考点01 因式分解（专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

**基本信息** 以“概念-方法-应用”为主线，构建“一提二套三分组”系统性方法体系，覆盖7类核心题型，提炼解题步骤与易错点，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点梳理|2大考点（概念+方法）|定义辨析、5种方法（提公因式/公式/十字相乘/分组）及“一提二套三分组”步骤|概念→方法→步骤，形成完整认知链条| |题型突破|7类题型（判断/求参/公因式/提公因式/公式法判断与分解/运用）|各题型解题步骤+易错点（如分解不彻底、符号错误）|题型→方法→应用，实现从基础到综合的能力进阶|

01 因式分解 考点一：因式分解的概念 1、因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式。 2、因式分解与整式乘法的关系： 因式分解是整式乘法的逆变形。 3、因式分解的要求： · 分解的结果必须是几个整式的积的形式。 · 每个因式必须是整式。 · 分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止。 考点二：因式分解的方法 1、提公因式法： 定义：把多项式各项的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 公因式的确定： · 系数取各项系数的最大公约数。 · 字母取各项都含有的相同字母。 · 相同字母的指数取最低次幂。 运算法则：；示例： 2、公式法： 运用乘法公式的逆运算进行因式分解。 （1）平方差公式： （2）完全平方公式： （3）立方和（差）公式： 3、 十字相乘法： 定义：对于二次三项式，若能找到两个数 (a)、(b)，使 ，， 则 一般形式：对于，将二次项系数和常数项分解后交叉相乘再相加等于一次项系数。 其中，，且。 4、 分组分解法： 定义：将多项式的项适当分组，先对每组进行因式分解，再在各组之间提取公因式或运用公式继续分解。 适用情形：四项或四项以上的多项式，直接提取公因式或运用公式不适用时。 示例： 5、因式分解的一般步骤（一提二套三分组）： 提：先考虑提取公因式。 套：再考虑套用乘法公式（平方差、完全平方、立方和差等）。 分：若项数较多，考虑分组分解。 查：检查每个因式是否还能继续分解，确保分解彻底。 题型一：因式分解的判断 1. 因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积的形式。 2. 分解后的每个因式必须是整式，不能含根号或分式。 3. 分解结果必须是乘积形式，不能是和或差。 4. 分解必须彻底，每个因式不能再分解。 5. 判断时需区分因式分解与整式乘法：整式乘法是乘积→和差，因式分解是和差→乘积。 1. 将整式乘法的结果误认为因式分解（方向相反）。 2. 分解结果中仍有和的形式，如 不是因式分解。 3. 分解不彻底，如 未继续分解 。 4. 因式中出现分式或根号，如 在实数范围内可以，但在整式范围内不是因式分解。 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：是整式的乘法运算，右边是多项式和的形式，不是乘积，不属于因式分解； 对于选项B：，右边不是整式的积的形式，不属于因式分解； 对于选项C：，将多项式化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义； 对于选项D：，右边不是整式的积的形式，不属于因式分解． 2．（25-26七年级下·浙江·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是将一个多项式化为几个整式的乘积的变形，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解： A、左边是整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故此选项错误； B、右侧出现分式，不是整式乘积的形式，不符合因式分解要求，故此选项错误； C、左侧是单项式，且等式左右两边不相等，不符合因式分解定义，故此选项错误； D、左侧是多项式，右侧是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故此选项正确． 3．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A．是整式乘法运算，结果是多项式，不符合要求，不符合题意． B．将多项式变形为整式乘积的形式，符合因式分解的定义，符合题意． C．右边不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解定义，不符合题意． D．右边中不是整式，不符合因式分解要求，不符合题意． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的定义是解题的关键． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此判断即可求解． 【详解】解：．是单项式的恒等变形，不是因式分解，故该选项不符合题意； ．是因式分解，故该选项符合题意； ．是多项式的恒等变形，不是因式分解，故该选项不符合题意； ．是整式的乘法运算，不是因式分解，故该选项不符合题意； 故选：B． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握理解定义是解题关键． 根据因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，即可求解． 【详解】解：A． ，是整式的乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； B． ，是因式分解，符合题意， C． ，等式的右边不是整式的乘积形式，故该选项不符合题意；     D． ， 等式的右边不是整式乘积的形式，故该选项不符合题意； 故选：B． 题型二：因式分解的求参 1. 将已知分解式展开，与原多项式对比系数。 2. 利用多项式恒等性质：对应项系数相等。 3. 列出关于参数的方程（组），求解参数。 4. 也可将参数视为未知数，代入特殊值（如 ）建立方程。 5. 求出参数后，可验证分解是否正确。 1. 展开时漏项或符号错误。 2. 对应系数找错，如常数项与一次项系数混淆。 3. 忽略分解式中的系数因式，如 中的。 4. 求出的参数未检验是否满足原式。 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知关于的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解．设另一个一次多项式为，根据因式分解后与原式系数对应求解即可． 【详解】解：设另一个一次多项式为， ∴， ∵能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是， ∴， ∴， ∴， ∴另一个一次多项式为， 故选：D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若多项式因式分解后的结果是，则的值是（　　） A．10 B． C． D．13 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解．将给定的因式分解形式展开，与原多项式比较对应项的系数，求出参数的值即可． 【详解】解：， ∵多项式因式分解后的结果是， ∴，， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的二次三项式分解因式的结果为，则m和n的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解-十字相乘法．将因式分解结果化为多项式形式，然后根据系数相等求出m和n． 【详解】解：∵关于x的二次三项式分解因式的结果为， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）若多项式有一个因式为，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的因式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算方法．设另一个因式为，则，根据各项系数列式求出a和b的值． 【详解】解：设另一个因式为，则． ∵， ∴， ， 解得：． 故答案为：3 5．（24-25七年级下·浙江温州·期中）若，则常数______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解；根据因式分解的结果，用多项式乘法展开并比较对应项的系数即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 题型三：公因式 1. 公因式是多项式中各项都含有的公共因式。 2. 找公因式的方法：系数：取各项系数的最大公约数。字母：取各项中都含有的相同字母。指数：取相同字母的最低次幂。 3. 多项式各项的系数可以是分数，此时公因式的系数可取分数系数的最大公约数。 4. 公因式可以是单项式，也可以是多项式。 1. 公因式的系数找错，未取最大公约数。 2. 字母指数未取最低次幂。 3. 忽略负号公因式，如 的公因式可以是2或 。 4. 多项式的某一项与公因式相同时，提取后该项应写1，容易漏写。 1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）多项式中各项的公因式是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：多项式为 ，其两项分别为 和， 的系数为1， 的系数为，故公因式的系数部分为1； 含字母的2次幂， 含字母的1次幂，取公共字母的最低次幂为1，即 ， ∴多项式中各项的公因式是， 故选：C． 2．（24-25七年级下·浙江·期中）将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键． 根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，进行求解即可． 【详解】解：， ∴应提取的公因式是， 故选：D． 3．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）多项式的各项公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是公因式，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式．由公因式的定义求解． 【详解】解：多项式的各项公因式是 故选：D． 4．（2025·浙江舟山·一模）用提公因式法分解因式时，提取的公因式是______ 【答案】 【分析】此题考查了提公因式法分解因式，正确找到最大公因式是解题的关键．利用提公因式法分解因式即可得到答案． 【详解】解：． ∴提取的公因式是． 故答案为：． 5．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）多项式应提取的公因式是___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了公因式的概念，正确理解公因式的概念是解题的关键．多项式的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫做这个多项式的公因式.．根据公因式的概念即得答案． 【详解】多项式应提取的公因式是． 故答案为：． 题型四：提公因式法分解因式 1. 确定公因式（系数、字母、指数）。 2. 将多项式写成“公因式×（多项式÷公因式）”的形式。 3. 括号内的多项式用原多项式的每一项除以公因式后相加。 4. 检查括号内多项式是否还能继续分解。 5. 分解结果写成乘积形式。 1. 提公因式后，括号内项数与原多项式项数不一致（漏项）。 2. 公因式与某项相同时，括号内该项误写为 0，应为 1。 3. 提负号公因式时，括号内各项未全部变号。 4. 提公因式不彻底，公因式未找全。 1．（2026·浙江台州·二模）分解因式：_________． 【答案】 【分析】直接提取公因式a即可． 【详解】解：． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）分解因式：___． 【答案】 【详解】解：． 3．（2026·浙江·一模）分解因式：__________． 【答案】 【分析】直接提取公因式x进行因式分解即可． 【详解】解：原式． 4．（2026·浙江绍兴·一模）因式分解：____． 【答案】/ 【详解】 5．（2022·浙江宁波·模拟预测）分解因式：________． 【答案】 【详解】解：． 题型五：判断能否用公式法分解因式 1. 平方差公式：多项式为两项，且都可写成平方形式，符号相反。 2. 公式：。 3. 完全平方公式：多项式为三项，且首末两项为正且可写成平方，中间项为 或 。 4. 公式：，。 5. 立方和/差公式（可选）：，。 6. 判断时需先将多项式化为标准形式，再对照公式结构。 1. 平方差公式中符号判断错误，如 不能分解。 2. 完全平方公式中中间项符号与公式不匹配。 3. 系数未整体平方，如 写成 $(2x)^2$ 时漏掉系数。 4. 公式结构识别不清，如 是完全平方，但 不是。 1．（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用公式法进行因式分解，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：①不可以因式分解； ②可以用平方差公式进行因式分解； ③不可以因式分解； ④可以用完全平方公式进行因式分解； ⑤可以用完全平方公式进行因式分解． 故选：B． 2．（22-23七年级下·浙江杭州·月考）下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式因式分解逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，能用平方差公式进行因式分解，该选项不符合题意； B、，不能用平方差公式进行因式分解，该选项符合题意； C、，能用平方差公式进行因式分解，该选项不符合题意； D、，能用平方差公式进行因式分解，该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查公式法因式分解，熟练掌握平方差公式是解决问题的关键． 3．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．+x+1 B．+2x﹣1 C．+2x+2 D．﹣2x+1 【答案】D 【分析】能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两平方项底数积的2倍，据此逐项分析即可． 【详解】A．+x+1不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； B．+2x﹣1不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； C．+2x+2不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； D．﹣2x+1＝，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．两个平方项的符号需相同；另一项是两底数积的2倍，是易错点． 4．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：能运用平方差公式分解因式的是． 故选：C． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 5．（2022·浙江金华·二模）下列多项式中，在实数范围内不能进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的公式法进行计算判断即可得出结果 【详解】解：A、故不符合题意． B、故不符合题意． C、，不能分解，故符合题意． D、故不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键． 题型六：公式法分解因式 1. 平方差公式：将多项式写成 形式，分解为 。 2. 完全平方公式：将多项式写成 形式，分解为 。 3. 立方和/差公式：将多项式写成 形式，分解为 。 4. 注意可以是单项式或多项式。 5. 分解后检查每个因式是否还能继续分解。 1. 平方差公式中 误写为 。 2. 完全平方公式中漏掉中间项 。 3. 立方和差公式中第二因式的符号错误（ 中 项符号与公式不符）。 4. 分解不彻底，如 分解为 后，未继续分解 。 1．（2026·浙江宁波·一模）分解因式：______． 【答案】 【详解】解：． 2．（22-23八年级下·浙江宁波·开学考试）分解因式：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解．先根据整式的乘法运算，把原式变形为，再由完全平方公式和平方差公式，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题关键． （1）提公因式即可； （2）先变形，再提公因式即可； （3）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （4）先利用平方差形式分解因式，再分别提公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）分解因式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解： （1）先提公因式，再用平方差公式法因式分解即可； （2）先提负号，再用完全平方公式进行因式分解即可； （3）先用完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 5．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段检测）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 平方差公式分解即可． (2) 先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】（1）． （2） ． 题型七：因式分解的运用 1. 简便计算：将式子分解后，利用公因数或公式简化计算。 2. 求值：将多项式分解后代入已知条件求值。 3. 解方程：将方程一边化为 0，另一边分解因式，转化为多个一次方程求解。 4. 整除问题：判断一个多项式能否被另一个整式整除。 5. 几何应用：利用因式分解表示面积、体积等关系。 1. 因式分解错误导致后续计算全错。 2. 解方程时，分解后忘记令每个因式为 0，漏解。 3. 整除问题中，未将多项式分解彻底就下结论。 4. 代入求值时，未注意字母的取值范围。 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）________． 【答案】 【分析】先计算一般式，利用完全平方公式和平方差公式因式分解，得到，然后将分子分母的每一项变形为两数相乘，然后约分即可得解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， 原式 ． 2．（2026·浙江·模拟预测）若，则的值为______． 【答案】9 【分析】将所求多项式利用完全平方公式因式分解，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：根据完全平方公式因式分解，得 ， 将代入，得 原式． 3．（25-26七年级下·浙江丽水·期中）运动会开幕式需要各代表队排成一个正方形方阵入场展示，如下图所示，方阵一般有实心方阵和空心方阵两种形式． (1)求7列2层空心方阵的人数． (2)若某代表队既可以排成列1层空心方阵，也可以排成列2层空心方阵，且比多1，求该代表队的人数． (3)若某代表队48人全员参加，请设计出所有的正方形方阵（直接写出方阵的排列方式）． 【答案】(1)40人 (2)16人 (3)13列1层空心方阵、8列2层空心方阵、7列3层空心方阵 【分析】（1）根据图形列式计算即可； （2）根据题意列方程组求解即可； （3）设外圈列数为，层数为，（，为正整数，且），根据题意可得方程，化简得，最后分情况求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，7列2层空心方阵的人数为：（人）． 答：7列2层空心方阵的人数为40人． （2）解：由题意得，， 解得，， ． 答：该代表队的人数为16人． （3）解：设外圈列数为，层数为，（，为正整数，且）， 则由题意得，， 化简得，． ，为正整数，且， 当时，，解得，，即可以排成13列1层空心方阵； 当时，，解得，，即可以排成8列2层空心方阵； 当时，，解得，，即可以排成7列3层空心方阵． 答：所有的正方形方阵排列方式为：13列1层空心方阵、8列2层空心方阵、7列3层空心方阵． 4．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）有一个边长为的正方形，按图切割成个小方块，，，，分别为个小方块的面积． (1)用两种不同的方法表示图中所给大正方形的面积，得到等式为________． (2)图中，为线段上一点，以，为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两个正方形的面积分别记为和，若，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． (3)若满足，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)图中阴影部分面积为； (3)代数式的值为． 【分析】（）根据图示面积的表示方法即可求解； （）连接，设正方形的边长为，正方形的边长为，则有，，故，然后通过即可求解； （）设，，则，，故，通过变形，所以，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：图中大正方形的面积为，个小方块的面积和为， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，连接，设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分面积为； （3）解：设，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式，因式分解的结果为，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数密码． (1)对于多项式，当，时，试写出用上述方法产生的一个六位数密码． (2)对于多项式，当时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为242527，问能否求出p，q，若能，请求出p，q的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)能，， 【分析】本题主要考查了分解因式，已知分解因式的结果求参数等等，正确理解题意是解题的关键． （1）先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得到，再计算出和的结果即可得到答案； （2）把提取公因式x得到，根据产生的密码为可得因式分解的结果为，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， 当，时，，， ∴这个六位数密码可以是； （2）解：， ∵当时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为，， ∴因式分解的结果为， ∴， ∴． 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】A 【分析】根据题意可得，把所求式子变形为，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）下列与的乘积等于的代数式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设所求代数式为， 由题意得，， ∵， ∴， ， ∴与的乘积等于的代数式是． 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，且变形后左右两边相等，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、从左到右是整式乘法，是将乘积化为多项式，故不属于因式分解； B、等式右边不是几个整式乘积的形式，故不属于因式分解； C、等式右边的是分式，不是整式，不符合因式分解定义中分解为整式乘积的形式，故不属于因式分解； D、符合因式分解的所有要求，属于因式分解； 4．（2022·浙江绍兴·一模）分解因式：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解： ． 5．（25-26九年级下·浙江绍兴·月考）下列各式能用平方差公式分解因式的有_____（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】②③⑤⑥ 【分析】根据平方差公式分解因式的条件，即多项式为两个符号相反的平方项的差，逐个对各式进行判断即可． 【详解】解：能用平方差公式分解因式的多项式需满足：多项式为二项式，两项均可写成某个整式的平方，且两项符号相反， ① ，两项符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解因式； ② ，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式； ③ ，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式； ④ ，两项符号相同，不符合要求，不能用平方差公式分解因式； ⑤ ，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式； ⑥ ，两项均可写成整式的平方，且符号相反，符合要求，能用平方差公式分解因式． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先将原式变形为，利用多项式乘以多项式的运算法则计算得到原式为，将看作整体，利用多项式乘以多项式的运算法则计算得到，然后根据完全平方公式分解即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·浙江温州·开学考试）已知，则的值是____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，因式分解，积的乘方的逆运算，利用积的乘方的逆运算法则和完全平方公式把所求式子可变形为，据此利用整体代入法计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 8．（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）分解因式：____． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解方法是解题的关键； 先将式子整理为，然后再根据完全平方公式，以及平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 9．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）直接提取公因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 10．（2026七年级下·浙江·专题练习）因式分解 (1) (2) (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4） ． 11．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：， 解：原式 ②，利用配方法求的最小值： 解： 因为，所以．当时，有最小值5 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：_____ (2)用配方法因式分解： (3)若，求的最大值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方公式，对于，，得，故常数项为； （2）将凑成，再用平方差公式分解； （3）将凑成，结合即可得到的最大值． 【详解】（1）解：根据完全平方公式，需要添加的常数项为一次项系数一半的平方，即， 即， 故添加一个常数为； （2）解： ； （3）解： ， ， ，， 即当时，取得最大值． 12．（24-25八年级上·浙江·期中）上数学课时，张老师在讲完因式分解 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： 当时， 的值最小，最小值是0， 当 时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； (2)知识运用：若 ，当时， y有最 值 （填“大”或“小”），这个值是 (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3，3 (2)大， (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用及非负数的性质， 解题的关键是能够对二次三项式进行分解因式． （1）利用完全平方公式后即可确定最小值； （2）利用完全平方公式后即可确定当时能取到最大值； （3）首先得到有关的代数式，然后利用完全平方公式确定最小值即可． 【详解】（1）解：； 而 当时， 的值最小，最小值是0， ； ∴当时，有最小值3； （2）解：， 而， 当时， 的值最大，最大值是0， ； ∴当时有最大值； （3）解：∵， ， ， ∴当 时， 的最小值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 01 因式分解 考点一：因式分解的概念 1、因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也叫分解因式。 2、因式分解与整式乘法的关系： 因式分解是整式乘法的逆变形。 3、因式分解的要求： · 分解的结果必须是几个整式的积的形式。 · 每个因式必须是整式。 · 分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止。 考点二：因式分解的方法 1、提公因式法： 定义：把多项式各项的公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。 公因式的确定： · 系数取各项系数的最大公约数。 · 字母取各项都含有的相同字母。 · 相同字母的指数取最低次幂。 运算法则：；示例： 2、公式法： 运用乘法公式的逆运算进行因式分解。 （1）平方差公式： （2）完全平方公式： （3）立方和（差）公式： 3、 十字相乘法： 定义：对于二次三项式，若能找到两个数 (a)、(b)，使 ，， 则 一般形式：对于，将二次项系数和常数项分解后交叉相乘再相加等于一次项系数。 其中，，且。 4、 分组分解法： 定义：将多项式的项适当分组，先对每组进行因式分解，再在各组之间提取公因式或运用公式继续分解。 适用情形：四项或四项以上的多项式，直接提取公因式或运用公式不适用时。 示例： 5、因式分解的一般步骤（一提二套三分组）： 提：先考虑提取公因式。 套：再考虑套用乘法公式（平方差、完全平方、立方和差等）。 分：若项数较多，考虑分组分解。 查：检查每个因式是否还能继续分解，确保分解彻底。 题型一：因式分解的判断 1. 因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积的形式。 2. 分解后的每个因式必须是整式，不能含根号或分式。 3. 分解结果必须是乘积形式，不能是和或差。 4. 分解必须彻底，每个因式不能再分解。 5. 判断时需区分因式分解与整式乘法：整式乘法是乘积→和差，因式分解是和差→乘积。 1. 将整式乘法的结果误认为因式分解（方向相反）。 2. 分解结果中仍有和的形式，如 不是因式分解。 3. 分解不彻底，如 未继续分解 。 4. 因式中出现分式或根号，如 在实数范围内可以，但在整式范围内不是因式分解。 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·开学考试）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 题型二：因式分解的求参 1. 将已知分解式展开，与原多项式对比系数。 2. 利用多项式恒等性质：对应项系数相等。 3. 列出关于参数的方程（组），求解参数。 4. 也可将参数视为未知数，代入特殊值（如 ）建立方程。 5. 求出参数后，可验证分解是否正确。 1. 展开时漏项或符号错误。 2. 对应系数找错，如常数项与一次项系数混淆。 3. 忽略分解式中的系数因式，如 中的。 4. 求出的参数未检验是否满足原式。 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知关于的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若多项式因式分解后的结果是，则的值是（　　） A．10 B． C． D．13 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的二次三项式分解因式的结果为，则m和n的值分别为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）若多项式有一个因式为，则的值为__________． 5．（24-25七年级下·浙江温州·期中）若，则常数______． 题型三：公因式 1. 公因式是多项式中各项都含有的公共因式。 2. 找公因式的方法：系数：取各项系数的最大公约数。字母：取各项中都含有的相同字母。指数：取相同字母的最低次幂。 3. 多项式各项的系数可以是分数，此时公因式的系数可取分数系数的最大公约数。 4. 公因式可以是单项式，也可以是多项式。 1. 公因式的系数找错，未取最大公约数。 2. 字母指数未取最低次幂。 3. 忽略负号公因式，如 的公因式可以是2或 。 4. 多项式的某一项与公因式相同时，提取后该项应写1，容易漏写。 1．（24-25七年级下·浙江台州·期末）多项式中各项的公因式是（   ） A．2 B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江·期中）将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）多项式的各项公因式是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江舟山·一模）用提公因式法分解因式时，提取的公因式是______ 5．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）多项式应提取的公因式是___________． 题型四：提公因式法分解因式 1. 确定公因式（系数、字母、指数）。 2. 将多项式写成“公因式×（多项式÷公因式）”的形式。 3. 括号内的多项式用原多项式的每一项除以公因式后相加。 4. 检查括号内多项式是否还能继续分解。 5. 分解结果写成乘积形式。 1. 提公因式后，括号内项数与原多项式项数不一致（漏项）。 2. 公因式与某项相同时，括号内该项误写为 0，应为 1。 3. 提负号公因式时，括号内各项未全部变号。 4. 提公因式不彻底，公因式未找全。 1．（2026·浙江台州·二模）分解因式：_________． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）分解因式：___． 3．（2026·浙江·一模）分解因式：__________． 4．（2026·浙江绍兴·一模）因式分解：____． 5．（2022·浙江宁波·模拟预测）分解因式：________． 题型五：判断能否用公式法分解因式 1. 平方差公式：多项式为两项，且都可写成平方形式，符号相反。 2. 公式：。 3. 完全平方公式：多项式为三项，且首末两项为正且可写成平方，中间项为 或 。 4. 公式：，。 5. 立方和/差公式（可选）：，。 6. 判断时需先将多项式化为标准形式，再对照公式结构。 1. 平方差公式中符号判断错误，如 不能分解。 2. 完全平方公式中中间项符号与公式不匹配。 3. 系数未整体平方，如 写成 $(2x)^2$ 时漏掉系数。 4. 公式结构识别不清，如 是完全平方，但 不是。 1．（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（22-23七年级下·浙江杭州·月考）下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．+x+1 B．+2x﹣1 C．+2x+2 D．﹣2x+1 4．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·浙江金华·二模）下列多项式中，在实数范围内不能进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 题型六：公式法分解因式 1. 平方差公式：将多项式写成 形式，分解为 。 2. 完全平方公式：将多项式写成 形式，分解为 。 3. 立方和/差公式：将多项式写成 形式，分解为 。 4. 注意可以是单项式或多项式。 5. 分解后检查每个因式是否还能继续分解。 1. 平方差公式中 误写为 。 2. 完全平方公式中漏掉中间项 。 3. 立方和差公式中第二因式的符号错误（ 中 项符号与公式不符）。 4. 分解不彻底，如 分解为 后，未继续分解 。 1．（2026·浙江宁波·一模）分解因式：______． 2．（22-23八年级下·浙江宁波·开学考试）分解因式：___________． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）分解因式： (1) (2) (3) (4) 4．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）分解因式： (1)． (2)． (3)． 5．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段检测）因式分解： (1)； (2)． 题型七：因式分解的运用 1. 简便计算：将式子分解后，利用公因数或公式简化计算。 2. 求值：将多项式分解后代入已知条件求值。 3. 解方程：将方程一边化为 0，另一边分解因式，转化为多个一次方程求解。 4. 整除问题：判断一个多项式能否被另一个整式整除。 5. 几何应用：利用因式分解表示面积、体积等关系。 1. 因式分解错误导致后续计算全错。 2. 解方程时，分解后忘记令每个因式为 0，漏解。 3. 整除问题中，未将多项式分解彻底就下结论。 4. 代入求值时，未注意字母的取值范围。 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）________． 2．（2026·浙江·模拟预测）若，则的值为______． 3．（25-26七年级下·浙江丽水·期中）运动会开幕式需要各代表队排成一个正方形方阵入场展示，如下图所示，方阵一般有实心方阵和空心方阵两种形式． (1)求7列2层空心方阵的人数． (2)若某代表队既可以排成列1层空心方阵，也可以排成列2层空心方阵，且比多1，求该代表队的人数． (3)若某代表队48人全员参加，请设计出所有的正方形方阵（直接写出方阵的排列方式）． 4．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）有一个边长为的正方形，按图切割成个小方块，，，，分别为个小方块的面积． (1)用两种不同的方法表示图中所给大正方形的面积，得到等式为________． (2)图中，为线段上一点，以，为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两个正方形的面积分别记为和，若，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． (3)若满足，求代数式的值． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式，因式分解的结果为，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数密码． (1)对于多项式，当，时，试写出用上述方法产生的一个六位数密码． (2)对于多项式，当时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为242527，问能否求出p，q，若能，请求出p，q的值；若不能，请说明理由． 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 2．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）下列与的乘积等于的代数式是（ ） A． B． C． D． 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．（2022·浙江绍兴·一模）分解因式：________． 5．（25-26九年级下·浙江绍兴·月考）下列各式能用平方差公式分解因式的有_____（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）分解因式：______． 7．（25-26七年级上·浙江温州·开学考试）已知，则的值是____________． 8．（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）分解因式：____． 9．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）分解因式： (1)； (2)． 10．（2026七年级下·浙江·专题练习）因式分解 (1) (2) (3) (4)； 11．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：①用配方法分解因式：， 解：原式 ②，利用配方法求的最小值： 解： 因为，所以．当时，有最小值5 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：_____ (2)用配方法因式分解： (3)若，求的最大值 12．（24-25八年级上·浙江·期中）上数学课时，张老师在讲完因式分解 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： 当时， 的值最小，最小值是0， 当 时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； (2)知识运用：若 ，当时， y有最 值 （填“大”或“小”），这个值是 (3)知识拓展：若，求的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $