专题04二元一次方程组期末复习讲义(26大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版七年级数学下册

专题04二元一次方程组期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解二元一次方程、二元一次方程组、方程组的解三个概念，能辨别整式方程是否为二元一次方程，会检验一组未知数的值是不是方程（组）的解。 2.熟练掌握代入消元法、加减消元法两种基本解法，明白消元本质：二元转化为一元，体会化归思想。 3.掌握列二元一次方程组解实际应用题的基本步骤，熟知行程、工程、利润、配套、和差倍分等常见题型等量关系。 4.了解含参数的二元一次方程组题型，能根据方程组解的特殊条件（解相同、解满足某关系式）求字母参数。 1.运算能力：能根据方程组系数特点灵活选代入或加减消元，规范步骤，减少去括号、符号、系数计算错误，熟练解常规方程组。 2.审题建模能力：从实际问题中提取已知条件，找准两个等量关系式，正确设未知数、列方程组。 2.辨析推理能力：会利用方程组解的定义逆向代值，求解参数；能处理看错系数类错题题型。 4.归纳总结能力：自主归纳不同题型的等量关系规律，整理易错步骤。 1.基础小题（选择填空）：快速判断二元一次方程、方程组的解，简单求参数，保证基础题零失误。 2.计算题：常规二元一次方程组求解步骤完整，加减、代入灵活选用，计算大题稳稳拿满分。 3.应用题：规范 “设、列、解、验、答” 五步格式，期末必考实际应用题不丢步骤分。 4.拔高题型：熟练攻克同解方程组、看错系数、方案选择类压轴小题，规避符号、漏乘常数项等考试易错点。 题型01二元一次方程的定义及解 题型02.二元一次方程组的判定 题型03.二元一次方程组解的判定 题型04.由二元一次方程组的解求参数 题型05.代入消元法和加减消元法 题型06.方程组的特殊解法 题型07.错解复原问题 题型08.构造方程组求解 题型09.由方程组解的情况求参数 题型10.方程组相同解问题 题型11.三元一次方程组的定义及解 题型12.三元一次方程组的应用 题型13.由实际问题列方程组 题型14.由几何图形列方程组 题型15.方案问题 题型16.行程问题 题型17.工程问题 题型18.数字问题 题型19.年龄问题 题型20.分配问题 题型21.销售利润问题 题型22.和差倍分问题 题型23.几何问题 题型24.图表信息问题 题型25.古代问题 题型26.其他实际问题 知识点01:二元一次方程组相关概念 1. 二元一次方程 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式：ax+by=c（a0,b0） 解的特征：二元一次方程有无数个解，每个解都是一对有序数对 (x,y)。 2. 二元一次方程组 定义：由两个二元一次方程（或一个二元一次方程与一个一元一次方程）组成的方程组。 方程组的解：使方程组中两个方程都成立的未知数的值，即两个方程的公共解，通常只有唯一一组解。 解的检验：将 (x,y) 代入两个方程，若都成立，则是方程组的解。 3.二元一次方程组的解 同时满足方程组中两个方程的一组未知数的值。 ✅特点：一般只有唯一一组解； ✅检验方法：将数值分别代入两个方程，都成立才是方程组的解。 4:概念对比表 名称 未知数个数 最高次数 解的个数 一元一次方程 1 个 1 唯一解 二元一次方程 2 个 1 无数组解 二元一次方程组 2 个 1 大多唯一解 知识点02:两种解法核心（本章重中之重） (1)代入消元法 (2) 加减消元法 (3)两种解法对比表（老师加分亮点） 解法 适用题型 优点 易错点 代入消元法 系数为 ±1，常数项简单 计算简单、不易错系数 代回原方程时代错式子、符号出错 加减消元法 系数大、无 ±1 系数 解题速度快、适合标准大题 漏乘常数项、符号加减混乱 知识点03:标准解题六大步骤 步骤 核心要求 注意事项 1.设 设两个未知数（直接 / 间接设元） 规范表述，如 “设单价为 x 元，数量为 y 个”，避免模糊 2.找 提取两组独立等量关系 关键词：一共、比… 多 / 少、倍、配套、相遇等 3.列 依据等量关系列二元一次方程组 两个方程必须独立，不能重复 4.解 选用代入 / 加减消元法求解 计算仔细，避免符号、漏乘错误 5.验 ① 检验是否满足方程组② 检验是否符合实际意义 人数、物品数量必须为正整数，价格不能为负 6.答 完整写出答句，对应设元 不漏写单位，语句通顺 知识点04:三元一次方程组及其解法 1. 三元一次方程 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程，叫做三元一次方程。 一般形式：ax+by+cz=d（a、b、c、d为常数，a0，b0，c0）。 2. 三元一次方程组 定义：由三个一次方程组成并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 3. 解法（核心：消元→二元→一元） 基本思路：通过代入法或加减法，消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再解二元一次方程组，最后回代求出第三个未知数。 步骤： 1 消：利用代入或加减，消去一个未知数，得到二元一次方程组； ② 解：解二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③ 回代：将这两个值代入原方程组中较简单的方程，求出第三个未知数的值；④ 写：写出三元一次方程组的解（用大括号联立三个未知数的值）。 知识点05:二元一次方程组应用题（期末大题必考） 1. 标准解题五步格式 设 → 列 → 解 → 验 → 答 2.等量关系 “寻宝指南”（应用题的核心密码） 所有题型的本质都是找等量关系，这些 “高频线索” 直接圈，一找一个准！ ● 配套问题:根据配套比例（如 1 张桌子配 4 把椅子）列出方程，通常涉及生产人数、天数分配。 ● 几何图形问题:根据图形中边长之间的相等关系（如长方形长宽关系、拼接不重叠）列方程。 ● 方案问题:根据总费用、总数量等约束条件列出方程，并讨论整数解或最优方案。 ● 行程问题:基本关系：路程 = 速度 × 时间。相遇问题：总路程 = 速度和 × 时间；追及问题：路程差 = 速度差 × 时间；注意同时出发、早出发等情况。 ● 工程问题:基本关系：工作量 = 工作效率 × 时间；常将总工作量看作 1，或给出具体数值。 ● 数字问题:两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字；多位数类似；注意数位变换后的等量关系。 ● 年龄问题:年龄差不变，每人年龄随时间同步增加。 ● 分配问题:如物资分配、人员调配，根据总量和部分量关系列方程。 ● 销售利润问题:售价 = 进价 + 利润；利润率 = 利润 ÷ 进价；打折、提价、降价后的等量关系。 ● 和差倍分问题:直接根据 “和”“差”“倍”“分” 列方程。 ● 图表信息题:从表格、图形中提取数据，转化为方程组。 3.应用题型方法速查表 题型01二元一次方程的定义及解 1．下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．若是方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C．1 D．5 3．已知 是关于x、y的二元一次方程，则_____． 4．如果是方程的一组解，那么代数式的值是__________． 5．现定义一种新运算：，．若，，则． （1）若，则________； （2）若，，则用含，的代数式表示有________种表示方法． 题型02.二元一次方程组的判定 6．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 7．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 8．下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型03.二元一次方程组解的判定 9．下列各组数中，是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 10．表1为二元一次方程的部分解，表2为二元一次方程的部分解，则方程组的解为（　　） 表1 x 1 2 3 y 1 表2 x 0 1 2 3 y 0 1 A． B． C． D． 11．已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 题型04.由二元一次方程组的解求参数 12．若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（    ） A．5 B． C． D．7 13．表中的信息满足关于的二元一次方程，则的值是_____． 1 2 2 14．若是关于和的二元一次方程的解，则的值是（   ） A． B．1 C． D．3 15．我们规定：关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程，例如：方程，其中，，，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组，根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程______“幸福”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于x，y的二元一次方程是“幸福”方程，求k的值； (3)若是关于x，y的“幸福”方程组的解，求的值． 题型05.代入消元法和加减消元法 16．若实数，同时满足，，则的值为________． 17．已知和都是方程 的解，则______，______． 18．选择合适的方法解方程组： (1)； (2)． 19．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 20．阅读下列解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组；由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单． ，得，所以，③ ③，得，④ ，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)请你运用上述方法解方程组： ①； ②； (2)请你直接写出关于x，y的方程组的解：______． 题型06.方程组的特殊解法. 21．已知，满足方程组，则________． 22．关于x，y的方程组的解为，则方程组的解是____________________ ． 23．已知关于的方程组的解是．则关于的方程组的解是（） A． B． C． D． 24．规定：形如关于x、y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组 叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于x、y的方程组 为共轭方程组，则 ， ； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组 时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以 ③×4得： ①④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组 的解． 题型07.错解复原问题 25．张亮在解方程组时，因看错了，结果解得，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 26．甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得． （1）______， （2）______． 27．甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为． (1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？ (2)请求出原方程组的正确解． 题型08.构造方程组求解 28．，则________． 29．若是二元一次方程，那么a，b的值分别是（   ） A．1，0 B．0， C．2，1 D．1， 30．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，，，已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组解为，则关于m，n的方程组的解为_________． 题型09.由方程组解的情况求参数 31．若是关于的方程组的解，则的值为（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 32．若关于和的方程组的解互为相反数，则______． 33．对于x，y定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，下列结论：①；②若，则m，n有且仅有4组正整数解；③若对任意实数x，y均成立，则．正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 34．已知关于、的方程组 (1)请写出方程的一组正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不管取任何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个解． 题型10.方程组相同解问题 35．若关于的二元一次方程组和同解，则可通过解方程______组成的方程组求得这个解．（请填写序号） 36．已知方程组与有相同的解，则m，n的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 37．已知关于x，y的方程组和方程组的解相同． (1)求方程组相同的解； (2)求的值． 题型11.三元一次方程组的定义及解 38．已知，则的值为_____． 39．已知，（），则_________． 40．有一个5分钱币，4个二分钱币，8个一分钱币，要取9分钱，有(　 )取法． A．5 B．6 C．7 D．8 题型12.三元一次方程组的应用 41．一组有序排列的数具有如下规律：任意相邻的三个数，中间的数等于前后两数的积，若这组数第1个数为2，第5个数为，则第2025个数是______． 42．某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元，又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元，如果单价不变，他买1只鸡1只兔1只鸭需要________元 43．如图，边长为的两个正方形靠边各放置两个邻边长为，的长方形，然后分别以，为边长构成两个大正方形．根据图中数据可求得的值为（    ） A．65 B．68 C．70 D．75 题型13.由实际问题列方程组 44．某校为筹备校园艺术节，计划购买一批演出服装．已知购买件甲种服装和件乙种服装共需元，购买件甲种服装和件乙种服装共需元．设甲种服装每件元，乙种服装每件元，根据题意可列方程组为_____． 45．唐山某文创店五一促销，促销活动为：全场一律八折．小冀在该文创店购买了4个皮影钥匙扣，若干套冰箱贴和一些骨质瓷茶杯（原价如图7所示），发现比打折前一共便宜了124元，那么小冀购买的冰箱贴的个数为______． 46．某班级组织去公园划船，如果每条船坐6人，则空出2条船；如果每条船坐4人，则还有8人没有船坐．设船有条，学生有人，则下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 题型14.由几何图形列方程组 47．如图，块相同的小长方形拼成的一个大长方形，如果大长方形的宽，则小长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 48．中国古代以算筹为工具来记数、列式和进行各种数与式的演算，《九章算术》第八章算为“方程”，其中有一例为：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则表示的方程是_____． 49．图中有条直线，请将1至这个数分别填在个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等．标有“★”的圆圈中所填的数是（    ） A．2 B．5 C．7 D．8 题型15.方案问题 50．某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克．求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克． 51．某山区盛产一种野果，极具市场前景．一家经销公司一次收购．经市场预测，若直接销售，则每吨可获利500元；若经过粗加工并包装，则每吨可获利2500元；若制成罐头出售，则每吨可获利4000元．该公司每天可粗加工并包装或制罐头．同一天两种加工方式不能同时进行，且全部原料必须不超过7天全部销售或加工完毕．为此，公司研究了三种方案： （1）全部进行粗加工并包装； （2）尽可能多地制作罐头，余下的直接销售； （3）部分制作罐头，其余进行粗加工并包装，且正好7天完成． 请你探究一下，为公司做决策． 52．4月30日我校春季运动会火热开赛！为丰富同学们的课余生活，满足运动需求，学校计划采购一批足球和篮球．负责采购的老师在团购群中看到如下信息： (1)根据对话信息，求足球和篮球的单价各是多少元？ (2)若学校一次性采购总金额为700元．两种球都要买且采购资金正好用完，请给出所有购买方案． 题型16.行程问题 53．从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需要36分钟，从乙地到甲地需要24分钟，甲地到乙地全程是多少？根据题意，老师给出的方程组为 (1)方程组中x表示______； (2)甲地到乙地全程是多少？ 54．开放题青藏铁路顺利通车后，青藏高原天堑变通途，圆了几代人的梦．作为世界上海拔最高、施工难度最大的铁路，青藏铁路线有一座大桥——拉萨河特大桥，全长约940m．小明在去年暑假乘列车从北京到拉萨游玩，记录了以下两个数据： ①列车完全在桥上的时间为35s； ②列车从上桥到完全通过该桥用了45s． 根据以上信息，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程． 55．甲乙分别从A、B两地出发，相向而行，同时丙从B出发骑摩托车往返两次，甲乙相遇时，丙正好在去B路上碰到他们；如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们；如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B．问摩托车走完全程要多久？ 题型17.工程问题 56．近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间．第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天． 57．某公司使用甲、乙两种文字生成软件，同时使用每秒钟可以生成400个字符的文章内容，升级后同时使用每秒钟可以生成450个字符的文章内容，其中甲软件生成字符效率比升级前增加，乙软件生成字符效率比升级前增加，求该公司使用的甲、乙两种文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符的个数． 58．某商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组费用共3480元． (1)甲、乙两组单独做1天，商店应各付多少元？ (2)设工作总量为单位1，单独请哪个装修组商店所付费用较少？ 题型18.数字问题 59．如图，是我们七年级上学期学的九宫格，在每个格子中填上一个数（图中没有全部标出），使得每一横行，每一竖列及两条斜对角线上三个数的和都相等，则______． 7 2 60．如图1是2022年8月份的月历，小军同学用“Z”字形框在月历上框出四个数字，将该“Z”字形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若四个日期如图2所示，则下列关于m，n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 61．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数． (1)求这个两位数． (2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？ (3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由． 题型19.年龄问题 62．一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是________________岁． 63．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 64．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 题型20.分配问题 65．在“科技冬奥”的助力下，吉林省冰刀鞋生产技术有了很大突破．某工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋共800双，其中甲种冰刀鞋的产量比乙种冰刀鞋产量的2倍少100双．求该工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋各多少双？ 66．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 67．为深入推进城市老旧小区适老化改造民生工程，切实解决老旧居民楼“上下楼难”的痛点问题，某市全面落实旧楼加装电梯惠民政策，让老旧小区重拾宜居新活力．老张居住的老旧单元楼中，三至七楼共户人家（每层户，一楼、二楼住户不参与）均自愿申请加装电梯．据测算，除政府专项补贴外，这户需共同自筹资金万元，并依据“楼层越高，受益越多，付费越高”的原则，经单元住户共同商议，确定自筹资金分摊规则：每户分摊费用随楼层递增，每升高一层，每户增加万元，且七楼每户的分摊费用是三楼每户的倍． (1)老张家居住在三楼，他这户应自筹资金多少万元？ (2)若四楼其中户因故退出加装电梯，该户原本需承担的费用需由剩余户共同分摊．请设计合理的分摊方案，并说明理由． 题型21.销售利润问题 68．2026年我国蓝莓迎来大丰收，产量和种植规模均创近年来新高，某蓝莓种植园计划将某优质蓝莓包装成A、B两种不同规格的礼包销售．已知4只A种礼包和2只B种礼包共需要蓝莓22千克；2只A种礼包和5只B种礼包共需要蓝莓23千克．求A、B两种礼包每只分别需要多少千克的蓝莓． 69．某企业为推进自身绿色低碳转型，计划在厂房屋顶建设分布式光伏电站．已知采购套单晶硅光伏组件和台组串式并网逆变器，共需设备款万元；采购套单晶硅光伏组件和台组串式并网逆变器，共需设备款万元．问每套光伏组件和每台并网逆变器的单价分别是多少万元？ 70．2026年福建掀起了足球热，举办闽超．龙岩市某中学为了响应“足球进校园”的号召，在商场购买A、B两种品牌的足球，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多30元，购买2个A品牌足球和3个B品牌足球共需340元． (1)求购买一个A品牌足球和一个B品牌足球各需多少元？ (2)该学校决定购买A种品牌足球m个，B品牌足球n个，并且A种品牌足球个数少于B种品牌足球，如果此次购买A、B两种品牌足球总费用为1050元，那么该中学购进A、B品牌足球多少个，请你设计购买方案． 题型22.和差倍分问题 71．2026年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B两型智能分拣机器人来处理该物流中心包裹的分类．已知2台A型机器人每小时的总分拣量是3台B型机器人每小时的总分拣量，1台A型机器人和2台B型机器人每小时共分拣3500件包裹．求A、B两型机器人每小时分别分拣多少件包裹？ 72．某校利用体育大课间抽查七年级学生体育项目练习情况，共进行了两次抽查（每名学生只抽查一个项目），两次抽查合格率相同，跳绳为，排球为．第一次抽查跳绳和排球共44人合格，第二次抽查跳绳和排球共100人合格，且第二次抽查跳绳的人数是第一次抽查跳绳人数的2倍，第二次抽查排球的人数是第一次抽查排球人数的3倍． (1)求学校第一次抽查的学生总人数． (2)若八年级进行了一次跳绳抽查，跳绳的合格人数与七年级两次抽查的跳绳合格总人数相同，且合格率为，求八年级跳绳抽查的学生人数． 73．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天飞船模型和1件B种航天飞船模型的进价共计200元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计340元． (1)求A、B两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划用520元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案． 题型23.几何问题 74．如图，由8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，其中大长方形的宽为，请根据图中的信息求出每块小长方形地砖的长和宽． 75．定义：在解方程组时，我们可以先令，得，再令，得，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组． (2)如图，小亮和小莹一起搭积木，小亮所搭的“小塔”高度为，小莹所搭的“小树”高度为，设每块A型积木的高为，每块B型积木的高为，求A、B型积木的高分别是多少厘米？ 76．如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，求阴影部分的面积． 题型24.图表信息问题 77．为积极响应绿色低碳号召，扎实推进生态文明建设，博罗县某学校组织学生到郊外开展义务植树实践活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： 若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 78．某班数学课上采用小组积分制记录同学们回答问题情况，上课前每组有20分的基本分，积分规则如下：①答错一次减x分；②答对一次加y分．下表是某堂课上记录的两个组得分情况： 第一组 第二组 答错次数 1 2 答对次数 7 9 最终分数 40 45 (1)求x，y的值； (2)如果第三组答错3次，最终分数是41，求出第三组答对多少次？ 79．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 题型25.古代问题 80．我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：今有米麦五百石，共价银四百零五两七钱，只云米每石价八钱六分，麦每石价七钱二分五厘．问米、麦各若干．译文：“现有米和麦子一共500石，总价是银子4057钱．只知道：米每石价值8.6钱，麦子每石价值7.25钱．问：米和麦子各有多少石？”若设米石，麦子石，则可列方程组为______． 81．《孙子算经》记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有x人，y辆车，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 82．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两．” (1)问牛、羊每头各值金多少两？ (2)若同时购买牛和羊恰好用金34两，则有哪几种购买方案？ 题型26.其他实际问题 83．学校图书馆整理科技类图书和文学类图书共本，科技类图书每本需要贴个标签，文学类图书每本需要贴个标签，总共贴了个标签．求科技类图书和文学类图书各有多少本． 84．某船的载重为，容积为．现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为，乙种货物每吨体积为．若要充分利用这艘船的载重与容积，则甲、乙两种货物应各装多少吨？（设装运货物时不留空隙） 85．有A，B两瓶浓度不同的酒精，A瓶有酒精溶液，B瓶有酒精溶液．从A瓶倒出15%，B瓶倒出30%，混合后测得浓度为27.5%．把混合后的酒精再倒回A，B瓶，使得它们恢复原来的质量，然后再从A瓶倒出40%，B瓶也倒出40%，混合后测得浓度为26%．求A，B两瓶酒精原来的酒精浓度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04二元一次方程组期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解二元一次方程、二元一次方程组、方程组的解三个概念，能辨别整式方程是否为二元一次方程，会检验一组未知数的值是不是方程（组）的解。 2.熟练掌握代入消元法、加减消元法两种基本解法，明白消元本质：二元转化为一元，体会化归思想。 3.掌握列二元一次方程组解实际应用题的基本步骤，熟知行程、工程、利润、配套、和差倍分等常见题型等量关系。 4.了解含参数的二元一次方程组题型，能根据方程组解的特殊条件（解相同、解满足某关系式）求字母参数。 1.运算能力：能根据方程组系数特点灵活选代入或加减消元，规范步骤，减少去括号、符号、系数计算错误，熟练解常规方程组。 2.审题建模能力：从实际问题中提取已知条件，找准两个等量关系式，正确设未知数、列方程组。 2.辨析推理能力：会利用方程组解的定义逆向代值，求解参数；能处理看错系数类错题题型。 4.归纳总结能力：自主归纳不同题型的等量关系规律，整理易错步骤。 1.基础小题（选择填空）：快速判断二元一次方程、方程组的解，简单求参数，保证基础题零失误。 2.计算题：常规二元一次方程组求解步骤完整，加减、代入灵活选用，计算大题稳稳拿满分。 3.应用题：规范 “设、列、解、验、答” 五步格式，期末必考实际应用题不丢步骤分。 4.拔高题型：熟练攻克同解方程组、看错系数、方案选择类压轴小题，规避符号、漏乘常数项等考试易错点。 题型01二元一次方程的定义及解 题型02.二元一次方程组的判定 题型03.二元一次方程组解的判定 题型04.由二元一次方程组的解求参数 题型05.代入消元法和加减消元法 题型06.方程组的特殊解法 题型07.错解复原问题 题型08.构造方程组求解 题型09.由方程组解的情况求参数 题型10.方程组相同解问题 题型11.三元一次方程组的定义及解 题型12.三元一次方程组的应用 题型13.由实际问题列方程组 题型14.由几何图形列方程组 题型15.方案问题 题型16.行程问题 .题型17.工程问题 题型18.数字问题 题型19.年龄问题 题型20.分配问题 题型21.销售利润问题 题型22.和差倍分问题 题型23.几何问题 题型24.图表信息问题 题型25.古代问题 题型26.其他实际问题 知识点01:二元一次方程组相关概念 1. 二元一次方程 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。 一般形式：ax+by=c（a0,b0） 解的特征：二元一次方程有无数个解，每个解都是一对有序数对 (x,y)。 2. 二元一次方程组 定义：由两个二元一次方程（或一个二元一次方程与一个一元一次方程）组成的方程组。 方程组的解：使方程组中两个方程都成立的未知数的值，即两个方程的公共解，通常只有唯一一组解。 解的检验：将 (x,y) 代入两个方程，若都成立，则是方程组的解。 3.二元一次方程组的解 同时满足方程组中两个方程的一组未知数的值。 ✅特点：一般只有唯一一组解； ✅检验方法：将数值分别代入两个方程，都成立才是方程组的解。 4:概念对比表 名称 未知数个数 最高次数 解的个数 一元一次方程 1 个 1 唯一解 二元一次方程 2 个 1 无数组解 二元一次方程组 2 个 1 大多唯一解 知识点02:两种解法核心（本章重中之重） (1)代入消元法 (2) 加减消元法 (3)两种解法对比表（老师加分亮点） 解法 适用题型 优点 易错点 代入消元法 系数为 ±1，常数项简单 计算简单、不易错系数 代回原方程时代错式子、符号出错 加减消元法 系数大、无 ±1 系数 解题速度快、适合标准大题 漏乘常数项、符号加减混乱 知识点03:标准解题六大步骤 步骤 核心要求 注意事项 1.设 设两个未知数（直接 / 间接设元） 规范表述，如 “设单价为 x 元，数量为 y 个”，避免模糊 2.找 提取两组独立等量关系 关键词：一共、比… 多 / 少、倍、配套、相遇等 3.列 依据等量关系列二元一次方程组 两个方程必须独立，不能重复 4.解 选用代入 / 加减消元法求解 计算仔细，避免符号、漏乘错误 5.验 ① 检验是否满足方程组② 检验是否符合实际意义 人数、物品数量必须为正整数，价格不能为负 6.答 完整写出答句，对应设元 不漏写单位，语句通顺 知识点04:三元一次方程组及其解法 1. 三元一次方程 定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1的整式方程，叫做三元一次方程。 一般形式：ax+by+cz=d（a、b、c、d为常数，a0，b0，c0）。 2. 三元一次方程组 定义：由三个一次方程组成并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。 3. 解法（核心：消元→二元→一元） 基本思路：通过代入法或加减法，消去一个未知数，将三元一次方程组转化为二元一次方程组，再解二元一次方程组，最后回代求出第三个未知数。 步骤： 1 消：利用代入或加减，消去一个未知数，得到二元一次方程组； ② 解：解二元一次方程组，求出两个未知数的值； ③ 回代：将这两个值代入原方程组中较简单的方程，求出第三个未知数的值；④ 写：写出三元一次方程组的解（用大括号联立三个未知数的值）。 知识点05:二元一次方程组应用题（期末大题必考） 1. 标准解题五步格式 设 → 列 → 解 → 验 → 答 2.等量关系 “寻宝指南”（应用题的核心密码） 所有题型的本质都是找等量关系，这些 “高频线索” 直接圈，一找一个准！ ● 配套问题:根据配套比例（如 1 张桌子配 4 把椅子）列出方程，通常涉及生产人数、天数分配。 ● 几何图形问题:根据图形中边长之间的相等关系（如长方形长宽关系、拼接不重叠）列方程。 ● 方案问题:根据总费用、总数量等约束条件列出方程，并讨论整数解或最优方案。 ● 行程问题:基本关系：路程 = 速度 × 时间。相遇问题：总路程 = 速度和 × 时间；追及问题：路程差 = 速度差 × 时间；注意同时出发、早出发等情况。 ● 工程问题:基本关系：工作量 = 工作效率 × 时间；常将总工作量看作 1，或给出具体数值。 ● 数字问题:两位数 = 10× 十位数字 + 个位数字；多位数类似；注意数位变换后的等量关系。 ● 年龄问题:年龄差不变，每人年龄随时间同步增加。 ● 分配问题:如物资分配、人员调配，根据总量和部分量关系列方程。 ● 销售利润问题:售价 = 进价 + 利润；利润率 = 利润 ÷ 进价；打折、提价、降价后的等量关系。 ● 和差倍分问题:直接根据 “和”“差”“倍”“分” 列方程。 ● 图表信息题:从表格、图形中提取数据，转化为方程组。 3.应用题型方法速查表 题型01二元一次方程的定义及解 1．下列方程中，是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二元一次方程满足：是整式方程，含两个未知数，含未知数的项的次数都是1； 选项A：方程 只含1个未知数，且的次数为2，不是二元一次方程，不符合要求； 选项B：方程 整理为 ，含两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且是整式方程，符合要求； 选项C：方程 中不是整式，不是整式方程，不符合要求； 选项D：方程 含三个未知数，不是二元一次方程，不符合要求. 2．若是方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】把代入，可得关于的方程，即可得的值． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴． 3．已知 是关于x、y的二元一次方程，则_____． 【答案】2026 【分析】根据二元一次方程的定义，二元一次方程需满足含有两个未知数，且未知数的项的次数为，含未知数的一次项系数不为，据此列出关于，的关系式，求解后计算即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴且，, 解得，, 则． 4．如果是方程的一组解，那么代数式的值是__________． 【答案】 【分析】将方程的解代入原方程，得到的值，再对所求代数式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：将代入方程， 可得：, ． 5．现定义一种新运算：，．若，，则． （1）若，则________； （2）若，，则用含，的代数式表示有________种表示方法． 【答案】 27 135 【分析】按照给定运算规则拆分计算，第二问转化为求满足条件的非负整数解的个数即可. 【详解】解：（1）根据新运算规则，得， 又，代入得 ； （2）由（1）可知：， 同理可得，， ∴，其中为非负整数， 故求的表示方法种数，等价于求满足的非负整数解的个数， 方程变形得， ∴要求为非负的3的倍数， ∵，，所以是3的倍数，整理得除以3余2，即，其中为非负整数， 由得，代入得，解得， 因此的取值为，共个不同的解，即有种表示方法. 题型02.二元一次方程组的判定 6．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、第二个方程中不是整式，不是整式方程，不符合定义，故A错误； B、第二个方程中的次数为2，不是一次，不符合定义，故B错误； C、，符合二元一次方程组的定义，故C正确； D、方程组中共含有三个未知数，不符合定义，故D错误． 7．下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，需满足两个条件：①方程组含有两个未知数；②每个方程都是整式方程且未知数的次数为1． 【详解】解：A． 方程组中第一个方程含项，次数为，不符合一次方程要求，排除． B． 方程组中第一个方程含项，次数为，不符合一次方程要求，排除． C． 方程组中两个方程均为一次方程，且仅含、两个未知数，符合定义，正确． D． 方程组含、、三个未知数，不符合“二元”条件，排除． 故选：C． 8．下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】解：①、符合二元一次方程组的定义，故①符合题意； ②、第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故②不符合题意； ③、符合二元一次方程组的定义，故③符合题意； ④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 题型03.二元一次方程组解的判定 9．下列各组数中，是方程的解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二元一次方程的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程，使方程左右两边相等的值才是方程的解． 【详解】解：A．把代入方程中，左边右边，故是方程的解，符合题意； B．把代入方程中，左边右边，故不是方程的解，不符合题意； C．把代入方程中，左边右边，故不是方程的解，不符合题意； D．把代入方程中，左边右边，故不是方程的解，不符合题意． 10．表1为二元一次方程的部分解，表2为二元一次方程的部分解，则方程组的解为（　　） 表1 x 1 2 3 y 1 表2 x 0 1 2 3 y 0 1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，根据表1和表2可知是二元一次方程和二元一次方程公共解，即可求解． 【详解】解：由表1和表2可知是二元一次方程和二元一次方程公共解， 故方程组的解为， 故选：B． 11．已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由整体换元思想可得，求出x，y的值即可． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴方程组的解满足关系式， 解得，， 故选：C 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解答此题的关键． 题型04.由二元一次方程组的解求参数 12．若是关于，的二元一次方程的解，则的值为（    ） A．5 B． C． D．7 【答案】C 【分析】根据方程的解满足方程的性质，将已知解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程的解， ∴， 解得：． 13．表中的信息满足关于的二元一次方程，则的值是_____． 1 2 2 【答案】0 【分析】根据题意，将x和y的值代入，得出关于a和b的方程组，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：， 得：． 14．若是关于和的二元一次方程的解，则的值是（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程的解的含义，把代入即可得到答案. 【详解】解：∵是关于和的二元一次方程的解， ∴， 解得：， 故选：C 15．我们规定：关于x，y的二元一次方程，若满足，则称这个方程为“幸福”方程，例如：方程，其中，，，满足，则方程是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组，根据上述规定，回答下列问题： (1)判断方程______“幸福”方程（填“是”或“不是”）； (2)若关于x，y的二元一次方程是“幸福”方程，求k的值； (3)若是关于x，y的“幸福”方程组的解，求的值． 【答案】(1)不是 (2)2 (3)4 【分析】（1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义，得到关于的一元一次方程，进行求解即可； （3）根据新定义，列出关于的方程组，求出的值，再解关于的方程组，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：∵方程中，， ∴方程不是“幸福”方程； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程是“幸福”方程， ∴， 解得； （3）解：∵关于x，y的“幸福”方程组是“幸福”方程组， ∴ ∴， ∴原方程组为，解得， ∴， ∴． 题型05.代入消元法和加减消元法 16．若实数，同时满足，，则的值为________． 【答案】6 【分析】先由第二个方程得到关于的表达式，代入第一个方程后，根据绝对值的性质分情况讨论，舍去不符合题意的解，得到有效解后计算即可． 【详解】解：由移项得， 将代入得， 分两种情况讨论： ①当时，，原方程化为， 整理得，解得，符合， 此时，； ②当时，，原方程化为， 整理得，不符合，舍去该解． 故的值为6． 17．已知和都是方程 的解，则______，______． 【答案】 5 5 【分析】根据方程的解的定义，将两组解代入原方程，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可得到、的值． 【详解】解：∵和都是方程的解， ∴， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 解得：． 18．选择合适的方法解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 由②可得出， 把代入①得， 解得， 把代入得∶， ∴方程组的解为． （2）解： 整理得： 由①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得， ∴方程组的解为． 19．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题解二元一次方程组，利用消元思想，根据方程组系数的特点选择加减消元法或代入消元法，先消去一个未知数，求解一元一次方程得到一个未知数的值，再代入原方程组求出另一个未知数的值即可． 【详解】（1）解：， 得：， 得：， 得：， 解得：把， 代入①得：， 解得：， 所以方程组的解为； （2）解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 所以方程组的解为； （3）解：， 由①得： 把③代入②得：， 展开整理得：， 解得：， 把， 代入③得：， 所以方程组的解为； （4）解：原方程组整理得， 得：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 整理得：， 解得：， 所以方程组的解为． 20．阅读下列解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组；由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，那么计算量很大，且易出现运算错误，而采用下面的解法会比较简单． ，得，所以，③ ③，得，④ ，得，从而得，所以原方程组的解为． (1)请你运用上述方法解方程组： ①； ②； (2)请你直接写出关于x，y的方程组的解：______． 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】本题考查了加减法解一些系数较大的二元一次方程组，熟练掌握加减法是解题的关键； （1）①、，所得方程两边都除以4，得：，再与方程①利用加减法求解即可；②、，所得方程两边都除以9，得：，再与方程①利用加减法求解即可； （2），所得方程两边都除以，得：，再与方程①利用加减法求解即可． 【详解】（1）解：①； 得：， 两边除以4，得：， 得：， 解得：； 把代入③，解得：； 故原方程组的解为：； ② 得：， 两边除以9，得：， 得：， 解得：； 把代入③，解得：； 故原方程组的解为； （2）解：， 得：， 两边除以，得：， 得：， 把代入③，解得：； 故原方程组的解为． 故答案为：． 题型06.方程组的特殊解法. 21．已知，满足方程组，则________． 【答案】1 【分析】将方程组中两个方程作差变形，即可求出的值． 【详解】解： 得，， 整理得，， 等式两边同除以得，． 22．关于x，y的方程组的解为，则方程组的解是____________________ ． 【答案】． 【分析】根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解为，且 ∴， 解得． 23．已知关于的方程组的解是．则关于的方程组的解是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将变形为，观察两个方程组可得：由第一个方程组就是换成换成，代入数据即可求解． 【详解】解：变形为， 由题意得：， 解得：． 24．规定：形如关于x、y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中；由这两个方程组成的方程组 叫做共轭方程组． (1)方程的共轭二元一次方程是 ； (2)若关于x、y的方程组 为共轭方程组，则 ， ； (3)拓展：阅读下列解共轭方程组的方法，然后解答问题： 解共轭方程组 时，可以采用下面的解法： ②+①得：，所以 ③×4得： ①④得：，从而得 所以原方程组的解是 用上述方法求共轭方程组 的解． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据共轭二元一次方程的定义即可求解； （2）根据共轭二元一次方程组的定义得到，然后解方程，即可求解； （3）根据拓展的解法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，方程的共轭二元一次方程是． （2）解：根据题意，可得， 解得． （3）解：， ，得，所以， ，得， ，得， 将代入③，得， 原方程组的解为． 题型07.错解复原问题 25．张亮在解方程组时，因看错了，结果解得，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是理解题意． 根据题意将代入方程组，得到即可求解； 【详解】解：张亮看错了，所以是第二个方程的解，不是第一个方程的解． 因此代入方程组中，得到， 解得，A选项符合题意． 故选：A． 26．甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得． （1）______， （2）______． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了方程组的解法，解一元一次方程，正确审题，清楚方程组的解是哪一个方程的正确解，代入计算即可．清楚方程组的解是哪一个方程的正确解是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意得：，是的解， 则， 解得：， 故答案为：2； （2）是的解， 则， 解得：， ． 故答案为：1． 27．甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为． (1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？ (2)请求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把a看成了5，乙把b看成了6． (2) 【分析】（1）把代入得出关于的一元一次方程，解一元一次方程即可得出甲把a看成了什么，把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程即可得出乙把b看成了什么； （2）把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程得出b的值，把代入得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程得出a的值，把a，b代入原方程组得出关于x，y的方程组，解方程组即可得出原方程组的正确解． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， ∴甲把a看成了5，乙把b看成了6； （2）解：把代入， 可得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， 把，代入原方程组， 可得：， 由②得：③， 由①+③，可得：， ∴， 把代入①，可得：， 解得：， ∴原方程组的解． 题型08.构造方程组求解 28．，则________． 【答案】1 【分析】根据绝对值的非负性和完全平方的非负性，当几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此列出二元一次方程组求解的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， 解得， ∴， ∴． 29．若是二元一次方程，那么a，b的值分别是（   ） A．1，0 B．0， C．2，1 D．1， 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，以及解二元一次方程组，即只含有两个未知数，并且所含未知项的次数都为1次的整式方程就叫做二元一次方程；根据二元一次方程的定义，即未知数的项的最高次数是1，得到关于a、b的方程组，从而解出a、b． 【详解】解：是二元一次方程， ， 解得； 故选：C． 30．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，，，已知，． (1)求a、b的值； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组解为，则关于m，n的方程组的解为_________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据定义运算，得出关于a，b的二元一次方程组，求解即可得出答案． （2）根据定义运算得出，然后将（1）中得出的a，b的值代入即可得出答案． （3）令，， 则方程组变形成，结合已知条件得出，进而即可得出关于m，n的二元一次方程组，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可知：， 解得∶ ． （2）解：∵，， ∴，即， 把，代入， 得：， ∴． （3）解：令，， 则方程组变形成， ∵关于x，y的方程组解为， ∴的解为， 即， 解得． 题型09.由方程组解的情况求参数 31．若是关于的方程组的解，则的值为（　　） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【分析】根据方程组的解的定义，已知解满足方程组的所有方程，因此将解代入方程，依次求出和的值，再计算即可． 【详解】解：将代入，得， 解得， 将代入，得， 整理，得， 解得， 则． 32．若关于和的方程组的解互为相反数，则______． 【答案】 【分析】根据相反数的定义，可得，即，先将代入第一个方程求出与的值，再代入第二个方程求解即可． 【详解】解：∵方程组的解，互为相反数， ，即， 将代入方程得，， 解得， ∴ ， 把，代入方程，得， 化简得， ， 解得． 33．对于x，y定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，，下列结论：①；②若，则m，n有且仅有4组正整数解；③若对任意实数x，y均成立，则．正确的个数为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据新定义运算可得，可得，可得，再根据运算法则逐一分析各说法即可． 【详解】解：∵，，， ∴，解得：， ∴， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， 整理得：， ∴其正整数解为：，，，，故②符合题意； ∵， ∴， ∴， 上式对任意实数x，y均成立， ∴， ∴，故③符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是新定义运算，二元一次方程组的解法，二元一次方程的正整数解问题，含参数的二元一次方程有无数解的问题，理解题意，熟练的利用新定义的运算法则进行运算是解本题的关键． 34．已知关于、的方程组 (1)请写出方程的一组正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不管取任何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个解． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】（1）令x取一正整数，代入求出即可； （2）先通过方程组解出x、y的值，再将x、y代入代数式求出m即可； （3）将原式进行变换后即可求出这个固定解． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴方程的一组正整数解为； （2）解：∵方程组的解满足， ∴，解得：， 把代入得：， 解得：； （3）解：， 整理得：， ∵不管取任何值，方程总有一个公共解， ∴， ∴． 题型10.方程组相同解问题 35．若关于的二元一次方程组和同解，则可通过解方程______组成的方程组求得这个解．（请填写序号） 【答案】①④ 【分析】本题考查了同解方程组； 根据方程组解的定义可得答案． 【详解】解：因为两方程组有相同的解， 所以方程组的解必然满足两方程组， 故答案为：①④． 36．已知方程组与有相同的解，则m，n的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将两个方程组中不含参数的两个方程联立形成新的方程组，求出的值，进而求出m，n的值即可． 【详解】解：由题意得，两个方程组的解同样满足方程组， 解得：， 把代入和，得： ，， ∴． 37．已知关于x，y的方程组和方程组的解相同． (1)求方程组相同的解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两个方程组的解相同，得出新的方程组，求出解，然后根据方程组的解求出参数； （2）代入求值即可． 【详解】（1）解：∵两方程组的解相同， ∴x，y满足， 解得， ∴方程组相同的解为， 将代入，得， 解得； （2）解：由（1）得，代入得，． 题型11.三元一次方程组的定义及解 38．已知，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：， 得， ∴． 39．已知，（），则_________． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的求解，用z将x、y表示出来，并代入代数式求解即可． 【详解】解∶联立，， 得， 解得， ∴， 故答案为∶． 40．有一个5分钱币，4个二分钱币，8个一分钱币，要取9分钱，有(　 )取法． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】此题考查了三元一次方程的知识．此题难度适中，解题的关键是根据题意列方程∶，并得到，且是非负整数，注意分类讨论思想的应用．首先设可取x个5分钱币，y个二分钱币，z个一分钱币，根据题意可得，，且x，y，z是非负整数，然后求得，利用分类讨论的方法即可求得答案． 【详解】解∶设可取x个5分钱币，y个二分钱币，z个一分钱币．根据题意得∶，，且x，y，z是非负整数， ∴， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 当时，， 当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴要取9分钱，有7取法． 故选C． 题型12.三元一次方程组的应用 41．一组有序排列的数具有如下规律：任意相邻的三个数，中间的数等于前后两数的积，若这组数第1个数为2，第5个数为，则第2025个数是______． 【答案】2 【分析】本题考查了数字的变化，根据数字的变化找出其规律，再根据周期性计算求值是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．设第2个数为a，第3个数为b，第4个数为c，则有，再求出a，b，c的值，进而可得第2个数，第3个数，第4个数，第6个数，第7个数，第8个数的值；根据规律，可求得第2025个数的值． 【详解】解：设第2个数为a，第3个数为b，第4个数为c， 则有：，解得：， ∴第6个数为，第7个数为2，第8个数为4， ∴这一组有序排列的数为：2，4，2，，，，2，4，．．．， ∴这一组有序排列的数是以2，4，2，，，为一组，周期性出现， ， ∴第2025个数是2． 故答案为：2． 42．某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元，又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元，如果单价不变，他买1只鸡1只兔1只鸭需要________元 【答案】 180 【详解】解：设1只鸡1只兔1只鸭的单价分别为元，元和元，由题意，得： ， ，得， ∴；即他买1只鸡1只兔1只鸭需要180元. 43．如图，边长为的两个正方形靠边各放置两个邻边长为，的长方形，然后分别以，为边长构成两个大正方形．根据图中数据可求得的值为（    ） A．65 B．68 C．70 D．75 【答案】C 【分析】根据图示得出，两式相加，消去a，b，即可求出的值． 【详解】解：由图可得， ，得， 即， 解得． 题型13.由实际问题列方程组 44．某校为筹备校园艺术节，计划购买一批演出服装．已知购买件甲种服装和件乙种服装共需元，购买件甲种服装和件乙种服装共需元．设甲种服装每件元，乙种服装每件元，根据题意可列方程组为_____． 【答案】 【分析】根据题意列方程组即可. 【详解】解：设甲种服装每件元，乙种服装每件元， ∴. 45．唐山某文创店五一促销，促销活动为：全场一律八折．小冀在该文创店购买了4个皮影钥匙扣，若干套冰箱贴和一些骨质瓷茶杯（原价如图7所示），发现比打折前一共便宜了124元，那么小冀购买的冰箱贴的个数为______． 【答案】6 【分析】设购买冰箱贴x个，骨质瓷茶杯y个，根据题意列出方程，结合题意求解即可． 【详解】解：设购买冰箱贴x个，骨质瓷茶杯y个， 根据题意得：， 整理得：， ∵x、y都应为正整数， ∴的结果个位数字只能是0， ∴y只能取5 当时，， 解得：， ∴购买的冰箱贴的个数为6． 46．某班级组织去公园划船，如果每条船坐6人，则空出2条船；如果每条船坐4人，则还有8人没有船坐．设船有条，学生有人，则下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两种坐船方案，抓住总人数不变的等量关系，分别用船数表示总人数即可得到正确方程组. 【详解】解：∵ 设船有条，学生有人， 第一种情况：每条船坐6人，空出2条船，实际使用的船数为条，总人数等于每条船人数乘实际用船数， ∴ ； 第二种情况：每条船坐4人，还有8人没有船坐，总人数等于已经上船的人数加没有上船的人数， ∴ ； 因此得到方程组. 题型14.由几何图形列方程组 47．如图，块相同的小长方形拼成的一个大长方形，如果大长方形的宽，则小长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键． 设每块小长方形的长为，宽为，由图示得二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：设每块小长方形的长为，宽为， 根据图形和题意，可得：， 解得：， 小长方形的面积是． 故选：B． 48．中国古代以算筹为工具来记数、列式和进行各种数与式的演算，《九章算术》第八章算为“方程”，其中有一例为：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则表示的方程是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了列二元一次方程，弄清图的意义是解题的关键． 根据题意可知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中左边的未知数x，y的系数以及等式右边相应的常数项，一个竖线表示一个，一条横线表示一十，据此列出方程即可． 【详解】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中左边的未知数x，y的系数以及等式右边相应的常数项，一个竖线表示一个，一条横线表示一十， 所以该图表示的方程是：． 故答案为：． 49．图中有条直线，请将1至这个数分别填在个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等．标有“★”的圆圈中所填的数是（    ） A．2 B．5 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据图片可列二元一次方程组，求解可得，，设标有★的圆圈中所填的数是，利用每条线上的数之和是标出其他圆圈中的数，根据和，求解后，分成三种情况讨论即可． 【详解】解：如图，设最下面圆圈中的数字为，每一条线上所有数字的和为， ∵属于条直线， ∴把这五条直线上的数相加，有， 整理可得①， 再把上图四条线上的数相加，有， 整理可得②， 联立方程①②，可得，解得， 设标有★的圆圈中所填的数是，利用每条线上的数之和是标出其他圆圈中的数，如图： ∵， ∴，即至多为， ∵， ∴，即至少为， 若，则出现两个，不符合题意； 若，则和都为，也不符合题意； 当时，圆圈中个各数字如下图所示， 符合题意． 故选：C． 题型15.方案问题 50．某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克．求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克． 【答案】1架型无人机一次可配送货物100千克，1架型无人机一次可配送货物60千克 【分析】设1架型无人机一次可配送货物千克，1架型无人机一次可配送货物千克，根据题意，得，解方程组即可； 【详解】解：设1架型无人机一次可配送货物千克，1架型无人机一次可配送货物千克，根据题意，得 解得 答：1架型无人机一次可配送货物100千克，1架型无人机一次可配送货物60千克． 51．某山区盛产一种野果，极具市场前景．一家经销公司一次收购．经市场预测，若直接销售，则每吨可获利500元；若经过粗加工并包装，则每吨可获利2500元；若制成罐头出售，则每吨可获利4000元．该公司每天可粗加工并包装或制罐头．同一天两种加工方式不能同时进行，且全部原料必须不超过7天全部销售或加工完毕．为此，公司研究了三种方案： （1）全部进行粗加工并包装； （2）尽可能多地制作罐头，余下的直接销售； （3）部分制作罐头，其余进行粗加工并包装，且正好7天完成． 请你探究一下，为公司做决策． 【答案】应选择方案（3） 【分析】分别计算三种方案的总获利，比较后选择获利最多的方案． 【详解】解：方案（1）：总质量为，每天粗加工， 所需天数为，符合时间要求， 总获利为：（元）； 方案（2）：制作总质量为（）， 余下直接销售的质量为（） 总获利为：（元）； 方案（3）：设天制作罐头，天粗加工， 根据总质量列方程得：， 解得， 制作罐头总质量为（），粗加工总质量为（）， 总获利为：（元）； 比较三种方案获利：， 因此方案（3）获利最多，应选择方案（3）． 52．4月30日我校春季运动会火热开赛！为丰富同学们的课余生活，满足运动需求，学校计划采购一批足球和篮球．负责采购的老师在团购群中看到如下信息： (1)根据对话信息，求足球和篮球的单价各是多少元？ (2)若学校一次性采购总金额为700元．两种球都要买且采购资金正好用完，请给出所有购买方案． 【答案】(1)足球的单价为50元，篮球的单价为60元． (2)方案一：购买足球8个，篮球5；方案二：购买足球2个，篮球10个 【分析】（1）设足球的单价为x元，篮球的单价为y元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可． （2）设购买足球m个，篮球n个，根据题意可得，结合m，n都是正整数求解即可． 【详解】（1）解：设足球的单价为x元，篮球的单价为y元， 根据题意， 解得， 答：足球的单价为50元，篮球的单价为60元． （2）解：设购买足球m个，篮球n个， 根据题意可得， ∴， ∵m，n都是正整数， ∴必须是5的倍数，即n是5的倍数， ∴当时，， 当时，， 当时，，不符合条件， ∴购买方案有2种， 方案一：购买足球8个，篮球5个；方案二：购买足球2个，篮球10个． 题型16.行程问题 53．从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需要36分钟，从乙地到甲地需要24分钟，甲地到乙地全程是多少？根据题意，老师给出的方程组为 (1)方程组中x表示______； (2)甲地到乙地全程是多少？ 【答案】(1)从甲地到乙地的上坡路程 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，解题的关键是根据往返行程中上坡、下坡和平路的速度及时间关系列出方程组，并通过解方程组求出各路段长度进而得到全程． （1）根据方程组中时间与速度的关系，结合往返时上坡和下坡的转换，判断x的实际意义； （2）解所给二元一次方程组，求出和y的值，再将两者相加得到甲地到乙地的全程． 【详解】（1）解：观察方程组，第一个方程表示从甲地到乙地的时间，其中为上坡时间，第二个方程表示从乙地到甲地的时间，其中为下坡时间．由于往返时上坡和下坡路段相同，故x表示从甲地到乙地的上坡路程（单位：）． 故答案为：从甲地到乙地的上坡路程． （2）解：原方程组化简为： ①②得：， 解得． 将代入②：，即， 解得． ∴全程为． 答：甲地到乙地全程是． 54．开放题青藏铁路顺利通车后，青藏高原天堑变通途，圆了几代人的梦．作为世界上海拔最高、施工难度最大的铁路，青藏铁路线有一座大桥——拉萨河特大桥，全长约940m．小明在去年暑假乘列车从北京到拉萨游玩，记录了以下两个数据： ①列车完全在桥上的时间为35s； ②列车从上桥到完全通过该桥用了45s． 根据以上信息，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并写出解答过程． 【答案】求列车的长度与速度；列车的长度为117.5m，速度为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键． 根据火车完全在主桥上的时间为秒，火车从上桥到完全通过该桥用了秒，主桥长米，分别得出方程组成方程组，解方程组求出答案即可． 【详解】解：提出的问题是：求列车的长度与速度． 设列车的长度为，速度为． 根据题意可得解得 故列车的长度为117.5m，速度为． 55．甲乙分别从A、B两地出发，相向而行，同时丙从B出发骑摩托车往返两次，甲乙相遇时，丙正好在去B路上碰到他们；如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们；如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B．问摩托车走完全程要多久？ 【答案】摩托车走完全程要168分． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设A、B两地的距离为S，按照原速同时出发时，t分钟甲乙两人相遇，则，据此可得，再根据如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们推出，可得；再根据如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B得到，则，进而可得，，据此求出摩托车需要的时间即可． 【详解】解：设A、B两地的距离为S，按照原速同时出发时，t分钟甲乙两人相遇， 由题意得，， ∴； ∵如乙晚30分出发，并且速度变为原来的一半，则甲乙相遇时丙正好在去A路上碰到他们， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵如乙早30分出发速度是原来的一半，则甲乙相遇后6分丙就到B， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， （分）， 答：摩托车走完全程要168分． 题型17.工程问题 56．近年来，城市更新行动速度在加快，保障和改善民生的步伐也在加快，人民群众获得感、幸福感、安全感不断提升．某社区在改造中，恢复重现了居民记忆深处的电影院坡坡、戏水河沟、游园坝坝等，新设计了系列文化景观，构建起一个“文化生态”空间．第一期的改造工程面积为88平方米，由甲、乙两人先后接力完成，若甲每天可完成10平方米，乙每天可完成8平方米，共用10天完成，求甲、乙两人分别工作了多少天． 【答案】甲工作了4天，乙工作了6天 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键．设甲工作了x天，乙工作了y天，根据甲乙两人共用10天完成任务及两人合计完成的工程面积为88平方米列出方程，求解方程组即得答案． 【详解】设甲工作了x天，乙工作了y天， 由题意得： ， 解得 ， 答：甲工作了4天，乙工作了6天． 57．某公司使用甲、乙两种文字生成软件，同时使用每秒钟可以生成400个字符的文章内容，升级后同时使用每秒钟可以生成450个字符的文章内容，其中甲软件生成字符效率比升级前增加，乙软件生成字符效率比升级前增加，求该公司使用的甲、乙两种文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符的个数． 【答案】该公司使用的甲、乙两种文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符100个，300个 【分析】设该公司使用的甲、乙两种文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符的个数为个，然后根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设该公司使用的甲、乙两种文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符的个数为个 根据题意得， 解得. 答：该公司使用的甲、乙两种AI文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符100个，300个． 58．某商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组费用共3480元． (1)甲、乙两组单独做1天，商店应各付多少元？ (2)设工作总量为单位1，单独请哪个装修组商店所付费用较少？ 【答案】(1)甲组单独做1天，商店应付300元，乙组单独做1天，商店应付140元． (2)单独请乙组商店所付费用较少． 【分析】（1）根据甲、乙同时施工和甲先做、乙后做的费用情况，列方程组求解甲、乙单独做1天的费用； （2）先根据工作时间和工作总量的关系列方程组求出甲、乙的工作效率，进而求出各自单独完成工作的时间，再计算单独请的费用并比较． 【详解】（1）解：设甲组单独做1天，商店应付元，乙组单独做1天，商店应付元． 由题意，得 解得 因此，甲组单独做1天，商店应付300元，乙组单独做1天，商店应付140元． （2）解：设甲组每天的工作效率为，乙组每天的工作效率为． 由题意，得 解得 甲组单独完成装修需（天），乙组单独完成装修需（天）， 单独请甲组需付（元），单独请乙组需付（元）． ， 单独请乙组商店所付费用较少． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，掌握根据费用和工作效率的关系，设未知数列方程组求解，再计算并比较费用是解题的关键． 题型18.数字问题 59．如图，是我们七年级上学期学的九宫格，在每个格子中填上一个数（图中没有全部标出），使得每一横行，每一竖列及两条斜对角线上三个数的和都相等，则______． 7 2 【答案】 【分析】通过九宫格中每行、每列及对角线上三个数的和相等，列出方程组求解． 【详解】解：设每行、每列及对角线上三个数的和为， 设第一行第三列的数，则， ∴， 从左下到右上的对角线上数的关系：，即， ∴， 设第三行和第二列的数为，则， ∴， 联立方程组得，， 解得，， ∴． 60．如图1是2022年8月份的月历，小军同学用“Z”字形框在月历上框出四个数字，将该“Z”字形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若四个日期如图2所示，则下列关于m，n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据日历上的数字之间的关系列方程组：，再解方程组，再分别检验四个选项即可得到答案． 【详解】解：由题意得： ， 由②得：， 把代入①得：， ， ，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，，∴，故选项C符合题意， ，故选项D不符合题意． 61．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数． (1)求这个两位数． (2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？ (3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)35 (2)大18 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解，然后进一步即可得出答案． （2）对调后的新两位数为53，然后和原数相减即可得出答案． （3）设该两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，求解即可得出，由a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8，此时（不是个位数），不符合题意， 【详解】（1）解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y， 根据题意，得 解得， ∴这个两位数是． （2）解：对调后的新两位数为53， 答：新两位数比原两位数大18． （3）解：不存在 理由：设该两位数的十位数字为a，个位数字为b， 根据题意得 整理方程②： ，即 ． ∵ a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8， 此时（不是个位数），不符合题意， 故不存在这样的两位数． 题型19.年龄问题 62．一天，小红去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若是我现在这么大，我已经是120岁的老寿星了．”爷爷现在的年龄是________________岁． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设爷爷现在的年龄为岁，小红现在的年龄为岁，根据年龄差不变和题意列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设爷爷现在的年龄是岁，小红现在的年龄是岁． 依题意得： 解得 故爷爷现在的年龄是65岁． 故答案为：． 63．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组实际应用，年龄问题，熟练掌握年龄差不变是解题的关键； 根据题目中的数量关系列出方程，进而求解哥哥和妹妹的年龄． 【详解】解：设妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁 由①得： 把③代入②，得 把代入③ 故方程组的解为 即妹妹的年龄为岁，哥哥的年龄为岁； 故选：B ． 64．根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄． 小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁． 大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁． 【答案】大头儿子现在的年龄为10岁 【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，根据题意列出二元一次方程组解得即可． 【详解】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁， 由题意得：， 解得：， 答：大头儿子现在的年龄为10岁． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程组． 题型20.分配问题 65．在“科技冬奥”的助力下，吉林省冰刀鞋生产技术有了很大突破．某工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋共800双，其中甲种冰刀鞋的产量比乙种冰刀鞋产量的2倍少100双．求该工厂一月份生产甲、乙两种冰刀鞋各多少双？ 【答案】该工厂一月份生产甲种冰刀鞋500双，乙种冰刀鞋300双 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设该工厂一月份生产甲种冰刀鞋x双，乙种冰刀鞋y双，根据题意，列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． 【详解】解：设该工厂一月份生产甲种冰刀鞋x双，乙种冰刀鞋y双， 根据题意，得， 解得． 答：该工厂一月份生产甲种冰刀鞋500双，乙种冰刀鞋300双． 66．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 【答案】(1)每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套 (2)先安排10人制作茶具 【分析】（1）设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人，根据等量关系，列出方程组，解方程组即可； （2）设先安排m人制作茶具，将整个任务看作单位1，然后列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人， 由题意得：， 解得：， 答：每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套； （2）解：设先安排m人制作茶具， 由题意得：， 解得：， 答：先安排10人制作茶具． 67．为深入推进城市老旧小区适老化改造民生工程，切实解决老旧居民楼“上下楼难”的痛点问题，某市全面落实旧楼加装电梯惠民政策，让老旧小区重拾宜居新活力．老张居住的老旧单元楼中，三至七楼共户人家（每层户，一楼、二楼住户不参与）均自愿申请加装电梯．据测算，除政府专项补贴外，这户需共同自筹资金万元，并依据“楼层越高，受益越多，付费越高”的原则，经单元住户共同商议，确定自筹资金分摊规则：每户分摊费用随楼层递增，每升高一层，每户增加万元，且七楼每户的分摊费用是三楼每户的倍． (1)老张家居住在三楼，他这户应自筹资金多少万元？ (2)若四楼其中户因故退出加装电梯，该户原本需承担的费用需由剩余户共同分摊．请设计合理的分摊方案，并说明理由． 【答案】(1)万元 (2)三楼每户约万元，每升高一层每户增加约万元；理由见解析 【分析】（1）设三楼每户分摊费用为万元，每升高一层每户增加万元，再根据“七楼每户费用是三楼的倍”和“户总自筹资金万元”这两个等量关系列出二元一次方程组求解即可； （2）先明确保持原分配核心原则，即七楼每户费用是三楼的倍、每升高一层每户增加万元，再根据剩余户的楼层分布和总自筹资金万元不变的条件，列出对应的二元一次方程组，解方程组求出新的三楼每户分摊费用和每层增加额的近似值，最后得出分摊方案并说明理由即可． 【详解】（1）解：设三楼每户的费用为万元，则七楼每户的费用是万元，可列方程组为 ， 解得； 答：老张这户应自筹资金万元． （2）解：保持原分配核心原则，按总自筹资金万元重新计算，可列方程组： ， 解得， 即分摊方案为：三楼每户约万元，每升高一层每户增加约万元； 理由：该方案延续了原有的“楼层越高，受益越多，付费越高”的公平分摊原则，且总自筹资金仍为万元，完全符合题目要求． 题型21.销售利润问题 68．2026年我国蓝莓迎来大丰收，产量和种植规模均创近年来新高，某蓝莓种植园计划将某优质蓝莓包装成A、B两种不同规格的礼包销售．已知4只A种礼包和2只B种礼包共需要蓝莓22千克；2只A种礼包和5只B种礼包共需要蓝莓23千克．求A、B两种礼包每只分别需要多少千克的蓝莓． 【答案】A、B两种礼包每只分别需要4千克、3千克蓝莓 【分析】设A种礼包每只需要x千克蓝莓，B种礼包每只需要y千克蓝莓，根据“4只A种礼包和2只B种礼包共需要蓝莓22千克；2只A种礼包和5只B种礼包共需要蓝莓23千克”列方程组求解即可． 【详解】解：设A种礼包每只需要x千克蓝莓，B种礼包每只需要y千克蓝莓， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种礼包每只分别需要4千克、3千克蓝莓． 69．某企业为推进自身绿色低碳转型，计划在厂房屋顶建设分布式光伏电站．已知采购套单晶硅光伏组件和台组串式并网逆变器，共需设备款万元；采购套单晶硅光伏组件和台组串式并网逆变器，共需设备款万元．问每套光伏组件和每台并网逆变器的单价分别是多少万元？ 【答案】光伏组件每套单价为12万元，并网逆变器每台单价为3万元 【分析】设光伏组件每套单价为x万元，并网逆变器每台单价为万元，根据“采购套单晶硅光伏组件和台组串式并网逆变器，共需设备款万元；采购套单晶硅光伏组件和台组串式并网逆变器，共需设备款万元”列方程组求解即可． 【详解】解：设光伏组件每套单价为x万元，并网逆变器每台单价为万元， 根据题意列得：， 解得， 答：光伏组件每套单价为12万元，并网逆变器每台单价为3万元． 70．2026年福建掀起了足球热，举办闽超．龙岩市某中学为了响应“足球进校园”的号召，在商场购买A、B两种品牌的足球，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多30元，购买2个A品牌足球和3个B品牌足球共需340元． (1)求购买一个A品牌足球和一个B品牌足球各需多少元？ (2)该学校决定购买A种品牌足球m个，B品牌足球n个，并且A种品牌足球个数少于B种品牌足球，如果此次购买A、B两种品牌足球总费用为1050元，那么该中学购进A、B品牌足球多少个，请你设计购买方案． 【答案】(1)购买一个A品牌足球需要50元，购买一个B品牌足球需要80元 (2)学校有1种购买足球的方案，购买A品牌足球5个、B品牌足球10个 【分析】（1）利用公式“总费用购买A品牌足球共花的费用购买B品牌足球共花的费用”列出两个等量关系式，组成二元一次方程组求解； （2）根据题意列出二元一次方程，利用二元一次方程的整数解求得答案． 【详解】（1）解：设购买一个A品牌足球需要x元，购买一个B品牌足球需要y元， 依题意得：， 解得：． 答：购买一个A品牌足球需要50元，购买一个B品牌足球需要80元． （2）解：根据题意得：， 即且． ∵105的个位数是5，m、n均为正整数，个位数为或， ∴的个位数得为或， ∵偶数，且是正整数， ∴的个位数只能为0， ∴是5的倍数， 当时，，与题意不符，舍去； 当时，，，符合题意； 当时，，与题意不符； ∴． 答：学校有1种购买足球的方案，购买A品牌足球5个、B品牌足球10个． 题型22.和差倍分问题 71．2026年春晚，银河通用“小盖”、魔法原子“送餐员”等智能机器人展现了强大的分拣与配送能力．某物流中心借鉴春晚技术，引入A、B两型智能分拣机器人来处理该物流中心包裹的分类．已知2台A型机器人每小时的总分拣量是3台B型机器人每小时的总分拣量，1台A型机器人和2台B型机器人每小时共分拣3500件包裹．求A、B两型机器人每小时分别分拣多少件包裹？ 【答案】A型机器人每小时分拣1500件包裹，B型机器人每小时分拣1000件包裹 【分析】列二元一次方程组解决实际问题． 【详解】解：设A型机器人每小时分拣x件包裹，B型机器人每小时分拣y件包裹． 由题意列二元一次方程组，得， 解得， 答：A型机器人每小时分拣1500件包裹，B型机器人每小时分拣1000件包裹． 72．某校利用体育大课间抽查七年级学生体育项目练习情况，共进行了两次抽查（每名学生只抽查一个项目），两次抽查合格率相同，跳绳为，排球为．第一次抽查跳绳和排球共44人合格，第二次抽查跳绳和排球共100人合格，且第二次抽查跳绳的人数是第一次抽查跳绳人数的2倍，第二次抽查排球的人数是第一次抽查排球人数的3倍． (1)求学校第一次抽查的学生总人数． (2)若八年级进行了一次跳绳抽查，跳绳的合格人数与七年级两次抽查的跳绳合格总人数相同，且合格率为，求八年级跳绳抽查的学生人数． 【答案】(1)学校第一次共抽查了56名学生 (2)八年级跳绳抽查了100名学生 【分析】（1）设第一次抽查跳绳的人数为，抽查排球的人数为，则第二次抽查跳绳的人数为，抽查排球的人数为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）由（1）可知七年级跳绳抽查合格的总人数为，设八年级抽查了名学生，依题意得，进而求解即可． 【详解】（1）解：设第一次抽查跳绳的人数为，抽查排球的人数为，则第二次抽查跳绳的人数为，抽查排球的人数为． 依题意得，解得， ∴（名）． 答：学校第一次共抽查了56名学生． （2）解：由（1）可知，第一次抽查跳绳的人数为40，第二次抽查跳绳的人数为80， ∴七年级跳绳抽查合格的总人数为． 设八年级抽查了名学生， 依题意得，解得． 答：八年级跳绳抽查了100名学生． 73．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进A、B两种航天飞船模型进行销售，据了解，2件A种航天飞船模型和1件B种航天飞船模型的进价共计200元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计340元． (1)求A、B两种航天飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划用520元购进以上两种航天飞船模型（两种航天飞船模型均有购买），请你求出所有购买方案． 【答案】(1)A种航天飞船模型每件进价60元，B种航天飞船模型每件进价80元 (2)方案①：购进6件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型；方案②：购进2件A种航天飞船模型和5件B种航天飞船模型 【分析】（1）设A种航天飞船模型每件进价x元，B种航天飞船模型每件进价y元，根据“2件A种航天飞船模型和1件B种航天飞船模型的进价共计200元；3件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型的进价共计340元”，即可得关于x、y的二元一次方程组，解之即可； （2）设购进a件A种航天飞船模型，b件B种航天飞船模型，根据总价单价数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案． 【详解】（1）解：设A种航天飞船模型每件进价x元，B种航天飞船模型每件进价y元， 根据题意，得， 解得， 答：A种航天飞船模型每件进价60元，B种航天飞船模型每件进价80元； （2）解：设购进a件A种航天飞船模型，b件B种航天飞船模型， 根据题意，得， ∴， ∵a，b均为正整数， ∴当时，；当时，； ∴所有购买方案如下： 方案①：购进6件A种航天飞船模型和2件B种航天飞船模型； 方案②：购进2件A种航天飞船模型和5件B种航天飞船模型． 题型23.几何问题 74．如图，由8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，其中大长方形的宽为，请根据图中的信息求出每块小长方形地砖的长和宽． 【答案】长是，宽是 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程求解. 设每块小长方形地砖的长为，宽为，根据图形可知，长方形的一个长的长度是3个宽的长度，一个长和宽的长度和为，由此列方程求解即可. 【详解】解：设每块小长方形地砖的长为，宽为， 依题意得：， 解得：， 经检验，符合题意． 答：每块小长方形地砖长是，宽是． 75．定义：在解方程组时，我们可以先令，得，再令，得，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组． (2)如图，小亮和小莹一起搭积木，小亮所搭的“小塔”高度为，小莹所搭的“小树”高度为，设每块A型积木的高为，每块B型积木的高为，求A、B型积木的高分别是多少厘米？ 【答案】(1)，过程见解析； (2)A、B型积木的高分别是，． 【分析】（1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意列方程组，由材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：， ①②得，， ∴③， ①②得，④， ∴③④得，， 解得，， 把代入③得， 故答案为：； （2）解：根据题意，得 ①＋②，得， ． ②①，得， 解方程组得． A、B型积木的高分别是，． 76．如图，在长方形中，放入个形状、大小都相同的小长方形，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】设小长方形的长为，宽为，，根据图中的数据，可列出关于，的二元一次方程组，解方程组，再利用阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知， 解得， ∴， ∴阴影部分的面积是． 题型24.图表信息问题 77．为积极响应绿色低碳号召，扎实推进生态文明建设，博罗县某学校组织学生到郊外开展义务植树实践活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： 若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【答案】应选用A种食品3包，B种食品2包 【详解】解：设应选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意得：， 解得：， 答：应选用A种食品3包，B种食品2包． 78．某班数学课上采用小组积分制记录同学们回答问题情况，上课前每组有20分的基本分，积分规则如下：①答错一次减x分；②答对一次加y分．下表是某堂课上记录的两个组得分情况： 第一组 第二组 答错次数 1 2 答对次数 7 9 最终分数 40 45 (1)求x，y的值； (2)如果第三组答错3次，最终分数是41，求出第三组答对多少次？ 【答案】(1)， (2)第三组答对8次 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次方程解决实际问题． （1）根据“最终得分＝基本分－答错失分＋答对得分”即可列出二元一次方程组，求解即可； （2）设第三组答对n次，根据根据“最终得分＝基本分－答错失分＋答对得分”即可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得：， 解得： （2）解：设第三组答对n次，根据题意，得 ， 解得， 答：第三组答对8次． 79．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 【答案】(1)a的值为，b的值为 (2)度 【分析】（1）根据“小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设小明家7月份用电量为x度，根据7月份小明家缴纳电费元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：a的值为，b的值为． （2）解：若一个月用电量为度，电费为（元）， ∵， ∴小明家7月份用电量超过度． 设小明家7月份用电量为x度， 依题意得：， 解得：． 答：小明家7月份的用电量为度． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 题型25.古代问题 80．我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：今有米麦五百石，共价银四百零五两七钱，只云米每石价八钱六分，麦每石价七钱二分五厘．问米、麦各若干．译文：“现有米和麦子一共500石，总价是银子4057钱．只知道：米每石价值8.6钱，麦子每石价值7.25钱．问：米和麦子各有多少石？”若设米石，麦子石，则可列方程组为______． 【答案】 【分析】根据“米和麦子一共500石”、“总价是银子4057钱”，列方程组即可． 【详解】解：设米x石，麦子y石，由题意得：． 81．《孙子算经》记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有x人，y辆车，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目中两种乘车情况的等量关系，列出关于人数和车辆数的二元一次方程组，即可得到正确选项． 【详解】解：设有人，辆车， ∵每3人乘一辆车，剩余2辆空车，说明实际使用车辆为 辆，总人数等于每车人数乘实际使用车辆数， ∴ ，整理得 ． ∵每2人乘一辆车，剩余9人无车可乘，说明乘车人数为，总人数等于乘车人数加步行人数， ∴，整理得 ． 因此可得方程组． 82．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两．” (1)问牛、羊每头各值金多少两？ (2)若同时购买牛和羊恰好用金34两，则有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每头牛值金两，每头羊值金两 (2)方案一是购买牛1头，羊34头；方案二是购买牛11头，羊17头 【分析】（1）设每头牛值金两，每头羊值金两，根据“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两”，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买牛头，羊头，根据购买牛和羊恰好用金34两，列出方程，求方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每头牛值金两，每头羊值金两， 可得方程组， 解得：， 答：每头牛值金两，每头羊值金两． （2）解：设购买牛头，羊头， 可得方程：， ， 是正整数 ∴，， 答：有2种方案：方案一是购买牛1头，羊34头；方案二是购买牛11头，羊17头． 题型26.其他实际问题 83．学校图书馆整理科技类图书和文学类图书共本，科技类图书每本需要贴个标签，文学类图书每本需要贴个标签，总共贴了个标签．求科技类图书和文学类图书各有多少本． 【答案】科技类图书有本，文学类图书有本． 【分析】设科技类图书有本，文学类图书有本，依题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设科技类图书有本，文学类图书有本， 依题意得，， 解得， 答：科技类图书有本，文学类图书有本． 84．某船的载重为，容积为．现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为，乙种货物每吨体积为．若要充分利用这艘船的载重与容积，则甲、乙两种货物应各装多少吨？（设装运货物时不留空隙） 【答案】甲种货物应装80吨，乙种货物应装120吨 【分析】设甲种货物应装x吨，乙种货物应装y吨，根据题意列出二元一次方程组，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设甲种货物应装x吨，乙种货物应装y吨， 根据题意，得 解得 答：甲种货物应装80吨，乙种货物应装120吨． 85．有A，B两瓶浓度不同的酒精，A瓶有酒精溶液，B瓶有酒精溶液．从A瓶倒出15%，B瓶倒出30%，混合后测得浓度为27.5%．把混合后的酒精再倒回A，B瓶，使得它们恢复原来的质量，然后再从A瓶倒出40%，B瓶也倒出40%，混合后测得浓度为26%．求A，B两瓶酒精原来的酒精浓度． 【答案】两瓶酒精原来的酒精浓度分别为． 【分析】本题考查了利用方程思想列方程组，熟练掌握用方程思想解决问题是解题的关键； 先求得A瓶倒出15%，B瓶倒出30%后瓶内余量，然后设A瓶、B瓶酒精原来的浓度为，根据题意列方程组，求解即可, 【详解】解：， ， ． 设两瓶酒精原来的酒精浓度分别为． 由题意，得， 整理，得 解得 答：两瓶酒精原来的酒精浓度分别为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $