内容正文:
2025—2026学年度九年级学业水平练习
数学试题卷
同学你好!答题前请认真阅读以下内容:
1.全卷共6页,三个大题,共25小题,满分150分.考试时间为120分钟.考试形式闭卷.
2.一律在答题卡相应位置作答,在试题卷上答题视为无效.
3.不能使用计算器.
一、选择题(每小题3分,共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项,其中只有一个选项正确,请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂)
1. 的绝对值为( )
A. B. 2 C. D.
2. 下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 如图,太阳灶光源发出的光线,经反射后沿着与直线平行的方向射出.若,,则的度数是( )
A. B. C. D.
4. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
5. 如图,数轴上点M表示的数可能是( )
A. B. 0.5 C. 1.5 D. 2
6. 若三角形的两边长分别为6和8,则第三边的长度可能是( )
A. 1 B. 2 C. 7 D. 15
7. 一个不透明的袋子里装有红球和白球共10个,它们除颜色外完全相同,每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色,再放回袋中,不断重复,统计白球出现的频率如图所示,则白球的个数最可能是( )
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
8. 一元二次方程的根的情况是( )
A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根
9. 如图,已知A,B,C,D四个点均在格点上,则的值是( )
A. 1 B. C. D.
10. 如图,在平行四边形中,点是边上一点,连接,沿折叠使点落在点,延长交于点,且.若,则,两点之间的距离是( )
A. B. C. 3 D. 4
11. 在《孙子算经》中有一题,其大意是:用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺.问木长多少尺?设木长尺,绳子长尺,则可以列出的方程组是( )
A. B. C. D.
12. 如图,在平面直角坐标系中,轴正半轴上有,半径为2,过点的直线与在轴上方有一个交点.当,的值最小时,则的值可能是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分)
13. 因式分解:__________
14. 甲、乙两人在某次投掷实心球比赛中,各投掷10次,其落地位置如图所示.已知两人10次投掷的平均成绩相同.甲、乙两人中成绩稳定性更好的是________.
15. 如图,中,以点为圆心作,与,有交点(不经过点,两点),,.若,则的半径的取值范围是________.
16. 如图,在等边中,,连接交于点.若,的面积为,则的长是________.
三、解答题(本题共9小题,共98分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 计算
(1)已知,,,求代数式的值.
(2)先化简,并选一个你喜欢的数代入求值.
18. 某校开展了“合理膳食·健康成长”知识测试活动.现分别从七、八年级随机抽取20名学生的测试成绩(满分10分,6分及以上为合格)进行整理、描述和分析,下面给出了部分信息:
七年级20名学生的测试成绩是:5,5,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,9,9,9,10,10
七、八年级抽测成绩的平均数、众数、中位数及8分以上占比表
年级
平均数
众数
中位数
8分及以上人数所占百分比
七年级
7.5
7
八年级
7.5
8
根据以上信息,回答下列问题:
(1)上述表格中:________,________;
(2)根据上述数据,你认为哪个年级的营养健康知识掌握情况较好(写出一条理由即可);
(3)学校从八年级测试成绩前四名(甲、乙、丙、丁)学生中,随机抽取2名同学参加市级竞赛,请用列表法或画树状图法,求选中甲、乙两名同学的概率.
19. 某同学在中,根据以下步骤作图:
①以点为圆心,任意长为半径画弧,分别交,于,两点;
②分别以点,为圆心,长为半径画弧,两弧交于点(不与点重合)连接,,得到四边形;
③作射线.
(1)四边形的形状是________(选填:矩形、菱形),平分的理由是_______;
(2)若,,求的长度.
20. 为响应“阳光体育”运动,某校购进,两种实心球,种个,种个,共花费元.已知种实心球的单价比种实心球的单价高“”元(“”是被墨水弄脏的数字).根据题意,设种实心球的单价为元,列出一元一次方程:,解这个方程,得到.
(1)根据解答过程,“”的数字为________;
(2)根据需要,学校决定再购进,两种实心球共个,总费用不超过元,且购买种实心球不少于个.若实心球单价不变,共有几种购买方案?
21. 如图,在平面直角坐标系中,四边形是正方形,点在轴正半轴上,点的坐标是,连接,点是的中点,反比例函数的图象经过点.
(1)点的坐标是______,的值是______;
(2)反比例函数图象交于点,过点作轴,交于点,求点的坐标.
22. 如图1,是一款可调节高度和角度的阅读支架.调整到如图2所示位置,立柱垂直于桌面,测得,,面板与水平方向夹角.(参考数据:,)
(1)求点到的距离;
(2)根据《青少年近视防控指南》要求,看书应保证“一拳一尺一寸”的正确姿势,其中眼睛与面板的距离至少保持一尺(约).若坐在距点左侧处,眼睛平视面板中点.试判断用眼距离是否符合标准.
23. 将等腰直角三角板与按如图方式摆放,点在上,,,边与分别交于,,,,且,两点对应的数分别为0,3,连接,,,.
(1)写出一个与相等的角________,若,则________;
(2)若,求点到的距离;
(3)交于点,.若,求的长度.
24. 弹弹珠是一项有趣的活动,弹出的弹珠在空中运动轨迹似为抛物线.站在处弹弹珠,弹珠出手时的高度为,弹珠在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图1所示,当弹珠与点水平距离为时,达到最高点处,正前方有两个挡板,挡板1到点的距离为,高度为,挡板2到点的距离为,高度为,挡板1与挡板2之间的区域记为(研究路径时弹珠的直径忽略不计,弹珠碰到挡板顶端视为可通过).
(1)求该抛物线的表达式;
(2)弹珠能否落入区域内?并说明理由;
(3)如图3,将抛物线向上平移,在距点处新增高度为的挡板,挡板与轴交于点,将挡板绕点逆时针旋转度,点的对应点为且,若弹珠刚好通过挡板,求挡板旋转度后所在直线的解析式.
25. 【问题情境】在中,,,点为的中点,点在射线上,连接(点不与点重合),将线段绕点顺时针方向旋转得到,射线交射线于点或交射线于点.
(1)【初步探究】如图1,当点在线段中点时,依据题意补全图形,则的度数为________;
(2)【操作探究】如图2,点为线段上一动点,过点作点,线段交射线于点.
①当点与点重合时,探究线段与线段的数量关系;
②点在运动过程中,点为线段的中点,当,时,直接写出点到直线的距离.
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2025—2026学年度九年级学业水平练习
数学试题卷
同学你好!答题前请认真阅读以下内容:
1.全卷共6页,三个大题,共25小题,满分150分.考试时间为120分钟.考试形式闭卷.
2.一律在答题卡相应位置作答,在试题卷上答题视为无效.
3.不能使用计算器.
一、选择题(每小题3分,共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项,其中只有一个选项正确,请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂)
1. 的绝对值为( )
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】.
2. 下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念,结合选项所给图形进行判断即可.
【详解】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;
B、不是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意;
C、不是轴对称图形,是中心对称图形,不符合题意;
D、是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意.
3. 如图,太阳灶光源发出的光线,经反射后沿着与直线平行的方向射出.若,,则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解:由题意知,,
∴,,
∴.
4. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解:A、,运算正确;
B、,运算错误;
C、,运算错误;
D、,运算错误.
5. 如图,数轴上点M表示的数可能是( )
A. B. 0.5 C. 1.5 D. 2
【答案】C
【解析】
【详解】解:数轴上点M表示的数可能是1.5.
6. 若三角形的两边长分别为6和8,则第三边的长度可能是( )
A. 1 B. 2 C. 7 D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】解题思路是先根据三角形三边关系求出第三边的取值范围,再结合选项判断符合条件的长度.
【详解】解:设三角形第三边的长度为,
∵ 三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,已知两边长为和,
∴ ,即 ,
对比选项,只有在该范围内,因此选C.
7. 一个不透明的袋子里装有红球和白球共10个,它们除颜色外完全相同,每次搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色,再放回袋中,不断重复,统计白球出现的频率如图所示,则白球的个数最可能是( )
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】由频率分布图可知,随着试验次数增加,白球出现的频率稳定在附近,可得白球出现的概率为,进而即可求解.
【详解】解:由频率分布图可知,随着试验次数增加,白球出现的频率稳定在附近,
∴白球出现的概率为,
∵总球数为10个,
∴白球的个数为(个).
8. 一元二次方程的根的情况是( )
A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根
【答案】B
【解析】
【详解】解:对于一元二次方程 ,得 ,,,
∴,
∴原一元二次方程有两个不相等的实数根.
9. 如图,已知A,B,C,D四个点均在格点上,则的值是( )
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点B作于点E,先根据勾股定理求出的值,进而即可求出.
【详解】解:过点B作于点E,如下图,
由图可得,,,
∴,
∴.
10. 如图,在平行四边形中,点是边上一点,连接,沿折叠使点落在点,延长交于点,且.若,则,两点之间的距离是( )
A. B. C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】连接,由平行四边形的性质得,,由折叠得,由勾股定理即可求解.
【详解】解:连接,
四边形是平行四边形,
,
,
,
,
由折叠得,
,
,两点之间的距离是.
11. 在《孙子算经》中有一题,其大意是:用一根绳子去量一根长木,绳子还剩余4.5尺;将绳子对折再量长木,长木还剩余1尺.问木长多少尺?设木长尺,绳子长尺,则可以列出的方程组是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由题意,木长尺,绳子长尺,
∵用绳子量长木,绳子剩余4.5尺,
∴绳子长度=木长+剩余长度,得,
∵将绳子对折量长木,长木剩余1尺,
∴木长=对折后绳子长度+剩余长度,得 ,整理得 ,
因此可得方程组.
12. 如图,在平面直角坐标系中,轴正半轴上有,半径为2,过点的直线与在轴上方有一个交点.当,的值最小时,则的值可能是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象可知,根据的值最小,可知圆心M在上,设,得到,即,求解即可.
【详解】解:∵点在上方且与在轴上方有一个交点,
∴,
∵的值最小,
∴N应在线段上,
即圆心M在上,
设,
∴,
即,
∵,
∴,
∴,
解得:,
只有B在范围内.
二、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分)
13. 因式分解:__________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用公式法因式分解,熟练掌握平方差公式是解题的关键.
用平方差公式分解即可.
【详解】解:
故答案为:.
14. 甲、乙两人在某次投掷实心球比赛中,各投掷10次,其落地位置如图所示.已知两人10次投掷的平均成绩相同.甲、乙两人中成绩稳定性更好的是________.
【答案】乙
【解析】
【分析】根据方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定.
【详解】解:从图看出:甲选手的成绩波动较大,乙选手的成绩波动较小;
故甲、乙两人中成绩稳定性更好的是乙.
15. 如图,中,以点为圆心作,与,有交点(不经过点,两点),,.若,则的半径的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】分别求出与相切时,过点时两种情况半径的值,再结合图像分析即可.
【详解】,,,
,
如图,当与相切时,半径,
当过点时,半径,
由图像可得,当与,有交点(不经过点,两点)时,
的半径的取值范围是.
16. 如图,在等边中,,连接交于点.若,的面积为,则的长是________.
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点,过点作交延长线于点,先求出等边的面积,然后根据平行进行等积转化得到,再证明,求出,最后解即可.
【详解】解:过点作于点,过点作交延长线于点,
∵在等边中,,
∴,
∴
∴
∵
∴,
∵的面积为,
∴
∴
∵
∴
∴
∴,
∴,
∴
∴.
三、解答题(本题共9小题,共98分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 计算
(1)已知,,,求代数式的值.
(2)先化简,并选一个你喜欢的数代入求值.
【答案】(1)4 (2),当时,原式(答案不唯一,)
【解析】
【分析】(1)本题考查实数的基本运算与代数式求值,解题核心是先根据非数的零指数幂、绝对值、算术平方根的定义求出、、的值,再代入代数式计算;
(2)本题考查分式的化简求值,解题核心是先按分式运算法则化简,再选取使原分式有意义的值代入计算.
【小问1详解】
解:由题意可知,,,,
;
【小问2详解】
解:原式
,,
,
当时,原式,答案不唯一.
18. 某校开展了“合理膳食·健康成长”知识测试活动.现分别从七、八年级随机抽取20名学生的测试成绩(满分10分,6分及以上为合格)进行整理、描述和分析,下面给出了部分信息:
七年级20名学生的测试成绩是:5,5,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,9,9,9,10,10
七、八年级抽测成绩的平均数、众数、中位数及8分以上占比表
年级
平均数
众数
中位数
8分及以上人数所占百分比
七年级
7.5
7
八年级
7.5
8
根据以上信息,回答下列问题:
(1)上述表格中:________,________;
(2)根据上述数据,你认为哪个年级的营养健康知识掌握情况较好(写出一条理由即可);
(3)学校从八年级测试成绩前四名(甲、乙、丙、丁)学生中,随机抽取2名同学参加市级竞赛,请用列表法或画树状图法,求选中甲、乙两名同学的概率.
【答案】(1)7;7.5
(2)八年级;理由见解析
(3)
【解析】
【分析】(1)由众数和中位数的定义,结合题干数据求解即可;
(2)通过比较平均数和高分人数的数据,分析即可;
(3)用列表法表示出所有可能出现的结果,找出选中甲、乙两名同学的结果数,再求出概率即可.
【小问1详解】
解:七年级20名学生的测试成绩是:5,5,6,6,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,9,9,9,10,10
其中出现的次数最多,故七年级众数;
由八年级的条形统计图可得,
第个数据分别为,故八年级的中位数.
【小问2详解】
解:八年级;理由如下:
七、八年级平均数相同,但是八年级8分以上人数占比比七年级多,高分段人数更多,整体水平更优;
【小问3详解】
解:根据题意,用列表法表示所有可能出现的结果如下:
甲
乙
丙
丁
甲
(乙,甲)
(丙,甲)
(丁,甲)
乙
(甲,乙)
(丙,乙)
(丁,乙)
丙
(甲,丙)
(乙,丙)
(丁,丙)
丁
(甲,丁)
(乙,丁)
(丙,丁)
共有12种等可能结果,其中选中甲、乙两名同学有两种情况,将选中甲、乙两名同学记为事件;则:.
答:选中甲、乙两名同学的概率为.
19. 某同学在中,根据以下步骤作图:
①以点为圆心,任意长为半径画弧,分别交,于,两点;
②分别以点,为圆心,长为半径画弧,两弧交于点(不与点重合)连接,,得到四边形;
③作射线.
(1)四边形的形状是________(选填:矩形、菱形),平分的理由是_______;
(2)若,,求的长度.
【答案】(1)菱形;菱形的对角线平分每一组对角
(2)
【解析】
【分析】(1)先根据作图步骤提取边长关系:因为步骤①得,步骤②得,所以四边形四条边相等,据此判断四边形形状为菱形.根据菱形性质,即可得到角平分线结论.
(2)求长度:先结合与菱形的性质,含30度的直角三角形性质,勾股定理计算对角线的长度.
【小问1详解】
解:由作图知,
∴四边形是菱形;
∵菱形的对角线平分每一组对角,
∴平分.
【小问2详解】
解:过点作于点,
∵四边形是菱形,,
,
∴.
在中,根据勾股定理得:
.
,
.
即.
20. 为响应“阳光体育”运动,某校购进,两种实心球,种个,种个,共花费元.已知种实心球的单价比种实心球的单价高“”元(“”是被墨水弄脏的数字).根据题意,设种实心球的单价为元,列出一元一次方程:,解这个方程,得到.
(1)根据解答过程,“”的数字为________;
(2)根据需要,学校决定再购进,两种实心球共个,总费用不超过元,且购买种实心球不少于个.若实心球单价不变,共有几种购买方案?
【答案】(1)30 (2)3种
【解析】
【分析】(1)把方程的解代入求解即可;
(2)设学校再购买种实心球个,购买种实心球个,根据题意,列出不等式组进行求解即可.
【小问1详解】
解:把代入,得,
解得;
【小问2详解】
解:设学校再购买种实心球个,购买种实心球个,根据题意得:
,解得:.
为正整数,
的值为,即有三种购买方案
答:共有3种购买方案.
21. 如图,在平面直角坐标系中,四边形是正方形,点在轴正半轴上,点的坐标是,连接,点是的中点,反比例函数的图象经过点.
(1)点的坐标是______,的值是______;
(2)反比例函数图象交于点,过点作轴,交于点,求点的坐标.
【答案】(1),
(2)
【解析】
【分析】(1)利用中点坐标公式可求得点的坐标是,再利用待定系数法求解即可;
(2)设,求得;求得直线的解析式为,由轴,设,代入直线的解析式即可求解.
【小问1详解】
解:∵点的坐标是,点是的中点,
∴点的坐标是,
∵反比例函数的图象经过点,
∴;
【小问2详解】
解:由(1)得,反比例函数解析式为,
∵四边形是正方形,点的坐标是,在上,
∴设,
∵反比例函数图象交于点,
∴,
∴,
∴;
设直线的解析式为,将代入,得,
解得,
∴直线的解析式为,
∵轴,
∴设,
∵点在直线上,
,即.
22. 如图1,是一款可调节高度和角度的阅读支架.调整到如图2所示位置,立柱垂直于桌面,测得,,面板与水平方向夹角.(参考数据:,)
(1)求点到的距离;
(2)根据《青少年近视防控指南》要求,看书应保证“一拳一尺一寸”的正确姿势,其中眼睛与面板的距离至少保持一尺(约).若坐在距点左侧处,眼睛平视面板中点.试判断用眼距离是否符合标准.
【答案】(1)
(2)用眼距离不符合标准
【解析】
【分析】(1)过点作交于点,交于点,在中,利用三角函数求,再通过证矩形求出,即可求点到的距离;
(2)设中点为,过点作交于点,先求,再在中利用三角函数求,结合眼睛在点左侧处求出总用眼距离,与标准值比较即可得出结论.
【小问1详解】
解:如图,过点作交于点,交于点,
在中,,,
,
∵,,
∴,
,,
∴四边形是矩形,,
∴点到的距离为:;
【小问2详解】
解:如图,设中点为,过点作交于点,
,
在中:,
眼睛到面板中点的距离为:,
,
∴用眼距离不符合标准.
23. 将等腰直角三角板与按如图方式摆放,点在上,,,边与分别交于,,,,且,两点对应的数分别为0,3,连接,,,.
(1)写出一个与相等的角________,若,则________;
(2)若,求点到的距离;
(3)交于点,.若,求的长度.
【答案】(1),
(2)
(3)2.43
【解析】
【分析】(1)由圆周角定理即可得出结果;
(2)过点作交于点,由垂径定理可得,再结合勾股定理计算即可得出结果;
(3)过点作交于点,先证明出,再解直角三角形得出,,求出,由勾股定理计算得出,证明,由相似三角形的性质即可得出结果.
【小问1详解】
解:∵,
∴,
若,则;
【小问2详解】
解:如图:过点作交于点,
.
在中,,,
故根据勾股定理得:.
即点到的距离为.
【小问3详解】
解:过点作交于点,
.
是直径,
,
∴.
.
∵,
,
即.
,半径为2,
,
∴,
∴,
解得:,.
,即,
.
在中,有,
解得.
在和中,有,
解得:.
,,
.
,
即.
,
即的长为2.43.
24. 弹弹珠是一项有趣的活动,弹出的弹珠在空中运动轨迹似为抛物线.站在处弹弹珠,弹珠出手时的高度为,弹珠在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图1所示,当弹珠与点水平距离为时,达到最高点处,正前方有两个挡板,挡板1到点的距离为,高度为,挡板2到点的距离为,高度为,挡板1与挡板2之间的区域记为(研究路径时弹珠的直径忽略不计,弹珠碰到挡板顶端视为可通过).
(1)求该抛物线的表达式;
(2)弹珠能否落入区域内?并说明理由;
(3)如图3,将抛物线向上平移,在距点处新增高度为的挡板,挡板与轴交于点,将挡板绕点逆时针旋转度,点的对应点为且,若弹珠刚好通过挡板,求挡板旋转度后所在直线的解析式.
【答案】(1)
(2)能,理由如下:将代入抛物线解析式中,解得.
将代入抛物线解析式中,解得.
∴弹珠能落入区域内.
(3)
【解析】
【分析】(1)抛物线经过点且顶点坐标为,设抛物线解析式为,即可求解;
(2)将代入抛物线解析式中,解得.将代入抛物线解析式中,解得,即可求解;
(3)过作轴于点,连接,由勾股定理得,求出的坐标为,又由,由待定系数法求出直线解析式即可.
【小问1详解】
解:由题,抛物线经过点且顶点坐标为,
设抛物线解析式为,
将点代入解析式解得:.
∴抛物线解析式为.
【小问2详解】
略
【小问3详解】
解:由题:平移后的抛物线解析式为,
过作轴于点,连接,
则,,,
设,则,
在中:,
在中:,
.
解得.
.
的坐标为,又由.
设挡板所在直线解析式为:,
,
解得,
∴挡板所在直线解析式为:.
25. 【问题情境】在中,,,点为的中点,点在射线上,连接(点不与点重合),将线段绕点顺时针方向旋转得到,射线交射线于点或交射线于点.
(1)【初步探究】如图1,当点在线段中点时,依据题意补全图形,则的度数为________;
(2)【操作探究】如图2,点为线段上一动点,过点作点,线段交射线于点.
①当点与点重合时,探究线段与线段的数量关系;
②点在运动过程中,点为线段的中点,当,时,直接写出点到直线的距离.
【答案】(1)图形见解析,
(2)①;②
【解析】
【分析】(1)根据题意补全图形,由等腰直角三角形的性质可得,证明为的中位线,得出,从而即可得出结果;
(2)①先求出,由题意可得,再结合直角三角形的性质即可得出结果;②过点作交于点,当点与点重合,点和点重合时,有;此时,,则为等腰直角三角形,即可得出,求出,再结合勾股定理计算即可得出结果.
【小问1详解】
解:补全图形如图:
∵在中,,,
∴,
∵点为的中点,点为线段中点,
∴为的中位线,
∴,
∴;
【小问2详解】
解:①如图:
由旋转的性质可得,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
②如图:过点作交于点,
当点与点重合,点和点重合时,有;
此时:,,
∴为等腰直角三角形,
∴,
,
.
在和中:根据勾股定理得:,,
∴,
,即点到距离为.
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