专题03 整式乘法与因式分解（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材沪科版

专题03 整式乘法与因式分解（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01同底数幂乘法 题型02 幂的乘方 题型03 积的乘方 题型04 同底数幂的除法 题型05 幂的混合运算 题型06 零指数、负整数指数幂计算 题型07 比较幂的大小 题型08 同幂求参数 题型09 单项式 × 单项式 题型10 单项式 × 多项式 题型11 多项式 × 多项式 题型12 直接利用完全平方式进行计算 题型13 完全平方公式与几何问题综合 题型14 完全平方式求待定系数 题型15 完全平方公式恒等变形整体代入求值 题型16 平方差公式的应用 题型17 平方差公式与几何图形 题型18 因式分解的定义 题型19 公因式 题型 20 提公因式因式分解 题型21 综合运用提取公因式和公式法因式分解 题型22 因式分解的实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 同底数幂的乘法 熟练掌握同底数幂乘法法则及逆用，可精准完成正负、多项式底数的幂运算与整体代值计算。 期末选择常考法则辨析，填空考简单求值，是所有整式运算的基础必考内容，中考常结合整体代入综合考查。 幂的乘方 熟记幂的乘方法则，能区分三类幂运算，熟练完成单层及多层嵌套式化简计算。 极少单独出题，全程混合运算考查，是整式化简高频易错考点，期末计算题必含。 积的乘方 掌握积的乘方正逆用法则，能规范完成单项式乘方及高次幂简便运算。 期末填空高频压轴，高次幂简便运算是固定考法，贯穿所有整式混合化简大题。 同底数幂的除法 掌握同底数幂除法法则，可完成正负、多项式底数除法及幂的四则混合化简。 以混合考查为主，不单独命题，是整式除法化简的核心基础。 零指数幂 牢记非零数零次幂为 1 的规定，能准确判断零指数幂的有意义条件并化简求值。 期末实数混合计算第一问必考，是基础送分考点。 负整数指数幂 掌握负指数幂变倒数的运算规则，熟练完成整数、分数负指数化简及实数综合计算。 七下计算必考核心，衔接八年级小数科学记数法，常搭配零指数、绝对值综合出题。 单项式 × 单项式 规范掌握单项式乘法步骤，精准完成系数、同底数幂、单独字母的完整化简运算。 所有整式化简的基础步骤，全程贯穿大题计算。 单项式 × 多项式 熟练运用乘法分配律，做到逐项相乘不漏项、准确变号并合并同类项。 期末化简求值必考步骤，是去括号、整式化简的核心基础。 多项式 × 多项式 掌握多项式相乘逐项展开规则，能完整展开并精准合并同类项得到最简结果。 期末解答题必考化简求值主干题型，是期末核心得分大题。 平方差公式 精准识别平方差公式结构，可正用化简、逆用分解因式，熟练构造公式完成简便运算。 全题型全覆盖考查，选择、填空、计算、简便运算均必考，是基础核心公式。 完全平方公式 熟记完全平方公式及四大变形，能熟练展开、整体代值、简单配方求解。 本章最难拔高考点，期末填空压轴、化简求值、综合探究必考，中考核心高频。 因式分解 掌握因式分解的概念，理解因式分解与整式乘法的区别。 高频考题，常以选择、填空的形式出现。 提公因式法因式分解 精准找准数字、字母、整体公因式，规范提取公因式并处理首项负号、补全剩余项。 所有因式分解题型的第一步必考点，95%考题需先提公因式。 平方差公式因式分解 准确判断平方差适用条件，遵循先提后套原则，完成简单及复合型平方差彻底分解。 期末因式分解大题必考两大公式之一，基础题高频。 完全平方公式因式分解 精准识别完全平方式结构，规范完成基础及复合型完全平方公式因式分解。 期末因式分解重难点，大题高频考查，易错率最高 整式化简求值 熟练遵循整式运算顺序，规范化简后代入数值或整体代值求解代数式的值。 期末固定必考解答大题，是学生必须满分的基础题型。 知识点01 同底数幂相乘 底数相同的幂相乘，底数不变，指数相加，公式： ·示例：；。 ·易错点：① 混淆：指数相乘；② 单独字母，容易漏写指数 1：；③ 底数互为相反数未统一符号：，。 知识点02 幂的乘方 定义：幂的乘方，底数不变，指数相乘。公式： ·示例：； ·易错点：① 指数相加：；② 与同底数幂乘法混用：。 知识点03 积的乘方 积的乘方，等于各因式分别乘方，再相乘。公式：；拓展 ·示例：； ·易错点：① 系数忘记乘方：；② 负号处理：，偶次幂去负，奇次幂保留负号。 知识点04 同底数幂相除 底数相同幂相除，底数不变，指数相减（），公式：。 ·示例：； ·易错点：① 指数反过来减：；② 常数项易错：。 知识点05 零指数幂 ，0 的 0 次幂无意义 ·示例： ·易错点：无意义，不能等于 1。 知识点06 负整数指数幂 负整数指数幂： ·示例： ·易错点：，负指数≠负数，是倒数的正幂。 知识点07 单项式 × 单项式 系数相乘，同底数幂分别相乘，单独字母连同指数照抄。 ·示例： ·易错点：① 符号出错：负负得正、一负一正得负；② 漏写只在一个单项式出现的字母。 知识点08 单项式 × 多项式 单项式乘多项式每一项，再把积相加。 ·示例： ·易错点：① 漏乘常数项：；② 括号前负号去括号变号：，容易写成。 知识点09 多项式 × 多项式 ，一个多项式每一项乘另一个每一项，再合并同类项。 ·示例： ·易错点：① 漏乘项（四项变三项）；② 合并同类项计算错误。 知识点10 平方差公式 两数和 × 两数差 = 两数平方差，；结构特征：一项完全相同，一项互为相反数 ·示例：； ·易错点：① 无相同项不能用平方差；② 结构不符，误用公式；③ ，系数忘记平方。 知识点11 完全平方公式 （和的完全平方），（差的完全平方）；口诀：首平方，尾平方，首尾乘积二倍放中央 ·示例：； ·易错点：① 漏掉中间 2ab 项：；② 符号错误：；③ 系数平方遗漏：。 知识点12 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫因式分解；和整式乘法互为逆变形。 ·示例：3xy+6x=3x（y+2） ·易错点：容易和整式的乘法搞混淆，分解时漏项。 知识点13 提公因式法 多项式各项都含有的相同因式，由「系数最大公约数 + 相同字母最低次幂」组成。提公因式公式： ·示例：； ·易错点：① 首项为负，提取负号后括号内全部变号；② 某项全被提出后，括号内剩 1，不能漏写：；③ 公因式找不全：公因式是不是。 知识点14 平方差因式分解 公式：；适用：两项、都是平方、符号一正一负 ·示例： ·易错点：两项同号不能分解：实数范围内不能因式分解。 知识点15 完全平方因式分解 ；适用：三项，首尾平方，中间项是首尾积2倍。 ·示例： ·易错点：不是完全平方式，强行套用公式。 题型一 同底数幂乘法 解｜题｜技｜巧 ，底数不变指数相加；单独字母；底数互为相反数先统一符号，偶次化同底、奇次提负号。 【典例1】计算结果正确的是（    ） A．a B．2a C． D． 【变式1】计算________． 【变式2】如果，那么的值为______． 题型二 幂的乘方 解｜题｜技｜巧 ，底数不变指数相乘；多层乘方由内向外逐层化简。 【典例1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若，则________． 【变式2】已知（且），则_____． 题型三 积的乘方 解｜题｜技｜巧 ，系数、每个因式分别乘方；负数偶次为正、奇次为负。 【典例1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式1】计算：______________． 【变式2】已知，那么的值是___________． 题型四 同底数幂的除法 解｜题｜技｜巧 ，根据底数不变，指数相减计算即可。 【典例1】计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【变式1】计算的结果为____． 【变式2】若，则的值为_____． 题型五 幂的混合运算 解｜题｜技｜巧 ， 【典例1】下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】若，则的值（ ） A． B． C． D．3 题型六 零指数、负整数指数幂计算 解｜题｜技｜巧 运算顺序：先积的乘方→再幂的乘方→最后同底数幂相乘。 【典例1】计算：（   ） A．2026 B．-2026 C．1 D．-1 【典例2】的值是（  ） A． B． C． D． 【变式1】计算的结果是（   ） A． B．0 C．1 D．8 【变式2】计算的结果是（    ） A．100 B． C． D．0.1 【变式3】若式子有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式4】_____． 【详解】解：． 题型七 比较幂的大小 解｜题｜技｜巧 【典例1】已知，，则x、y、z三者的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式1】若，，，，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若，，，，则它们的大小关系是________．（用“”连接） 题型八 同幂求参数 解｜题｜技｜巧 同底数幂相等，底数≠0、±1，则指数相等列方程。 【典例1】若，则k的值为（    ） A． B． C．5 D．8 【变式1】对于有理数，定义一种新运算．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】使的的值为__________． 题型九 单项式 × 单项式 解｜题｜技｜巧 【典例1】计算：（    ） A． B． C． D． 【变式1】，求的值_______． 【变式2】化简：_________． 题型十 单项式 × 多项式 解｜题｜技｜巧 单项式遍乘多项式每一项，负系数乘多项式，括号内各项全部变号，不漏常数项。 【典例1】计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若，则的值是________． 【变式2】若的乘积中不含项，则a的值为____． 题型十一 多项式 × 多项式 解｜题｜技｜巧 多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 【典例1】若，则m、n的值分别为（    ） A．5；6 B．5； C．1；6 D．1； 【变式1】若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 【变式2】计算的结果为_______． 题型十二 直接利用完全平方式进行计算 解｜题｜技｜巧 根据完全平方公式展开再求和即可求解。 【典例1】下列整式乘法中，变形后能运用完全平方公式进行运算的是（   ） A． B． C． D． 下列整式乘法中，变形后能运用完全平方公式进行运算的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】计算：__. 【变式2】利用乘法公式简便计算： (1)； (2) 题型十三 完全平方公式与几何问题综合 解｜题｜技｜巧 利用不同的方法表示几何图形的面积或应用。 【典例1】下列图形中通过计算阴影部分的面积可以不经计算直接解释完全平方公式的是（    ） A．B．C． D． 【变式1】我国古代数学家刘徽在注释《九章算术》时，常用“出入相补”原理（即割补法）来证明几何图形的面积关系．如图，将图1大正方形中的阴影部分拼成图2的矩形，这个过程可以直观验证的公式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】现有边长分别是和的两个正方形，将B放在A的内部如图甲所示；将并列放置后构造新的正方形如图乙所示．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则的值为___________． 题型十四 完全平方式求待定系数 解｜题｜技｜巧 ，必须考虑正负双解。 【典例1】已知是完全平方式，则k的值为（    ） A．9 B． C．18 D． 【变式1】若多项式是一个完全平方式，则不可能是（     ）． A． B． C．3 D． 【变式2】若二次三项式是一个完全平方式，则____________． 题型十五 完全平方公式恒等变形整体代入求值 解｜题｜技｜巧 ，已知整体代换。 【典例1】已知，则（   ） A．1 B．4 C．16 D．8 【变式1】若，则的值是（　　） A．8 B．7 C． D． 【变式2】若，，则 ________，_______． 题型十六 平方差公式的应用 解｜题｜技｜巧 ，系数、每个因式分别乘方；负数偶次为正、奇次为负。 【典例1】下列各式中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若 ，则 __________ 【变式2】______． 题型十七 平方差公式与几何图形 解｜题｜技｜巧 用面积表示图形的面积，化简即可得出结论。 【典例1】几何直观如图，从腰长为a的等腰直角三角形纸片中剪掉一个腰长为b的等腰直角三角形，得到一个直角梯形，上述操作能验证的等式是（ ） A． B． C． D． 【变式1】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 【变式2】数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是________．（请填上正确的序号，可多选） 题型十八 因式分解的定义 解｜题｜技｜巧 将一个多项式化为几个整式乘积的形式，注意顺序为从左到右。 【典例1】下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】若多项式可分解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知整式分解因式的结果为，则______． 题型十九 公因式 解｜题｜技｜巧 多项式每一个单项式的公共部分，含相同的字母和系数。 【典例1】下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1】把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】多项式，的公因式是______． 题型二十 提公因式因式分解 解｜题｜技｜巧 直接提取公因式进行的因式分解，将公因式提取出来即可。 【典例1】分解因式：____________． 【变式1】因式分解：______． 【变式2】已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________． 题型二十一 平方差公式因式分解 解｜题｜技｜巧 利用平方差公式进行的因式分解。 【典例1】因式分解：___________． 【变式1】因式分解：______． 【变式2】因式分解：______． 故答案为：． 题型二十二 完全平方公式因式分解 解｜题｜技｜巧 利用完全平方公式进行的因式分解。 【典例1】下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】分解因式：________． 【变式2】已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 题型二十 十字相乘法因式分解 解｜题｜技｜巧 利用多项式的乘法公式进行逆用因式分解。 【典例1】因式分解：______． 【变式1】因式分解：_____． 【变式2】因式分解：__________． 题型二十一 综合运用提取公因式和公式法因式分解 解｜题｜技｜巧 灵活利用提取公因式和公式法进行因式分解。 【典例1】因式分解：__________． 【变式1】分解因式：________． 【变式2】分解因式：____． 题型二十二 因式分解的实际应用 解｜题｜技｜巧 利用因式分解对多项式进行处理，可对代数式进行求值或其它求解。 【典例1】某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … … 明文 … 中 爱 国 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ） A．我爱中国 B．美丽中国 C．我爱美丽 D．中国美丽 【变式1】若，且，，则的值为（    ） A． B．2 C． D．1 【变式2】2025年“湘超”联赛益阳赛场在边线旁为球员设置长方形临时休息区，如图该休息区的周长为14，面积为（a、b分别为休息区的长和宽，），则的值为______． 【变式3】如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为，的正方形（阴影部分），观察图形，解答下列问题： (1)用两种方法表示阴影部分的面积，从中你可以得到等式__________； (2)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 5．分解因式：_____． 6．计算：__________． 7．分解因式：______． 8．先分解因式，然后计算求值：，其中，． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 2．代数式，当m是整数时，则P一定能被（    ）整除． A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果，那么阴影部分的面积是（　  ） A．10 B．20 C．30 D．40 4．若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（     ） A．40 B．20 C．10 D．9 6．计算： ____． 7．已知的结果中不含的一次项，则的值为________． 8．我们学习的平方差公式不但可以使运算简便，也可以解决一些复杂的数学问题．尝试计算的个位数字是________． 9．规定，例如：．已知：，则_________． 10．若多项式是一个完全平方式，则的值是___________． 11．先化简，再求值：，其中，． 12．阅读下列式子的运算过程，回答问题．     第一步     第二步     第三步 (1)上述过程是从第几步开始出现错误的，并写出错误的原因； (2)请写出正确的解答过程． 13．阅读：已知正整数，，，若对于同底数，不同指数的两个幂和（），当时，则有；若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有．根据上述材料，回答下列问题．[注：（2），（3）写出比较的具体过程] (1)比较大小：________，________．（填“”） (2)比较与的大小． (3)比较与的大小． 14．在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题，比如，运用两数和的完全平方公式 ，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值，求出第三个代数式的值．例如：已知， ，求的值． 解：将两边同时平方，得，即． 因为，等量代换，得 ，所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知 ，则 ； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，求的值． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．若实数，，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．观察各式：；；；…根据以上规律计算：的值是（    ） A． B． C． D． 3．如图是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式． 请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： (1)多项式A为________；多项式B为________，例题的计算结果C为________； (2)当，时，求代数式“”的值． 4．对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“⊗”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，， （1）计算：_____； （2）若不含项，则_____． 5．已知： （1）； （2）； （3）；猜想规律如下： （其中为正整数，且）． 利用上面猜想的结论计算：_____________． 6．数学活动课上，小明发现了一个有趣的几何图案：如图1所示，有一个边长为x的大正方形，在其内部依次嵌套着边长为y和z的两个小正方形．三个正方形的中心重合，且对应边平行．若大正方形与中间正方形的面积差记为，中间正方形与最小正方形的面积差为． (1)问题探究 设，，，，用a，b表示，用c，d表示； (2)如图2，已知，，求阴影部分（大正方形减去最小正方形）的面积； (3)若，且， ①求的值； ②在①的条件下，若，求 ． 7．在数学活动中，数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助我们理解代数问题． ①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到代数恒等式； ②如图2，用长为、宽为的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可得到另一个代数恒等式． 基于上述内容，解决以下问题： (1)若，，求的值； (2)若，求的值； (3)如图3，在航空航天国防科普展中，面积为平方米的长方形展厅中设置两个长方形展区（和），中间重合部分搭建长方形互动体验，米，米，阴影部分为参观区域，参观区域总周长为米，求展厅的长比宽多多少米？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式乘法与因式分解（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01同底数幂乘法 题型02 幂的乘方 题型03 积的乘方 题型04 同底数幂的除法 题型05 幂的混合运算 题型06 零指数、负整数指数幂计算 题型07 比较幂的大小 题型08 同幂求参数 题型09 单项式 × 单项式 题型10 单项式 × 多项式 题型11 多项式 × 多项式 题型12 直接利用完全平方式进行计算 题型13 完全平方公式与几何问题综合 题型14 完全平方式求待定系数 题型15 完全平方公式恒等变形整体代入求值 题型16 平方差公式的应用 题型17 平方差公式与几何图形 题型18 因式分解的定义 题型19 公因式 题型 20 提公因式因式分解 题型21 综合运用提取公因式和公式法因式分解 题型22 因式分解的实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 同底数幂的乘法 熟练掌握同底数幂乘法法则及逆用，可精准完成正负、多项式底数的幂运算与整体代值计算。 期末选择常考法则辨析，填空考简单求值，是所有整式运算的基础必考内容，中考常结合整体代入综合考查。 幂的乘方 熟记幂的乘方法则，能区分三类幂运算，熟练完成单层及多层嵌套式化简计算。 极少单独出题，全程混合运算考查，是整式化简高频易错考点，期末计算题必含。 积的乘方 掌握积的乘方正逆用法则，能规范完成单项式乘方及高次幂简便运算。 期末填空高频压轴，高次幂简便运算是固定考法，贯穿所有整式混合化简大题。 同底数幂的除法 掌握同底数幂除法法则，可完成正负、多项式底数除法及幂的四则混合化简。 以混合考查为主，不单独命题，是整式除法化简的核心基础。 零指数幂 牢记非零数零次幂为 1 的规定，能准确判断零指数幂的有意义条件并化简求值。 期末实数混合计算第一问必考，是基础送分考点。 负整数指数幂 掌握负指数幂变倒数的运算规则，熟练完成整数、分数负指数化简及实数综合计算。 七下计算必考核心，衔接八年级小数科学记数法，常搭配零指数、绝对值综合出题。 单项式 × 单项式 规范掌握单项式乘法步骤，精准完成系数、同底数幂、单独字母的完整化简运算。 所有整式化简的基础步骤，全程贯穿大题计算。 单项式 × 多项式 熟练运用乘法分配律，做到逐项相乘不漏项、准确变号并合并同类项。 期末化简求值必考步骤，是去括号、整式化简的核心基础。 多项式 × 多项式 掌握多项式相乘逐项展开规则，能完整展开并精准合并同类项得到最简结果。 期末解答题必考化简求值主干题型，是期末核心得分大题。 平方差公式 精准识别平方差公式结构，可正用化简、逆用分解因式，熟练构造公式完成简便运算。 全题型全覆盖考查，选择、填空、计算、简便运算均必考，是基础核心公式。 完全平方公式 熟记完全平方公式及四大变形，能熟练展开、整体代值、简单配方求解。 本章最难拔高考点，期末填空压轴、化简求值、综合探究必考，中考核心高频。 因式分解 掌握因式分解的概念，理解因式分解与整式乘法的区别。 高频考题，常以选择、填空的形式出现。 提公因式法因式分解 精准找准数字、字母、整体公因式，规范提取公因式并处理首项负号、补全剩余项。 所有因式分解题型的第一步必考点，95%考题需先提公因式。 平方差公式因式分解 准确判断平方差适用条件，遵循先提后套原则，完成简单及复合型平方差彻底分解。 期末因式分解大题必考两大公式之一，基础题高频。 完全平方公式因式分解 精准识别完全平方式结构，规范完成基础及复合型完全平方公式因式分解。 期末因式分解重难点，大题高频考查，易错率最高 整式化简求值 熟练遵循整式运算顺序，规范化简后代入数值或整体代值求解代数式的值。 期末固定必考解答大题，是学生必须满分的基础题型。 知识点01 同底数幂相乘 底数相同的幂相乘，底数不变，指数相加，公式： ·示例：；。 ·易错点：① 混淆：指数相乘；② 单独字母，容易漏写指数 1：；③ 底数互为相反数未统一符号：，。 知识点02 幂的乘方 定义：幂的乘方，底数不变，指数相乘。公式： ·示例：； ·易错点：① 指数相加：；② 与同底数幂乘法混用：。 知识点03 积的乘方 积的乘方，等于各因式分别乘方，再相乘。公式：；拓展 ·示例：； ·易错点：① 系数忘记乘方：；② 负号处理：，偶次幂去负，奇次幂保留负号。 知识点04 同底数幂相除 底数相同幂相除，底数不变，指数相减（），公式：。 ·示例：； ·易错点：① 指数反过来减：；② 常数项易错：。 知识点05 零指数幂 ，0 的 0 次幂无意义 ·示例： ·易错点：无意义，不能等于 1。 知识点06 负整数指数幂 负整数指数幂： ·示例： ·易错点：，负指数≠负数，是倒数的正幂。 知识点07 单项式 × 单项式 系数相乘，同底数幂分别相乘，单独字母连同指数照抄。 ·示例： ·易错点：① 符号出错：负负得正、一负一正得负；② 漏写只在一个单项式出现的字母。 知识点08 单项式 × 多项式 单项式乘多项式每一项，再把积相加。 ·示例： ·易错点：① 漏乘常数项：；② 括号前负号去括号变号：，容易写成。 知识点09 多项式 × 多项式 ，一个多项式每一项乘另一个每一项，再合并同类项。 ·示例： ·易错点：① 漏乘项（四项变三项）；② 合并同类项计算错误。 知识点10 平方差公式 两数和 × 两数差 = 两数平方差，；结构特征：一项完全相同，一项互为相反数 ·示例：； ·易错点：① 无相同项不能用平方差；② 结构不符，误用公式；③ ，系数忘记平方。 知识点11 完全平方公式 （和的完全平方），（差的完全平方）；口诀：首平方，尾平方，首尾乘积二倍放中央 ·示例：； ·易错点：① 漏掉中间 2ab 项：；② 符号错误：；③ 系数平方遗漏：。 知识点12 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫因式分解；和整式乘法互为逆变形。 ·示例：3xy+6x=3x（y+2） ·易错点：容易和整式的乘法搞混淆，分解时漏项。 知识点13 提公因式法 多项式各项都含有的相同因式，由「系数最大公约数 + 相同字母最低次幂」组成。提公因式公式： ·示例：； ·易错点：① 首项为负，提取负号后括号内全部变号；② 某项全被提出后，括号内剩 1，不能漏写：；③ 公因式找不全：公因式是不是。 知识点14 平方差因式分解 公式：；适用：两项、都是平方、符号一正一负 ·示例： ·易错点：两项同号不能分解：实数范围内不能因式分解。 知识点15 完全平方因式分解 ；适用：三项，首尾平方，中间项是首尾积2倍。 ·示例： ·易错点：不是完全平方式，强行套用公式。 题型一 同底数幂乘法 解｜题｜技｜巧 ，底数不变指数相加；单独字母；底数互为相反数先统一符号，偶次化同底、奇次提负号。 【典例1】计算结果正确的是（    ） A．a B．2a C． D． 【答案】D 【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】解：． 【变式1】计算________． 【答案】 【详解】解：． 【变式2】如果，那么的值为______． 【答案】 【分析】由已知得，利用幂的乘方运算和同底数幂的乘法法则把原式转化为，进而代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 题型二 幂的乘方 解｜题｜技｜巧 ，底数不变指数相乘；多层乘方由内向外逐层化简。 【典例1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘；负数的奇次幂是负数进行计算即可． 【详解】解：， 根据幂的乘方法则，可得，且， 计算得． 【变式1】若，则________． 【答案】4 【分析】根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 【变式2】已知（且），则_____． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方运算，根据幂的乘方法则化简等式左边，对比等式两边得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解： 因为， 所以， 所以 解得 题型三 积的乘方 解｜题｜技｜巧 ，系数、每个因式分别乘方；负数偶次为正、奇次为负。 【典例1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的运算法则：，计算即可． 【详解】解：． 【变式1】计算：______________． 【答案】 【详解】解：原式 【变式2】已知，那么的值是___________． 【答案】16 【分析】将所求代数式根据幂的运算法则变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解： 把，代入得： 原式． 题型四 同底数幂的除法 解｜题｜技｜巧 ，根据底数不变，指数相减计算即可。 【典例1】计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 【变式1】计算的结果为____． 【答案】 【分析】直接运用同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】解：． 【变式2】若，则的值为_____． 【答案】 【分析】逆用同底数幂相除法则、幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 题型五 幂的混合运算 解｜题｜技｜巧 ， 【典例1】下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的相关运算与合并同类项法则，根据对应运算法则逐个计算选项即可得到正确结果． 【详解】解：， 选项A不符合题意； ， 选项B不符合题意； ， 选项C不符合题意； ， 选项D符合题意． 【变式1】下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂的运算法则即可求解． 【详解】A.，故错误；     B.，正确； C.，故错误；     D.，故错误； 故选B． 【变式2】若，则的值（ ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】将原式所有幂统一转化为以3为底的幂，再用幂的乘方、同底数幂的乘除法则化简，根据同底数幂相等则指数相等列方程求解． 【详解】解：∵ ，，， ∴ 原式可变形为：， 根据幂的乘方法则 化简得： ， 根据同底数幂的乘除法则计算左侧指数： ， ， ∵ 底数相同的幂相等，底数不为1，则指数相等， ∴ ，解得 ． 题型六 零指数、负整数指数幂计算 解｜题｜技｜巧 运算顺序：先积的乘方→再幂的乘方→最后同底数幂相乘。 【典例1】计算：（   ） A．2026 B．-2026 C．1 D．-1 【答案】C 【分析】根据零指数幂的定义，任何不等于0的数的0次幂都等于1 【详解】∵ ， ∴ ． 【典例2】的值是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【变式1】计算的结果是（   ） A． B．0 C．1 D．8 【答案】C 【详解】解：任何非零数的0次幂都等于1，即． 【变式2】计算的结果是（    ） A．100 B． C． D．0.1 【答案】A 【详解】解：． 【变式3】若式子有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零指数幂的定义，底数不为0即可求解； 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：． 【变式4】_____． 【答案】/0.5 【详解】解：． 题型七 比较幂的大小 解｜题｜技｜巧 【典例1】已知，，则x、y、z三者的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用幂的乘方法则，将三个数变形为指数相同的形式，再通过比较底数大小得到幂的大小关系，运用初中幂的运算性质即可求解． 【详解】解：∵ ，，，根据幂的乘方法则，可得 ， ， . ∵ 指数相同的正幂，底数越大，幂越大，且， ∴ ，即． 【变式1】若，，，，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据负指数幂、零次幂和乘方的运算法则算出每个数的具体值，再从小到大排序，选出对应的选项． 【详解】解：，，，， ， 故． 【变式2】若，，，，则它们的大小关系是________．（用“”连接） 【答案】 【分析】根据乘方运算、零指数幂的意义、绝对值的性质以及负整数指数幂的意义即可求出答案． 【详解】解：，，，， ． 题型八 同幂求参数 解｜题｜技｜巧 同底数幂相等，底数≠0、±1，则指数相等列方程。 【典例1】若，则k的值为（    ） A． B． C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据 可得为奇数，由此即可得出． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴． 【变式1】对于有理数，定义一种新运算．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义得出，根据同底数幂的除法得出，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴ ∴ 解得： 【变式2】使的的值为__________． 【答案】3或2或1 【分析】根据任何非零数的零次幂等于1，1的任何次幂都等于1，的偶次幂等于1进行计算即可． 【详解】解：当即，此时； 当即时，； 当即时，； 综上，x的值为3或2或1． 题型九 单项式 × 单项式 解｜题｜技｜巧 【典例1】计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算积的乘方，再计算单项式乘法； 【详解】解：． 【变式1】，求的值_______． 【答案】3 【分析】首先根据单项式乘以单项式法则得到，然后比较指数得到，，求出，，然后代入求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴． 【变式2】化简：_________． 【答案】 【分析】先根据积的乘方运算法则化简乘方项，再根据单项式乘单项式的运算法则计算，即可得到结果． 【详解】解： ． 题型十 单项式 × 多项式 解｜题｜技｜巧 单项式遍乘多项式每一项，负系数乘多项式，括号内各项全部变号，不漏常数项。 【典例1】计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算积的乘方、再计算单项式乘多项式，将所得的结果与选项对比即可． 【详解】解： = =， 故选：C． 【变式1】若，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，积的乘方的逆用． 先计算单项式乘以多项式，再逆用积的乘方将各项化为的形式，进而根据计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2】若的乘积中不含项，则a的值为____． 【答案】0 【分析】根据乘积中不含某一项，即该项的系数为，据此列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：， 乘积中不含项， 项的系数为， 即， 解得． 题型十一 多项式 × 多项式 解｜题｜技｜巧 多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 【典例1】若，则m、n的值分别为（    ） A．5；6 B．5； C．1；6 D．1； 【答案】D 【分析】将等式左边展开，根据多项式相等时对应项系数相等，即可求出m，n的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 【变式1】若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为（     ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】先按照多项式乘法运算法则求出，再根据乘积不含x的一次项，得到一次项系数为0，即可求解m的值． 【详解】∵， 又乘积中不含x的一次项， 一次项系数为0，即， 解得：． 【变式2】计算的结果为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的运算，根据整式的运算法则即可求出答案，熟练掌握整式的运算法是解决此题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型十二 直接利用完全平方式进行计算 解｜题｜技｜巧 根据完全平方公式展开再求和即可求解。 【典例1】下列整式乘法中，变形后能运用完全平方公式进行运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各选项式子变形，判断是否能化为完全平方的形式即可，完全平方公式为，平方差公式结构为． 【详解】解：A选项，符合平方差公式结构，不能用完全平方公式，排除； B选项，，符合平方差公式结构，不能用完全平方公式，排除； C选项，，变形后符合完全平方公式结构，可以运用完全平方公式运算，符合要求； D选项，，符合平方差公式结构，不能用完全平方公式，排除． 下列整式乘法中，变形后能运用完全平方公式进行运算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各选项式子变形，判断是否能化为完全平方的形式即可，完全平方公式为，平方差公式结构为． 【详解】解：A选项，符合平方差公式结构，不能用完全平方公式，排除； B选项，，符合平方差公式结构，不能用完全平方公式，排除； C选项，，变形后符合完全平方公式结构，可以运用完全平方公式运算，符合要求； D选项，，符合平方差公式结构，不能用完全平方公式，排除． 【变式1】计算：__. 【答案】 【详解】原式． 【变式2】利用乘法公式简便计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用． （1）运用完全平方公式计算即可． （2）运用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ， ， ； （2）解：原式 ， ， 题型十三 完全平方公式与几何问题综合 解｜题｜技｜巧 利用不同的方法表示几何图形的面积或应用。 【典例1】下列图形中通过计算阴影部分的面积可以不经计算直接解释完全平方公式的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】分别用两种方式表示各选项的阴影面积，进而判断即可． 【详解】解：A．阴影面积可表示为或，即，符合题意； B．阴影面积可表示为或，即，不符合题意； C．阴影面积可表示为或，即，不符合题意； D．阴影面积可表示为或，即，不符合题意． 【变式1】我国古代数学家刘徽在注释《九章算术》时，常用“出入相补”原理（即割补法）来证明几何图形的面积关系．如图，将图1大正方形中的阴影部分拼成图2的矩形，这个过程可以直观验证的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用割补法求出图1阴影部分面积，根据矩形面积公式求出图2的面积，再由面积相等列式即可． 【详解】解：图1中大正方形的边长为，面积为， 空白区域是一个十字架图形，可以看成由两个长都为的矩形交叉重叠而成， 横着的矩形宽为，竖着的矩形宽为，它们的面积和为， 重叠部分是长为，宽为的小矩形， 则十字架的面积可表示为， 利用大正方形面积减去空白区域面积得到图1中阴影部分面积和为 ． 由题图1可知，图2中大矩形的长为， 宽为题图1大正方形边长减去，即， 则图2中阴影部分拼成的大矩形面积可以表示为， 根据等面积法可得． 【变式2】现有边长分别是和的两个正方形，将B放在A的内部如图甲所示；将并列放置后构造新的正方形如图乙所示．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．根据正方形和的边长为和可得，，由完全平方公式变形即可得出答案． 【详解】解：正方形和的边长分别为和， 图甲阴影部分面积为：，图乙阴影部分面积为：， ． 故答案为：． 题型十四 完全平方式求待定系数 解｜题｜技｜巧 ，必须考虑正负双解。 【典例1】已知是完全平方式，则k的值为（    ） A．9 B． C．18 D． 【答案】D 【分析】根据完全平方式的定义得到，进而可知，求解即可． 【详解】解：∵，且是完全平方式， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】若多项式是一个完全平方式，则不可能是（     ）． A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】解：对选项A： ， ∵原式， ∴是完全平方式，A不符合要求； 对选项B：， ∵原式， ∴是完全平方式，B不符合要求； 对选项C：， ∵原式， ∴是完全平方式，C不符合要求； 对选项D：， ∵原式， 若该式是完全平方式，常数项应为，， ∴无法写成整式平方的形式， ∴不是完全平方式，D符合要求． 【变式2】若二次三项式是一个完全平方式，则____________． 【答案】或7 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值． 【详解】解：关于的二次三项式是完全平方式， ∴ ， 解得：或， 故答案为：或7． 题型十五 完全平方公式恒等变形整体代入求值 解｜题｜技｜巧 ，已知整体代换。 【典例1】已知，则（   ） A．1 B．4 C．16 D．8 【答案】D 【分析】将已知两个等式利用完全平方公式展开后，相加消去含的项，即可求出的值． 【详解】解：①，②， 将得：， ． 【变式1】若，则的值是（　　） A．8 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了代数式的求值和乘法公式． 由已知方程变形得到，再利用完全平方公式求即可． 【详解】解：∵ ，且， ∴ 两边除以得 ， 即， 又∵ ， ∴ ， 故选：B 【变式2】若，，则 ________，_______． 【答案】 13 1 【分析】本题利用完全平方公式的变形，将所求代数式用已知的和表示，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 将，代入得：； ∴． 题型十六 平方差公式的应用 解｜题｜技｜巧 ，系数、每个因式分别乘方；负数偶次为正、奇次为负。 【典例1】下列各式中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式的结构特征判断，平方差公式要求两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，符合该特征才能用平方差公式计算． 【详解】解：A、∵，没有相同的项，不符合平方差公式的结构特征，故不符合要求； B、在中，与互为相反数，与也互为相反数，没有相同的项，不符合平方差公式的结构特征，故不符合要求； C、∵中，相同项为a，b与互为相反数，符合平方差公式的结构，∴符合要求； D、∵，两项都相同，∴不符合要求． 【变式1】若 ，则 __________ 【答案】 【分析】设，则，方法 ，利用平方差公式展开并整体代入计算即可． 【详解】解：设， ∵ ∴， ∴ ． 【变式2】______． 【答案】 【详解】解： ， 则原式 题型十七 平方差公式与几何图形 解｜题｜技｜巧 用面积表示图形的面积，化简即可得出结论。 【典例1】几何直观如图，从腰长为a的等腰直角三角形纸片中剪掉一个腰长为b的等腰直角三角形，得到一个直角梯形，上述操作能验证的等式是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过计算阴影部分面积的两种不同方法建立等式：一种是大三角形面积减去小三角形面积，另一种是利用梯形面积公式计算，从而验证平方差公式． 【详解】解：和均为等腰直角三角形，且腰长分别为， ， ， 又阴影部分为直角梯形，， 上底，下底，高， ， ，即． 【变式1】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面积相等，列出关系式即可． 【详解】解：由题意这两个图形的面积相等， ∴． 【变式2】数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是________．（请填上正确的序号，可多选） 【答案】①②③ 【分析】通过分别计算三种拼法中拼接前、后阴影部分的面积，利用面积相等来验证平方差公式． 【详解】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积，右边图形中阴影部分的面积， 故可得：，可以验证平方差公式； 在图②中，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式； 在图③中，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积， 可得：（，可以验证平方差公式． 题型十八 因式分解的定义 解｜题｜技｜巧 将一个多项式化为几个整式乘积的形式，注意顺序为从左到右。 【典例1】下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、原式变形左边是整式乘法，结果是多项式，不是几个整式乘积的形式，不符合要求； B、左边是多项式，右边是两个整式的乘积，且变形正确，符合因式分解的定义； C、，右边中不是整式，不符合要求； D、，原式变形错误，不符合要求． 【变式1】若多项式可分解为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 通过展开因式分解形式并比较系数，求出和的值，再计算． 【详解】展开 ，与原多项式比较系数，得：，且 ， 解得：，， ∴； 故选：B． 【变式2】已知整式分解因式的结果为，则______． 【答案】16 【分析】本题考查了因式分解，将已知分解后的结果展开，对比原式对应项系数即可求得． 【详解】解：， 则， 即． 题型十九 公因式 解｜题｜技｜巧 多项式每一个单项式的公共部分，含相同的字母和系数。 【典例1】下列各组中的两个多项式，没有公因式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题考查多项式的公因式判断，通过因式分解检查各组是否有公因式即可． 【详解】解：A：∵，， ∴公因式为，故此选项不符合题意； B：∵，， ∴公因式为，故此选项不符合题意； C：∵，， ∴公因式为，故此选项不符合题意； D：∵，，且与无公因式， ∴没有公因式，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式1】把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为，据此可得答案，解答本题的关键要明确：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 【详解】解：， ∴多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：C． 【变式2】多项式，的公因式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的确定，因式分解 熟练掌握公因式的定义及因式分解是解题的关键．先因式分解两个多项式，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式． 【详解】解：， 多项式，的公因式是， 故答案为：． 题型二十 提公因式因式分解 解｜题｜技｜巧 直接提取公因式进行的因式分解，将公因式提取出来即可。 【典例1】分解因式：____________． 【答案】 【详解】解：． 【变式1】因式分解：______． 【答案】 【分析】根据提公因式法进行因式分解即可. 【详解】解：原式. 【变式2】已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________． 【答案】 【详解】解：原式， ，，， ∴． 题型二十一 平方差公式因式分解 解｜题｜技｜巧 利用平方差公式进行的因式分解。 【典例1】因式分解：___________． 【答案】 【分析】观察原式，可将原式变形为两个整式的平方差，符合平方差公式的结构特征，可利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 【变式1】因式分解：______． 【答案】 【详解】解： ． 【变式2】因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型二十二 完全平方公式因式分解 解｜题｜技｜巧 利用完全平方公式进行的因式分解。 【典例1】下列多项式中，能用完全平方公式进行分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据完全平方公式的结构，对各选项逐一判断即可． 【详解】A、，可用平方差公式分解，不符合完全平方公式； B、，符合完全平方公式的结构，能用完全平方公式分解； C、无法化为的形式，不能用完全平方公式分解； D、的常数项为负，无法化为的形式，不能用完全平方公式分解； 故选：B． 【变式1】分解因式：________． 【答案】 【详解】解：． 【变式2】已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 【答案】11 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二十 十字相乘法因式分解 解｜题｜技｜巧 利用多项式的乘法公式进行逆用因式分解。 【典例1】因式分解：______． 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴． 【变式1】因式分解：_____． 【答案】 【分析】此题主要考查因式分解．本题为二次三项式的因式分解，通过寻找两个数满足和为、积为，进而分解. 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，准确的计算是解决本题的关键． 运用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型二十一 综合运用提取公因式和公式法因式分解 解｜题｜技｜巧 灵活利用提取公因式和公式法进行因式分解。 【典例1】因式分解：__________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次因式分解即可. 【详解】解： 【变式1】分解因式：________． 【答案】 【详解】解： 【变式2】分解因式：____． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，即可求解． 【详解】解： ． 题型二十二 因式分解的实际应用 解｜题｜技｜巧 利用因式分解对多项式进行处理，可对代数式进行求值或其它求解。 【典例1】某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … … 明文 … 中 爱 国 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（ ） A．我爱中国 B．美丽中国 C．我爱美丽 D．中国美丽 【答案】A 【分析】先对密文用提取公因式法和平方差公式进行因式分解，再对应密码表得到明文即可． 【详解】解：， ， ， ∵8对应明文“我”， 对应明文“爱”， 对应明文“中”， 对应明文“国”， ∴组合后明文可为“我爱中国”． 【变式1】若，且，，则的值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】两式作差后，利用因式分解进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【变式2】2025年“湘超”联赛益阳赛场在边线旁为球员设置长方形临时休息区，如图该休息区的周长为14，面积为（a、b分别为休息区的长和宽，），则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，由题意可得，，则，整体代入所求式子计算即可得出结果，采用整体代入的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，将边长为的正方形剪出两个边长分别为，的正方形（阴影部分），观察图形，解答下列问题： (1)用两种方法表示阴影部分的面积，从中你可以得到等式__________； (2)运用你发现的结论，解决下列问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)； (2)①30；② 【分析】（1）根据图示，分别表示出阴影部分的面积即可求解； （2）①根据乘法公式的变形计算即可求解；②根据乘法公式的变形计算即可求解． 【详解】（1）解：阴影部分的面积可以表示为：，或者表示为， ∴； （2）解：① ，， ； ②设，，则，， ， 答：的值为． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，故选项A运算正确； B、，故选项B运算错误； C、，故选项C运算错误； D、，故选项D运算错误． 2．下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平方差公式的结构特征是两个多项式相乘，一项完全相同，另一项互为相反数，满足形式就能用平方差公式计算，据此判断各选项即可． 【详解】解：平方差公式为． A选项 ，两项都相同，不满足平方差结构，不能用平方差公式计算，不符合题意； B选项 ，两项都相同，不满足平方差结构，不能用平方差公式计算，不符合题意； C选项 中，相同项为，相反项为和，满足平方差公式结构，能用平方差公式计算，符合题意； D选项 ，两项都相同，不满足平方差结构，不能用平方差公式计算，不符合题意． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算括号内个相加的和，再根据幂的乘方法则计算最终结果． 【详解】解：． 4．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照运算顺序先计算积的乘方，再计算单项式乘法即可求解. 【详解】解： 5．分解因式：_____． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解． 【详解】解：． 6．计算：__________． 【答案】 【详解】解：． 7．分解因式：______． 【答案】 【详解】解：． 8．先分解因式，然后计算求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： 当，时，原式 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，A计算错误； B、，B计算错误； C、，C计算正确； D、，D计算错误． 2．代数式，当m是整数时，则P一定能被（    ）整除． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先利用完全平方公式化简代数式P，再根据m为整数的条件，判断P一定含有的因数，得到结果． 【详解】解： ， ∵是整数， 是整数， 一定是的倍数， 则P一定能被整除． 3．如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果，那么阴影部分的面积是（　  ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】由图可得阴影部分面积为，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【详解】解：根据题意可知， 代入，，得：． 4．若，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：8个相加，即，8个相乘，即， 则，即， ∴， ∴． 5．已知，则的值为（     ） A．40 B．20 C．10 D．9 【答案】D 【详解】解：设， 则， ∴， ∴ ，即． 6．计算： ____． 【答案】 【详解】解：原式 . 7．已知的结果中不含的一次项，则的值为________． 【答案】 【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则展开原式，合并同类项后，利用结果中不含的一次项即一次项的系数为，列方程求解即可． 【详解】解： ， 结果中不含的一次项， ， 解得． 8．我们学习的平方差公式不但可以使运算简便，也可以解决一些复杂的数学问题．尝试计算的个位数字是________． 【答案】6 【分析】原式乘以构造平方差公式，进而即可求解 【详解】解： ， 的个位数以2，4，8，6循环， 余0， 故个位为6． 9．规定，例如：．已知：，则_________． 【答案】10 【分析】根据题意列出方程，再根据完全平方公式化简，得出的值，即可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 10．若多项式是一个完全平方式，则的值是___________． 【答案】 【分析】根据在完全平方式中，两项是两个数或式的平方且符号相同，另一项是这两个数或式乘积的2倍，符号可正可负，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵多项式是完全平方式， ∴， ∴，即． 11．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，4 【分析】先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则将原式展开，再合并同类项，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 12．阅读下列式子的运算过程，回答问题．     第一步     第二步     第三步 (1)上述过程是从第几步开始出现错误的，并写出错误的原因； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)第一步，去括号时没有变号 (2)原式 【分析】（1）第一步，去括号时没有变号； （2）根据整式的运算法则计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 13．阅读：已知正整数，，，若对于同底数，不同指数的两个幂和（），当时，则有；若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有．根据上述材料，回答下列问题．[注：（2），（3）写出比较的具体过程] (1)比较大小：________，________．（填“”） (2)比较与的大小． (3)比较与的大小． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据定义比较即可． （2）先把与化成同指数，不同底数的两个幂比较即可． （3）利用作商法，即可比较和的大小． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴． （2）解：，，因，故． （3）解：，故． 14．在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题，比如，运用两数和的完全平方公式 ，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值，求出第三个代数式的值．例如：已知， ，求的值． 解：将两边同时平方，得，即． 因为，等量代换，得 ，所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知 ，则 ； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)11 【分析】（1）根据完全平方公式变形，再将，代入即可求解； （2）根据题意得出图中阴影部分的面积，再根据完全平方公式变形求出，即可求解． （3）设，表示出，根据计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：根据题意可得：图中阴影部分的面积． 根据题意，得， 即， ∵， ∴， 即， ∴图中阴影部分的面积． （3）解：设， 则， ， ， ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．若实数，，满足，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题通过两个方程相加消去参数，再对整理后的式子配方，利用平方数的非负性求出，的值，代入求后计算即可． 【详解】解：令为①，为②， ①+②消去得：， 变形配方得：， ∵平方数为非负数，两个非负数的和为，则每个平方都为， ∴， 解得， 把，代入①得：， 解得， ∴． 2．观察各式：；；；…根据以上规律计算：的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题干给出的式子总结规律，将所求式子变形后匹配规律计算，根据题干规律得，变形所求式子后代入公式计算即可． 【详解】解： ； ； ； ……， 由此可得， 当时，， ∴， ∴， ∴ ． 3．如图是一道例题的部分解答过程，其中A，B是两个关于x，y的二项式． 请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： (1)多项式A为________；多项式B为________，例题的计算结果C为________； (2)当，时，求代数式“”的值． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】（1）分别将提取y，将提取即可得到A、B，将合并同类项即可得到C； （2）先计算的值，再将，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵运算顺序从左到右，逐个去掉括号， ∴，， ∴，， ； （2）解： ． 4．对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“⊗”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，， （1）计算：_____； （2）若不含项，则_____． 【答案】 14 15 【分析】（1）按照新定义的运算顺序直接计算即可； （2）先推导的一般形式，再根据新定义求出，利用不含项得到项系数为0，结合正整数性质求解． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴当时，； 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴ ， ∵不含项， ∴， ∴， 设，，则， ∴， ∴， ∵均为的整数幂，为偶数， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．已知： （1）； （2）； （3）；猜想规律如下： （其中为正整数，且）． 利用上面猜想的结论计算：_____________． 【答案】 【分析】将所求式子变形为，根据题目材料设，，，得到，再代入变形式子计算即可． 【详解】解： ∵，设，，， ∴ ， ， ∴， ∴． 6．数学活动课上，小明发现了一个有趣的几何图案：如图1所示，有一个边长为x的大正方形，在其内部依次嵌套着边长为y和z的两个小正方形．三个正方形的中心重合，且对应边平行．若大正方形与中间正方形的面积差记为，中间正方形与最小正方形的面积差为． (1)问题探究 设，，，，用a，b表示，用c，d表示； (2)如图2，已知，，求阴影部分（大正方形减去最小正方形）的面积； (3)若，且， ①求的值； ②在①的条件下，若，求 ． 【答案】(1)， (2)240 (3)①21；②1 【分析】（1）利用平方差公式求解； （2）利用平方差公式求解； （3）①首先将利用完全平方公式展开，然后代入求解即可； ②首先将利用完全平方公式展开，然后代入，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴阴影部分； （3）解：①∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ②由①得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴． 7．在数学活动中，数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助我们理解代数问题． ①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到代数恒等式； ②如图2，用长为、宽为的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可得到另一个代数恒等式． 基于上述内容，解决以下问题： (1)若，，求的值； (2)若，求的值； (3)如图3，在航空航天国防科普展中，面积为平方米的长方形展厅中设置两个长方形展区（和），中间重合部分搭建长方形互动体验，米，米，阴影部分为参观区域，参观区域总周长为米，求展厅的长比宽多多少米？ 【答案】(1) (2) (3)展厅的长比宽多米 【分析】（1）利用进行计算即可； （2）设，，则，，利用进行计算即可； （3）设米，米，则米，米，由参观区域的周长可得，由矩形的面积可得．利用题干的公式可计算出，结合可得． 【详解】（1）解：由题意可知，； （2）解：设，， ∴，， ∴； （3）解：设米，米， ∵米， 又∵米， ∴米， 同理，米， ∵参观区域总周长为米， ∴， ∴， 化简，得， ∵长方形展厅为平方米， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：展厅的长比宽多米． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $