精品解析：河北武邑中学2026届高三下学期考前冲刺数学试题

高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数的实部与虚部相等，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，则的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4. 在等比数列中， ，，则（ ） A. B. 2 C. 2 D. 4 5. 已知圆M：与直线恰有2个交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位： ）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知函数在上有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，若，，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2020—2024年我国粮食产量（单位：万吨）如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 2020—2024年我国粮食产量逐年增加 B. 2020—2024年我国粮食产量的中位数为68653万吨 C. 2020—2024年我国粮食产量的极差为3699万吨 D. 2020—2024年我国粮食产量与年份负相关 10. 已知F是双曲线C：的一个焦点，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率可能为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 11. 已知四边形ABCD外接圆的圆心为O，且，，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 当时，四边形ABCD面积的最大值为 D. 四边形ABCD面积的最大值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点P在抛物线C： 上，若点P到点的距离与点P到抛物线C的准线的距离相等，则______． 13. 若曲线 与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______． 14. 已知平面，，，分别过正四面体的四个顶点，且平面，，，相互平行，相邻两个平面之间的距离均为d，若该正四面体的棱长为4，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是公差为2的等差数列，是公比为2的等比数列，且. （1）求，的通项公式； （2）记数列的前项和为，用表示不超过的最大整数，例如，，求的取值集合. 16. 如图，在五面体中，平面平面ABC，四边形为矩形，是等腰直角三角形，，，，，． （1）证明：平面． （2）求五面体的体积． （3）求平面与平面ABC所成角的大小． 17. 现有甲、乙两个盒子，每个盒内均有10个小球，小球分红、白、黑三种颜色，小球除颜色外其他特征完全相同.已知两个盒子内均有3个黑球，甲盒内有个红球，乙盒内有个红球.先从甲盒内随机取1个小球放入乙盒内，再从乙盒内随机取1个小球. （1）若，，求在乙盒内随机取出的小球的颜色是黑色的概率； （2）若在乙盒内取出小球的颜色是红色的概率为，求，的值； （3）若在乙盒内取出红球得分，取出白球得分，取出黑球得分，试探究当，，满足什么关系时，得分的期望值与，无关. 18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为，，右顶点为，P为直线上一点，且椭圆E的离心率为，． （1）求椭圆E的方程． （2）过点P作椭圆E的切线，切点为B（异于点A）． ①证明：． ②若，求． 附：在椭圆 上一点处的切线方程为． 19. 已知函数， ． （1）求，的单调区间； （2）已知，函数，讨论的极值点的个数； （3）若，，求t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数的实部与虚部相等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算化简复数 ，结合题意可得出的值. 【详解】因为，且复数 的实部与虚部相等，所以 ． 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式求出集合，根据交集的定义求解. 【详解】由，则，即， 所以，解得或， 所以，， 所以． 3. 已知向量，，则的最小值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】向量，， 则，， 故当时，的最小值为1. 4. 在等比数列中， ，，则（ ） A. B. 2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】设等比数列公比为，由 ，得，，. 由，得，即， 因，故，则. 5. 已知圆M：与直线恰有2个交点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得圆M的圆心为，由题意得圆心M到直线的距离为， 又因为圆M与直线恰有2个交点，所以，所以， 解得，所以a的取值范围是． 6. 一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度（单位：）关于时间（单位： ）的函数解析式为（为参数）.已知刚开始退潮时水面高度为，若从到，水面高度下降了，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得，解得．令， 即，化简得，解得 （舍去）． 7. 已知函数在上有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过对分正负讨论，结合正弦函数的零点规律，确定的区间范围，进而求出的取值范围. 【详解】当时，因为，所以， 要使在上有且仅有3个零点， 需满足，解得：； 当时，因为，所以， 要使在上有且仅有3个零点， 需满足，解得：， 综上所述，的取值范围是. 8. 已知函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，若，，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的对称性得到恒成立，通过平方化简即可求解. 【详解】由关于直线对称，且在上单调递减， 因为 ，恒成立， 所以 ， 两边平方展开化简：  即 ， 整理得， 因为对任意不等式恒成立，故，即 ， 故 的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 2020—2024年我国粮食产量（单位：万吨）如图所示，下列结论正确的是（ ） A. 2020—2024年我国粮食产量逐年增加 B. 2020—2024年我国粮食产量的中位数为68653万吨 C. 2020—2024年我国粮食产量的极差为3699万吨 D. 2020—2024年我国粮食产量与年份负相关 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A选项，对比每年产量可得， 故年我国粮食产量逐年增加，A正确． 对于B选项，年我国粮食产量的中位数为万吨，B正确． 对于C选项，年我国粮食产量的极差为万吨，C错误． 对于D选项，年我国粮食产量与年份正相关，D错误． 10. 已知F是双曲线C：的一个焦点，过点F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率可能为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，再按分类，结合双曲线的对称性建立方程求出离心率. 【详解】由双曲线的对称性，不妨设F是双曲线C的右焦点，如图， ①当 时，不妨设点A，B分别在第一、二象限，由，得A是BF的中点．而直线BF垂直于直线 ， 则是等腰三角形，，又，因此，解得． 所以，离心率； ②当时，不妨设点B，A分别在第一、四象限， 由，得，由，得． 由，得，则，离心率． 11. 已知四边形ABCD外接圆的圆心为O，且，，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 当时，四边形ABCD面积的最大值为 D. 四边形ABCD面积的最大值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据数量积公式，结合夹角的范围，即可判断A的正误；根据面积公式，结合夹角的范围，即可判断B的正误；由题意，设AB与CD间的距离为d，根据弦长公式，结合梯形面积公式，可得四边形ABCD面积的表达式，利用导数求出最值，分析即可判断C的正误；设弦AB对应的圆心角为，弦CD对应的圆心角为，根据三角函数的定义，可得四边形ABCD面积的表达式，根据的范围，结合三角函数的最值，分析即可判断D的正误. 【详解】选项A：， 因为，所以当时，， 则 ，故A错误； 选项B：的面积， 因为，所以当时，，故B正确； 选项C：因为，，所以O为AB的中点，即AB为直径， 因为，所以CD为弦，设AB与CD间的距离为， 则， 所以四边形ABCD面积的， 令，则， 令，则， 令，解得或（舍）， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以当，即时，有最大值， 此时，，故C正确； 选项D：设弦AB对应的圆心角为，弦CD对应的圆心角为，， 两弦异侧时，其距离，且， 则四边形ABCD面积 ， 所以当时，有最大值为2，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点P在抛物线C： 上，若点P到点的距离与点P到抛物线C的准线的距离相等，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求解. 【详解】因为抛物线C： ，所以 ，抛物线C的焦点为， 结合抛物线的定义可得，则设， 易知在线段FA的垂直平分线上，则点的横坐标等于点和点中点的横坐标， 即：，所以 ，即. 13. 若曲线 与曲线在它们的公共点处有相同的切线，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】设公共点为，根据公共点的导数值相等求出切点，再利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由 ，所以，又由，所以， 设公共点为， 所以，由，即，解得或， 当时，，解得， 当时，，解得. 14. 已知平面，，，分别过正四面体的四个顶点，且平面，，，相互平行，相邻两个平面之间的距离均为d，若该正四面体的棱长为4，则_______． 【答案】. 【解析】 【分析】将正四面体放入正方体考虑，利用对称性，判断平面，，，满足的条件，建系求解即可. 【详解】如图，将四面体放入正方体中， 由对称性不妨设平面，，，分别过， 由平面，，，相互平行，相邻两个平面之间的距离均为d， 从而过的中点，靠点的三等分点； 过的中点，靠点的三等分点； 如图所示，建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，， ， 设平面的法向量为 则，取， 从而. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是公差为2的等差数列，是公比为2的等比数列，且. （1）求，的通项公式； （2）记数列的前项和为，用表示不超过的最大整数，例如，，求的取值集合. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，借助等差数列、等比数列通项列出方程组求出首项即可. （2）利用错位相减法求出，按分段，并利用二项式系数的性质确定范围求出取值集合. 【小问1详解】 依题意，，解得， 则， 所以数列，的通项公式分别为. 【小问2详解】 由（1）得， 则，， 两式相减得 ，因此， ，当时，； 而，当时，， 因此，，则， 所以的取值集合是. 16. 如图，在五面体中，平面平面ABC，四边形为矩形，是等腰直角三角形，，，，，． （1）证明：平面． （2）求五面体的体积． （3）求平面与平面ABC所成角的大小． 【答案】（1） 在矩形中，，， 因为，，所以 平面， 因为平面，所以，即， 过点E作，垂足为F， ，，，，， 所以，即． 又，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据几何体的性质，以及勾股定理，证明线线垂直，再根据线面垂直的判定定理，证明结果即可； （2）根据几何体的性质，将五面体分解成四棱锥和三棱锥，求出锥体的体积，进而求出结果； （3）根据几何体的性质，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，进而根据面面夹角的余弦值的向量法求出面面角的余弦值，进而求出角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，连接BE．该五面体可由四棱锥和三棱锥组成． 四棱锥的体积， 三棱锥的体积， 五面体的体积． 【小问3详解】 以A为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 由（1）可得平面的一个法向量为． 易知平面ABC的一个法向量为， 则， 所以平面与平面ABC所成角的大小为． 17. 现有甲、乙两个盒子，每个盒内均有10个小球，小球分红、白、黑三种颜色，小球除颜色外其他特征完全相同.已知两个盒子内均有3个黑球，甲盒内有个红球，乙盒内有个红球.先从甲盒内随机取1个小球放入乙盒内，再从乙盒内随机取1个小球. （1）若，，求在乙盒内随机取出的小球的颜色是黑色的概率； （2）若在乙盒内取出小球的颜色是红色的概率为，求，的值； （3）若在乙盒内取出红球得分，取出白球得分，取出黑球得分，试探究当，，满足什么关系时，得分的期望值与，无关. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算； （2）由乙盒内取出小球的颜色是红色的概率为，利用全概率公式求，的正整数解； （3）列出期望值的算式，探究得分期望与 无关的条件. 【小问1详解】 甲盒初始：2红、5白、3黑(共10个)；乙盒初始：3红、4白、3黑(共10个)， 设事件A：甲取红球，事件B：甲取白球，事件C：甲取黑球，事件D：乙取黑球， ，，， ，，， 由全概率公式得 . 【小问2详解】 甲盒：红球个，白球个，黑球3个；乙盒：红球个，白球个，黑球3个， 设事件为乙取红球，由全概率公式得 ， 由题设，得，即， 结合范围、，得唯一整数解. 【小问3详解】 设取出红、白、黑球的概率分别为，得分的期望， 由（2）知，同理， 由得（与 无关）， 代入期望得， 要求与 无关，需 系数为0，则 ，即. 18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为，，右顶点为，P为直线上一点，且椭圆E的离心率为，． （1）求椭圆E的方程． （2）过点P作椭圆E的切线，切点为B（异于点A）． ①证明：． ②若，求． 附：在椭圆 上一点处的切线方程为． 【答案】（1） （2）①证明：不妨令点在第一象限，设， 所以切线的方程为：，又， 令，解得，所以， 又因为， ， 所以，所以， 又， 所以； ② 【解析】 【分析】（1）根据题意解出即可求解； （2）①设点，利用椭圆上一点的切线方程得到点的坐标，结合二倍角的正切公式分别计算和，通过证明两者相等，结合角的范围得出角相等的结论; ②根据等腰三角形、勾股定理求得. 【小问1详解】 由题意得：，解得，所以， 所以， 所以椭圆E的方程为； 【小问2详解】 ①略 ②因为，所以， 因为，所以，所以， 在中，. 【点睛】 19. 已知函数， ． （1）求，的单调区间； （2）已知，函数，讨论的极值点的个数； （3）若，，求t的取值范围． 【答案】（1）和的单调增区间均为 ，单调减区间均为 ； （2）当或时，有一个极值点；当或时，有3个极值点. （3） 【解析】 【分析】（1）对求导，令可得其单调增区间，令可得其单调减区间，同理可得的单调区间. （2）求导得 解析式，令 ，得 的零点，分别讨论、、和四种情况，利用导数判断 的正负，可得其单调区间，分析即可得答案. （3）结合的任意性，已知条件可转化为， 分别构造函数 和 ，可将不等式再转化为 ，得到 在上单调性相同.利用导数求出 和 的单调区间，结合图形与条件，分析求解，即可得答案. 【小问1详解】 由，，得， 因为 恒成立，所以令，解得或， 当 或时，，则单调递增， 当 时，，则单调递减， 所以的单调增区间为 ，单调减区间为 ； 由 ，，得 ， 令 ，解得或， 当 或时，，则单调递增， 当 时，，则单调递减， 所以的单调增区间为 ，单调减区间为 ； 【小问2详解】 ， 则 ， 令 ，解得或或 （）. 当时， ， 恒成立， 则当时， ，则单调递减， 当时， ，则单调递增， 所以只有1个极小值点； 当时， ， 恒成立， 则当 时， ，则单调递减， 当 时， ，则单调递增， 所以只有1个极小值点； 当时， ， 当 或 时， ，则单调递减， 当 或时， ，则单调递增， 此时有3个极值点 ； 当时， ， 当 或 时， ，则单调递减， 当 或 时， ，则单调递增， 此时有3个极值点 ； 综上，当或时，有一个极值点；当或时，有3个极值点. 【小问3详解】 由，结合的任意性， 可得，则有， 所以有 ， 即 ， 设 ， ， 则 ，所以 在上单调性相同. 由 ，则 ， 令 ，解得或， 其中 ， 当时， ，则 单调递减， 当时， ，则 单调递增， 所以 的单调减区间为，单调增区间为； 由 ，则 ， 因为 恒成立，所以令 ，解得或， 当 或时， ，则 单调递增， 当 时， ，则 单调递减， 所以 的单调增区间为 ，单调减区间为 ； 要使 与 在上单调性相同， 分以下情况讨论： ①当 时，在上，函数 存在递增区间，而 单调递减， 故不满足题意； ②当 时，在上，函数 与 均单调递减， 且对任意， ， 故满足题意； ③当 时， ， 函数 均在上单调递减，在上单调递增， 又 不恒为0，即 不恒为常数， 故存在（ ），使得 ，且 ， 若，则当时， ，且 ， 故存在 ，使得 ， 故不满足题意； 同理可得，若 ，当时， ，且 ， 故存在 ，使得 ， 故也不满足题意； ④当 时，在上，函数 与 均单调递增， 对任意， ， 故满足题意. 综上所述，t的取值范围是 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $