内蒙古赤峰二中2025-2026学年高一年级下学期第二次月考数学试题

赤峰二中高一年级下学期第二次月考数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.2+2+2=（) A.1 B.2 C.5 D.5 2.设a是空间中的一个平面，l,m,n是两两不重合的三条直线，则下列命题中，真命题的是 () A.若mca,nca,l1m,l⊥n,则1⊥a B.若11a,1⊥m则m/a C.若/m,m⊥a,n⊥a,则I⊥n D.若/m,m/n,1⊥a,则n1a 3.已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则1a2-1b2=（) A.-2 B.-1 C.0 D.1 4.已知fx)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，fx)=5-2x, 则-到 () A. c. 0.2 1 5.已知a,Be0,sina-cos(a+)=，则sinp=() 4 5 A.c5 B号 c.号 0. 65 6.已知圆台的上底面半径为1，母线长为4，表面积为26n,则该圆台的高为（) A.3 B.10 C.23 D.25 7.一个正六棱柱的底面边长为 侧棱长为√，其所有顶点都在一个球面上，则此球的体 积为() A.12n B.43m c.45n D.4n 3 8.已知函数)=Asn(ux+A>0,w>0,k号的部分图象如图所示，则下列结论中 错误的是（) A.W=sn2x+号 试卷第1页，共3页 B.点P0是函数W的图象的对称中心 C.函数f(x)在区间 ·上是增函数 3'4 D.将函数化)的图象向右（阳>0）个单位后所得的函数为偶函数，则的最小值为号 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多个选项是符合题求的，全部选对的得6分，有选错的得0分) 9.用一个平面去截正方体，得到的截面图形可以是三角形，四边形，，若得到的截面 图形是四边形，那么这个截面四边形可能是（) A.平行四边形 B.菱形 C.梯形 D.对边都不平行的四边形 10.在△ABC中，AB=2,AC=3,∠BAC=60°，则（) A.BA·AC=3 B.BC边上的中线长 2 C.Bc边上的角平分线长 5 D.△ABC外接圆的面积为28 11.如图，已知圆锥的底面直径AB=2,母线VA=3,则下列说法正确的有（) B A.圆锥的体积为22， 3 n B.圆锥的侧面积为2n C.圆维展开图中圆心角为号 D.若VC=1,一只蚂蚁沿着表面从A爬到C,则最短距离为7 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.已知正方形ABCD的边长为2，点E为CD中点，则EA·EB=一 13.中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子提出介于两个平行平面之间的两 个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何 体的体积相等.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何 体如图所示，则该不规则几何体的体积为 试卷第1页，共3页 14.在圆的内接四边形ABCD中，已知AB=2,AD=4,∠A=,则四边形ABCD的面 31 积的最大值是 0 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15.（13分)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,3),x∈[0，m]. (1)若a/b,求x的值； (2)记fx)=.b,求函数y=x)的最大值和最小值及对应的x的值. 16.（15分)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=25且 cosC +(cosB-3sinB)cosA =0. (1)求角A的大小； (2)若b=22,求△ABC的面积； (3)求b-c的取值范围. 17.(15分)已知函数f(x)=ax2-(a+2)x+2,a∈R, (1)当a≥0时，求关于不等式f代x)≤0的解集 ②当a=1时，若对在意x>1,不等式队牛≥2K+k恒成立，求实致k的取值范国 试卷第1页，共3页 (3)若对任意a∈[-1,1]，f(x)>2恒成立，则实数x的取值范围 18.（17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°， AD=AC=1,0为AC中点，P01平面ABCD,P0=2,M为PD中点. M B A (1)证明：PB/平面ACM; (2)证明：AD⊥平面PAC; (3)求直线AM与直线PO所成角的余弦值. 19.(17分)已知函数y=f(x),若存在实数P,q(p≠0)，使得对于定义域内的任意实数x, 均有p·f(x)=fx+q+f(x-q)成立，则称函数f(x)为“可平衡”函数；有序数对(P,q)称为函数 fx)的“平衡”数对 (1)若f(x)=x2+1,求函数f(x)的“平衡”数对； (2)若p=5,判断f(x)=cosx是否为“可平衡”函数，并说明理由； ③若BeR,且即，引b,引的为函数=co<s副的平街"数对，求知+可 的取值范围. 试卷第1页，共3页 《赤峰二中高一年级下学期第二次月考数学试题》参考答案 题号 2 4 6 6 7 6 10 答案 C D N A B C ◇ C ABC BC 题号 11 答案 ACD 1.C 【分析】由题意首先化简2+卫+23，然后计算其模即可. 【详解】由题意可得2+2+23=2-1-2i=1-2i, 则2+2+2|=11-2i=12+(-22=5. 故选：C 2.D 【分析】利用线面垂直判定定理可判断A；结合线面垂直与线线垂直的性质分析可判断B; 由线面垂直性质可判断C、D. 【详解】对于A,由mca,nca,I1m,l1n,只有直线m与n相交时，可得11a,故 A错误； 对于B,由11a,l1m,知m/a或mca,故B错误； 对于C,由/m,m1a,n1a,则/n,故C错误； 对于D,由/m,l1a,可得m1a,又因为m/n,所以n1a,故D正确 故选：D. 3.B 【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答 【详解】向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1), 所以a12-|b2=(a+b)(a-b)=2×(-2)+3×1=-1. 故选：B 4.A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为[2,3]的范围中求解 【详解】由题知f(x)=f(-x),f(x+2)=f(x)对一切x∈R成立， 答案第1页，共2页 于是0-景=绿=以)=5-2x=-安 故选：A 5.B 【详解】因为aB∈》 所以cosa=-sina=3 可知0<a+B<n,由0s(a+)-名，可知0<a+B< 5 2 所以sina+p)=J-eoa+p=号， 所以sinp=sinl[a+p)-a】=sin(a+p)cosa-osla+B)sina=各xg-点x4=l5 13X5-13×5=65 6.c 【分析】利用圆台的表面积公式求出该圆台的下底面半径，即可得出该圆台的高. 【详解】设圆台的下底面半径为「，则该圆台的表面积为 S=n×12+n×r2+m(1+r)x4=26m, 整理可得r2+4r-21=0,因为r>0,解得r=3 故该圆台的高为h=42-(-12=42-22=25. 7.B 【分析】作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，设正六棱柱的上下底面中心分别为0,0， 球心为O,一个顶点为A,可根据题中数据结合勾股定理算出球的半径OA,再用球的体积 公式即可得到外接球的体积. 【详解】作出六棱柱的最大对角面与外接球的截面，如下图， 0 则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边， 设球心为0，正六棱柱的上下底面中心分别为0,02， 则球心0是0,0，的中点， 由正六棱柱底面边长为 ,侧棱长为√， 2 答案第1页，共2页 所以△A0,0中，A0,=00= 2 可得A0=AO+0,02=3, 因此，该球的体积为V=n·(同=45n 8.C 【分析】利用函数图象先求(x),再利用三角函数的性质逐项验证即可求解。 【详解1由图可知：A=1-号-晋-景所以T=, 所以w=9=积=2，所以)=sn2x+以.又倍=snx受+=0， 所以陪+甲=kk∈Z,所以p-k-君k∈Z,又-分 <φ< 当k=19=n-2g=君所以W=sn2x+号局副 故A正确， 又司-个-周-0-0，故B正镜： 令2k-受≤2x+君≤号+2kkeZ,解得km-号≤×≤君+kk∈Z, 所以似在单调选增，在单调递减， 故C错误； 由k-)=n2k-+周-nx+g-29 函数fx)的图象向右（日>0）个单位后所得的函数为偶函数 所以g-20=号+kk∈Z,所以阳-君经k∈Z,当k=-1时，日-分故D正确 Γ62 9.ABC 【分析】画出正方体的相关截面判断A、B、C,结合平面的基本性质判断D. 【详解】如下图，正方体ABCD-EFGH中I,K,L均为中点， H G K E B 所以四边形BH为平行四边形，也是菱形，四边形ACLK为梯形，A、B、C对； 用任意平面截正方体，所得截面为四边形，必有一对边在一对平行的侧面上， 所以四边形必有一对边平行，D错. 答案第1页，共2页 故选：ABC 10.BC 【分析】对于A:根据向量的数量积求解即可；对于B:根向量加法的平行四边形法则、 向量数量积的运算律及向量的模求解即可；对于C:根据三角形面积关系及三角形面积公式 求解即可；对于D:根据正余弦定理求解即可 【详解】选项A:向量BA与AC的夹角为I80°-∠BAC=120, 所t以BAAC=BA,Ac120=2X3X -3,A错误 2 选项B:设BC中点为D,则AD=AB+AC,则 1 kd-月Ae-ga+ 22+2x2x3xc0s60°+3)= 2 故BC边上的中线长9，B正确， 选项C:设角A的角平分线交BC于E,利用面积关系S。ABE十S。AGE=S。ABC: 1 即2AB:AE.sin30+2AC-AE.sin30=2AB-AC-sin60°， 也即2x2xAE×2+x3xAEX-x2x3x， 解得AE= 5 ,C正确！ 选项D:由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABAC-c0S60°=22+32-2X2X3×=7,即 BC=7, 设△ABC外接圆半径为R,由正弦定理2R= BC sinzBAC 2四，则R= 3 3 3 所以△ABC外接圆的面积S=nR=1 21 n 3 ,D错误 11.ACD 【分析】根据题意，求出圆锥的底面半径r母线长/和高h,利用圆锥体积公式及侧面积 公式可判断A、B;利用弧长公式求出侧面展开图中圆心角判断C;把侧面沿VA展开，利 用余弦定理计算AC即可判断D. 【详解】选项A:由题意可知，圆锥底面半径r=9=1,母线长1=VA=3, 2 答案第1页，共2页 则图锥的高n=厅=25，所以圆锥的体现V=h=xPx2反=2故A 正确； 选项B:圆锥的侧面积S=rl=n×1×3=3n,故B错误； 选项C:圆锥底面周长为C=2mr=2n,设侧面展开图的圆心角为α， 则a1=2n,即30=2，解得a=号，故C正确： 选项D:将圆锥侧面沿母线VA展开，如图所示， B 最短距离为AC, 因为AB为底面直径，所以点B为弧A的中点，则上AVB=AY4=×号=号， 2 23 在△AVC中，VA=3,VC=1,AVC= 由余弦定理得AC2=VA2+VC2-2VA-VCcoszAVC=32+12-2X3X1Xco 3 解得AC=7,即最短距离为√7，故D正确·. 12.3 【详解】在边长为2的正方形ABCD,点E为CD中点，EA=ED+DA,EB=EC+CB, 所以EAEB=(ED+DA)·(EC+CB)=-ED+DA=-1+22=3 13.7 【分析】利用台体的体积公式求正四棱台的体积，再根据祖暅原理即可得结果. 【详解】由题意可知：正四棱台的体积为V=×2+2+P×2网列x3=7, 根据祖暅原理可知该不规则几何体的体积为7. 故答案为：7. 14.95 【分析】应用正余弦定理求得BD=27、△ABD外接圆的半径r=2 7-3 再由四边形ABCD 的面积最大，只需△BCD的面积最大，结合SAo=SABo+SB即可求. 答案第1页，共2页 【详解】由题设BD2=AB2+AD2-2AB·AD·c0sA=4+16+8=28,即BD=27(负 数舍去)， 又△ABD外接圆的半径r= BD 7 2sinA 要使四边形ABCD的面积最大，只需△BCD的面积最大， 由O到BD的距离d= 则△BCD中BD边上的最大高为 d+r=3 所以最大SABD=SABD十SABCD= AB.AD.sinA+BD5. 15. 【详解】(1)由向量a=(cosx,sinx),b=(35),x∈0，. 因为a/b,所以5cosx=3sinx, 解得tanx= 3 -4分 又因为x∈0，所以x=君 --6分 (2)()=3cox+sinx =2sin(x), --8分 图为xeD.所以x+号e目 -9分 当x+号=2时，即x=君时，fw=25 ---11分 当x+号=智时，即x=n时，fm=-3 -13分 16. 【详解】（1)cosC=cos(n-A-B)=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB,2分 cosAcosB-3cosAsinB =-cosC cosAcosB-sinAsinB, 即J5 A=sinAsinB,又Beb, 故sinB≠0， -4分 3cosA=snA,即anA=月，又Aep引，故A=号 -5分 (2)由余弦定理a2=b2+c2-2bcc0sA,可得12=8+c2-22c,-6分 即c2-22c-4=0,解得c=√2+√6（负值舍去)，-----8分 故s,e=2 bcsinA=2x2反x反+同x9-3+5; --------10分 c=25 (3)由正孩定理可得品=品B品 b --11分 sing 答案第1页，共2页 则b=4sinB,c=4sinC, b-c =4sinB-4sinC 4sinB-4sin(n-A-B)=4sinB-4sin + -4ainB-23cosB-2sinB-2sinB-23cosB-4imB -13分 0<B<号 -----14分 3 则snb-副e即o-e=4snlB-到引e(22) -15分 17 【详解】（1)因为ax2-(a+2)x+2≤0，(x-1)(ax-2)≤0.-1分 ①当a=0时，不等式为-2(x-1)≤0，解集为{x|x≥1；-------2分 @当0<a<2时，名>1，不等式可化为仪-1)x-月≤0，解集为1≤x≤名：3分 2 ③当a=2时，名=1，不等式可化为2x-1)2≤0，解集为x1×=1片-4分 a ④当a>2时， <1，不等式可化为-1)x-弓≤0，解集为x1匠≤x≤1，-5分 a 综上，当a=0时，解集为x|×≥1；当0<a<2时，解集为x1≤×≤2；当a=2 时，解集为x×=1小；当a>2时，解集为(x≤×≤1).-----6分 (2)当a=1时，f(x=x2-3x+2, 知不等式≥2张+长对任意×>1恒成立，只需1码)之2水+k,-8 min 分 因为-3起=-=收-1)+1，且x>1, -1 x-1 所以2的=-)+女片-1≥2--1=1,10分 x-1 当且仅当X-1=X即×=2时，等号成立，-11分 所以2k2+k≤1，(k+1)(2k-1)≤0， 故实数k的取值范围为-1，】- -12分 (3)设g(a)=ax2-(a+2)x+2,则若对任意a∈[-1,1]，g(a)>2恒成立，13分 职2·解得xe10- -15分 答案第1页，共2页 18. 【详解】(1)连接BD,OM,因为底面ABCD为平行四边形， O为AC中点，故BD与AC相交于O, 因为M为PD的中点，则OM//PB, --2分 因为OMC平面ACM,PB丈平面ACM, --4分 所以PB/平面ACM. -5分 M D B (2)因为∠ADC=45°，AD=AC=1, 由余弦定理得coszADC= AD2+CD2-AC2 2AD-CD -6分 即c0s450=1+cD2-1 2CD, 解得CD=反， -7分 因为AD2+AC2=CD2,所以AD1AC, -8分 因为P0⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以P0⊥AD,--9分 因为AC,POc平面PAC,且AC交P0于O, -10分 所以AD1平面PAC.----------11分 (3)取OD的中点N,连接MN,AN,则MN/OP, -12分 M B 因为PO⊥平面ABCD,所以MN⊥平面ABCD, 则∠NMA为直线AM与PO所成角， 14分 其中P0=2,故MN=oP=1, 答案第1页，共2页 因为AD1AC,A0=2AC= 由勾股定理得0D=AD2+A02= 2 4’ ---14分 由勾股定理得AM=N+MN=互，所以cOs∠NMA= AN 1 AM 21 -421 -16分 21 4 即直线AM与直线P0所成角的余弦值为42四 21 -17分 19. 【详解】（1)因为f(x)=x2+1为“可平衡”函数， 所以对于任意实数x,均有p(x2+1)=(x+q2+1+(x-q2+1成立， 即(p-2)x2+p-2q2-2=0对于定义域内的任意实数x恒成立， 故只有p=2,q=0符合题意，所以函数fx)的“平衡”数对为(2,0).- -5分 (2)p=,p.f(x)=3cosx,f(x+q)f(x-q)cos(x+q)+cos(x-q)2cosxcosq, 若fx)=cosx是“可平衡”函数，则5cosx=2 cosxcosq, 所以09=夏。解得q=号+2m,k∈Z, 所以q存在，所以f(x)=cosx是“可平衡”函数. 11分 3p,o=oel++easf-到=2 n p.c=ok4+eas-哥-l 因为0<x≤ 所以p1=2tanx,P,=。 sx=1+tan'x, p:+p2=4tan'x +(1+tan'x)2=5tan'x 2tanx +1, 令t=anx,则1∈引p时+p时=5f+2+1在b引单调递始， 所以p?+p 17分 答案第1页，共2页