精品解析：河北武邑中学2026届高三下学期学生全过程纵向评价(六)数学试题

2026届高三学生全过程纵向评价（六） 数学 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知双曲线C：的一条渐近线过点，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 3. 已知复数（）在复平面内对应点为为复平面的原点，若且点位于第四象限，则（ ） A. -3 B. 3 C. D. 6 4. 在的展开式中的二项式系数之和为32，则“”是“的系数为10”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 已知正三棱柱的内切球半径为，则该三棱柱的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数中，对定义域内任意正实数（），均满足的是（ ） A. B. C. D. 8. “勾三股四弦五”是勾股定理的一个特别的例子，由我国古代西周初年的商高提出．如图，直角三角形，，，，以，，三边向外分别作正方形，设正方形的中心分别为，，，则（ ） [Failed to download image : https://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/editorImg/2026/6/2/7725d8fe-4b1d-45df-abd2-6a8a7f17e108.svg] A. 8 B. 12 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，，直线是函数图象的切线，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 与直线相切 C. D. 当时， 10. 已知，是椭圆E：（）的左右焦点，，为的左右顶点，为坐标原点，点为椭圆在第一象限内的一动点，若直线l：与直线：，：的交点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线经过点 B. 当直线斜率与直线的斜率之积为时，的离心率为 C. D. 11. 一个不透明的盒子中有3个白球，2个红球，所有球除颜色外，其他均完全相同．甲的一轮抓球规则：甲从盒子中不放回随机抓取一个球，若该球是白球，则再从盒子中随机抓取2个球，抓球结束；若该球是红球，则再从盒子中随机抓取1个球，抓球结束．若甲重复上述抓球试验，经过轮独立重复试验后，甲手中恰有1个红球的次数为，恰有2个红球的次数为，则下列说法正确的是（ ） A. 每轮实验中，甲手中球同色的概率为 B. 每轮试验中，在甲手中有两种球的条件下，恰有1个红球的概率为 C. 当时， D. 随着的增大，随机变量和的取值越来越离散，且比更离散 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 13. 已知函数在处取得最大值，则_____． 14. 某人工智能深度学习模型在训练时，采用自适应梯度下降算法优化参数，记第轮迭代的模型误差为数列，满足，，定义误差加权项，数列的前项和为，若（），且为奇数，则_____．（参考公式：（），参考数据：、、三个数均近似7.6） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为迎接校庆，某校组织学生进行校史知识竞答活动，随机从该校抽取了100名学生（男生、女生各50人）进行调研测试，其成绩组成样本，统计结果如下图所示． （1）请根据频率分布直方图，估计样本数据的平均数； （2）若成绩不低于70分为“优秀”，这100个样本数据中成绩为优秀的女生为30人，视频率为概率，从该校随机抽取一名男生，一名女生，求2名学生中至少有一个优秀的概率． 16. 在中，． （1）求证：； （2）当时，，求的值． 17. 如图，在三棱台中，平面，，． （1）求证：平面平面； （2）求三棱台的体积； （3）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知函数（）． （1）当时，求证：； （2）若函数的两个零点为（）． ①求实数的取值范围； ②求证：． 19. 已知抛物线C：（）的焦点为，点为坐标原点，以点为圆心的圆与轴的交点为点和，直线与圆和的交点（除外）分别为A，B，设在点处的切线为，圆在点处的切线为，直线与交点为．当时，点的纵坐标为． （1）求的方程； （2）求证：点的轨迹在一条直线上，并求的最大值； （3）若上一点，且E、B、M三点共线，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三学生全过程纵向评价（六） 数学 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由得，所以； 由得，所以. 所以. 2. 已知双曲线C：的一条渐近线过点，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再将已知点坐标代入渐近线方程即可求解参数. 【详解】双曲线，渐近线方程为， 已知该双曲线的一条渐近线过点， 所以在渐近线上， 所以，即，得. 3. 已知复数（）在复平面内对应点为为复平面的原点，若且点位于第四象限，则（ ） A. -3 B. 3 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】可知，则，得， 因为点位于第四象限，所以，解得. 4. 在的展开式中的二项式系数之和为32，则“”是“的系数为10”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先由二项式系数和求得，再通过二项展开式通项得出的系数表达式，结合充分必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意得，解得， 二项式的展开式通项为，其中， 令，得，则项的系数为. 充分性验证：当时，系数为，充分性成立； 必要性验证：若的系数为10，则， 解得，无法推出，必要性不成立； 故“”是“的系数为10”的充分不必要条件. 5. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据条件，变形为，然后用常数代换思想 ，利用均值不等式求解最小值. 【详解】已知，则， ， 当且仅当时，即时取等号，联立 解得，满足 为正实数，等号能够取到，所以最小值为. 6. 已知正三棱柱的内切球半径为，则该三棱柱的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出正三棱柱的高及底面正三角形的外接圆半径，利用勾股定理求外接球半径即可求解. 【详解】已知内切球半径为，得正三棱柱的高 ，同时底面正三角形的内切圆半径等于内切球半径. 设正三棱柱的外接球的球心为，底面内切圆的圆心为，设的中点为，则在上， 且，则. 又，则三棱柱外接球的半径为， 即外接球的表面积为. 7. 下列函数中，对定义域内任意正实数（），均满足的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先要说明各函数的定义域，通过作差比较法或特殊值法可逐项判断. 【详解】对于A：函数的定义域为， 取，则，， 不满足题设不等式，故A错误； 对于B：函数的定义域为， 则， 当时，， (也可以取特殊值，取，则）， 不满足题设不等式，故B错误； 对于C：函数的定义域为，而是非零实数， 所以对任意正实数（），不等式 ， 恒满足题设，故C正确； 对于D：函数的定义域为，取， ，， 因为，所以此时，不满足题设不等式，故D错误. 8. “勾三股四弦五”是勾股定理的一个特别的例子，由我国古代西周初年的商高提出．如图，直角三角形，，，，以，，三边向外分别作正方形，设正方形的中心分别为，，，则（ ） [Failed to download image : https://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/editorImg/2026/6/2/7725d8fe-4b1d-45df-abd2-6a8a7f17e108.svg] A. 8 B. 12 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，先利用向量的线性运算将分别表示为和，再根据数量积的运算律和已知条件计算. 【详解】取中点，可知，，所以 ， 因为，所以，又为正方形中心，有， 所以，可得，同理， 所以，，可得， 且，所以，同时由为正方形中心可得， 所以，，， 故 . [Failed to download image : https://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/editorImg/2026/6/2/a4df705e-8764-4067-a6a6-24193cf16848.svg] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，，直线是函数图象的切线，则下列说法正确的是（ ） A. 在区间上单调递减 B. 与直线相切 C. D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用导数研究单调性即可；对于B，设出切点，利用，解出切点横坐标，求出切线方程即可判断；对于C，利用切线方程与导数关系求解即可；对于D，分别构造和，利用导数研究单调性，求出最值即可判断. 【详解】对于A，函数的定义域为，且， 令，解得：，所以在区间上单调递减，故A正确； 对于B，设函数的切点为，令，解得：， 取时，则，所以函数在点的切线方程为，即， 所以与直线相切，故B正确； 对于C，由，则，由于直线是函数图象的切线，设切点为， 所以，解得：，故C错误， 对于D，由C可得： 令，则， 令，解得：；则在上单调递增 令，解得：；则在上单调递减 所以，则成立； 令， 则， 令，解得：；则在上单调递增 令，解得：；则在上单调递减 所以，则成立； 综上，当时，，故D正确 10. 已知，是椭圆E：（）的左右焦点，，为的左右顶点，为坐标原点，点为椭圆在第一象限内的一动点，若直线l：与直线：，：的交点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 直线经过点 B. 当直线斜率与直线的斜率之积为时，的离心率为 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】直接将点坐标代入直线的方程中，判断等式是否成立即可； 先分别求出直线的斜率和直线的斜率，根据两者乘积并结合椭圆和离心率公式求解； 分别将、代入直线方程中，求出点的纵坐标，因为、对应纵坐标的绝对值，且在椭圆上满足椭圆方程，所以代入化简可判断选项； 先确定的坐标特征，利用直线的斜率乘积判断直线的位置关系及角度和的大小. 【详解】选项A，因为点在椭圆上，满足，代入直线的方程，等式成 立，因此直线经过点， A正确； 选项B，直线斜率，整理直线得，斜率. 斜率乘积，由题意，得， 离心率，B错误； 选项C，将代入得，将代入得. ，因此，， 则.由椭圆方程得， 代入得 ，C正确； 选项D，，计算斜率乘积， 由，，得，因此，. 同理可得，，， 因此，不满足小于，D错误. 11. 一个不透明的盒子中有3个白球，2个红球，所有球除颜色外，其他均完全相同．甲的一轮抓球规则：甲从盒子中不放回随机抓取一个球，若该球是白球，则再从盒子中随机抓取2个球，抓球结束；若该球是红球，则再从盒子中随机抓取1个球，抓球结束．若甲重复上述抓球试验，经过轮独立重复试验后，甲手中恰有1个红球的次数为，恰有2个红球的次数为，则下列说法正确的是（ ） A. 每轮实验中，甲手中球同色的概率为 B. 每轮试验中，在甲手中有两种球的条件下，恰有1个红球的概率为 C. 当时， D. 随着的增大，随机变量和的取值越来越离散，且比更离散 【答案】ACD 【解析】 【分析】设相应事件，求相关概率，分析可知，.对于A：根据互斥事件概率求法运算求解；对于B：根据条件概率公式运算求解；对于CD：根据二项分布的期望和方差公式运算求解. 【详解】记“第一次取到红球”为事件A，则，， 记“第二次取到个红球”为事件， 则，，， 且，，， 记“甲手中恰有个红球”为事件， 则，， 由题意可知：，. 对于选项A：每轮实验中，设“甲手中球同色”为事件M， 所以，故A正确； 对于选项B：因为，， 所以，故B错误； 对于选项C：若，则，， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，， 可知，均随着的增大而增大，且， 所以随着的增大，随机变量和的取值越来越离散，且比更离散，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出动直线恒过的定点，原点到直线距离的最大值即为原点到该定点的距离，计算该距离即可。 【详解】将直线方程分离参数，变形为， 由于对任意实数等式恒成立，因此需满足，解得， 即直线恒过定点， 根据几何性质，原点到动直线的距离，当且仅当直线与垂直时取等号， 故距离的最大值为，由两点间距离公式得：， 因此原点到直线距离的最大值为. 13. 已知函数在处取得最大值，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】用二倍角公式将函数转化为关于的二次函数，结合二次函数最值的取值条件求得，进而可求出. 【详解】首先利用二倍角的余弦公式变形得：，其中. 令，由得， 则函数可转化为二次函数， 该二次函数图象开口向下，对称轴为， 因此当时函数取得最大值，即. 因为，所以，故. 14. 某人工智能深度学习模型在训练时，采用自适应梯度下降算法优化参数，记第轮迭代的模型误差为数列，满足，，定义误差加权项，数列的前项和为，若（），且为奇数，则_____．（参考公式：（），参考数据：、、三个数均近似7.6） 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件先求出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式，利用分组求和、裂项相消法及不等式的放缩，求出数列的前项和为，即可求出，最终求出的值. 【详解】由，则，所以， 因此数列是以为首项，1为公差的等差数列，则， 所以，代入，则， 所以， 因为，则， 因为，，所以， 又， 即， 又， 即， 所以， 又， 因此，即，即， 又因为（），且为奇数， 所以当时，区间为，而不合题意， 当时，则，此时符合题意， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为迎接校庆，某校组织学生进行校史知识竞答活动，随机从该校抽取了100名学生（男生、女生各50人）进行调研测试，其成绩组成样本，统计结果如下图所示． （1）请根据频率分布直方图，估计样本数据的平均数； （2）若成绩不低于70分为“优秀”，这100个样本数据中成绩为优秀的女生为30人，视频率为概率，从该校随机抽取一名男生，一名女生，求2名学生中至少有一个优秀的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用各组中点值乘以对应频率求和即可估计平均数，注意频率之和为； （2）先根据样本优秀率求出男生优秀人数，进而得到男生、女生优秀的概率，利用对立事件概率公式求解． 【小问1详解】 依题意， ． 故估计样本数据的平均数为． 【小问2详解】 由（1）可知，样本中成绩不低于分（即优秀）的频率为． 所以样本中成绩优秀的人数为（人）． 因为样本中成绩为优秀的女生为人， 所以样本中成绩为优秀的男生人数为（人）． 因为男生、女生各人， 所以从该校随机抽取一名男生，其成绩优秀的概率； 从该校随机抽取一名女生，其成绩优秀的概率． 设“名学生中至少有一个优秀”为事件， 则 ． 故名学生中至少有一个优秀的概率为． 16. 在中，． （1）求证：； （2）当时，，求的值． 【答案】（1）整理得： ①， 在中，因为， 所以， 所以， 所以②. 将①乘以得： ， 再把②代入： ，得证. （2） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由正弦定理：， 由余弦定理：，联立得： ， 正弦化边：，化简 ； 由，去分母：， 所以：，，故， 由，结合，当为钝角时，不成立， 所以为锐角，. 17. 如图，在三棱台中，平面，，． （1）求证：平面平面； （2）求三棱台的体积； （3）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）在三棱台中，， 因为，所以， 因为，所以, 所以， 即， 因为平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面； 所以平面平面； （2） （3） 【解析】 【分析】(1)首先证明平面，结合面面垂直的判定即可证明； （2）证明平面，得到三棱台的高为，利用三棱台的体积公式计算即可求解； （3）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，表示出各点坐标，求出平面与平面的法向量，利用向量夹角的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 所以， 因为，又，平面， 所以平面， 所以三棱台的高为， 所以 【小问3详解】 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，，， 设平面的法向量，平面的法向量为， 则，令，解得：，， 则平面的法向量 由，解得：，令，， 则平面的法向量 设平面与平面的夹角为， 所以 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知函数（）． （1）当时，求证：； （2）若函数的两个零点为（）． ①求实数的取值范围； ②求证：． 【答案】（1）若，则， 可知函数的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 所以. （2）①； ②因为函数的两个零点为， 令，， 则， 可知在内单调递减，则， 可得，， 若函数的两个零点为，且，则， 可得， 又因为，，且函数在内单调递增， 则，可得， 所以. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数分析函数的单调性和最值，进而证明不等式； （2）①求导，利用导数分析函数的单调性和最值，进而根据函数零点可得，运算求解即可；②，，利用导数可证，，即可得，结合基本不等式分析证明； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①因为，可知函数的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递减，在内单调递增，则函数的最小值为， 且当趋近于或时，趋近于， 若函数的两个零点，则，即，解得， 所以实数的取值范围为； ②略 19. 已知抛物线C：（）的焦点为，点为坐标原点，以点为圆心的圆与轴的交点为点和，直线与圆和的交点（除外）分别为A，B，设在点处的切线为，圆在点处的切线为，直线与交点为．当时，点的纵坐标为． （1）求的方程； （2）求证：点的轨迹在一条直线上，并求的最大值； （3）若上一点，且E、B、M三点共线，求证：． 【答案】（1） （2）证明：联立，，， ，即，斜率：， ，即， 联立，，， ，斜率， ，即 联立，解得，， 故点恒在定直线上； （3）， ，直线， 联立得：，已知一根， 则，，， 又， ， ， ，， ， ， 又，． 【解析】 【分析】（1）先得到圆的方程，再联立得到点坐标，再表示出方程，进而表示出点，列方程解出即可； （2）表示出点，即可得出点的轨迹在一条直线上，，设，进而得到，再结合基本不等式求最值即可； （3）先求出直线的方程，联立得到点坐标，利用向量法求证即可． 【小问1详解】 抛物线，焦点， 圆以为圆心、为半径，方程：， 即，，时，直线， ①联立圆：，，， 圆在处切线：， ②联立抛物线，， 抛物线，，处切线斜率， 切线，即， 时，，，解得， 则的方程为； 【小问2详解】 ，设， 则， ， 又，所以当时取等， 则的最大值为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $