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩（分数） 70 80 92 A． B．80 C．92 D．以上都不对 2．（2026·浙江温州·二模）某校举办舞蹈比赛，“技术难度、艺术表现、整体编排”三个项目在总分中所占的比例分别为，，．小红技术难度得分分，艺术表现得分分，整体编排得分分，则最终得分是______分． 3．（2026·广西贺州·二模）某校广播站在一次招聘中，分口语表达和写作能力两部分，口语表达和写作能力成绩按计算最终成绩，小丽的口语表达成绩为分，写作能力成绩为分，则小丽的最终成绩为________分． 4．（2026·山东青岛·二模）相声是一种民间说唱曲艺，它以说、学、逗、唱为形式．某相声社要招聘一名相声学徒，通过考察，甲乙两人的各项得分如下表，若将“说、学、逗、唱”四种功夫按照、、、的百分比确定最终得分，则_____将被录取．（填甲或乙） 说功 学功 逗功 唱功 甲 80 85 90 95 乙 90 80 95 85 易错31 求四分位数忘排序 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）现有一组数据分别为： ，则上四分位数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（    ） A． B．168 C．124 D．150 3．（2026八年级下·全国·专题练习）小高将初中以来数学成绩进行排序，结果是：89，91，91，92，94，96，96，98，98，98．这组成绩的上四分位数是（　　） A．91 B．94 C． D．98 4．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的上四分位数为________． 易错32 按要求选择合适的统计量 1．（2026·山西阳泉·二模）某校九年级期中考试后，未公布全校排名，但公布了全校九年级学生期中考试成绩的部分统计量．若该校九年级的学生小明想知道自己的成绩是否超过全校九年级一半的学生，则他最应该关注的统计量为（） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 2．（2026·广东广州·一模）有15人参加学校举办的歌咏比赛，小明要想知道自己是否进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 3.（2026·浙江台州·一模）某篮球队原来有10名队员，他们的身高（单位：）数据如下：163，164，166，166，172，172，174，176，180，190．后来招收了一名新队员，其身高数据也被纳入到原来队员的身高数据中．对比前后两组数据，下列统计量一定保持不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 4．（2026·江苏无锡·一模）小明在3月份随机统计了7天同一时段通过某路口的汽车流量如下： 汽车流量（辆） 天数（天） 如果要估算3月份在这个时段通过该路口的汽车总流量，小明需要计算这组数据的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期末复习易错题32个易错点 【新教材人教版】 第19章 二次根式 【易错1 二次根式有意义的条件】............................................................................................................2 【易错2 二次根式的性质化简】................................................................................................................3 【易错3 忽略隐含条件】............................................................................................................................5 【易错4 二次根式的混合运算】................................................................................................................7 【易错5 已知条件式，化简求值】..........................................................................................................10 【易错6 比较二次根式大小】..................................................................................................................11 第20章 勾股定理 【易错7 主观确定斜边】..........................................................................................................................15 【易错8 概念不明确】..............................................................................................................................16 【易错9 忽略高在三角形外】..................................................................................................................19 【易错10 勾股定理与无理数】................................................................................................................23 【易错11 分类讨论时考虑不全面】........................................................................................................24 第21章 四边形 【易错12 多边形内角和、外角和综合】................................................................................................28 【易错13 多边形对角线条数问题】........................................................................................................30 【易错14 多边形截角后的问题】............................................................................................................31 【易错15 混淆平行四边形与特殊平行四边形的性质】.........................................................................33 【易错16 混淆平行四边形与特殊平行四边形的判定】.........................................................................34 【易错17 平行四边形与特殊平行四边形性质的应用】.........................................................................36 【易错18 不能准确识别中点四边形形状】.............................................................................................40 第22章 函数 【易错19 函数的相关概念】.....................................................................................................................43 【易错20 求自变量或函数值】.................................................................................................................46 【易错21 函数图象识别】.........................................................................................................................47 【易错22 从函数图象中获取信息】.........................................................................................................48 第23章 一次函数 【易错23 根据定义求参数】.....................................................................................................................51 【易错24 判断一次函数图像】.................................................................................................................53 【易错25 已知函数经过的象限求参数范围】.........................................................................................55 【易错26 一次函数平移问题】.................................................................................................................56 【易错27 一次函数与方程（组）】...........................................................................................................58 【易错28 一次函数与不等式（组）】.......................................................................................................61 【易错29 忽略分类讨论导致漏解】.........................................................................................................63 第24章 数据的分析 【易错30 求加权平均数时忘了每个数据的权】.....................................................................................70 【易错31 求四分位数忘排序】.................................................................................................................72 【易错32 按要求选择合适的统计量】.....................................................................................................73 易错1 二次根式有意义的条件 1．（25-26八年级下·河南商丘·期中）使得式子在实数范围内有意义的的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【详解】解：∵ 式子在实数范围内有意义， ∴  ，， 解得，， ∴ 的取值范围是且． 2．（2026·浙江舟山·一模）若二次根式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， x的取值范围是． 3．（2026·江苏连云港·二模）在函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时满足二次根式的被开方数为非负数，且分母不为0，据此列不等式求解即可. 【详解】∵函数 中， 是二次根式且在分母位置， ∴被开方数需满足 ，同时分母满足 ， 联立得 ， 解得 ． 4．（25-26八年级下·吉林松原·期中）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵有意义， ∴，且， 解得：且 ∴的取值范围是且 易错2 二次根式的性质化简 1．（25-26八年级下·江西宜春·期中）如果，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据二次根式的性质，可得 ． ∵，即， ∴， 解得． 2．（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用数轴判断和的正负，再进行求解． 【详解】解：由图可知：， ∴， ． 3．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为______． 【答案】 【分析】由数轴可知：，得到，进而化简代数式即可. 【详解】解：由数轴可知：， ∴ ∴原式 . 4．（2026八年级下·全国·专题练习）已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简． 【答案】 【分析】由三角形三边关系求得c的取值范围；然后判断被开方数的正负，再化简开方，计算． 【详解】解：由三边关系定理，得，即， ∴， ∴原式 ． 易错3 忽略隐含条件 1．（25-26八年级下·安徽池州·期中）已知，则二次根式化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简，结合的条件去掉绝对值符号，即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数满足． ∵， ∴，因此可得， ． ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·湖北荆门·期中）化简：化成最简二次根式为______． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的符号，再利用二次根式的性质化简为最简二次根式． 【详解】解：由题意可得：，且， 解得：， ． 3．（25-26八年级上·上海·阶段检测）化各式为最简二次根式：①___________；②__________； 【答案】 【分析】本题考查化简二次根式，根据化简即可． 【详解】解：① ②． 故答案为：，． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读下面一题的解答过程，并判断是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程． 已知为实数，化简． 解：． 【答案】不正确．正确的解答过程见解析 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握先根据二次根式有意义的条件确定字母的符号，再结合二次根式的乘法法则化简，同时正确处理根号化简后的绝对值符号是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定a的符号，再依据二次根式的乘法法则化简，同时注意根号化简后绝对值的符号处理． 【详解】解：不正确．正确的解答过程如下： ，， ， ， ∴， ∴． 易错4 二次根式的混合运算 1．（25-26八年级下·山东临沂·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简每个二次根式，再合并二次根式求解即可； （2）根据二次根式的性质化简每个式子，然后求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ． 3．（25-26八年级下·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题是二次根式的混合运算题，整体解题思路为先将所有二次根式化为最简二次根式，再按照运算顺序计算，二次根式乘除运算可将系数与被开方数分别运算后再化简，加减运算合并同类二次根式，涉及多项式乘法的部分可以利用完全平方公式，平方差公式简化计算． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 易错5 已知条件式，化简求值 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过已知条件求出的值，再计算，最后根据二次根式的性质开方得到结果. 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴. 2．（25-26八年级下·贵州黔东南·阶段检测）若，，则代数式的值等于____． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式法则将所求代数式展开，再整体代值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 即代数式的值等于． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则_________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式对所求代数式变形，得到，结合已知条件求出平方后的结果，最后开方取正根即可得到答案． 【详解】解： 将代入得： ， ∵， ∴． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行变形，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，代入得， 易错6 比较二次根式大小 1．（25-26八年级下·广东广州·期中）比较大小：_______，_______2，_______． 【答案】 < < > 【分析】实数的大小比较方法： 比较带二次根号的正数，可通过比较被开方数的大小判断结果；比较两个负数，先比较两个数的绝对值，再根据负数大小比较法则判断． 【详解】解：①比较和， ， ； ②比较和， ， ，即； ③比较和， ，， ， ，即， ． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】两个数都是正数，可通过比较平方的大小判断原数大小，正数的平方越大，原数越大． 【详解】解： ， ，，， ∵， ∴． 3．（25-26八年级下·广西钦州·期中）阅读材料，并解决问题． 定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如： 将分母有理化． 解：原式． 运用以上方法解决下列问题： (1)将分母有理化； (2)比较大小： 填写“”，“”或“”)； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平方差公式先分子和分母都乘以即可解答； （2）先分母有理化，然后再比较大小即可； （3）先分母有理化，最后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：． （2）解：，， ∵ ∴． 故答案为：． （3）解： ． 4．（25-26八年级下·湖北孝感·期中）阅读下面的材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式． 例如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 解：，， ∵， ∴． (1)对二次根式进行“分子有理化”； (2)比较和的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用题干中的方法将分子有理化即可； （）利用题干中的方法先将它们分子有理化，通过比较倒数的大小得出结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， ∵， ∴， ∴． 易错7 主观确定斜边 1．（25-26八年级下·广东肇庆·期中）已知一个直角三角形的两直角边长分别为6和8，则第三边的长是（    ） A．10 B．10或 C． D．或 【答案】A 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为和，第三边为斜边， ∴根据勾股定理，第三边长为． 2．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）若，则以为边的直角三角形斜边长为（    ） A． B．3 C．或3 D．13 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出的值，进而得到的值，再分情况讨论直角三角形的斜边，结合勾股定理计算得到结果． 【详解】解：∵二次根式中被开方数非负， ∴， 解得． 将代入原式得． 分两种情况讨论：①若是直角三角形的斜边，则斜边长为． ②若，都是直角边，根据勾股定理，斜边长为． 因此直角三角形斜边长为或． 3．（25-26八年级下·广西玉林·期中）直角三角形有两边长分别为3，4，则该直角三角形第三边的长度为_____． 【答案】5或/或5 【分析】题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析． 【详解】解：当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为； 当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为， 故该直角三角形第三边的长度为5或． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在中，，，则点到的距离为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查勾股定理和点到直线的距离，分两种情况讨论：当为直角边时和当为斜边时． 【详解】解：（Ⅰ）当为直角边时，过点作的垂线，交于点，线段的长度即为点到的距离． 在中，． 因为， 所以． （Ⅱ）当为斜边时，线段的长度即为点到的距离，即点到的距离为． 综上所述，点到的距离为或． 易错8 概念不明确 1．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列各组数中，能构成直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理判断，若三角形两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，逐一计算验证即可． 【详解】解：A选项，最长边为，，，，不能构成直角三角形，故A不符合题意； B选项，最长边为，，，，不能构成直角三角形，故B不符合题意； C选项，最长边为，，，，能构成直角三角形，故C符合题意； D选项，最长边为，，，，不能构成直角三角形，故D不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A． B．0.3，0.4，0.5 C．6，8，10 D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数需同时满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是较小两个数的平方和等于最大数的平方，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A．不是正整数，因此不是勾股数； B．0.3，0.4，0.5都不是正整数，因此不是勾股数； C．6，8，10都是正整数，∵， ∴，因此6， 8， 10是勾股数； D．都不是正整数，因此不是勾股数． 3．（25-26八年级下·青海西宁·期中）在中，，，的对边分别是，，，下列条件所对应的中，不是直角三角形的是（     ） A． B．，， C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的判定，利用三角形内角和定理与勾股定理逆定理，计算各选项的角度或边长关系，即可求解． 【详解】解：∵三角形内角和为， 对选项A，设，由， 得，， 则， 解得 ，则，，，三个内角均不为，故△ABC不是直角三角形； 对选项B，，满足勾股定理逆定理， 是直角三角形； 对选项C，设三个角分别为，，，则， 解得，得最大角， 是直角三角形； 对选项D，由移项得，满足勾股定理逆定理， 是直角三角形； 综上，不能判断为直角三角形的是A选项． 4．（25-26八年级下·广东珠海·期中）已知中，，，分别是，，的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A， ∵，三角形内角和为， ∴， ∴是直角三角形， ∴A不符合题意； 对于选项B， ∵，设， 则，根据三角形三边关系判断不是三角形，更不是直角三角形， ∴B符合题意； 对于选项C， ∵，， ∴， 整理得， ∴，是直角三角形， ∴C不符合题意； 对于选项D， ∵， ∴，由勾股定理逆定理得是直角三角形， ∴D不符合题意． 故选：B． 易错9 忽略高在三角形外 1．（25-26八年级下·广东广州·期中）已知直角三角形的两边分别为6和8，则斜边上的高是（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题需分两种情况讨论，即已知两边都为直角边，或8为斜边，利用勾股定理求出第三边，再根据三角形面积的两种表示方法求出斜边上的高． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当和均为直角边时，由勾股定理，斜边，设斜边上的高为，三角形面积，； ②当为斜边，为直角边时，由勾股定理，另一条直角边，设斜边上的高为，三角形面积，， 综上，斜边上的高为或． 2．（24-25七年级上·四川自贡·期中）在中，，边上的高，，则的面积为（   ） A．16 B．8 C．12 D．8或16 【答案】D 【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，分类讨论是解答的关键．分高在三角形的内部和外部求解即可． 【详解】解：根据题意，分两种情况： ①如图， ∵，， ∴， ∴； ②如图， ∵，， ∴， ∴； 综上，的面积为8或16， 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知，分别是的高和中线，若，，则的长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度；分为在内部和在外部两种情况进行分析，先分别求出的值，再结合三角形的中线定义，即可求解． 【详解】解：分两种情况： ①当在内部时，如图： 因为，， 所以． 因为是的中线， 所以， 所以； ②当在外部时，如图： 因为，， 所以． 因为是的中线， 所以， 所以． 综上所述，的长为或． 故选：D． 4．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）若等腰三角形一腰上的高长为，且与底边的夹角为，则这个等腰三角形的面积为（    ） A． B． C．6 D．或 【答案】A 【分析】据等腰三角形性质和直角三角形内角关系，判断高的位置，验证情况存在性，再利用含角的直角三角形性质和勾股定理计算边长，最后用三角形面积公式求解． 【详解】解：设等腰三角形为，，是腰上的高，，． ， ， ∴． ， ， ，． 设，则． 在中，由勾股定理得：， 解得． ． 若假设高在三角形内部， 等腰三角形为，，． ， ， ∴． ， ， ∴，矛盾，该情况不存在． 因此只有符合要求， 故选A． 易错10 勾股定理与无理数 1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，数轴上的点A与原点重合，点B表示的数是3，点C在数轴上方，连接，，且，以点A为圆心，为半径画弧交数轴于点D（点D在点B右侧），则点D表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结果. 【详解】解：由题意和勾股定理，得； 故点D表示的数为. 2．（25-26八年级下·广东汕头·期中）如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出图中直角三角形的斜边长度，再结合数轴上的位置确定点表示的数． 【详解】解：根据勾股定理，斜边长度为． ∴， 又∵该线段的一端在数轴上表示的点，另一端为点， ∴ 点表示的数． 3．（25-26八年级下·广西玉林·期中）如图，已知到数轴的距离为1，则数轴上点所表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得：，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴由图知，数轴上C点所表示的数为：． 4．（25-26八年级下·广西崇左·期中）如图，长方形的边落在数轴上，两点在数轴上对应的数分别为和，连接，以为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点E在数轴上所表示的数为（   ） A．3 B． C． D．2.2 【答案】C 【分析】根据勾股定理求得，进而根据数轴上的两点距离即可求得点E在数轴上所表示的数． 【详解】解：四边形是长方形，两点在数轴上对应的数分别为和， ， 依题意， 则点在数轴上所表示的数为． 易错11 分类讨论时考虑不全面 1．（25-26八年级下·江西上饶·阶段检测）如图，在由的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且是直角三角形，则符合要求的点C共有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【详解】解：如图所示，符合要求的点C的位置如图所示． 则符合要求的点C共有6个 2．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）在平面直角坐标系中，点，点在轴上，且为等腰三角形（为坐标原点），则点的坐标为______． 【答案】或或或 【分析】本题考查等腰三角形的基本性质以及勾股定理，能够对题目进行分类讨论是解题关键； 分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别利用两点间距离公式和勾股定理求解． 【详解】解：∵点，点在轴上， ∴，设点坐标为， ∴，， ①当时，则，解得或，故点B坐标为或； ②当时，则，解得或， 当时，两点重合，不构成三角形，故舍去，故点B坐标为； ③当时，则，解得，故点B坐标为； ∴综上，点的坐标可为或或或， 故答案为：或或或． 3．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）在平面直角坐标系中，以为原点，的坐标为，点在轴正半轴上．若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，分类讨论是解题的关键． 点在轴正半轴上，设坐标为，三角形为等腰三角形，有三种情况：，．分别计算每种情况下的值，排除无效点． 【详解】点，点， 情况1：； 情况2：， 平方得，解得； 情况3：， 则， ， 即或（舍去），； 综上，的坐标为． 故答案为：． 4．（20-21八年级下·吉林四平·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)3cm (2)t=1或 (3)t=或2或 【分析】（1）根据题意，在△ABC中，利用勾股定理求解即可； （2）由题意可知，分两种情况：①；②，代值求解即可； （3）由题意可知，分三种情况：①；②；③，分别结算求解即可． 【详解】（1）解：∵在△ABC中，，，， ∴BC=； （2）解：由题意可知，分两种情况：①；②， 设BP=3tcm，∠B≠90°： ①当∠APB=90°时，易知点P与点C重合， ∴BP = BC，即3t=3， ∴； ②当∠PAB=90°时，如下图所示： ∴CP=BP－BC=（3t－3）cm， ∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t=， 综上所述：当为直角三角形时，t=1或； （3）解：由题意可知，分三种情况：①；②；③， ①当时，如图所示： ； ②当时，如图所示： 根据等腰三角形“三线合一”可知，是边上的中线， ， ； ③当时，如图所示： 设，则， 在中，，，，，则由勾股定理可得，即，解得， ， ， 综上所述：t=或2或． 【点睛】本题考查三角形中的动点问题，涉及到勾股定理求线段长、三角形为直角三角形的讨论和三角形为等腰三角形的讨论等知识，熟练掌握相关知识点及分类情况是解决问题的关键． 易错12 多边形内角和、外角和综合 1．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是（   ） A．五 B．六 C．七 D．八 【答案】B 【分析】多边形的外角和恒为，根据题意可得内角和，再结合多边形内角和公式，其中为边数，列方程求解即可； 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵ 任意多边形的外角和为，该多边形内角和是外角和的倍，且边形内角和为， ∴ 列方程得 解得 ， 因此这个多边形的边数是六． 2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有（    ）条 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】设这个多边形的边数为，根据题意列方程求出这个多边形的边数，再根据以边形的一个顶点为端点的对角线有条求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵一个多边形的内角和与外角和的和是，多边形的外角和等于， ∴， 解得， ∴以这个多边形的一个顶点为端点的对角线条数为（条）． 3．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）已知一个正多边形的内角和是其外角和的4倍，求这个正多边形每一个外角的度数． 【答案】该正多边形每个外角的度数为． 【详解】解：设这个正多边形的边数为，依题意，得， 解得， ， 该正多边形每个外角的度数为． 4．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）已知一个多边形的每个外角都相等，且它的一个内角与其相邻外角的度数之比为，求这个多边形的边数． 【答案】9 【分析】利用内角与相邻的外角互补求解这个多边形一个外角的度数，再根据多边形的外角和进一步求解即可． 【详解】解：由题意得，这个多边形一个外角的度数为：， 这个多边形的边数为：． 易错13 多边形对角线条数问题 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）填空： （1）从四边形的一个顶点出发可以画出_________条对角线，四边形共有_________条对角线； （2）从五边形的一个顶点出发可以画出_________条对角线，五边形共有_________条对角线； （3）从六边形的一个顶点出发可以画出_________条对角线，六边形共有_________条对角线； （4）从n边形的一个顶点出发可以画出_________条对角线，n边形共有_________条对角线． 【答案】 【分析】通过计算得到特殊多边形从一个顶点出发的对角线条数与对角线总条数，再归纳推理得到边形的一般规律． 【详解】解：根据对角线的定义，从多边形一个顶点出发，不能向自身以及相邻的两个顶点作对角线，据此计算得： （1）从四边形的一个顶点出发可以画出的对角线条数为，四边形对角线总条数为； （2）从五边形的一个顶点出发可以画出的对角线条数为，五边形对角线总条数为； （3）从六边形的一个顶点出发可以画出的对角线条数为，六边形对角线总条数为； （4）对于边形，从一个顶点出发，共有个顶点（自身与两个相邻顶点）不能作对角线，因此从一个顶点出发可以画出条对角线，个顶点共得到条对角线，由于每条对角线被两个顶点重复计算一次，因此边形对角线总条数为． 2．（25-26八年级下·云南昭通·期中）从六边形的一个顶点出发可以作________条对角线，它将六边形分成________个三角形． 【答案】 3 4 【详解】解：对于边形，从一个顶点出发，不能向自身以及相邻两个顶点引对角线，因此从一个顶点出发可引出对角线的条数为． 本题中六边形，因此可以作对角线条数为． 从一个顶点引出条对角线后，可将边形分成个三角形，因此六边形分成三角形的个数为． 3．（25-26八年级下·云南普洱·期中）从七边形一个顶点出发，最多可引________条对角线． 【答案】 【分析】边形从一个顶点出发可以引条对角线，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴从七边形一个顶点出发，最多可引条对角线． 4．（25-26八年级下·重庆潼南·期中）一个正边形的每个内角为，这个正边形的所有对角线的条数为_____． 【答案】27 【分析】先根据正多边形的内角度数求出每个外角的度数，再根据多边形外角和为求出正多边形的边数，最后利用边形对角线条数公式计算即可. 【详解】解：∵一个正边形的每个内角为， ∴每个外角的度数为， ∵多边形的外角和为， ∴这个正多边形的边数， ∴这个正多边形所有对角线的条数为． 易错14 多边形截角后的问题 1．（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）把一个四边形截去一个角，剩下的多边形是（   ） A．三角形或四边形 B．四边形或五边形 C．三角形或五边形 D．三角形或四边形或五边形 【答案】D 【分析】根据截线经过的位置不同分三种情况讨论，即可得到剩下多边形的形状。 【详解】解：分三种情况讨论： ∵当截线经过四边形的两个不相邻顶点，即沿对角线截去一个角时，剩余多边形为三角形； 当截线经过四边形的一个顶点和不与该顶点相邻的边上的一点时，剩余多边形为四边形； 当截线经过四边形相邻两条边上非顶点的两点时，剩余多边形为五边形； ∴剩下的多边形是三角形或四边形或五边形． 2．（25-26八年级下·山东德州·期中）若一个多边形截去一个角后，变成七边形，则原来的多边形的边数不可能为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】多边形截去一个角共有三种不同截法，对应截后边数分别比原多边形多1，不变，少1，根据截后得到七边形，反向推导原多边形的可能边数即可得到答案． 【详解】解：多边形截去一个角，存在三种情况： （1）截线不经过原多边形的另外两个顶点，此时截后多边形边数原多边形边数， ∵ 截后多边形为七边形，边数为7， ∴ 原多边形边数为； （2）截线经过原多边形的1个顶点，此时截后多边形边数原多边形边数 ∴ 原多边形边数为； （3）截线经过原多边形的2个顶点，此时截后多边形边数原多边形边数， ∴ 原多边形边数为； 综上，原多边形的边数可能为6，7，8，不可能为5． 3．（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A．8或9 B．9或10 C．8或9或10 D．9或10或11 【答案】D 【分析】先根据多边形内角和公式求出新多边形的边数，再根据多边形截去一个角的三种情况，讨论得到原多边形的边数． 【详解】解：设内角和为的新多边形的边数是，根据多边形内角和公式可得 ， 解得， ∵多边形截去一个角共有三种情况， ①截线不过原多边形顶点时，新多边形边数比原多边形多， ②截线过原多边形一个顶点时，新多边形边数与原多边形相等， ③截线过原多边形两个顶点时，新多边形边数比原多边形少， ∴原多边形边数为或或，即原来多边形的边数是或或． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）若一个多边形的内角和为，则将该多边形截去一个角后，剩下的多边形的内角和不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据多边形内角和公式求出原多边形的边数，再分析截去一个角后新多边形的三种边数情况，分别计算内角和即可得到不可能的结果． 【详解】解：设原多边形的边数为， 根据多边形内角和公式可得， 解得， 即原多边形为六边形． 截去一个角后，新多边形的边数有三种情况： 1．截线不经过原多边形的顶点，新多边形边数为，内角和为； 2．截线经过原多边形的一个顶点，新多边形边数仍为，内角和为； 3．截线经过原多边形的两个顶点，新多边形边数为，内角和为． 因此剩下多边形的内角和不可能为． 易错15 混淆平行四边形与特殊平行四边形的性质 1．（25-26八年级下·重庆长寿·期中）平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且相等 C．对角线互相垂直平分且相等 D．四条边相等，四个角相等 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形，菱形，矩形，正方形的基本性质，只需对比各图形的性质，找出四个图形共同具备的性质即可. 【详解】解：∵ 平行四边形的对角线互相平分，对角线不相等也不垂直，四条边不都相等； 菱形的对角线互相垂直平分，对角线不相等，四个角不都相等； 矩形的对角线相等且互相平分，对角线不垂直，四条边不都相等； 正方形的对角线互相垂直平分且相等，四条边相等，四个角相等； ∴ 四个图形都具有的性质只有对角线互相平分，因此选项A正确. 2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】D 【详解】解：矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等． 3．（25-26八年级下·湖南永州·期中）下列说法错误的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的每一条对角线平分一组对角 D．正方形的对角线相等、互相垂直且平分 【答案】B 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关性质逐一判断即可得到错误说法． 【详解】解：A、平行四边形的基本性质是对角线互相平分，原说法正确，不符合题意； B、矩形的对角线性质是相等且互相平分，不一定互相垂直，原说法错误，符合题意； C、菱形的每一条对角线平分一组对角，原说法正确，不符合题意； D、正方形的对角线相等、互相垂直且平分，原说法正确，不符合题意； 4．（25-26八年级下·湖北黄石·期中）下列说法不正确的是（    ） A．矩形的对角线相等且互相平分 B．菱形的对角线垂直且互相平分 C．正方形的对角线相等、垂直且互相平分 D．平行四边形是轴对称图形 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质以及特殊平行四边形的性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ 矩形的对角线性质为对角线相等且互相平分， ∴A选项说法正确，不符合题意； ∵菱形的对角线性质为对角线互相垂直平分， ∴B选项说法正确，不符合题意； ∵正方形的对角线性质为对角线相等，垂直且互相平分， ∴C选项说法正确，不符合题意； ∵普通平行四边形找不到对称轴，不是轴对称图形， ∴D选项说法错误，符合题意． 易错16 混淆平行四边形与特殊平行四边形的判定 1．（20-21八年级下·浙江台州·期末）下列命题中，不成立的是（    ） A．三个角都是直角的四边形是矩形 B．对角互补的平行四边形是矩形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，利用矩形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、三个角都是直角的四边形是矩形，成立，不符合题意； B、对角互补的平行四边形是矩形，成立，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，成立，不符合题意； D、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线相等但不是矩形，故该命题不成立，符合题意． 故选：D． 2．（25-26八年级下·福建南平·期中）下列命题中正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项，对角线相等的平行四边形才是矩形，对角线相等的任意四边形不一定是矩形，因此A错误． B选项，有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，有一组邻边相等的任意四边形不一定是菱形，因此B错误． C选项，四边形内角和为，若三个角为直角，则第四个角为，即四个角都是直角，因此该四边形是矩形，因此C正确． D选项，一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，因此D错误． 3．（25-26八年级下·福建龙岩·期中）下列命题中是假命题的是（   ） A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B．四条边相等的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】D 【分析】根据平行四边形及特殊四边形的判定定理，逐一判断各命题的真假即可得到结果． 【详解】解：A选项，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，符合正方形的判定定理，是真命题，不符合题意． B选项，四条边相等的四边形是菱形，符合菱形的判定定理，是真命题，不符合题意． C选项，对角线相等的平行四边形是矩形，符合矩形的判定定理，是真命题，不符合题意． D选项，一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，因此该命题是假命题，符合题意． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是菱形 【答案】B 【详解】解：A、当时，四边形是菱形，正确； B、当时，四边形是矩形，不是正方形，故错误； C、当时，四边形是矩形，正确； D、当时，四边形是菱形，正确． 易错17 平行四边形与特殊平行四边形性质的应用 1．（25-26八年级下·海南海口·期中）如图，在中，对角线，相交于点，过点的直线交于点，交于点，且，若，则阴影部分面积是______． 【答案】 【分析】先证，得，所以，又因为，所以，再根据平行四边形性质得，所以，把代入即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 2．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，点E在上，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由矩形的性质可得，，，，，从而可得，，由等边对等角并结合题意可得，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）如图，四边形是菱形，，，于，则的长是（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】菱形对角线互相垂直平分，先利用对角线求出菱形面积与边长，再根据“菱形面积底高”，以为底、为高建立等式，求解长度． 【详解】解：四边形是菱形，， ， 由勾股定理：， ， ， 故菱形面积也可表示为代入已知数值： ， ． 4．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 根据旋转的性质，， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积． 易错18 不能准确识别中点四边形形状 1．（25-26八年级下·广西北海·期中）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】连接矩形的两条对角线，利用三角形中位线定理得到新四边形各边与矩形对角线的关系，结合矩形对角线相等的性质，推出新四边形四边相等，根据菱形的判定定理得到结果． 【详解】解：连接矩形的对角线和，设分别为矩形各边的中点．    ∵分别是矩形各边的中点， ∴，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 2．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点若四边形为菱形，则对角线，应满足的条件是（    ） A． B． C．与相互平分 D．不确定 【答案】B 【分析】先根据三角形的中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形和菱形的关系即可解答． 【详解】解：∵四边形中，E，F，G，H分别是边的中点， ∴在中，为的中位线， ∴且； 同理：且；，， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴应满足条件，即， ∴． 3．（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，点E、F、G、H分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据特殊四边形的判定与性质逐项分析判断即可解答． 【详解】解：∵点分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则，即， ∴四边形为矩形，即①正确； ②若，则， ∴四边形为菱形，即②正确； ③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，，即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是3个． 4．（2026·内蒙古通辽·三模）中国传统剪纸艺术讲究“对称精巧，形意兼备”，其图案设计常蕴含几何规律．如图是某剪纸作品中的四边形，点，，，分别是边的中点，顺次连接，，，得到四边形．已知对角线，，且，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过论证中点四边形是矩形来求面积即可. 【详解】解：∵分别是的中点， ∴， 同理：， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是矩形， ∴. 易错19 函数的相关概念 1．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中是一条折线）．则这个容器的形状可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象越陡峭速度越快进行分析即可． 【详解】解：∵最陡峭，次之，最平缓， ∴该容器顶部水面上升速度最快，中间段水面上升速度最慢， 只有A符合题意． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列4个关系式中：① ② ③ ④，y不是x的函数的有_________个． 【答案】1 【分析】根据函数的定义，判断每个关系式中，对的任意一个确定的值，y是否有唯一确定的值与之对应，统计不满足条件的个数即可得到结果． 【详解】解：根据函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量和，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，则称是的函数， ① ，对于的每一个确定的值，有唯一确定的值与之对应，因此是的函数； ② ，对于的每一个不为的确定的值，有唯一确定的值与之对应，因此是的函数； ③ ，当取任意一个正数时，有两个不同的确定的值与之对应，因此不是的函数； ④ ，对于的每一个确定的值，有唯一确定的值与之对应，因此是的函数； 综上，不是的函数的有个． 3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）截至2025年，“天宫课堂”系列太空授课活动在中国空间站持续开展，中国航天员（太空教师团队）通过多场别开生面的太空课，持续引发学生探究科学的热潮．小颖把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，已知该弹簧最大能够承受的重物，下表是实验中小颖记录的弹簧长度与所挂物体质量的对应值： 所挂物体的质量 0 2 4 6 8 10 弹簧的长度 15 18 21 24 27 30 (1)在这个变化过程中，___________是自变量； (2)设所挂物体的质量为，弹簧的长度，则与之间的关系式为___________，自变量的取值范围是___________； (3)当弹簧长度为时，求所挂物体的质量为多少． 【答案】(1)所挂物体的质量 (2)， (3) 【分析】（1）根据变量的定义即可得出答案； （2）根据表格得出不挂物体时，弹簧的长度为，当所挂物体的质量每增加时，弹簧的长度增加，得出伸长量与增加的质量的关系，即可解答； （3）将代入，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵在这个变化过程中，弹簧的长度随着所挂物体的质量的变化而变化， ∴所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量； （2）解：从表中数据可知，不挂物体时，弹簧的长度为 ，当所挂物体的质量每增加时，弹簧的长度增加， ∵， ∴当所挂物体的质量每增加，弹簧的长度就伸长， ∴y与x之间的关系式为． ∵弹簧最大能够承受的重物， ∴自变量x的取值范围是； （3）解：将代入， 得， 所以， 所以当弹簧的长度为时，所挂物体的质量为 4．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）如图，在一个边长为的正方形的四个角处，都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，两个变量分别是_________，_________． (2)如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请用含的代数式表示． (3)当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？ 【答案】(1)小正方形的边长，阴影部分的面积 (2) (3)阴影部分的面积由减小到 【分析】（1）根据题意可知阴影部分的面积随着小正方形的边长的变化而变化，故两个变量分别为小正方形的边长和阴影部分的面积； （2）根据阴影部分的面积=大正方形的面积－小正方形的面积列式即可； （3）分别计算出小正方形的边长为1cm，3cm时阴影部分的面积，即可确定阴影部分的面积的变化情况． 【详解】（1）解：自变量是小正方形的边长，函数为阴影部分的面积； （2）解：大正方形的面积为，4个小正方形的面积为，则 阴影部分的面积为； （3）解：当时，， 当时，， 当小正方形的边长由1cm变化到3cm时，阴影部分的面积由减小到． 易错20 求自变量或函数值 1．（25-26八年级下·四川内江·期中）下列函数中，自变量x的取值范围是的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出每个选项中自变量的取值范围，再选出符合要求的选项即可． 【详解】解：A、，解得，不符合要求； B、，解得，不符合要求； C、，解得，不符合要求； D、，解得，符合要求． 2．（25-26八年级下·四川内江·期中）在函数中，自变量x的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为0，列不等式组求解即可． 【详解】解：∵函数同时含有二次根式和分式， ∴二次根式满足被开方数非负，分式满足分母不为0， ∴， 解得：且． 3．（25-26八年级下·吉林松原·期中）已知y与x之间的函数解析式为，当时，自变量x的值是（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】将代入解析式，解一元一次方程即可得到自变量的值． 【详解】解：∵函数解析式为，且， ∴将代入解析式得 ， 解得． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）当和时，分别求出下列函数的函数值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) 当时，；当时， (2) 当时，；当时， (3) 当时，；当时， 【分析】直接将数值代入函数关系式，再计算即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； （2）解：当时，； 当时，； （3）解：当时，； 当时，． 易错21 函数图象识别 1．（25-26八年级下·广东汕头·阶段检测）下列各曲线中哪些表示y不是x的函数（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数． 【详解】解：根据题图可知，B、C、D三选项中，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数； A、对于x的值，存在y有两个值与之相对应，则y不是x的函数． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）下列各图象中，变量不是的函数的是（     ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，进行判断即可. 【详解】解：观察可知，只有选项D中的图象，当时，对于每一个，都有两个值对应，不是函数. 3．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）下列曲线中，能表示y是x的函数的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义：对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应逐一判断即可． 【详解】解：A．图象中出现给定一个x，可能有两个y值与它对应，不能表示是的函数，不合题意； B．图象中给定一个x，只有1个y值与它对应，能表示是的函数，符合题意； C．图象中出现给定一个x，可能有两个y值与它对应，不能表示是的函数，不合题意； D．图象中出现给定一个x，可能有两个y值与它对应，不能表示是的函数，不合题意． 易错22 从函数图象中获取信息 1．（25-26八年级下·广东江门·期中）如图，小明从家跑步到儿童公园，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程y（米）与时间t（分）的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行__________米． 【答案】80 【详解】解：根据函数图象可知：小明家离儿童公园有800米，回家的时间为（分钟）， ∴小明回家的速度是（米/分钟）． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）4月2日，贵阳突降冰雹，政府部门立即开展救援物资配送．已知在配送物资过程中，物资车离分拣中心的距离和行驶时间之间的函数关系如下图所示，根据图中的信息，下列说法错误的是（　　） A．物资车往返总路程为 B．物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度慢于出发后第1个小时内的速度 C．物资车中途卸货停留0.5小时 D．物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度逐渐变小 【答案】D 【分析】根据题意结合图象逐项分析即可. 【详解】解：物资车往返总路程为，故A不符合题意； 物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度为， 出发后第1个小时内的速度为， 物资车出发后第1.5小时到第3小时之间的平均速度慢于出发后第1个小时内的速度，故B不符合题意； 物资车中途卸货停留0.5小时，故C不符合题意； 物资车自出发后3小时至5小时之间行驶的速度不变，故D符合题意． 3．（25-26八年级下·广西钦州·阶段检测）周六，小峰去博物馆参观学习．他从家出发，先去早餐店吃完早餐，然后继续骑自行车去博物馆，参观完博物馆后直接骑自行车回家，如图是小峰离家的距离（）和小峰离家的时间（）之间的关系．根据图象完成下列各题： (1)在这个过程中，自变量是________，因变量是_______； (2)博物馆离家的路程为________，小峰在博物馆参观的时间为________； (3)小峰从博物馆骑自行车回家的平均速度是多少？ 【答案】(1)小峰离家的时间，小峰离家的距离 (2)3000，50 (3) 【分析】（1）根据自变量和因变量定义即可； （2）根据图象作答即可； （3）根据图象得出从博物馆到家的距离和回家的时间，再作答即可． 【详解】（1）解：由题意得：自变量是小峰离家时间，因变量是小峰离家的距离； （2）解：由图象得，博物馆离家的路程为，小峰在博物馆参观了； （3）解：小峰从博物馆骑自行车回家的平均速度为：． 4．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）小颖放学步行从学校回家，当她走了一段路后，想起要去买彩笔做画报，于是原路返回到刚经过的文具用品店，买到彩笔后继续往家走，如图所示为小颖离家的距离（）与所用时间（）的关系示意图，请根据图中提供的信息回答下列问题： (1)自变量是________，因变量是________； (2)小颖家与学校的距离是________； (3)小颖本次从学校回家的整个过程中，走的路程是多少米？ (4)买到彩笔后，小颖从文具用品店回到家步行的平均速度是多少？ 【答案】(1)时间，距离 (2)2600 (3)3400米 (4)90米/分 【分析】（1）根据自变量和因变量的定义进行判定即可解答； （2）根据图象可知，当时间为0时，距离为米，即可解答； （3）根据图象，分别求出小颖想起要去买彩笔时已经走的路程，返回到文具店走的路程，从文具店回到家走的路程，求和即可解答； （4）根据图象，求出小颖从文具店回到家的路程和时间，根据“速度＝路程÷时间”即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得，自变量是时间，因变量是距离． （2）解：根据题意可得，小颖家与学校的距离是米． （3）解：由图可得，小颖想起要去买彩笔时，已经走了（米）， 返回到文具店走了（米）， 从文具店回到家走了1800米， 所以小颖本次从学校回家的整个过程中，走的路程是（米）． （4）解：由图象可得，小颖从文具店回到家走了1800米，用了分钟， 所以小颖从文具用品店回到家步行的速度是（米/分）． 易错23 根据定义求参数 1．（25-26八年级下·北京·开学考试）若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正比例函数要求自变量的次数为1，且比例系数不为0，据此列关系计算即可． 【详解】∵是关于的正比例函数， ∴根据正比例函数的定义可得， 解，得，即， 由，得， ∴． 2．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知函数是关于的一次函数，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义可得的指数为1，且求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴且 ∴． 3．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）当________时，函数是关于x的一次函数． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义列出关于的关系式，再求解即可． 【详解】解：根据一次函数的定义可得， 解方程，得，即， 由，得， 因此． 4．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）已知函数． (1)当，为何值时，是的一次函数？ (2)当，为何值时，是的正比例函数？ 【答案】(1)，为任意实数时，是的一次函数； (2)当，时，是的正比例函数 【分析】本题根据一次函数和正比例函数的定义求解． 先根据一次函数“的次数为1且的系数不为0”的要求列出条件，求解得到的值，无限制；再根据正比例函数的定义，在一次函数条件的基础上增加常数项为0的条件，求解得到的值即可． 【详解】（1）解：若是的一次函数，需满足 由得， 解得或 由得 因此，此时可以为任意实数 即当，为任意实数时，是的一次函数． （2）解：若是的正比例函数，需满足 解得 即当，时，是的正比例函数． 易错24 判断一次函数图像 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数与系数的关系，由函数的图象位置可得，，然后根据系数的正负判断函数的图象位置． 【详解】解：函数的图象经过第一、二、三象限， ，， ， 函数的图象经过第一、二、四象限． 故选：C． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质和正比例函数的性质，根据两个函数图象所在象限分析的正负性，逐一判断即可得解． 【详解】解：选项A中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项A不符合题意； 选项B中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项B不符合题意； 选项C中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项C符合题意； 选项D中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项D不符合题意． 3．（2026·陕西西安·三模）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵中 ∴函数经过第一，三象限，故C选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第二，四象限，函数经过第一，二，三象限，故A选项符合题意；B选项不符合题意； 当时， ∴函数经过第一，三象限，函数经过第一，三，四象限，故D选项不符合题意． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数和，函数和的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图像与系数的关系，选定一个函数图象确定系数k，b的符号，看另一个函数图象的位置是否符合． 【详解】当时，与均过一、二、三象限，所以正确，不符合题意； 当时，过一、三、四象限，过一、二、四象限，所以选项不符合题意； 易错25 已知函数经过的象限求参数范围 1．（25-26八年级下·福建泉州·期中）一次函数的图象不经过第四象限，则（   ） A． ， B． ， C． ， D．， 【答案】B 【分析】当一次函数图象不经过第四象限时，可能经过第一、二、三象限，或仅经过第一、三象限，由此可解． 【详解】解：的图象不经过第四象限， 该图象经过第一、二、三象限，或仅经过第一、三象限， ，或，， 综上可得，，． 2．（25-26八年级下·北京·期中）是关于的一次函数，图象过第一、二、三象限，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象经过第一、二、三象限，可得一次项系数为正，常数项为正，列出不等式组解答即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∴的取值范围是． 3．（25-26八年级下·上海·阶段检测）一次函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，已知一次函数的一次项系数为，大于，直线必过第一、三象限，图象不经过第二象限，可得到的取值范围． 【详解】解：∵一次函数中，一次项系数为， ∴一次函数图象一定经过第一、三象限． ∵一次函数图象不经过第二象限， ∴． 4．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知关于的一次函数． (1)若该一次函数的图象过，求一次函数表达式： (2)当该一次函数的随的增大而减小，且图象经过第三象限时，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）理解题意，直接把代入计算，即可作答． （2）结合一次函数的性质以及一次函数的随的增大而减小，且图象经过第三象限，列出不等式组，再解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过， ∴， ∴， 解得． ∴． （2）解：∵该一次函数的随的增大而减小，且图象经过第三象限， ∴， ∴． 易错26 一次函数平移问题 1．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）将直线平移后，得到直线，则原直线（     ） A．向上平移了个单位长度 B．向下平移了个单位长度 C．向左平移了个单位长度 D．向右平移了个单位长度 【答案】A 【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可． 【详解】解：∵将直线平移后，得到直线， 设向上平移了a个单位， ∴， 解得：， 所以沿y轴向上平移了个单位，即向上平移8个单位. 2．（2026·山东聊城·模拟预测）在平面直角坐标系中，将直线向右平移两个单位得到直线，则直线的表达式是______． 【答案】/ 【分析】根据一次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”，对原直线表达式进行变换，计算即可得到平移后直线的表达式． 【详解】解：原直线表达式为， 根据一次函数图象平移规律，将直线向右平移个单位， ∴，即， ∴平移后直线的表达式为． 3．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）将直线向左平移2个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（     ） A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于 C．与y轴交于 D．y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】根据一次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”求出平移后的直线解析式，再结合一次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵将直线向左平移2个单位长度后得到直线， ∴平移后直线解析式为，即，， ∴直线经过第一、二、三象限，故A错误． 对于，令，得， 解得， ∴ 直线与轴交于，B错误． 对于，令，得， ∴ 直线与轴交于，C正确． 选项D：∵ ， ∴ 随的增大而增大，D错误． 4．（25-26八年级下·河南周口·期中）将一次函数的图象向下平移3个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则m的值为（   ） A．2 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数图象平移的规律得到平移后的解析式，再利用待定系数法代入已知点的坐标即可求解 【详解】解：将一次函数向下平移3个单位长度， 根据平移规律可得平移后的解析式为： ∵平移后的函数图象经过点 ∴将代入解析式得： 整理得： 解得： 易错27 一次函数与方程（组） 1．（2026·贵州·模拟预测）如图，一次函数的图象经过点和，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求解解析式为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴，解得：， ∴一次函数为， ∵即， 解得：， ∴方程的解是． 2．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的应用，熟练掌握一次函数的图像性质是解题的关键． 根据一次函数的交点求出点P的坐标，据此解答即可． 【详解】解：把点代入与得， ， ， ， 直线与相交于点， 关于的方程的解是， 故选：B． 3．（25-26八年级下·广东广州·阶段检测）如图，一次函数与图像的交点是，观察图像，直接写出方程组的解为______ 【答案】 【分析】根据图象交点坐标直接写出方程组的解即可． 【详解】解：一次函数与图象的交点是， 方程组的解为． 4．（25-26八年级下·北京·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（     ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x，y的方程组的解是 D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象与x轴的交点解答A，再根据两直线的交点解答B，C，然后根据直线在直线下方的部分的自变量取值解答D． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， 所以方程的解是，则A正确； ∵一次函数的图象和一次函数的图象交于点， ∴当时，两个函数值相等， 即方程的解是，则B正确； 方程组的解是，则C正确； 不等式的解集是，则D错误． 易错28 一次函数与不等式（组） 1．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知一次函数（a，b是常数）的图像经过第一、二、四象限，且与x轴交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数图象经过的象限判断a的符号，再结合与x轴的交点，确定时x的取值范围即可． 【详解】∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，函数值随的增大而减小， ∵一次函数图象与轴交于点， ∴当时，， 不等式，即， 结合函数增减性可得：． 2．（25-26七年级下·山东东营·期中）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】先将点代入，求出的值，再根据函数图象即可解答． 【详解】解：∵函数过点， ∴， 解得：， ∴， 当时，函数的图象在函数图象的上方， ∴不等式的解集为． 3．（25-26八年级下·广西钦州·阶段检测）一次函数和的图象如图所示，则关于的不等式的解集是_______． 【答案】 【分析】根据图象确定两直线交点横坐标，结合图象位置关系，找出图象高于图象时的取值范围． 【详解】解：由图象可知，一次函数与的交点坐标为， 不等式的解集是． 4．（2026·广东清远·二模）如图，函数和的图象相交于点，则的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定和的交点，作出的大体图象，然后根据图象判断． 【详解】解：∵的图象经过点， ∴， 当时，， 即在函数的图象上． 又∵在的图象上． ∴与相交于点． 则函数图象如图． 则不等式的解集为． 易错29 忽略分类讨论导致漏解 1．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴交于点，与直线交于点，且点的横坐标为1． (1)求直线的表达式； (2)若点在直线上，且的面积与的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】（1）由正比例函数解析式求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式； （2）根据一次函数的解析式求得B的坐标，然后设D点坐标为，分类讨论，当D在第二象限或第四象限时，分别求出D点坐标即可． 【详解】（1）解：将代入得， 点的坐标为． 将点代入中，得， 解得， 所以，函数表达式为； （2）解：∵一次函数为， 当时，则， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵点D在直线上， ∴设， ∵的面积与的面积相等， ∴， ①当点D在第二象限时，即时； ∵， ∴， 解得， ∴点D的坐标为； ②当点D在第四象限时，即时； ∴， 解得：， ∴点D的坐标为， 综上所述点D的坐标为或． 2．（25-26八年级下·河北保定·期中）如图，直线与轴交于点，与轴交于点；直线经过点和点，且与相交于点，连接． (1)填空：______，点的坐标为______； (2)根据图象写出的解集； (3)求的面积； (4)已知点为轴上一点，当时，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或 【分析】（1）将点代入直线的表达式求出的值，再联立直线与直线求出点的坐标； （2）结合图象判断解集即可； （3）先求出点和点的坐标，利用割补法求出的面积； （4）分两类讨论，当点在的左侧时，由，可得，则，求出直线的表达式，再求出点的坐标；当点在的右侧时，由勾股定理可计算出，，则，进而可得，容易证明，则，最后求出点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴直线的解析式为， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：由图象可知，在点以及点的右侧部分，直线不高于直线， ∴的解集为； （3）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴， ， ， ， ； （4）解：①当点在的左侧时，如图， ∵， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 将点代入，得， ∴直线的表达式为， 将点代入，得， ∴点的坐标为； ②当点在的右侧时，如图， 由勾股定理可得，，， 由（3）可知，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 3．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出此函数的图象；观察图象，当时，x的取值范围是 ； (3)若点C是y轴上一点，且的面积为2，求点C的坐标． 【答案】(1)这个一次函数的解析式是 (2)， (3)点C的坐标为或 【分析】（1）根据待定系数法求出关系式即可； （2）先画出图象，再根据函数的增减性解答； （3）设点C的坐标，再根据面积公式得出方程，求出解． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点和， ∴， 解得， 所以一次函数关系式为； （2）解：如图所示， 当时，，解得； 当时，，解得， ∵一次函数，其中， ∴一次函数值y随着x的增大而增大． 当时，， 即当时，； （3）解：设点，则，且， ∴， 解得或， ∴点或． 4．（25-26八年级下·江苏南通·期中）已知直线解析式为，过点，． (1)求直线的解析式； (2)过点作垂直于轴的直线，与直线交于点． ①当时，求的取值范围； ②若，点是直线上的一点，直线将的面积分成的两部分，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)①；②点的坐标为或或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①由题意得到，推出，利用，列出不等式，求解即可； ②分两种情况讨论，求解即可． 【详解】（1）解：∵直线过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ②当时，， ∴， ∵点是直线上的一点， ∴， ∴， 当时，即， 解得或， ∴点的坐标为或； 当时，即， 解得或， ∴点的坐标为或； ∴点的坐标为或或或． 易错30 求加权平均数时忘了每个数据的权 1．（25-26八年级下·天津·期末）家乐福超市决定招聘广告策划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是（     ）分． 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩（分数） 70 80 92 A． B．80 C．92 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查加权平均数的计算方法.根据加权平均数的计算规则，总成绩为各项测试成绩乘以对应权重占比的和，直接计算即可. 【详解】解：∵三项测试成绩的权重比为，总权重份数为. ∴该应聘者的总成绩为： （分）； 2．（2026·浙江温州·二模）某校举办舞蹈比赛，“技术难度、艺术表现、整体编排”三个项目在总分中所占的比例分别为，，．小红技术难度得分分，艺术表现得分分，整体编排得分分，则最终得分是______分． 【答案】 【详解】解： （分）． 3．（2026·广西贺州·二模）某校广播站在一次招聘中，分口语表达和写作能力两部分，口语表达和写作能力成绩按计算最终成绩，小丽的口语表达成绩为分，写作能力成绩为分，则小丽的最终成绩为________分． 【答案】 【分析】根据题目给出的权重比，结合加权平均数公式计算最终成绩即可． 【详解】小丽的最终成绩为（分）． 4．（2026·山东青岛·二模）相声是一种民间说唱曲艺，它以说、学、逗、唱为形式．某相声社要招聘一名相声学徒，通过考察，甲乙两人的各项得分如下表，若将“说、学、逗、唱”四种功夫按照、、、的百分比确定最终得分，则_____将被录取．（填甲或乙） 说功 学功 逗功 唱功 甲 80 85 90 95 乙 90 80 95 85 【答案】 乙 【分析】分别计算甲，乙两人的最终得分，比较得分大小，得分更高者被录取． 【详解】根据加权平均数的计算方法， 甲的最终得分（分）， 乙的最终得分（分）， ∵， ∴乙的得分更高，乙将被录取． 易错31 求四分位数忘排序 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）现有一组数据分别为： ，则上四分位数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将数据从小到大排序，再求出上半部分数据的中位数即可求解． 【详解】解：∵数据从小到大排序为， ∵上四分位数是排序后上半部分数据的中位数，上半部分数据为， ∴上四分位数． 2．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（    ） A． B．168 C．124 D．150 【答案】C 【分析】本题考查第一四分位数的计算，解题思路为先对数据从小到大排序，第一四分位数为前一半数据的中位数，计算即可得到结果． 【详解】解：将原数据从小到大排序得：， ∵总共有8个数据，第一四分位数是前4个数据的中位数，前4个数据为， ∴第一四分位数是． 3．（2026八年级下·全国·专题练习）小高将初中以来数学成绩进行排序，结果是：89，91，91，92，94，96，96，98，98，98．这组成绩的上四分位数是（　　） A．91 B．94 C． D．98 【答案】D 【分析】对于已排序的数据，找上半部分数据的中位数．本组数据共10个，其中上半部分数据为第6至第10个：96，96，98，98，98，其中位数为第3个数据98． 【详解】解：∵数据已排序：89，91，91，92，94，96，96，98，98，98，共10个数据， ∴上半部分数据为第6至第10个：96，96，98，98，98，共5个数据， ∴上四分位数即上半部分的中位数，取第3个数据98， ∴上四分位数为98． 4．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的上四分位数为________． 【答案】39 【详解】解：∵将个数据从小到大排序可得， ∴上四分位数为的中位数， ∴上四分位数为：． 易错32 按要求选择合适的统计量 1．（2026·山西阳泉·二模）某校九年级期中考试后，未公布全校排名，但公布了全校九年级学生期中考试成绩的部分统计量．若该校九年级的学生小明想知道自己的成绩是否超过全校九年级一半的学生，则他最应该关注的统计量为（） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】根据各统计量的含义即可选出正确答案． 【详解】解：∵中位数是将一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数，一组数据中有一半数据不大于中位数，一半数据不小于中位数；平均数反映数据的平均水平，众数反映数据中出现次数最多的数值，方差反映数据的波动程度，这三个统计量都无法直接判断成绩是否超过全校一半学生； ∴小明需要判断自己的成绩是否超过全校一半学生，只需将自己成绩与中位数比较即可， ∴他最应该关注的统计量是中位数． 2．（2026·广东广州·一模）有15人参加学校举办的歌咏比赛，小明要想知道自己是否进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】根据总人数判断哪个统计量对应前8名的分界位置即可求解． 【详解】解：∵15个成绩按大小排序后，中位数是排序后的第8个成绩， ∴小明只需将自己的成绩和中位数比较，若自己的成绩大于等于中位数，就进入前8名，否则不能进入， 因此只需要了解全部成绩的中位数即可． 3.（2026·浙江台州·一模）某篮球队原来有10名队员，他们的身高（单位：）数据如下：163，164，166，166，172，172，174，176，180，190．后来招收了一名新队员，其身高数据也被纳入到原来队员的身高数据中．对比前后两组数据，下列统计量一定保持不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 【答案】B 【分析】分别根据各统计量的定义，对比加入新数据前后的变化，判断一定不变的统计量即可. 【详解】解：原数据已按从小到大排序，共10个数据，原中位数为第5个和第6个数据的平均数， ∵第5个数据为，第6个数据为，∴原中位数为. 加入1个新数据后，总数据共11个，中位数为第6个数据： 若新队员身高，排序后该身高数据在新数据列的第6位或之前，此时新数据列的第6个数据必为172； 若新队员身高，插入原数据第7位及之后，前6个数据不变，第6个数据仍为； 因此新数据的中位数仍为，中位数一定不变； 对其他选项分析： A 平均数受每个数据影响，新队员身高不确定，平均数不一定不变，A错误； C 方差反映数据波动程度，数据改变后方差不一定发生变化，C错误； D 原众数为和，若新队员身高为，新众数仅为，众数改变，D错误． 4．（2026·江苏无锡·一模）小明在3月份随机统计了7天同一时段通过某路口的汽车流量如下： 汽车流量（辆） 天数（天） 如果要估算3月份在这个时段通过该路口的汽车总流量，小明需要计算这组数据的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】A 【分析】本题考查不同统计量的实际意义，要估算3月份该时段的总汽车流量，需要先得到平均每天的汽车流量，结合各统计量的作用判断即可． 【详解】解：∵ 估算3月份总流量，需要先得到该时段平均每天通过路口的汽车流量，再乘以3月份天数得到总流量． 平均数反映一组数据的平均水平，中位数反映数据的中间水平，众数是一组数据中出现次数最多的数据，方差反映数据的波动大小． ∴ 只有平均数可用于得到平均日流量，估算总流量，因此选A． 1 学科网（北京）股份有限公司 $