期末提优特训5《三角形中位线+梯形》专题（江苏专版） 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 以“定义-定理-转化”为主线，整合中位线与梯形知识，提炼“中点构造”“辅助线转化”等解题口诀，形成系统化方法体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择/填空（1-10题）|中位线与中线区分，等腰梯形性质判定|从定义到定理，构建“概念-性质-判定”逻辑链| |中位线应用|例1/2/4，选择/填空（11-16题）|“双中点连中位线，单中点补全构造”口诀|通过中点条件转化线段关系，体现抽象能力| |梯形转化|例3/5，解答题（21-23题）|“平移腰/对角线、延长两腰”辅助线策略|将梯形转化为三角形/平行四边形，渗透转化思想| |中点四边形|例2/24题，填空12题|“对角线定形状”速记规则|由原四边形对角线特征推导中点四边形性质，培养推理意识|

数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期末提优特训5 《三角形中位线+梯形》专题（江苏专版） 一．特训目标 ( 1.熟记三角形中位线定义、中位线定理：中位线 ∥ 第三边，长度=第三边的 ，区分中位线与中线；熟记梯形、等腰梯形、直角梯形定义、梯形中位线定理：中位线 ∥ 两底，长度= (上底+下底)。掌握等腰梯形四大性质：同底两角相等、两腰相等、对角线相等、轴对称；掌握等腰梯形判定方法。 2.能依托中点条件构造中位线，完成线段求值、平行证明、周长/面积计算；掌握梯形辅助线常用作法：平移腰、作高、平移对角线、延长两腰、取腰中点构造中位线，把梯形转化为三角形、平行四边形解题；熟练解决中点四边形题型：顺次连接任意四边形四边中点所得四边形为平行四边形，由原四边形对角线决定特殊形状。 3.体会转化思想（梯形 → 三角形/平行四边形、多中点 → 中位线模型），熟练对接期末选择、填空、几何证明大题考点。 ) 二．期末考点分析+应对策略 ( （一）高频期末考点 1.考点1：中位线基础计算（选择/填空，3分），考查：单三角形中位线边长、周长、面积；梯形中位线求上下底/面积；池塘测距实际应用题。 2.考点2：中点四边形（选择/填空，3分），考查：原四边形对角线相等/垂直时，中点四边形为菱形/矩形，期末高频易错。 3.考点3：等腰梯形性质与判定（填空、小证明，4-6分），考查：底角、对角线长度计算，等腰梯形判定证明。 4.考点4：多中点综合构造中位线（中档大题，6分），多个分散中点，需自主取中点连线构造中位线，结合全等、平行四边形解题。 5.考点5：梯形辅助线+中位线压轴（期末压轴，8分），直角梯形/等腰梯形+对角线垂直、角度90 ° 组合，结合中位线求线段、面积。 （二）针对性应对策略 1.中位线解题口诀：见两个中点，优先连中位线；单个中点，补全中点造中位线 易错规避：严禁混淆中线（顶点-中点）、中位线（中点-中点）；梯形中位线只连两腰中点，底中点连线不是中位线。 2.梯形解题固定思路：遇梯形先做辅助线，转化成熟悉三角形/平行四边形 ① 求腰长 → 平移一腰； ② 对角线垂直 → 平移对角线； ③ 底角和90 °→ 延长两腰； ④ 中点条件 → 连梯形中位线。 3.中点四边形速记：原四边形对角线定形状 对角线相等 → 中点四边形菱形；对角线垂直 → 中点四边形矩形；相等且垂直 → 正方形。 4.面积速算：三角形中位线分原三角形4个全等小 △ ，单个面积=原 △ 的 ；梯形面积=中位线 × 高。 ) 3． 经典例题 例1（2023·江苏苏州·八下期末，基础计算）如图,在ABC中,点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,若△ABC的周长为12cm,则△DEF的周长是_______cm. 【答案】 6 【解析】本题考查三角形中位线定理的应用，根据中位线和原三角形三边的关系推导周长即可: 1.根据中位线定义判断:点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，因此DE、DF、EF都是ABC的中位线。 例2（2024·福建福州·八下期末，中点四边形证明） 已知四边形ABCD对角线AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点， 求证：四边形EFGH是菱形。 解：由中位线：EF=AC，GH=AC⇒EF∥ GH并且EF=GH⇒EFGH是平行四边形；EH=BD，AC=BD∴EF=EH，邻边相等的平行四边形是菱形。 例3（2022·山东滨州·八下期末，梯形中位线） 梯形ABCD，AD∥BC，E、F为AB、CD中点（中位线EF），AD=4，BC=8，梯形高5，求EF长与梯形面积。 解：梯形中位线EF=（AD+BC）=（4+8）=6；S梯=中位线×高=6×5=30。 例4.一个对角线相等的四边形ABCD，E、F分别为AB，CD的中点，EF分别交对角线BD，AC于M，N，求证：△OMN是等腰三角形． 证明：取AD的中点Q，连接EQ、FQ，∵E，F、Q分别为AB，CD、AD的中点，∴EQ∥BD，EQ= BD，FQ=AC，FQ∥AC，∴∠QEF＝∠OMN，∠QFE＝∠ONM，∵AC＝BD，∴QE＝QF，∴∠QEF＝∠QFE，∴∠OMN＝∠ONM，∴OM＝ON，即△OMN是等腰三角形． 例5.如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，∠B+∠C=90°，EF=10，E，F分别是AD，BC的中点，求BC-AD 证明：做EM∥AB，EN∥CD，分别交BC于M、N．∵EM∥AB，EN∥CD，∴∠B=∠EMN，∠C=∠ENM，∵AD∥BC， ∴四边形AEMB是平行四边形，四边形EDCN是平行四边形，∴AE=BM，ED=NC， ∵∠B+∠C=90°．∴∠EMN+∠ENM=90°，∴△EMN为直角三角形，∵BF=FC，BM=AE，NC=ED，AE=ED，∴BM=NC，∴MF=FN，∴F点为线段MN的中点，∵△MEN为直角三角形，∴ ∵MN=BC-BM-NC=BC-AE-ED=BC-（AE+ED）=BC-AD，∴∵EF=10，∴BC-AD=20， 四．强化基础 （一）选择题 1.（2025·盐城射阳县·八下期末）在△ABC中，D、E为AB、AC中点，BC=14，则DE长（ ） A.5 B.7 C.10 D.14 【答案】：B 【解析】：DE是△ABC中位线，DE=BC=7，中位线平行且等于第三边一半。 2.（2025·南通如皋市·八下期末）梯形上底4cm，中位线7cm，则下底长（ ） A.8cm B.9cm C.10cm D.11cm 【答案】：C 【解析】：梯形中位线=（上底+下底），下底=2×7-4=10。 3.（2025·泰州姜堰区·八下期末）顺次连接任意四边形四边中点得到的四边形一定是（ ） A.菱形 B.矩形 C.平行四边形 D.正方形 【答案】：C 【解析】：由中位线定理，新四边形两组对边分别平行且等于原四边形对角线一半，恒为平行四边形。 4.（2025·徐州铜山区·八下期末）Rt△ABC，∠C=90°，D、E是AC、AB中点，DE=5，则BC=（ ） A.5 B.10 C.15 D.20 【答案】：B 【解析】：DE为中位线，BC=2DE=10。 5.（2025·连云港东海县·八下期末）等腰梯形ABCD，AD∥BC，则下列结论错误的是（ ） A.AB=CD B.AC=BD C.∠ABC=∠DCB D.对角线互相平分 【答案】：D 【解析】：等腰梯形对角线相等但不平分，平行四边形对角线才互相平分。 6．已知：如图，△ABC中，AE＝CE，BC＝CD，那么EF：ED的值是（　　） A．2：3 B．1：3 C．1：2 D．3：4 【答案】B 【解析】过点C作CH∥AB，交DE于H．∴∠A＝∠ECH（两直线平行，内错角相等）；∴在△AEF和△CEH中，，∴△AEF≌△CEH（ASA）∴EF＝EH （全等三角形对应边相等）；∵CH为三角形BFD的中位线，∴H为DF的中点，∴HF＝HD，∴HD＝HF＝2EF， ∴DE＝HE+HD＝EF+2EF＝3EF，∴EF：ED＝1：3；故选：B． 7.如图，在矩形中，R，P分别是，上的点，E，F分别是，的中点，当点P在上从点A向点D移动，而点R保持不动时，下列结论成立的是（ ） A. 线段的长逐渐增大 B. 线段的长逐渐减小 C. 线段的长不变 D. 线段的长先增大后减小 【答案】C 【解析】如图，连接，，分别是，的中点，是的中位线， ，四边形为矩形，，，点保持不动，的长度始终不变，的长不变，故选：C． 8.如图，△ABC的周长为20，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝8，则MN的长度为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE（ASA）∴BE＝BA，AN＝NE， 同理，CD＝CA，AM＝MD，∴DE＝BE+CD﹣BC＝BA+CA﹣BC＝20﹣8﹣8＝4，∵AN＝NE，AM＝MD， ∴MN=DE＝2，故选：B． 9．如图，已知等腰梯形ABCD的底角∠B=45°，高AE=1，上底AD=1，则其面积为（　　） A．4 B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】∵梯形ABCD是等腰梯形，∠B=45°，AE=AD=1，∴BE=AE=1，∴BC=3AE=3， ∴S梯形ABCD=（AD+BC）•AE=（1+3）×1=2．故选D． 10．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，∠B=60°，若AD=3，则梯形ABCD的周长为（　　） A．12 B．15 C．12 D．15 【答案】D 【解析】过点A作AE∥CD，交BC于点E，∵梯形ABCD是等腰梯形，∠B=60°，∴AD∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形，∴∠AEB=∠BCD=60°，∵CA平分∠BCD，∴∠ACE=∠BCD=30°，∵∠AEB是△ACE的外角，∴∠AEB=∠ACE+∠EAC，即60°=30°+∠EAC，∴∠EAC=30°，∴AE=CE=3，∴四边形ADEC是菱形，∵△ABE中，∠B=∠AEB=60°， ∴△ABE是等边三角形，∴AB=BE=AE=3，∴梯形ABCD的周长=AB+（BE+CE）+CD+AD=3+3+3+3+3=15．故选：D． （二）填空题 11.（2025·镇江丹阳市·八下期末）△ABC面积36，三边中点连线分成4个全等小三角形，单个小△面积=____。 【答案】：9 【解析】：中位线把原三角形四等分，36÷4=9。 12.（2025·宿迁沭阳县·八下期末）对角线互相垂直的四边形，四边顺次中点相连得到____形。 【答案】：矩 【解析】：中位线平行原对角线，对角线垂直→新四边形邻边垂直，为矩形。 13.（2025·常州金坛区·八下期末）等腰梯形ABCD，AD∥BC，AC=13，则BD=____。 【答案】：13 【解析】：等腰梯形对角线相等。 14．如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为8m，则A，B间的距离为 　　． 【答案】16m． 【解析】∵点D，E是AC，BC的中点，DE＝8m，∴AB＝2DE＝16（m），故答案为：16m． 15.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠FPE的度数是_______． 【答案】144° 【解析】∵在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF＝BC，PE＝AD，∵AD＝BC，∴PF＝PE，∵∠PEF＝18°，∴∠PEF＝∠PFE＝18°．∠FPE＝180°-18°-18°=144°．故答案为：144°． 16．如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，∠ABC的平分线交线段DE于点F，若AB＝12，BC＝18，则线段EF的长为　　． 【答案】3 【解析】延长AF交BC于H，∵点D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC＝9，AF＝FH，在△BFA和△BFH中，，∴△BFA≌△BFH（AAS）∴BH＝AB＝12， ∵AD＝DB，AF＝FH，∴DF＝BH＝6，∴EF＝DE﹣DF＝3，故答案为：3． 17.如图．在中，，，是边的中点，是边上一点．若平分的周长，则的长为_______ 【答案】 【解析】延长至，使，连接，作于，平分的周长，，又，，，，，，，，，，，，，故选：． 18．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD．若AD=4，BC=6，则梯形ABCD的面积是　　． 【答案】25 【解析】过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，∵AD∥BC，∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC=DE，CE=AD=4，∴BE=BC+CE=6+4=10，∵AC⊥BD，∴DE⊥BD，∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AC=BD，∴BD=DE，∴BD=DE==5，∴S梯形ABCD=×AC×BD=25．故答案为：25． 19．如果等腰梯形的三边长为3、4、11，那么这个等腰梯形的周长是________. 【答案】 29 【解析】如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，作AE∥CD，则四边形AECD是平行四边形，△ABE是等腰三角形，①若AB＝CD＝3，AD＝4，BC＝11，则在△ABE中，AB＝AE＝3，BE＝7，∵3+3＜7，∴△ABE不存在，此种等腰梯形不存在．②若AB＝CD＝4，AD＝3，BC＝11，则在△ABE中，AB＝AE＝4，BE＝8，∵4+4＝8，∴△ABE不存在，此种等腰梯形不存在．③若AB＝CD＝11，AD＝3，BC＝4，则在△ABE中，AB＝AE＝11，BE＝1，∵11+11＞1，∴△ABE存在，此时等腰梯形的周长为3+11+11+4＝29．故选：A． 20．如图，五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥CD，∠A=∠E=120°，AB=CD=1，AE=2，则五边形ABCDE的面积等于　　． 【答案】 【解析】延长DC，AB交于点F，作AG∥DE交DF于点G．∵AE∥CD，∠A=∠E=120°，∴四边形AFDE是等腰梯形，且∠F=∠D=60°，△AFG是等边三角形，四边形AGDE是平行四边形． 设BF=x，∵在直角△BCF中，∠BCF=90°﹣∠F=30°∴FC=2x，∴FD=2x+1．∵平行四边形AGDE中，DG=AE=2，∴FG=2x﹣1，∵△AFG是等边三角形中，AF=FG，∴x+1=2x﹣1，解得：x=2．在直角△BCF中，BC=BF•tanF=2，则S△BCF=BF•BC=×2×2=2．作AH⊥DF于点H．则AH=，则S梯形AFDE=（AE+DF）•AH=×（2+5）•=．∴S五边形ABCDE=S梯形AFDE﹣S△BCF=﹣2=．故答案为：． （三）解答题 21．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连结DE并延长到点F，使EF＝ED，连结CF． （1）四边形DBCF是平行四边形吗？说明理由； （2）DE与BC有什么样的位置关系和数量关系？并说明理由． 解：（1）证明：∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，BC＝2DE，∵EF＝DE，∴DF＝2DE，∴DF＝BC，∴四边形DBCF是平行四边形； （2）DE∥BC，DE＝BC，理由如下：∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC． 22．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，过点A作AE∥DC交BC于点E． （1）求证：四边形AECD是菱形． （2）在（1）的条件下，若∠B=30°，AE⊥AB，以点A为圆心，AE的长为半径画弧交BE于点F，连接AF，在图中，用尺规补齐图形（仅保留作图痕迹），并证明点F是BE的中点． 解：（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∵AD=CD， ∴四边形AECD是菱形． （2）补齐图形：证明：∵∠B=30°，AE⊥AB，∴∠AEB=60°，∵AE=AF，∴△AEF是等边三角形，∴AF=EF，∠EAF=60°，∴∠BAF=90°﹣∠EAF=30°，∴∠BAF=∠B，∴AF=BF，∴BF=EF，即点F是BE的中点． 23.已知：如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，联结． （1）求证：； （2）联结、，如果，求证：四边形是矩形． 解：（1）证明：如图，连接并延长，交于点，，， 在和中，，，，，是的中位线，； （2）连接并延长，交于点，由（1）可知：，，同理可得：，，梯形为等腰梯形，，，，，，，，，四边形为矩形，，四边形是矩形． 24.如图所示，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点． （1）探究1：连接对角线AC，BD由三角形中位线定理及平行四边形的判定定理易得四边形EFGH为 （不需要证明）； （2）探究2：观察猜想： ①当四边形ABCD的对角线AC，BD满足条件 时，四边形EFGH是菱形； ②当四边形ABCD的对角线AC，BD满足条件 时，四边形EFGH为矩形． （3）探究3：当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由． 解：（1）∵H、G，分别为AD、DC的中点， ∴HG∥AC，HG=AC，同理EF∥AC，EF=AC， ∴HG∥EF且EF=HG，∴四边形EFGH是平行四边形．故答案为：平行四边形； （2）①AC=BD，理由如下： 由（1）知四边形EFGH为平行四边形，又∵H，G分别为AD、DC的中点，∴HG=AC， 同理可知HE=BD，又∵AC=BD，∴HE=HG．∴平行四边形EFGH为菱形，故答案为：AC=BD； ②AC⊥BD，理由如下：由（1）知四边形EFGH是平行四边形， 又∵H，G分别为AD、DC的中点，∴HG∥AC，同理可知HE∥BD，∵AC⊥BD，∴HG⊥HE，∴∠EHG=90°，∴四边形EFGH为矩形，故答案为：AC⊥BD； （3）当四边形ABCD满足AC＝BD且AC⊥BD时，四边形EFGH为正方形．理由如下： 当AC=BD时，由（2）①得：四边形EFGH为菱形；当AC⊥BD时，由（2）②得：四边形EFGH为矩形，∴四边形EFGH为正方形 25.知识回顾： （1）本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图（1）△中，是△的中位线，连接．则与的关系为： （用符号语言表达）． 方法迁移： （2）连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图（2）已知梯形中，，点，分别为，的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 理解内化： （3）已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是　　． 解：（1）点是边的中点，点是边的中点，是△的中位线，，故答案为：； （2），理由：如图（2），连接并延长交的延长线于点，，，点为的中点，，在△和△中，，△△，，，，为的中点，为的中点，为△的中位线，，． （3）梯形的中位线长为，高为，，故答案为：42． 26．【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DEBC，且DEBC． (1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DEBC，DEBC． (2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题： ①证明：四边形EFGH是平行四边形； ②当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是矩形； ③当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是正方形． 解：（1）证明：∵点E为AC的中点，∴AE=CE，∵在△AED和△CEF中， ∴，∴，，∴，∵点D为AB的中点，∴AD=BD， ∴BD=CF，∴四边形BCFD为平行四边形，∴，，∵，∴，即DEBC，DEBC． （2）①连接AC、BD，如图所示：∵点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点， ∴，，，，∴，，∴四边形EFGH为平行四边形； ②当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形；根据解析①可知，，，四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，∴，∵，∴，∵， ∴，∴，∴四边形EFGH是矩形；故答案为：垂直； ③当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形；根据解析②可知，当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形，根据解析①可知，，，∵AC=BD，∴，∴四边形EFGH是正方形．故答案为：垂直且相等 五．提优特训 （一）选择题 1.(2025·苏州昆山市·八下期末)梯形ABCD，AD∥BC，E、F分别是BD、AC中点，AD=3，BC=9，则EF=（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】：B 【解析】：梯形对角线中点连线公式：EF=\dfrac12(BC-AD)=\dfrac{9-3}{2}=3（中点连线拓展中位线模型）。 2.（2025·无锡江阴市·八下期末）四边形ABCD对角线AC=BD，顺次连四边中点EFGH，则EFGH是（ ） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形 【答案】：B 【解析】：EF=AC，EH=BD，AC=BD→EF=EH，邻边相等的平行四边形为菱形。 3.（2025·南通通州区·八下期末）△ABC周长24，第1次连接三边中点得△1，第2次连△1中点得△2，则△2周长（ ） A.3 B.6 C.12 D.24 【答案】：B 【解析】：每一次中点三角形周长是前一个，24××=6。 4.（2025·连云港赣榆区·八下期末）梯形ABCD，AD∥BC，∠A+∠D=90°，AD=12，BC=4，M、N分别是AD、BC中点，则MN=（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】：B 【解析】：延长两腰交于直角三角形，中线差：MN=（12-4）=4。 5.（2025·徐州沛县·八下期末）等腰梯形对角线互相垂直，中位线长9，则梯形面积（ ） A.36 B.81 C.72 D.90 【答案】：B 【解析】：对角线垂直梯形面积=中位线²=81。 6．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC边上的中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（　　） A．0.5 B．1 C．3.5 D．7 【答案】A 【解析】∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，在△GAF和△CAF中，， ∴△GAF≌△CAF（ASA），∴AG＝AC＝3，CF＝FG，∴BG＝AB﹣AG＝1，∵CF＝FG，CE＝EB，∴EF＝BG＝0.5，故选：A． 7.如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（　　） A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF 【答案】B 【解析】如图，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，∵E，F分别是边AB，CD的中点， ∴EG，GF分别是△ABC和△ACD的中位线，∴EG=BC，GF=AD，在△EGF中，由三角形三边关系得EG+GF＞EF，即BC+AD＞EF，∴AD+BC＞2EF，当AD∥BC时，点E、F、G在同一条直线上，∴AD+BC＝2EF，所以四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是AD+BC≥2EF．故选：B． 8.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH，∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∠ECH+∠A＝180°，∵∠A＝90°，∴∠ECH＝∠A＝90°，在△DNB和△HNC中，， ∴△DNB≌△HNC（ASA），∴CH＝BD＝4，DN＝NH，在Rt△CEH中，CH＝4，CE＝3， ∴EH5，∵DM＝ME，DN＝NH，∴MN=EH＝2.5，故选：A． 9．如图的灰色小三角形为三个全等大三角形的重迭处，且三个大三角形各扣掉灰色小三角形后分别为甲、乙、丙三个梯形．若图中标示的∠1为58°，∠2为62°，∠3为60°，则关于甲、乙、丙三梯形的高的大小关系，下列叙述何者正确（　　） A．乙＞甲＞丙 B．乙＞丙＞甲 C．丙＞甲＞乙 D．丙＞乙＞甲 【答案】A 【解析】∵∠1=∠α=58°，∠2=∠β=62°，∠3=∠γ=60°，∴b＞c＞a，e＞f＞d，∵S梯形甲=S梯形乙=S梯形丙，∴梯形丙的两底＞梯形甲的两底＞梯形乙的两底，∴梯形乙的高＞梯形甲的高＞梯形丙的高，即：乙＞甲＞丙，故选A． 10．已知，如图，在梯形中，，，，，．有以下两个说法：①梯形的面积；②梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是（    ） A． ①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误 【答案】C 【解析】如图所示，设，交于点O，∵在梯形中，，， ∴，，∵，，∴，即∴同理可得，∴ ∵∴梯形的面积； ∵，，∴ ∴∴梯形的周长． 故选：C． （二）填空题 11.（2025·镇江句容市·八下期末）等腰梯形ABCD，AD∥BC，AC⊥BD，AD=6，BC=10，梯形高=____。 【答案】：8 【解析】：平移对角线构造等腰Rt△，底边长=6+10=16，斜边上高=8。 12.（2025·宿迁泗洪县·八下期末）△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，BE交AC于F，AC=12，则FC=____。 【答案】：8 【解析】：构造中位线可得AF:FC=1:2，FC=×12=8。 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE、BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．若∠A＝80°，则∠GFH＝　 　°． 【答案】100 【解析】∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠C＝180°﹣80°＝100°，∵G、F分别为ED、EB的中点，∴GF∥DB，∴∠GFE＝∠ABE，同理，FH∥EC，∴∠FHB＝∠C，∵∠EFH是△FBH的一个外角，∴∠EFH＝∠EBC+∠FHB＝∠EBC+∠C，∴∠GFH＝∠GFE+∠EFH＝∠ABE+∠EBC+∠C＝∠ABC+∠C＝100°，故答案为：100． 14．如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为6和2，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　 　． 【答案】2 【解析】延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．则PH∥AB．∵P是AE的中点，∴PH是△AOE的中位线，∴PH＝OA＝（6﹣2）＝2．∵直角△AOE中，∠OAE＝45°， ∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝4，同理△PHE中，HE＝PH＝2．∴HG＝HE+EG＝2+2＝4．∴在Rt△PHG中，PG＝．故答案是2 15．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，E、F分别为AB、AD的中点，BC＝2，CD＝，则EF的长为 　 　． 【答案】 【解析】连接BD，在Rt△BCD中，∠C＝90°，BC＝2，CD＝，则BD＝＝，∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF＝BD＝， 故答案为：． 16．如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足条件 　 　时，有EF⊥GH． 【答案】AB＝CD 【解析】连接EG、GF、FH、HE，∵E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，∴EG＝AB，FH＝AB，EH＝CD，FG＝CD，当AB＝CD时，EG＝FH＝EH＝FG，则四边形EGFH为菱形，∴EF⊥GH，故答案为：AB＝CD． 17．如图，将边长为4的等边△ABC沿射线BC平移得到△DEF，点G，H分别为AC，DF的中点，连接GH，点P为GH的中点，连接AP，CP．当△APC为直角三角形时，BE＝　 　． 【答案】4或8 【解析】：①当∠APC＝90°时．∵∠APC＝90°，M为AC中点．∴PG＝AG＝CG＝AC＝2．∵PG＝2，点P是线段GH的中点．∴GH＝2PG＝4．即△ABC向右平移4．∴BE＝4． ②当∠ACP＝90°时．∵GH∥BF．∴∠PGC＝∠ACB＝60°．∴∠GPC＝30．∵G为AC中点，AC＝4．∴CG＝2．在Rt△GCP中，∠GCP＝90°，∠GPC＝30°．∴GC＝PG． ∴PG＝2CG＝4．∵点P是线段GH的中点．∴GH＝8即△ABC向右平移8．综上所述，BE＝4或8，故答案为：4或8． 18.如图，梯形中，，是的中点，平分，以下说法：①；②；③；④，其中正确的是_____。 【答案】②④ 【解析】过点作于点，则，是的中点，， ，，平分，，又， △△，，，，，，△△，，， ，故③错误；，，即，，故②正确；，，，，即，故④正确；题中无条件证明，故①错误；正确的有②④ 19．梯形中，两底分别是3，5，一腰为3，则另一腰x的取值范围是________． 【答案】 【解析】如图，梯形中，，，，，，过D作，交于E点，根据题意得：，即．故答案为：. 20．在等腰梯形中，，对角线相交于点，，，厘米，则的面积为__________平方厘米 【答案】 【解析】如图，作等腰梯形中，，， ，四边形是矩形，∵AB=AB，， ，∵AC⟂BC，，，，，（厘米），，， （厘米），（平方厘米），（平方厘米）（平方厘米），，，， 厘米，厘米，厘米（平方厘米）（平方厘米），故选：A． （三）解答题 21．图①、图②、图③分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画线段AB的中点F． （2）在图②中，画△CDE的中位线GH，点G、H分别在线段CD、CE上，并直接写出△CGH与四边形DEHG的面积比． （3）在图③中，画△PQR，点R在格点上，且△PQR被线段MN分成的两部分图形的面积比为1：3． 解：（1）如图① （2）如图② （3）如图③，画出一种即可. 22.如图，在中，AE平分，于点E，点F是BC的中点 （1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证： （2）如图2，中，，求线段EF的长． 解：（1）证明：∵AE平分，，∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°，在△AEB和△AED中，，∴△AEB≌△AED（ASA）∴BE=ED，AD=AB，∵点F是BC的中点，∴BF=FC，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=CD=(AC-AD)=(AC-AB)； （2）分别延长BE、AC交于点H，∵AE平分，，∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°，在△AEB和△AEH中，，∴△AEB≌△AEH（ASA） ∴BE=EH，AH=AB=9，∵点F是BC的中点，∴BF=FC，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=CH=(AH-AC)=2． 23.如图，在四边形中，，，，，点为上的动点，、、分别为、、的中点． （1）求的长度； （2）若点为动点，则最小为 　　． 解：（1）作于，连接，，，，四边形是矩形，，，在中，，为的中点，，则，在中，，在中，、为、的中点，； （2）过作于，连接，则四边形为矩形，，，、分别为、的中点，是的中位线， ，在中，，当点与点重合，点与点重合时，最小，此时最小，长度的最小值， 故答案为：2． 24．（1）【用数学的眼光观察】如图1，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：； （2）【用数学的语言表达】如图2，在中，，点在上，且，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试证明是等边三角形 解：（1）证明：是对角线的中点，是的中点，是的中位线， ，同理可得：，，，； （2）如图，取的中点，连接，，是的中点，是的中点， 是的中位线，，，同理可得：，， ，，，，， ，，是的中点，，，，， ，是等边三角形． 25．如图（1），直角梯形中，，，且，，． (1)求证：为等边三角形； (2)如图（2），于点H，动点P从点H出发，沿线段向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段向点A运动，两点同时出发，速度都为1/秒．设点P运动的时间为t秒，的面积为S，求S与之间的函数关系式，并求出的取值范围； (3)设与交于点M，当时，求的值． 解:（1）在中，，，， ，，，，而， 为等边三角形； （2），过点P作，，， ，，∴，∴，∴，而，； （3），，而， ，即，． 26．【问题情境】： 如图1，正方形中，对角线、相交于点O，M是线段上一点，连接． 【操作探究】： 将沿射线平移得到，使点M的对应点落在对角线上，与边交于点E，连接． （1）如图2，当M是的中点时，求证：； （2）如图3，当M是上任意一点时，试猜想的形状，并说明理由． 拓展延伸： （3）在（2）的条件下，请直接写出，之间的数量关系． 解：（1）如图，连接由平移可知，，，， 是的中点，是的中位线，，， ； （2）等腰直角三角形，理由如下：四边形是正方形，，，，，由平移可知，，， ，，，在和中， ，，，，，，是等腰直角三角形； （3）解：，理由如下：由（2）得：，， ，，，即． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期末提优特训5 《三角形中位线+梯形》专题（江苏专版） 一．特训目标 ( 1.熟记三角形中位线定义、中位线定理：中位线 ∥ 第三边，长度=第三边的 ，区分中位线与中线；熟记梯形、等腰梯形、直角梯形定义、梯形中位线定理：中位线 ∥ 两底，长度= (上底+下底)。掌握等腰梯形四大性质：同底两角相等、两腰相等、对角线相等、轴对称；掌握等腰梯形判定方法。 2.能依托中点条件构造中位线，完成线段求值、平行证明、周长/面积计算；掌握梯形辅助线常用作法：平移腰、作高、平移对角线、延长两腰、取腰中点构造中位线，把梯形转化为三角形、平行四边形解题；熟练解决中点四边形题型：顺次连接任意四边形四边中点所得四边形为平行四边形，由原四边形对角线决定特殊形状。 3.体会转化思想（梯形 → 三角形/平行四边形、多中点 → 中位线模型），熟练对接期末选择、填空、几何证明大题考点。 ) 二．期末考点分析+应对策略 ( （一）高频期末考点 1.考点1：中位线基础计算（选择/填空，3分），考查：单三角形中位线边长、周长、面积；梯形中位线求上下底/面积；池塘测距实际应用题。 2.考点2：中点四边形（选择/填空，3分），考查：原四边形对角线相等/垂直时，中点四边形为菱形/矩形，期末高频易错。 3.考点3：等腰梯形性质与判定（填空、小证明，4-6分），考查：底角、对角线长度计算，等腰梯形判定证明。 4.考点4：多中点综合构造中位线（中档大题，6分），多个分散中点，需自主取中点连线构造中位线，结合全等、平行四边形解题。 5.考点5：梯形辅助线+中位线压轴（期末压轴，8分），直角梯形/等腰梯形+对角线垂直、角度90 ° 组合，结合中位线求线段、面积。 （二）针对性应对策略 1.中位线解题口诀：见两个中点，优先连中位线；单个中点，补全中点造中位线 易错规避：严禁混淆中线（顶点-中点）、中位线（中点-中点）；梯形中位线只连两腰中点，底中点连线不是中位线。 2.梯形解题固定思路：遇梯形先做辅助线，转化成熟悉三角形/平行四边形 ① 求腰长 → 平移一腰； ② 对角线垂直 → 平移对角线； ③ 底角和90 °→ 延长两腰； ④ 中点条件 → 连梯形中位线。 3.中点四边形速记：原四边形对角线定形状 对角线相等 → 中点四边形菱形；对角线垂直 → 中点四边形矩形；相等且垂直 → 正方形。 4.面积速算：三角形中位线分原三角形4个全等小 △ ，单个面积=原 △ 的 ；梯形面积=中位线 × 高。 ) 3． 经典例题 例1（2023·江苏苏州·八下期末，基础计算）如图,在ABC中,点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点,若△ABC的周长为12cm,则△DEF的周长是_______cm. 例2（2024·福建福州·八下期末，中点四边形证明）已知四边形ABCD对角线AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点，求证：四边形EFGH是菱形。 例3（2022·山东滨州·八下期末，梯形中位线）梯形ABCD，AD∥BC，E、F为AB、CD中点（中位线EF），AD=4，BC=8，梯形高5，求EF长与梯形面积。 例4.一个对角线相等的四边形ABCD，E、F分别为AB，CD的中点，EF分别交对角线BD，AC于M，N，求证：△OMN是等腰三角形． 例5.如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，∠B+∠C=90°，EF=10，E，F分别是AD，BC的中点，求BC-AD 四．强化基础 （一）选择题 1.（2025·盐城射阳县·八下期末）在△ABC中，D、E为AB、AC中点，BC=14，则DE长（ ） A.5 B.7 C.10 D.14 2.（2025·南通如皋市·八下期末）梯形上底4cm，中位线7cm，则下底长（ ） A.8cm B.9cm C.10cm D.11cm 3.（2025·泰州姜堰区·八下期末）顺次连接任意四边形四边中点得到的四边形一定是（ ） A.菱形 B.矩形 C.平行四边形 D.正方形 4.（2025·徐州铜山区·八下期末）Rt△ABC，∠C=90°，D、E是AC、AB中点，DE=5，则BC=（ ） A.5 B.10 C.15 D.20 5.（2025·连云港东海县·八下期末）等腰梯形ABCD，AD∥BC，则下列结论错误的是（ ） A.AB=CD B.AC=BD C.∠ABC=∠DCB D.对角线互相平分 6．已知：如图，△ABC中，AE＝CE，BC＝CD，那么EF：ED的值是（　　） A．2：3 B．1：3 C．1：2 D．3：4 7.如图，在矩形中，R，P分别是，上的点，E，F分别是，的中点，当点P在上从点A向点D移动，而点R保持不动时，下列结论成立的是（ ） A. 线段的长逐渐增大 B. 线段的长逐渐减小 C. 线段的长不变 D. 线段的长先增大后减小 8.如图，△ABC的周长为20，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝8，则MN的长度为（　　） A． B．2 C． D．3 9．如图，已知等腰梯形ABCD的底角∠B=45°，高AE=1，上底AD=1，则其面积为（　　） A．4 B． C．1 D．2 10．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，∠B=60°，若AD=3，则梯形ABCD的周长为（　　） A．12 B．15 C．12 D．15 （二）填空题 11.（2025·镇江丹阳市·八下期末）△ABC面积36，三边中点连线分成4个全等小三角形，单个小△面积=____。 12.（2025·宿迁沭阳县·八下期末）对角线互相垂直的四边形，四边顺次中点相连得到____形。 13.（2025·常州金坛区·八下期末）等腰梯形ABCD，AD∥BC，AC=13，则BD=____。 14．如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为8m，则A，B间的距离为 　　． 15.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠FPE的度数是_______． 16．如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，∠ABC的平分线交线段DE于点F，若AB＝12，BC＝18，则线段EF的长为　　． 17.如图．在中，，，是边的中点，是边上一点．若平分的周长，则的长为_______ 18．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD．若AD=4，BC=6，则梯形ABCD的面积是　　． 19．如果等腰梯形的三边长为3、4、11，那么这个等腰梯形的周长是________. 20．如图，五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE∥CD，∠A=∠E=120°，AB=CD=1，AE=2，则五边形ABCDE的面积等于　　． （三）解答题 21．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连结DE并延长到点F，使EF＝ED，连结CF． （1）四边形DBCF是平行四边形吗？说明理由； （2）DE与BC有什么样的位置关系和数量关系？并说明理由． 22．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，过点A作AE∥DC交BC于点E． （1）求证：四边形AECD是菱形． （2）在（1）的条件下，若∠B=30°，AE⊥AB，以点A为圆心，AE的长为半径画弧交BE于点F，连接AF，在图中，用尺规补齐图形（仅保留作图痕迹），并证明点F是BE的中点． 23.已知：如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，联结． （1）求证：； （2）联结、，如果，求证：四边形是矩形． 24.如图所示，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点． （1）探究1：连接对角线AC，BD由三角形中位线定理及平行四边形的判定定理易得四边形EFGH为 （不需要证明）； （2）探究2：观察猜想： ①当四边形ABCD的对角线AC，BD满足条件 时，四边形EFGH是菱形； ②当四边形ABCD的对角线AC，BD满足条件 时，四边形EFGH为矩形． （3）探究3：当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由． 25.知识回顾： （1）本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图（1）△中，是△的中位线，连接．则与的关系为： （用符号语言表达）． 方法迁移： （2）连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图（2）已知梯形中，，点，分别为，的中点，就是梯形的中位线．请猜想线段，，之间的关系，并说明理由． 理解内化： （3）已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是　　． 26．【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DEBC，且DEBC． (1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DEBC，DEBC． (2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题： ①证明：四边形EFGH是平行四边形； ②当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是矩形； ③当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是正方形． 五．提优特训 （一）选择题 1.(2025·苏州昆山市·八下期末)梯形ABCD，AD∥BC，E、F分别是BD、AC中点，AD=3，BC=9，则EF=（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 2.（2025·无锡江阴市·八下期末）四边形ABCD对角线AC=BD，顺次连四边中点EFGH，则EFGH是（ ） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形 3.（2025·南通通州区·八下期末）△ABC周长24，第1次连接三边中点得△1，第2次连△1中点得△2，则△2周长（ ） A.3 B.6 C.12 D.24 4.（2025·连云港赣榆区·八下期末）梯形ABCD，AD∥BC，∠A+∠D=90°，AD=12，BC=4，M、N分别是AD、BC中点，则MN=（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 5.（2025·徐州沛县·八下期末）等腰梯形对角线互相垂直，中位线长9，则梯形面积（ ） A.36 B.81 C.72 D.90 6．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC边上的中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（　　） A．0.5 B．1 C．3.5 D．7 7.如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC和EF的关系是（　　） A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF 8.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（　　） A．2.5 B．3 C．4 D．5 9．如图的灰色小三角形为三个全等大三角形的重迭处，且三个大三角形各扣掉灰色小三角形后分别为甲、乙、丙三个梯形．若图中标示的∠1为58°，∠2为62°，∠3为60°，则关于甲、乙、丙三梯形的高的大小关系，下列叙述何者正确（　　） A．乙＞甲＞丙 B．乙＞丙＞甲 C．丙＞甲＞乙 D．丙＞乙＞甲 10．已知，如图，在梯形中，，，，，．有以下两个说法：①梯形的面积；②梯形的周长；对这两种说法的判断正确的是（    ） A． ①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②均正确 D．①、②均错误 （二）填空题 11.（2025·镇江句容市·八下期末）等腰梯形ABCD，AD∥BC，AC⊥BD，AD=6，BC=10，梯形高=____。 12.（2025·宿迁泗洪县·八下期末）△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，BE交AC于F，AC=12，则FC=____。 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE、BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．若∠A＝80°，则∠GFH＝　 　°． 14．如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为6和2，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　 　． 15．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，E、F分别为AB、AD的中点，BC＝2，CD＝，则EF的长为 　 　． 16．如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是BD、AC的中点，当AB、CD满足条件 　 　时，有EF⊥GH． 17．如图，将边长为4的等边△ABC沿射线BC平移得到△DEF，点G，H分别为AC，DF的中点，连接GH，点P为GH的中点，连接AP，CP．当△APC为直角三角形时，BE＝　 　． 18.如图，梯形中，，是的中点，平分，以下说法：①；②；③；④，其中正确的是_____。 19．梯形中，两底分别是3，5，一腰为3，则另一腰x的取值范围是________． 20．在等腰梯形中，，对角线相交于点，，，厘米，则的面积为__________平方厘米 （三）解答题 21．图①、图②、图③分别是6×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、P、Q、M、N均在格点上，仅用无刻度的直尺在下列网格中按要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画线段AB的中点F． （2）在图②中，画△CDE的中位线GH，点G、H分别在线段CD、CE上，并直接写出△CGH与四边形DEHG的面积比． （3）在图③中，画△PQR，点R在格点上，且△PQR被线段MN分成的两部分图形的面积比为1：3． 22.如图，在中，AE平分，于点E，点F是BC的中点 （1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证： （2）如图2，中，，求线段EF的长． 23.如图，在四边形中，，，，，点为上的动点，、、分别为、、的中点． （1）求的长度； （2）若点为动点，则最小为 　　． 24．（1）【用数学的眼光观察】如图1，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：； （2）【用数学的语言表达】如图2，在中，，点在上，且，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试证明是等边三角形 25．如图（1），直角梯形中，，，且，，． (1)求证：为等边三角形； (2)如图（2），于点H，动点P从点H出发，沿线段向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段向点A运动，两点同时出发，速度都为1/秒．设点P运动的时间为t秒，的面积为S，求S与之间的函数关系式，并求出的取值范围； (3)设与交于点M，当时，求的值． 26．【问题情境】： 如图1，正方形中，对角线、相交于点O，M是线段上一点，连接． 【操作探究】： 将沿射线平移得到，使点M的对应点落在对角线上，与边交于点E，连接． （1）如图2，当M是的中点时，求证：； （2）如图3，当M是上任意一点时，试猜想的形状，并说明理由． 拓展延伸： （3）在（2）的条件下，请直接写出，之间的数量关系． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $