期末提优特训6《因式分解》专题（江苏专版） 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 以“定义辨析-方法进阶-综合应用”为主线，构建“基础方法+拓展技巧+思想渗透”三维训练体系，强化因式分解与代数变形、几何应用的逻辑关联，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |特训目标|3项目标|“一提二套三检查”步骤，逆向思维等思想|从定义到方法到应用，层层递进| |考点分析|4大考点+4策略|概念判定“多项式→整式积”，分解口诀“有公先提公”等|高频考点与应对策略一一对应| |经典例题|5道|整体代换求值，公式法综合应用|覆盖选择、填空、解答核心考法| |强化/提优|选择20+填空20+解答22|分组分解“先分组再提公”，参数问题“系数对应”|基础巩固到综合提优，难度梯度合理|

数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期末提优特训6 《因式分解》专题（江苏专版） 一．特训目标 ( 1.辨析因式分解与整式乘法的互逆关系，牢记因式分解定义；熟练掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式三种基础分解方法，掌握分组分解、十字相乘法拓展用法；遵循因式分解步骤：一提、二套、三检查，分解到不能再分解为止。 2.能综合两种及以上方法完成多项式因式分解；会利用因式分解整体代入求值、简便运算；借助因式分解解决参数求值、几何面积、整除证明类题型。 3.培养逆向思维、整体思想、分类讨论思想，规范书写解题步骤。 ) 二．期末考点分析+应对策略 ( （一）高频期末四大考点 1.考点1：因式分解概念辨析（选择题必考），命题：区分因式分解、整式乘法、变形错误式子，近三年期末卷选择第1～3题高频出现。 2.考点2：基础因式分解（填空+基础解答，分值6～10分），命题：单考提公因式、单用公式；综合型：先提公因式再套平方差/完全平方，期末填空主力题型。 3.考点3：因式分解综合运算（中档解答），命题：含整体换元、底数为多项式的公式分解、分组分解，是期末失分重灾区。 4.考点4：因式分解应用（压轴小解答，4～6分），命题：整体代换求代数式值、简便计算、根据分解结果求参数、整除证明、几何面积化简。 （二）应试应对策略 1.概念题：牢记核心判定：左边是多项式，右边是整式乘积形式，排除去括号、加减剩余项的式子； 2.分解计算题口诀：有公先提公，无公套公式，两项平方差，三项完全平，四项来分组，分解要彻底；易错点：首项负号先提取负号，系数公因数全部提出； 3.求值应用题：优先对所求式子因式分解，整体替换已知条件，不盲目单独求未知数； 4.参数题：利用因式分解与整式乘法互逆，展开后对应项系数相等列方程求解。 ) 三．经典例题 例1（2023春·江苏南通·期末）判断下列变形属于因式分解的是（ ） A.x2+2x=x(x+2) B.(x+1)(x-1)=x2-1 C.x2+x+1=x(x+1)+1 D.x2-2x=x2(1-) 例2（2022秋·江苏苏州·期末）因式分解：3ax2-12ay2 例3（2024春·江苏镇江·期末）因式分解：2x2-12xy+18y2 例4（2023春·山东潍坊·期末）已知a+b=5，ab=3，求a^2b+ab^2的值 例5（2024春·江苏泰州·期末）分解因式：(x2+4)2-16x2 四．强化基础 （一）选择题 1.（2025·苏州吴江区期末）下列变形属于因式分解的是（ ） A.x(x-2)=x2-2x　 B.x2-2x=x(x-2)　 C.x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x　 D.x2+1=x(x+) 2.（2025·无锡锡山区期末）多项式8x2y-12xy2的公因式是（ ） A.4xy　 B.4x　 C.xy　 D.8xy 3.（2025·常州金坛区期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ） A.-m2-n2　 B.m2-4　 C.m2+m　 D.m2+2m+1 4.（2025·盐城射阳县·期末）若x2+mx+16是完全平方式，则m的值为（ ） A.8　 B.-8　 C.±8　 D.±4 5.（2023春·常州期末）下列能用平方差分解的是（ ） A.-x2-y B.x2-2y C.4m2-n2 D.x2+x 6.（2022春·盐城期末）多项式6x2y-3xy2的公因式是（ ） A.3xy B.3x C.3y D.xy 7.（2024春·徐州期末）x2+kx+9是完全平方式，则k=（ ） A.6 B.±6 C.3 D.±3 8.（2023春·连云港期末）分解-3x2+6x正确（ ） A.-3x(x+2) B.-3x(x-2) C.3x(x-2) D.-3(x2-2x) 9．（2026·预测）已知△ABC的三边a，b，c满足a（a+c）﹣bc﹣ab＝0，则△ABC的形状为（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 10．（2026·预测）如图，长方形的长和宽分别是x，y，它的周长为14，面积为10，则x2y+xy2的值为（　　） A．140 B．70 C．14 D．10 （二）填空题 11.（2025·扬州江都区·期末）因式分解：a2-25=________ 12.（2025·泰州姜堰区·期末）因式分解：x2-6x+9=________ 13.（2025·南通通州区·期末）因式分解：3x2-6x=________ 14.（2025·连云港东海县·期末）因式分解：-2a2+4a=________ 15．若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2=　　． 16．若a+b=4，a﹣b=1，则（a+1）2﹣（b﹣1）2的值为　　． 17．分解因式：2x3+4x2+2x＝　 　。 18．若m+n＝3，则2m2+4mn+2n2﹣6的值为　 　。 19．有4个不同的整数m、n、p、q满足（5﹣m）（5﹣n）（5﹣p）（5﹣q）＝9，那么m+n+p+q＝　 20．大长方形中放入5张长为a，宽为b的相同的小长方形，如图所示，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为34，大长方形的周长为30，则一张小长方形的面积为 　 （三）解答题 21．因式分解： （1）4m2n﹣8mn2﹣2mn （2）m2（m+1）﹣（m+1） （3）4x2y+12xy+9y （4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15． 22. 用简便方法计算： (1). (2)(1－)(1－)(1－)…(1－)·(1－)． 23.阅读下列材料：分解因式：3x2+3xy﹣5x﹣5y． 解1：3x2+3xy﹣5x﹣5y＝（3x2+3xy）﹣（5x+5y）＝3x（x+y）﹣5（x+y）＝（x+y）（3x﹣5）． 解2：3x2+3xy﹣5x﹣5y＝（3x2﹣5x）+（3xy﹣5y）＝x（3x﹣5）+y（3x﹣5）＝（3x﹣5）（x+y）． 【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法： 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： （1）分解因式：x3+x2+x+1； （2）分解因式：y2+2yz+z2﹣9x2． 24．阅读材料：要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： （1）解决问题：因式分解：ac﹣bc+a2﹣b2； （2）拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 25．阅读下列材料：定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”。 （1）若a＝2，b＝﹣1，直接写出a，b的“如意数”c； （2）如果a＝m﹣4，b＝﹣m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”c恒小于等于0； （3）已知a＝x2（x≠0），且a，b的“如意数”为c＝x4+4x2+2，请用含x的式子表示b． 26．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2。 （1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3． 五．提优特训 （一）选择题 1.（2025秋·盐城阜宁期末）下列变形属于因式分解的是（ ） A.x2+2x=x(x+2) B.x(x+2)=x2+2x C.x2+2x+1=x(x+2)+1 D.x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x 2.（2025春·南通海门期末）下列多项式不能用平方差公式分解因式的是（ ） A.-m2+1 B.4x2-y2 C.-x2-y2 D.(a+b)2-(a-b)2 3.（2025春·泰州姜堰期末）若x2+kx+16是完全平方式，则k的值为（ ） A.8 B.±8 C.4 D.±4 4.（2025春·盐城大丰期末）多项式3a2b-6ab+3b因式分解结果正确的是（ ） A.3b(a2-2a) B.b(3a2-6a+3) C.3b(a-1)2 D.3(a2b-2ab+b) 5.（2025春·苏州昆山期末）已知a+b=5，ab=3，则a2b+ab2的值为（ ） A.15 B.8 C.45 D.30 6.（2025春·盐城阜宁期末）因式分解(x-y)3-(y-x)2，结果是（ ） A.(x-y)2(x-y-1) B.(x-y)2(x-y+1) C.(y-x)2(x-y-1) D.(x-y)3-(x-y)2 7.（2025春·南通海门期末）若x2-2x-1=0，则代数式2x3-7x2+4x+2025的值为（ ） A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 8.（2025春·泰州姜堰期末）已知三角形三边a、b、c满足a2-ac-b2+bc=0，则△ABC形状为（ ） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 9．若x2﹣bx﹣10＝（x+5）（x﹣a），则ab的值是（　　）。 A．﹣8 B．8 C．﹣ D． 10．若k为自然数，则（3k+2）2﹣9k2的值总能（　　） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被7整除 （二）填空题 11.（2025春·盐城大丰期末）因式分解：4m2-9n2=_________. 12.（2025春·苏州昆山期末）分解因式：-2x2+8x-8=_________. 13.（2025春·盐城阜宁期末）简便计算：20252-2024×2026=_________. 14.（2025春·南通海门期末）若多项式x2-mx+9能用完全平方分解，则_________. 15.（2025春·泰州姜堰期末）已知x-y=2，则x2-y2-4y=_________. 16.（2025春·盐城大丰期末）因式分解：a3-ab2-a+b=_________. 17.（2025春·苏州昆山期末）观察规律：22-12=3，32-22=5，42-32=7，利用因式分解计算：1012-1002=_________. 18．根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　 　． 19．将边长为m的大正方形，长为m、宽为n的长方形以及边长为n的小正方形卡片拼成如图所示的长方形，请根据图形写出一个多项式的因式分解　 　． 20．如图，分解多项式x2﹣3x+2，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数． 这样，我们可以得到x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）． 利用这种方法，把多项式x2+7x﹣18分解因式为 　 　． （三）解答题 21．分解因式： (1)－x2＋3x； (2)27a3bc－3ab3c； (3)－ab＋2a2b－a3b. （4）9a2(x－y)＋4b2(y－x) 22.如图,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长为m的大正方形,两块是边长为n的小正方形,五块是长为m,宽为n的小长方形,且m>n. (1)根据图形,因式分解2m2+5mn+2n2=　　　　.  (2)若每块小长方形的面积为12,四个正方形的面积和为80,求图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和. 23．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式． （1）如图①，观察可以发现代数式2a2+5ab+2b2能进行因式分解，请写出将其分解因式的结果． （2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图②，棱长为a+b的正方体被分割线分成8块．①通过不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个因式分解的等式，则这个等式为 　 　 ． ②若a+b＝5，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值． 24.先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2xa﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2xa﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，于是有： x2+2xa﹣3a2＝（x2+2xa+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣4a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a） 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式：a2﹣6a+8； （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣2a﹣4b+5＝0，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状． 25．【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式：a2+6a+5． 解：原式＝a2+6a+9﹣4＝（a+3）2﹣4＝（a+3+2）（a+3﹣2）＝（a+5）（a+1）． ②利用配方法求最小值：求a2+6a+5最小值． 解：a2+6a+5＝a2+2a•3+32﹣32+5＝（a+3）2﹣4，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0，所以（a+3）2﹣4≥﹣4，所以当a＝﹣3时，a2+6a+5有最小值，最小值是﹣4， 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：x2﹣12x+　 　 ＝（x﹣　 　 ）2； （2）将x2﹣3x+66变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣3x+66的最小值； 【探究】若M＝5a2+9a+6，N＝4a2+5a（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 26．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：　 　． ②利用①中的等式解决问题：若x+y＝8，x2+y2＝40，则xy的值为 　 　． （2）【阅读理解】若x满足（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）2+（x﹣30）2的值． 我们可以作如下解答：设a＝20﹣x，b＝x﹣30， 则（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝20﹣30＝﹣10， 所以（20﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣10）2﹣2×10＝80． 【学以致用】若x满足（4﹣x） （5﹣x）＝8，仿照上述解法求（4﹣x）2+（5﹣x）2的值． （3）【联系拓广】如图3，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝8，CK＝12．沿着LD、KD所在直线将正方形EFGH分割成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形NDMH的面积． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期末提优特训6 《因式分解》专题（江苏专版） 一．特训目标 ( 1.辨析因式分解与整式乘法的互逆关系，牢记因式分解定义；熟练掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式三种基础分解方法，掌握分组分解、十字相乘法拓展用法；遵循因式分解步骤：一提、二套、三检查，分解到不能再分解为止。 2.能综合两种及以上方法完成多项式因式分解；会利用因式分解整体代入求值、简便运算；借助因式分解解决参数求值、几何面积、整除证明类题型。 3.培养逆向思维、整体思想、分类讨论思想，规范书写解题步骤。 ) 二．期末考点分析+应对策略 ( （一）高频期末四大考点 1.考点1：因式分解概念辨析（选择题必考），命题：区分因式分解、整式乘法、变形错误式子，近三年期末卷选择第1～3题高频出现。 2.考点2：基础因式分解（填空+基础解答，分值6～10分），命题：单考提公因式、单用公式；综合型：先提公因式再套平方差/完全平方，期末填空主力题型。 3.考点3：因式分解综合运算（中档解答），命题：含整体换元、底数为多项式的公式分解、分组分解，是期末失分重灾区。 4.考点4：因式分解应用（压轴小解答，4～6分），命题：整体代换求代数式值、简便计算、根据分解结果求参数、整除证明、几何面积化简。 （二）应试应对策略 1.概念题：牢记核心判定：左边是多项式，右边是整式乘积形式，排除去括号、加减剩余项的式子； 2.分解计算题口诀：有公先提公，无公套公式，两项平方差，三项完全平，四项来分组，分解要彻底；易错点：首项负号先提取负号，系数公因数全部提出； 3.求值应用题：优先对所求式子因式分解，整体替换已知条件，不盲目单独求未知数； 4.参数题：利用因式分解与整式乘法互逆，展开后对应项系数相等列方程求解。 ) 三．经典例题 例1（2023春·江苏南通·期末）判断下列变形属于因式分解的是（ ） A.x2+2x=x(x+2) B.(x+1)(x-1)=x2-1 C.x2+x+1=x(x+1)+1 D.x2-2x=x2(1-) 【答案】：A 【解析】：B是整式乘法；C右边不是乘积；D因式分解结果必须是整式，含分式错误，只有A符合定义。 例2（2022秋·江苏苏州·期末）因式分解：3ax2-12ay2 【答案】：3a(x+2y)(x-2y) 【解析】：第一步提公因式3a：原式=3a(x2-4y2)，第二步平方差分解x2-4y2=(x+2y)(x-2y)，分解彻底。 例3（2024春·江苏镇江·期末）因式分解：2x2-12xy+18y2 【答案】：2(x-3y)2 【解析】：先提系数公因数2：2(x2-6xy+9y2)，括号内完全平方：x2-6xy+9y2=(x-3y)2。 例4（2023春·山东潍坊·期末）已知a+b=5，ab=3，求a^2b+ab^2的值 【答案】：15 【解析】：因式分解原式=ab(a+b)，整体代入：3×5=15，整体思想是期末必考模型。 例5（2024春·江苏泰州·期末）分解因式：(x2+4)2-16x2 【答案】：(x+2)2(x-2)2 【解析】：整体看成平方差：原式=(x2+4+4x)(x2+4-4x)=(x+2)2(x-2)2，两次使用完全平方公式。 四．强化基础 （一）选择题 1.（2025·苏州吴江区期末）下列变形属于因式分解的是（ ） A.x(x-2)=x2-2x　 B.x2-2x=x(x-2)　 C.x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x　 D.x2+1=x(x+) 【答案】：B 【解析】：A整式乘法；C右侧不是整式乘积；D出现分式，不符合因式分解定义。 2.（2025·无锡锡山区期末）多项式8x2y-12xy2的公因式是（ ） A.4xy　 B.4x　 C.xy　 D.8xy 【答案】：A 【解析】：系数最大公因数4，相同字母最低次幂xy，公因式4xy。 3.（2025·常州金坛区期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ） A.-m2-n2　 B.m2-4　 C.m2+m　 D.m2+2m+1 【答案】：B 【解析】：m2-4=m2-22，两项异号平方，满足平方差形式。 4.（2025·盐城射阳县·期末）若x2+mx+16是完全平方式，则m的值为（ ） A.8　 B.-8　 C.±8　 D.±4 【答案】：C 【解析】：16=42，m=±2×1×4=±8。 5.（2023春·常州期末）下列能用平方差分解的是（ ） A.-x2-y B.x2-2y C.4m2-n2 D.x2+x 【答案】：C 【解析】：平方差：两项异号平方，只有4m2-n2=(2m+n)(2m-n)。 6.（2022春·盐城期末）多项式6x2y-3xy2的公因式是（ ） A.3xy B.3x C.3y D.xy 【答案】：A 【解析】：系数最大公因数3，相同字母最低次幂xy，公因式3xy。 7.（2024春·徐州期末）x2+kx+9是完全平方式，则k=（ ） A.6 B.±6 C.3 D.±3 【答案】：B 【解析】：9=32，k=±2×1×3=±6。 8.（2023春·连云港期末）分解-3x2+6x正确（ ） A.-3x(x+2) B.-3x(x-2) C.3x(x-2) D.-3(x2-2x) 【答案】：B 【解析】：首项负号提出-3x，原式=-3x(x-2)。 9．（2026·预测）已知△ABC的三边a，b，c满足a（a+c）﹣bc﹣ab＝0，则△ABC的形状为（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【解析】∵a（a+c）﹣bc﹣ab＝0，∴a（a+c）﹣b（a+c）＝0，（a﹣b）（a+c）＝0，∵a，b，c是△ABC的三边，∴a﹣b＝0，∴a＝b，即△ABC的形状为等腰三角形．故选：A． 10．（2026·预测）如图，长方形的长和宽分别是x，y，它的周长为14，面积为10，则x2y+xy2的值为（　　） A．140 B．70 C．14 D．10 【答案】B 【解析】∵该长方形的周长为14，面积为10，∴2（x+y）＝14，xy＝10，则x+y＝7，∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝10×7＝70，故选：B． （二）填空题 11.（2025·扬州江都区·期末）因式分解：a2-25=________ 【答案】：(a+5)(a-5) 【解析】：直接套用平方差公式。 12.（2025·泰州姜堰区·期末）因式分解：x2-6x+9=________ 【答案】：(x-3)2 【解析】：完全平方公式：a2-2ab+b2=(a-b)2。 13.（2025·南通通州区·期末）因式分解：3x2-6x=________ 【答案】：3x(x-2) 【解析】：提取公因式3x。 14.（2025·连云港东海县·期末）因式分解：-2a2+4a=________ 【答案】：-2a(a-2) 【解析】：首项为负，先提取负公因式-2a。 15．若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2=　　． 【答案】4 【解析】直接利用提取公因式法分解因式，再把已知代入求出答案．∵a+b=4，ab=1， ∴a2b+ab2=ab（a+b）=1×4=4．故答案为：4． 16．若a+b=4，a﹣b=1，则（a+1）2﹣（b﹣1）2的值为　　． 【答案】12 【解析】对所求代数式运用平方差公式进行因式分解，然后整体代入求值．∵a+b=4，a﹣b=1，∴（a+1）2﹣（b﹣1）2=（a+1+b﹣1）（a+1﹣b+1）=（a+b）（a﹣b+2）=4×（1+2） 17．分解因式：2x3+4x2+2x＝　 　。 【答案】2x（x+1）2． 【解析】原式＝2x（x2+2x+1）＝2x（x+1）2．故答案为：2x（x+1）2． 18．若m+n＝3，则2m2+4mn+2n2﹣6的值为　 　。 【答案】12　 【解析】∵m+n＝3，∴2m2+4mn+2n2﹣6＝2（m+n）2﹣6＝18﹣6＝12．故答案为：12． 19．有4个不同的整数m、n、p、q满足（5﹣m）（5﹣n）（5﹣p）（5﹣q）＝9，那么m+n+p+q＝　 【答案】20　 【解析】因为（5﹣m）（5﹣n）（5﹣p）（5﹣q）＝9，每一个因数都是整数且都不相同，那么只可能是﹣1，1，﹣3，3，由此得出m、n、p、q分别为6、4、8、2，所以，m+n+p+q＝20．故答案为：20． 20．大长方形中放入5张长为a，宽为b的相同的小长方形，如图所示，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为34，大长方形的周长为30，则一张小长方形的面积为 　 【答案】4 【解析】依题意得：，即，（①2﹣②）÷2，得：xy＝4．∴一张小长方形的面积为4．故答案为4． （三）解答题 21．因式分解： （1）4m2n﹣8mn2﹣2mn （2）m2（m+1）﹣（m+1） （3）4x2y+12xy+9y （4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15． 解：（1）4m2n﹣8mn2﹣2mn＝2mn（2m﹣4n﹣1）； （2）m2（m+1）﹣（m+1）＝（m+1）（m2﹣1）＝（m+1）2（m﹣1）； （3）4x2y+12xy+9y＝y（4x2+12x+9）＝y（2x+3）2； （4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15＝（x2﹣6﹣3）（x2﹣6+5）＝（x2﹣9）（x2﹣1） ＝（x+3）（x﹣3）（x+1）（x﹣1）． 22. 用简便方法计算： (1). (2)(1－)(1－)(1－)…(1－)·(1－)． 解：（1）原式＝＝＝10 （2）原式＝(1－)(1＋)(1－)(1＋)(1－)(1＋)…(1－)(1＋)(1－)(1＋)＝××××××…××××＝×＝ 23.阅读下列材料：分解因式：3x2+3xy﹣5x﹣5y． 解1：3x2+3xy﹣5x﹣5y＝（3x2+3xy）﹣（5x+5y）＝3x（x+y）﹣5（x+y）＝（x+y）（3x﹣5）． 解2：3x2+3xy﹣5x﹣5y＝（3x2﹣5x）+（3xy﹣5y）＝x（3x﹣5）+y（3x﹣5）＝（3x﹣5）（x+y）． 【方法总结】对不能直接使用提取公因式法，公式法进行分解因式的多项式，我们可把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和公式法进行分解，然后，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果．这种分解因式的方法叫做分组分解法： 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： （1）分解因式：x3+x2+x+1； （2）分解因式：y2+2yz+z2﹣9x2． 解：（1）原式＝（x3+x2）+（x+1）＝x2（x+1）+（x+1）＝（x2+1）（x+1）； （2）原式＝（y2+2yz+z2）﹣9x2＝（y+z）2﹣9x2＝（y+z+3x）（y+z﹣3x）． 24．阅读材料：要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： （1）解决问题：因式分解：ac﹣bc+a2﹣b2； （2）拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 解：（1）ac﹣bc+a2﹣b2＝（ac﹣bc）+（a2﹣b2）＝c（a﹣b）+（a﹣b）（a+b）＝（a﹣b）（a+b+c）； （2）三角形为等边三角形，理由如下：a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）＝0，（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴这个三角形为等边三角形． 25．阅读下列材料：定义：任意两个数a，b，按规则c＝ab+a+b扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”。 （1）若a＝2，b＝﹣1，直接写出a，b的“如意数”c； （2）如果a＝m﹣4，b＝﹣m，求a，b的“如意数”c，并证明“如意数”c恒小于等于0； （3）已知a＝x2（x≠0），且a，b的“如意数”为c＝x4+4x2+2，请用含x的式子表示b． 解：（1）由“如意数”的定义可得，c＝ab+a+b＝2×（﹣1）+2+（﹣1）＝﹣1； （2）证明：由“如意数”的定义可得，c＝ab+a+b＝（m﹣4）•（﹣m）+（m﹣4）+（﹣m）＝﹣m2+4m+m﹣4﹣m＝﹣m2+4m﹣4＝﹣（m﹣2）2， ∵（m﹣2）2≥0，∴﹣（m﹣2）2≤0，∴“如意数”c恒小于等于0； （3）∵c＝ab+a+b，∴（a+1）b＝c﹣a，∴（x2+1）b＝x4+4x2+2﹣x2，∴（x2+1）b＝x4+3x2+2＝（x2+1）（x2+2），∵x2≥0，∴x2+1＞0，∴b＝x2+2． 26．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2。 （1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3． 解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣b（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝2b2﹣ab； （2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，∵a+b＝10，ab＝20，∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40； （3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab），∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30， ∴S3＝×30＝15． 五．提优特训 （一）选择题 1.（2025秋·盐城阜宁期末）下列变形属于因式分解的是（ ） A.x2+2x=x(x+2) B.x(x+2)=x2+2x C.x2+2x+1=x(x+2)+1 D.x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x 【答案】：A 【解析】：因式分解定义：多项式→整式乘积；B整式乘法，C、D右侧非乘积形式。 2.（2025春·南通海门期末）下列多项式不能用平方差公式分解因式的是（ ） A.-m2+1 B.4x2-y2 C.-x2-y2 D.(a+b)2-(a-b)2 【答案】：C 【解析】：平方差：A2-B2；-x2-y2=-(x2+y2)，两项同号无法分解。 3.（2025春·泰州姜堰期末）若x2+kx+16是完全平方式，则k的值为（ ） A.8 B.±8 C.4 D.±4 【答案】：B 【解析】：x2±8x+42=(x±4)2，k=±8。 4.（2025春·盐城大丰期末）多项式3a2b-6ab+3b因式分解结果正确的是（ ） A.3b(a2-2a) B.b(3a2-6a+3) C.3b(a-1)2 D.3(a2b-2ab+b) 【答案】：C 【解析】：原式=3b(a2-2a+1)=3b(a-1)2，必须分解彻底。 5.（2025春·苏州昆山期末）已知a+b=5，ab=3，则a2b+ab2的值为（ ） A.15 B.8 C.45 D.30 【答案】：A 【解析】：原式=ab(a+b)=3×5=15，整体代入提优考点。 6.（2025春·盐城阜宁期末）因式分解(x-y)3-(y-x)2，结果是（ ） A.(x-y)2(x-y-1) B.(x-y)2(x-y+1) C.(y-x)2(x-y-1) D.(x-y)3-(x-y)2 【答案】：A 【解析】：(y-x)2=(x-y)2，原式=(x-y)2[(x-y)-1]=(x-y)2(x-y-1)。 7.（2025春·南通海门期末）若x2-2x-1=0，则代数式2x3-7x2+4x+2025的值为（ ） A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 【答案】：A 【解析】：由x2=2x+1降次：2x3=2x·x2=2x(2x+1)=4x2+2x，代入原式=4x2+2x-7x2+4x+2025 =-3(2x+1)+6x+2025=2022。 8.（2025春·泰州姜堰期末）已知三角形三边a、b、c满足a2-ac-b2+bc=0，则△ABC形状为（ ） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 【答案】：B 【解析】：分组分解：(a2-b2)-c(a-b)=(a-b)(a+b-c)=0；a+b-c≠0，故a=b。 9．若x2﹣bx﹣10＝（x+5）（x﹣a），则ab的值是（　　）。 A．﹣8 B．8 C．﹣ D． 【答案】D 【解析】∵x2﹣bx﹣10＝（x+5）（x﹣a），∴x2﹣bx﹣10＝x2+（﹣a+5）x﹣5a，故﹣a+5＝﹣b，﹣5a＝﹣10，解得：a＝2，b＝﹣3，故ab＝2﹣3＝．故选：D． 10．若k为自然数，则（3k+2）2﹣9k2的值总能（　　） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被7整除 【答案】B 【解析】（3k+2）2﹣9k2＝（3k+2+3k）（3k+2﹣3k）＝2（6k+2）＝4（3k+1），∴（3k+2）2﹣9k2的值总能被4整除．故选：B． （二）填空题 11.（2025春·盐城大丰期末）因式分解：4m2-9n2=_________. 【答案】：(2m+3n)(2m-3n) 【解析】：直接套用平方差公式。 12.（2025春·苏州昆山期末）分解因式：-2x2+8x-8=_________. 【答案】：-2(x-2)2 【解析】：先提-2：-2(x2-4x+4)=-2(x-2)2。 13.（2025春·盐城阜宁期末）简便计算：20252-2024×2026=_________. 【答案】：1 【解析】：2024×2026=(2025-1)(2025+1)=2025-21，原式=20252-(20252-1)=1。 14.（2025春·南通海门期末）若多项式x2-mx+9能用完全平方分解，则_________. 【答案】：±6 【解析】：x2±6x+9=(x±3)2。 15.（2025春·泰州姜堰期末）已知x-y=2，则x2-y2-4y=_________. 【答案】：4 【解析】：原式=(x-y)(x+y)-4y=2(x+y)-4y=2x-2y=2(x-y)=4。 16.（2025春·盐城大丰期末）因式分解：a3-ab2-a+b=_________. 【答案】：(a-1)(a+b)(a-b) 【解析】：分组=(a3-ab2)-(a-b)=a(a+b)(a-b)-(a-b)=(a-1)(a+b)(a-b)（分组分解提优）。 17.（2025春·苏州昆山期末）观察规律：22-12=3，32-22=5，42-32=7，利用因式分解计算：1012-1002=_________. 【答案】：201 【解析】：平方差：(101+100)(101-100)=201×1=201。 18．根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　 　． 【答案】x2+2x+4x+8＝（x+4）（x+2） 【解析】四张长方形或正方形纸片拼成一个大长方形，面积可以表示为：x2+2x+4x+8＝x2+6x+8＝（x+4）（x+2）．故答案为：x2+2x+4x+8＝（x+4）（x+2）． 19．将边长为m的大正方形，长为m、宽为n的长方形以及边长为n的小正方形卡片拼成如图所示的长方形，请根据图形写出一个多项式的因式分解　 　． 【答案】m2+4mn+3n2＝（m+3n）（m+n）． 【解析】图中大长方形的面积：大长方形的长×宽＝1个边长为m的大正方形+4个长为m、宽为n的长方形面积+3个边长为n的小正方形面积，即：（m+3n）（m+n）＝m2+4mn+3n2， 故答案为：m2+4mn+3n2＝（m+3n）（m+n）． 20．如图，分解多项式x2﹣3x+2，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数． 这样，我们可以得到x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）． 利用这种方法，把多项式x2+7x﹣18分解因式为 　 　． 【答案】（x﹣2）（x+9）． 【解析】因为9×（﹣2）＝﹣18，9+（﹣2）＝7，所以x2+7x﹣18＝（x+9）（x﹣2）．故答案为：（x﹣2）（x+9）． （三）解答题 21．分解因式： (1)－x2＋3x； (2)27a3bc－3ab3c； (3)－ab＋2a2b－a3b. （4）9a2(x－y)＋4b2(y－x) 解：(1)－x2＋3x＝－x(x－3)． (2)27a3bc－3ab3c＝3abc(9a2－b2)＝3abc(3a＋b)(3a－b)． (3)－ab＋2a2b－a3b＝－ab(1－2a＋a2)＝－ab(1－a)2. (4)9a2(x－y)＋4b2(y－x)＝(x－y)(9a2－4b2)＝(x－y)(3a＋2b)(3a－2b)． 22.如图,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长为m的大正方形,两块是边长为n的小正方形,五块是长为m,宽为n的小长方形,且m>n. (1)根据图形,因式分解2m2+5mn+2n2=　　　　.  (2)若每块小长方形的面积为12,四个正方形的面积和为80,求图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和. 解：(1)大长方形的长为2m+n,宽为m+2n,∴2m2+5mn+2n2=(2m+n)(m+2n). 故答案为(2m+n)(m+2n). (2)∵每块小长方形的面积为12,四个正方形的面积和为80,∴mn=12,2m2+2n2=80,∴m2+n2=40,∴(m+n)2=m2+n2+2mn=40+12×2=64,∴m+n=8,∴题图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和为6m+6n=6(m+n)=48. 23．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式． （1）如图①，观察可以发现代数式2a2+5ab+2b2能进行因式分解，请写出将其分解因式的结果． （2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图②，棱长为a+b的正方体被分割线分成8块．①通过不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个因式分解的等式，则这个等式为 　 　 ． ②若a+b＝5，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值． 解：（1）根据图①可知2a2+5ab+2b2可表示为长2a+b，宽为a+2b的长方形面积，那么有： 2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）； （2）①这个正方体的体积可以表示为：a3+b3+3a2b+3ab2，也可以表示为（a+b）3， ∴a3+b3+3a2b+3ab2＝（a+b）3，故答案为：a3+b3+3a2b+3ab2＝（a+b）3． ②由条件可知a3+b3＝（a+b）3﹣3ab（a+b）＝53﹣3×2×5＝95． 24.先阅读下面的内容，再解决问题： 对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2xa﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2xa﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，于是有： x2+2xa﹣3a2＝（x2+2xa+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣4a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a） 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式：a2﹣6a+8； （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣2a﹣4b+5＝0，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状． 解：（1）（1）原式＝a2﹣6a+8+9﹣9＝a2﹣6a+9﹣1＝（a﹣3）2﹣1＝（a﹣3+1）（a﹣3﹣1）＝（a﹣2）（a﹣4）； （2）∵a2+b2﹣2a﹣4b+5＝0，∴（a2﹣2a+1）+（b2﹣4b+4）＝0，（a﹣1）2+（b﹣2）2＝0，∴a﹣1＝0，b﹣2＝0，∴a＝1，b＝2，∴2﹣1＝1＜c＜2+1＝3，∴1＜c＜3，而a、b、c都是正整数，∴c＝2，∴△ABC是等腰三角形． 25．【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式：a2+6a+5． 解：原式＝a2+6a+9﹣4＝（a+3）2﹣4＝（a+3+2）（a+3﹣2）＝（a+5）（a+1）． ②利用配方法求最小值：求a2+6a+5最小值． 解：a2+6a+5＝a2+2a•3+32﹣32+5＝（a+3）2﹣4，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0，所以（a+3）2﹣4≥﹣4，所以当a＝﹣3时，a2+6a+5有最小值，最小值是﹣4， 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：x2﹣12x+　 　 ＝（x﹣　 　 ）2； （2）将x2﹣3x+66变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣3x+66的最小值； 【探究】若M＝5a2+9a+6，N＝4a2+5a（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 解：【应用】（1）x2﹣12x+36＝（x﹣6）2，故答案为：36，6． （2）x2﹣3x+66＝x2﹣3x++=（x-）2+， 因为（x-）2≥0，所以（x-）2+≥，所以当x=时，x2﹣3x+66的最小值是． 【探究】因为M＝5a2+9a+6，N＝4a2+5a，M﹣N＝5a2+9a+6﹣（4a2+5a）＝5a2+9a+6﹣4a2﹣5a ＝a2+4a+6＝a2+4a+4+2＝（a+2）2+2，因为（a+2）2≥0，有（a+2）2+2＞0，所以M﹣N＞0， 所以M＞N． 26．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：　 　． ②利用①中的等式解决问题：若x+y＝8，x2+y2＝40，则xy的值为 　 　． （2）【阅读理解】若x满足（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）2+（x﹣30）2的值． 我们可以作如下解答：设a＝20﹣x，b＝x﹣30， 则（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝20﹣30＝﹣10， 所以（20﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣10）2﹣2×10＝80． 【学以致用】若x满足（4﹣x） （5﹣x）＝8，仿照上述解法求（4﹣x）2+（5﹣x）2的值． （3）【联系拓广】如图3，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝8，CK＝12．沿着LD、KD所在直线将正方形EFGH分割成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形NDMH的面积． 解：（1）①第一种：∵阴影部分为一个边长为y的正方形和一个边长为x的正方形， ∴S阴影部分＝x2+y2； 第二种：∵阴影部分面积等于大正方形面积减去两个长方形的面积， ∴S阴影部分＝（x+y）2﹣2xy；∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，故答案为：x2+y2＝（x+y）2﹣2xy； ②将x+y＝8，x2+y2＝40代入①中等式，得：40＝82﹣2xy，∴xy＝12，故答案为：12； （2）∵（4﹣x） （5﹣x）＝8，∴（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，∴（4﹣x）2+（5﹣x）2 ＝（4﹣x）2+（x﹣5）2＝（4﹣x+x﹣5）2﹣2（4﹣x）（x﹣5）＝（﹣1）2﹣2×（﹣8）＝1+16＝17； （3）设LD＝x，DK＝y，∵四边形ELDN和四边形DKGM为正方形， ∴DN＝LD＝x，DM＝DK＝y，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∵AD＝AL+LD，CD＝CK+DK，∴AL+LD＝CK+DK，∵AL＝8，CK＝12，∴8+x＝12+y，∴x＝y+4，∵正方形ELDN和正方形DKGM的面积之和为400，∴x2+y2＝400，将x＝y+4代入x2+y2＝400中，得：（y+4）2+y2＝400，解得：y＝12或y＝﹣16（舍），∴x＝y+4＝16，∴DN＝16，DM＝12，∴S长方形NDMH＝DN•DM＝16×12＝192． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $