专题01因式分解的常见方法七类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

**基本信息** 聚焦因式分解七类核心方法，以典例带技巧，构建从基础分组到高阶换元的递进式训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分组分解法|1典例+3变式|“两两”“三一”分组策略|从提公因式/公式法延伸，解决四项多项式分解| |十字相乘法|1典例+2变式|常数项分解与交叉验证|针对二次三项式，建立系数与因式的关联| |拆项法|1典例+3变式|拆中项构造公因式/公式|通过项的拆分转化为可分解结构| |添项法|1典例+2变式|配方法构造完全平方|通过添减项创造平方差条件| |待定系数法|1典例+3变式|设因式形式列方程求系数|解决高次多项式分解，培养方程思想| |换元法|1典例+2变式|整体代换简化多项式|将复杂结构转化为熟悉形式，提升运算能力| |主元法|1典例+1变式|选主元降幂排列|多字母多项式分解的转化策略|

专题01 因式分解的常见方法七类题型 典例详解 类型一、分组分解法 类型二、十字相乘法 类型三、拆项法 类型四、添项法（配方法） 类型五、待定系数法 类型六、换元法 类型七、主元法 压轴专练 类型一、分组分解法 【典例1】（安徽蚌埠市2026年九年级第三次中考学情自测数学试题）分解因式：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分为两组，各自提取公因式后，再进行因式分解． 【详解】解：． 【变式1-1】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 例2：“三一分组”： 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)①填空： 解：原式 （      ）（      ） ___________ ②因式分解： (2)已知，且，求的值． 【答案】(1)①，，，②； (2) 【分析】本题考查利用公式法，提取公因式法结合分组分解法因式分解，解题的关键是读懂题意的分组分解法，合理分组． （1）①根据题意的分组分解法直接分组，再提取公因式或利用公式法因式分解即可得到答案； ②先分组，然后 完全平方公式与平方差公式因式分解，即可求解； （2）将两多项式相减得到，，的关系，代入等式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 解：①原式 ； 故答案为：，，． ②原式 ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴； 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）用分组分解法分解四项的多项式时，除了“两两”分组，还可以按照“三一”分组进行分组分解．如：．请按照上述方法把下列各式分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据例题的方法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了因式分解，理解题目中的例题的方法是解题的关键． 【变式1-3】（22-23八年级下·安徽宿州·期末）阅读下列材料： 因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式． 解题过程如下：． 这种因式分解的方法叫分组分解法． 利用这种分组分解的思想方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)若a，b为非零实数，，且，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）先分组，再根据完全平方公式进行变形，最后根据平方差公式分解因式即可； （2）先分组，再提取公因式，再分解因式即可； （3）求出c的值，再代入，整理后得出，再求出答案即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， 又∵， ∴， ， 整理得：， ， ， 即， ∴． 【点睛】本题考查了分解因式，能熟记分解因式的方法是解此题的关键，注意：分解因式的方法有提取公因式法，公式法，因式分解法，分组分解法等． 类型二、十字相乘法 【典例2】（2021七年级上·江苏苏州·竞赛）因式分解：． 【答案】 【分析】根据提公因式法及十字相乘法进行求解即可． 【详解】解： ． 【变式2-1】（2021七年级上·江苏苏州·竞赛）因式分解：． 【答案】 【分析】根据“十字相乘法”进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 【变式2-2】（2021七年级上·江苏苏州·竞赛）因式分解：． 【答案】 【分析】利用十字相乘法因式分解． 【详解】解：． 类型三、拆项法 【典例3】（25-26八年级下·山东济南·期中）我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：_________ ②拆项法（写出计算过程）： (2)应用：若，求a、b、c的值． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】 （1）①先将原式变形为，前3项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可； ②将常数项变为，前三项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可； （2）将原式变形为 ，分组分解为，再利用非负数的性质即可求出，，． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：由得： ， 即， ∴ ， ∴． 【变式3-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）对于题目“分解因式”，小梦和小璐有两种不同的解法，如下： 拆项法： 先提公因式再拆项： 请你根据她们的思路完成因式分解． 【答案】拆项法：；先提公因式再拆项： 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． 根据因式分解的方法解答即可． 【详解】解：拆项法：， ， ， ； 先提公因式再拆项：， ， ， ， ， ， ． 【变式3-2】（23-24七年级下·浙江宁波·阶段检测）【学习材料】拆项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，再分组进行因式分解． 例1因式分解： 解：原式 例2因式分解： 解：原式 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解： ； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)，最小值为 【分析】本题考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是理解题意，掌握相关的运算法则． （1）根据例1的思路计算即可； （2）根据例2的思路计算即可； （3）根据题意对分子进行因式分解，然后再约分化简，最后利用材料中的方法进行配方即可求解． 【详解】（1）解： （2） （3） 当时，最小值为． 【变式3-3】（21-22八年级下·陕西榆林·期末）先阅读下列材料： 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． 拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法． 例如： ． 请你仿照以上方法，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将5拆解成，再根据完全平方公式得，然后利用平方差公式进一步分解． （2）将拆解成，再根据完全平方公式得，然后利用平方差公式进一步分解． 【详解】（1）原式 （2）原式 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题时要注意在变形的过程中不要改变式子的值． 类型四、添项法（配方法） 【典例4】（23-24八年级上·山西临汾·期末）【阅读材料】19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． 【知识应用】（1）利用“热门定理”把分解因式． 【知识迁移】热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式： ①； ②． 【答案】（1）；（2）①，② 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可； （2）①把式子加上9，再减去9，再仿照题意分解因式即可； ②把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可． 【详解】解：（1） ． （2）①原式 ． ②原式 ． 【变式4-1】（25-26八年级上·陕西安康·期末）材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法． 例如：． ②添项法：给一个多项式添加一项后，再减去这一项，然后进行适当分组，最后运用提公因式法或公式法继续分解的方法． 例如：． 请你根据上述材料解答下列问题： (1)因式分解：； (2)已知（x是整数，k是常数），要使S能够表示成两个整数平方和的形式，则k的值为________．（写出一个符合条件的数即可） (3)对于任意的整数a、b、c、d，若，，判断是否能够表示成两个整数平方和的形式，并说明理由． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） (3)能，证明见解析 【分析】本题考查整式的运算，掌握因式分解、完全平方公式以及多项式乘以多项式是解题的关键． （1）前半部分进行公式法因式分解，后半部分提取公因数，然后提取公因式即可得出结果； （2）根据题意将变形成，即可得出当为一个整数的平方时，可满足题意要求； （3）将m，n代入后运用分组分解法和添项法进行因式分解，即可证明． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：， 若要满足S能够表示成两个整数平方和的形式， 即为一个整数的平方，如、等均满足要求， 故答案为：（答案不唯一）． （3）解：能够表示成两个整数平方和的形式，理由如下： ∵a、b、c、d为整数， ∴，也为整数， ∴能够表示成两个整数平方和的形式． 【变式4-2】（23-24七年级下·安徽安庆·阶段检测）利用完全平方公式可将二次三项式进行配方，再根据平方差公式因式分解，例如： ．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)根据完全平方公式，将下列式子配方成的形式： ①_________，②_________； (2)利用“配方法”因式分解： ①；②． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】本题考查了多项式的因式分解．利用完全平方公式：配方是解题关键． （1）配方时，先加上的平方，再减去这个平方数；配方时，先加上的平方，再减去这个平方数； （2）①仿照示例利用完全平方公式进行配方变形，即可求解； ②仿照示例利用完全平方公式进行配方变形，即可求解． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：①；②； （2）解：① ； ② ． 类型五、待定系数法 【典例5】（23-24八年级上·湖南长沙·期中）在数学课外活动中，待定系数法是分解因式的重要方法．根据已知条件和要求，先设出问题的多项式的表达形式，然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数的方法叫待定系数法．例如：分解因式 解：，不妨设 则 ， (1)若，则的值是________； (2)分解因式： ； ； (3)若多项式能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或8 【分析】本题考查因式分解的实际运用，理解题意，掌握待定系数法分解因式的方法与步骤是解决问题的关键． （1）把式子展开，然后直接对比系数得出a，b的值，然后再求出的值即可； （2）根据已知条件和要求，先设出问题的多项式的表达形式，然后利用已知条件确定或消去所设待定系数，进而得出因式分解的式子； （3）根据已知条件和要求，先设出问题的多项式的表达形式，然后利用已知条件确定或消去所设待定系数，进而得出因式分解的式子，得出，再根据多项式能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，推导出，则，因为m、n为整数，所以是2的整数因数对，2的整数因数对有，再分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得：， ； （2）解：①，不妨设 则， ， ， ； ②，不妨设 则， ， ， ； （3）解：设， ， 多项式能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积， ∴m，n为整数， 由可得，代入得： ， ， ， ， 因为m、n为整数，所以是2的整数因数对，2的整数因数对有 当时， ，则． 当时， ，则． 当时， ，则． 当时， ，则． 综上，a的值为2或8． 【变式5-1】（25-26八年级上·重庆·期中）先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题， 已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则， 比较系数得，解得． 解法二：设（为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)已知关于的多项式有一个因式是，则________； (2)已知有因式和，求、的值； (3)已知是多项式的一个因式，求，的值，并将该多项式分解因式． 【答案】(1)7 (2) (3)，该多项式分解因式为： 【分析】本题考查了待定系数法在因式分解中的应用，读懂阅读材料中的分解方法，是解题的关键． （1）根据多项式乘法将等式右边展开有：，所以，根据等式两边对应项的系数相等可以求得m的值； （2）设（A为整式），分别取和得关于m和n的二元一次方程组，求解即可； （3）设，将等式右边展开，比较系数，得关于p，a，b的三元一次方程组，解方程组，再进行因式分解即可． 【详解】（1）由题设知：， 故， 解得． 故答案为：7； （2）设（A为整式）， 分别令和得： ， 解得：， ∴； （3）设， ∵ ， ∴， 解得：， ∴多项式， ∴ ， ∴，该多项式分解因式为：． 【变式5-2】（24-25八年级上·重庆万州·期中）先阅读下列解答过程：已知有一个因式，求m的值． 解：可以设为一个因式为，则，即 由此得：∴﹔也可以采用另一种方式：当时，， 解得．然后解答问题： (1)已知有一个因式，则另一个因式为___________； (2)已知有一个因式，求m的值； (3)已知多项式有一个因式，求k的值及直接写出此多项式分解因式的结果． 【答案】(1) (2)； (3)， 【分析】此题主要考查因式分解，理解题意，设出因式，运用题目中的方法求解是解题关键． （1）利用题目中已知的方法求解即可； （2）利用题目中已知的方法列出二元一次方程组求解即可； （3）设另一个因式为，利用题目中已知的方法列出二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：设另一个因式为，则 ， 即（对任意实数x成立） 由此得， ∴， 故答案为：； （2）设另一个因式为，则 ， 即（对任意实数x成立） 由此得， 解得：； （3）设另一个因式为，则 ， 即（对任意实数x成立） 由此得， 解得：， ∴k的值为． ∴ 【变式5-5】（24-25八年级下·陕西西安·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 【答案】(1)，5； (2)． 【分析】（1）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于a，n的方程组，解方程组求出答案即可； （2）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于n，b的方程组，解方程组求出答案即可． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴另一个因式是，a的值为5； （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴． 类型六、换元法 【典例6】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）“换元法”是初中数学中经常用到的一个方法．在因式分解中，我们可以将多项式的某些项用字母替换，将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式，达到“化繁为简”的目的．八（1）班的几名同学在对多项式进行因式分解，用“换元法”进行解题时发现了几种方法： 【解法一】小欣同学给出了一种换元的思路． 解：令，得：， 即原式 【解法二】小于同学给出了另一种换元的思路 解：令，得：， 即原式 【解法三】小明同学给出另一种较为简洁的换元法，称之为平均代换．相较于上一种换元方法，平均代换保留了相同的部分，取两个因式常数部分的平均值，构成新元． 解：，∴令， 得：，即原式 请你阅读以上材料，利用“换元法”的思想，解决以下问题： (1)从三种解法中任选一种进行因式分解： (2)小天同学发现多项式也可以用换元法的思想因式分解． 解：原式 请你根据小天同学的思路，把上述因式分解的过程补充完整． (3)请直接写出最终结果． ①因式分解：_______ ②因式分解：_______． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查整式的乘法，因式分解的应用，解决本题的关键是根据示例的三种方法进行解答． （1）根据方法三，，令，得，将得代数式代入即可； （2）根据方法三， ，令，得，将得代数式代入即可； （3）①根据方法二，，令，原式，将代入化简即可； ②根据方法一， ，令，将代入，展开，发现式子是一个完全平方公式． 【详解】（1）解： ， ， 令，得， 即原式． （2）解： ， ， 令，得， 即原式． （3）解：① ， 令， 得 ． 故答案为：． ② ， 令， 得： ， 故答案为：． 【变式6-1】（25-26八年级上·湖南永州·阶段检测）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且则可以把因式分解成，这种方法称为“十字相乘法”． 如：（1）； （2）． 材料2：因式分解：． 解：将“看成一个整体，令，则原式，再将“”还原得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ①________                          ②________ (2)结合材料1和材料2，对下面小题进行因式分解： ①；               ②． 【答案】(1)①，② (2)①，② 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式，阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式是解题的关键． （1）①设实数m，n，根据题意列方程，即可求解；②先提取2，设实数m，n，根据题意列方程，即可求解． （2）①令，再用十字相乘法因式分解，再将A代入即可求解；②令，再用十字相乘法因式分解，再将B代入，再用十字相乘法对因式进行一次因式分解，即可求解． 【详解】（1）①设存在实数m，n，使得，解得， 则； ②， 设存在实数m，n，使得，解得， 则． （2）①令， 故， 将代入得． ②， 令， 则， 将代入，得． 【变式6-2】（24-25八年级下·江西抚州·期中）阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，还能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为换元法． 例如：因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式 将A换元，得原式 请你应用换元法对下列多项式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则原式化为，分解因式解答即可； （2）设，则原式化为，则，分解因式解答即可． 本题考查了换元法因式分解，熟练掌握换元思想是解题的关键． 【详解】（1）设， 则， 故． （2）解：设，则原式化为，则， 设，则， 故 ． 类型七、主元法 【典例7】（25-26八年级上·北京·期中）阅读下列材料： 材料1：若，利用配方法求的最小值． 解：． 当时，有最小值1． 把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法． 材料2：对于多项式，若存在，使得，则可对因式分解如下，， 例1因式分解： 解： 例2因式分解：． 解：把看作关于的二次式， ． 在分解含多个字母的多项式时，选取其中一个字母为主元，将其它字母看成是常数，把多项式整理成关于主元的降幂排列的多项式，这种解题方法叫做主元法． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)若，则的最小值为___________； (2)因式分解：___________； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题综合考查了完全平方公式和因式分解，对给出的代数式进行适当变形是解题关键； （1）根据即可求解； （2）根据，结合，且，即可求解； （3）根据即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值． （2）解：， ∵，且， ∴； （3）解： ∵， ∴当时，有最小值． 1.（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 2.（2021七年级上·江苏苏州·竞赛）因式分解：． 【答案】 【分析】使用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：原式． 3.（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________； （2）运用拆项添项法分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键． （1）根据例2的解析过程，通过拆项后提取公因式，括号内应填入二次多项式； （2）运用拆项添项法，将多项式拆成可分组分解的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】（1）例2中，原式， ， 故括号中应填入 ； 故答案为：； （2）解：原式 ， 故答案为： ． 4.（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①把化为，然后利用十字相乘法分解因式； ②把化为，然后利用十字相乘法分解因式； （2）先把多项式看作关于的二次三项式，然后利用十字相乘法分解因式； （3）先把多项式分成和两组，再把两组分别分解，然后利用提公因式法分解因式． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解： ． 5.（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】因式分解方法除了有提公因式法和公式法外，还有分组分解法和添项法．“分组分解法”是将多项式适当分组，使每组能分解，再用提公因式法或公式法因式分解． 例如： “添项法”是添加并减去一个合适的项，创造分组或用公式的条件． 例如： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)因式分解：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分解因式，根据分组分解法和添项法进行计算即可求解． （1）先根据“添项法”原式添加，再分组利用完全平方公式因式分解，即可求解； （2）将化为，进而根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解． （3）先分组，再根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： 6.（24-25八年级上·山东临沂·期末）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ； ． 【答案】(1) ； ； (2) ； ． 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式．解决本题的关键是阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式． 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可． 【详解】（1）解：， ； 解：， ； （2）解：， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：； ：解， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：． 7.（24-25八年级上·河南驻马店·期末）对于形如．的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．小明是这样想的：在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．参考小明思考问题的方法，利用“配方法”把下列各式进行因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行配方、利用平方差公式进行因式分解，解题中注意整体法的运用． （1）根据题中给出的方法，先对整式进行配方得出，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）根据题中给出的方法，先对整式进行配方得出，再利用平方差公式进行因式分解即可； （3）根据题中给出的方法，先对整式进行配方得出，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 8.（24-25八年级下·全国·暑假作业）阅读材料： 将进行因式分解． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 将多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 根据以上材料，解答下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查运用换元法进行因式分解，读懂题意，理解换元法是解题的关键． （1）令，根据材料的方法进行求解即可； （2），根据材料的方法进行求解即可； （3）将式子化为，令，则式子可化为，即可证明． 【详解】（1）解：令，则 原式． （2）解：令，则原式． （3）解：原式． 令， 则原式． 为正整数， 为正整数． 代数式的值一定是某个整数的平方． 9.（23-24七年级下·河北唐山·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“A”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．结合材料1和材料2，完成下面小题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查因式分解，将某多项式重新设定未知数，分解因式， （1）令，仿照例题解答即可； （2）令，先计算乘法，再因式分解即可． 【详解】（1）解：令， 则原式， ∴； （2）令， 则原式， ∴原式． 10.（23-24七年级下·广西北海·期中）阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法对多项式进行因式分解． 解：设，则 原式 根据上述材料，请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用换元法进行因式分解即可．掌握换元法，是解题的关键． 【详解】解：设， 将代入，得： ∴原式 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 因式分解的常见方法七类题型 典例详解 类型一、分组分解法 类型二、十字相乘法 类型三、拆项法 类型四、添项法（配方法） 类型五、待定系数法 类型六、换元法 类型七、主元法 压轴专练 类型一、分组分解法 【典例1】（安徽蚌埠市2026年九年级第三次中考学情自测数学试题）分解因式：（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）阅读与思考： 分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 例2：“三一分组”： 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)①填空： 解：原式 （      ）（      ） ___________ ②因式分解： (2)已知，且，求的值． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）用分组分解法分解四项的多项式时，除了“两两”分组，还可以按照“三一”分组进行分组分解．如：．请按照上述方法把下列各式分解因式： (1)． (2)． 【变式1-3】（22-23八年级下·安徽宿州·期末）阅读下列材料： 因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式． 解题过程如下：． 这种因式分解的方法叫分组分解法． 利用这种分组分解的思想方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)若a，b为非零实数，，且，求的值． 类型二、十字相乘法 【典例2】（2021七年级上·江苏苏州·竞赛）因式分解：． 【变式2-1】（2021七年级上·江苏苏州·竞赛）因式分解：． 【变式2-2】（2021七年级上·江苏苏州·竞赛）因式分解：． 类型三、拆项法 【典例3】（25-26八年级下·山东济南·期中）我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：_________ ②拆项法（写出计算过程）： (2)应用：若，求a、b、c的值． 【变式3-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）对于题目“分解因式”，小梦和小璐有两种不同的解法，如下： 拆项法： 先提公因式再拆项： 请你根据她们的思路完成因式分解． 【变式3-2】（23-24七年级下·浙江宁波·阶段检测）【学习材料】拆项法 在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，再分组进行因式分解． 例1因式分解： 解：原式 例2因式分解： 解：原式 【知识应用】请根据以上材料中的方法，解决下列问题： (1)因式分解： ； (2)运用拆项法因式分解：； (3)化简，并求该式的最小值． 【变式3-3】（21-22八年级下·陕西榆林·期末）先阅读下列材料： 我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． 拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法． 例如： ． 请你仿照以上方法，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 类型四、添项法（配方法） 【典例4】（23-24八年级上·山西临汾·期末）【阅读材料】19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． 【知识应用】（1）利用“热门定理”把分解因式． 【知识迁移】热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式： ①； ②． 【变式4-1】（25-26八年级上·陕西安康·期末）材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、添项法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法． 例如：． ②添项法：给一个多项式添加一项后，再减去这一项，然后进行适当分组，最后运用提公因式法或公式法继续分解的方法． 例如：． 请你根据上述材料解答下列问题： (1)因式分解：； (2)已知（x是整数，k是常数），要使S能够表示成两个整数平方和的形式，则k的值为________．（写出一个符合条件的数即可） (3)对于任意的整数a、b、c、d，若，，判断是否能够表示成两个整数平方和的形式，并说明理由． 【变式4-2】（23-24七年级下·安徽安庆·阶段检测）利用完全平方公式可将二次三项式进行配方，再根据平方差公式因式分解，例如： ．像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)根据完全平方公式，将下列式子配方成的形式： ①_________，②_________； (2)利用“配方法”因式分解： ①；②． 类型五、待定系数法 【典例5】（23-24八年级上·湖南长沙·期中）在数学课外活动中，待定系数法是分解因式的重要方法．根据已知条件和要求，先设出问题的多项式的表达形式，然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数的方法叫待定系数法．例如：分解因式 解：，不妨设 则 ， (1)若，则的值是________； (2)分解因式： ； ； (3)若多项式能分解成两个一次式（常数项为整数）的乘积，求a的值． 【变式5-1】（25-26八年级上·重庆·期中）先阅读下题的解答过程，然后解答后面的问题， 已知多项式有一个因式是，求的值． 解法一：设， 则， 比较系数得，解得． 解法二：设（为整式）， 由于上式为恒等式，为方便计算取，，故． 根据上面材料，请选择恰当的方法解答下列各题： (1)已知关于的多项式有一个因式是，则________； (2)已知有因式和，求、的值； (3)已知是多项式的一个因式，求，的值，并将该多项式分解因式． 【变式5-2】（24-25八年级上·重庆万州·期中）先阅读下列解答过程：已知有一个因式，求m的值． 解：可以设为一个因式为，则，即 由此得：∴﹔也可以采用另一种方式：当时，， 解得．然后解答问题： (1)已知有一个因式，则另一个因式为___________； (2)已知有一个因式，求m的值； (3)已知多项式有一个因式，求k的值及直接写出此多项式分解因式的结果． 【变式5-5】（24-25八年级下·陕西西安·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 类型六、换元法 【典例6】（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）“换元法”是初中数学中经常用到的一个方法．在因式分解中，我们可以将多项式的某些项用字母替换，将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式，达到“化繁为简”的目的．八（1）班的几名同学在对多项式进行因式分解，用“换元法”进行解题时发现了几种方法： 【解法一】小欣同学给出了一种换元的思路． 解：令，得：， 即原式 【解法二】小于同学给出了另一种换元的思路 解：令，得：， 即原式 【解法三】小明同学给出另一种较为简洁的换元法，称之为平均代换．相较于上一种换元方法，平均代换保留了相同的部分，取两个因式常数部分的平均值，构成新元． 解：，∴令， 得：，即原式 请你阅读以上材料，利用“换元法”的思想，解决以下问题： (1)从三种解法中任选一种进行因式分解： (2)小天同学发现多项式也可以用换元法的思想因式分解． 解：原式 请你根据小天同学的思路，把上述因式分解的过程补充完整． (3)请直接写出最终结果． ①因式分解：_______ ②因式分解：_______． 【变式6-1】（25-26八年级上·湖南永州·阶段检测）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且则可以把因式分解成，这种方法称为“十字相乘法”． 如：（1）； （2）． 材料2：因式分解：． 解：将“看成一个整体，令，则原式，再将“”还原得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ①________                          ②________ (2)结合材料1和材料2，对下面小题进行因式分解： ①；               ②． 【变式6-2】（24-25八年级下·江西抚州·期中）阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看成一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，还能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为换元法． 例如：因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式 将A换元，得原式 请你应用换元法对下列多项式因式分解： (1)； (2)． 类型七、主元法 【典例7】（25-26八年级上·北京·期中）阅读下列材料： 材料1：若，利用配方法求的最小值． 解：． 当时，有最小值1． 把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法． 材料2：对于多项式，若存在，使得，则可对因式分解如下，， 例1因式分解： 解： 例2因式分解：． 解：把看作关于的二次式， ． 在分解含多个字母的多项式时，选取其中一个字母为主元，将其它字母看成是常数，把多项式整理成关于主元的降幂排列的多项式，这种解题方法叫做主元法． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)若，则的最小值为___________； (2)因式分解：___________； (3)若，求的最小值． 1.（25-26七年级下·全国·课后作业）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 2.（2021七年级上·江苏苏州·竞赛）因式分解：． 3.（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________； （2）运用拆项添项法分解因式：________． 4.（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 5.（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）【阅读材料】因式分解方法除了有提公因式法和公式法外，还有分组分解法和添项法．“分组分解法”是将多项式适当分组，使每组能分解，再用提公因式法或公式法因式分解． 例如： “添项法”是添加并减去一个合适的项，创造分组或用公式的条件． 例如： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)因式分解：． 6.（24-25八年级上·山东临沂·期末）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ； ． 7.（24-25八年级上·河南驻马店·期末）对于形如．的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．小明是这样想的：在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有：像这样，先添一个适当项，使式中出现完全平方式再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．参考小明思考问题的方法，利用“配方法”把下列各式进行因式分解： (1)； (2)； (3)． 8.（24-25八年级下·全国·暑假作业）阅读材料： 将进行因式分解． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 将多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 根据以上材料，解答下列问题： (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)求证：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 9.（23-24七年级下·河北唐山·期末）材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“A”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法．结合材料1和材料2，完成下面小题： (1)分解因式：； (2)分解因式：． 10.（23-24七年级下·广西北海·期中）阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 例：用换元法对多项式进行因式分解． 解：设，则 原式 根据上述材料，请你用“换元法”对多项式进行因式分解． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $