精品解析：内蒙古巴彦淖尔市第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

巴彦淖尔市第一中学2024-2025学年第二学期5月月考 高一年级数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 设复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 某学校高一年级选择“物化生”、“物化地”、“物化政”和“史政地”组合的同学人数分别为240、120、90和150．现采用分层抽样的方法选出40位同学进行一项调查研究，则“史政地”组合中选出的同学人数为（ ） A. 16 B. 10 C. 8 D. 6 4. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为异面直线，，则不垂直于 5. 跳水比赛中共有名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到 个有效评分，则与个原始评分（不全相同）相比，一定不改变的是（    ） A. 中位数 B. 平均数 C. 极差 D. 方差 6. 如图，圆锥的轴截面是正三角形，为底面圆的圆心，为的中点，点在底面圆的圆周上，且是等腰直角三角形，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 某同学8次考试的数学成绩分别为94，89，90，92，87，93，96，85，则这组成绩的分位数为（ ） A. 88 B. 93 C. 94 D. 93.5 8. 如下图，在三棱锥中，点，分别为棱，的中点， 为线段上的点，若，且满足平面，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，正方体的棱长为1，O为BD的中点，直线与平面D交于点M，则下列结论正确的是（ ） A. ，M，O三点共线 B. 平面平面 C. 点到平面的距离为 D. 二面角的余弦值为 10. 据网络平台最新数据，截止到2025年4月20日14时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超149．81亿元，成为首部进入全球票房榜前六．登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取10000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. B. 观众年龄的众数估计为35 C. 观众年龄的平均数估计为30.2 D. 观众年龄的第70百分位数估计为38 11. 在棱长为1的正方体中，点M在线段上运动（包含端点），则（ ） A. 直线平面 B. 正方体外接球的表面积为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 直线AM与平面的夹角可能为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________. 13. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形， 平面，若P，A，B，C四点都在表面积为的球的球面上，则三棱锥的体积为______． 14. 如图，在四边形ABCD中，，，，且，，则实数的值为____________，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）点在边上，且，求的周长． 16. 如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 17. 为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示： 分组（单位：岁） 频数 频率 5 0.05 ① 0.20 35 ② 30 0.30 10 0.10 总计 100 1.00 （1）频率分布表中的①②位置应填什么数据？ （2）补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数； （3）现用比例分配的分层随机抽样从、、的样本中共抽取n名志愿者，已知从中抽取了2人，求n的值． 18. 如图，四棱锥 的底面是边长为的正方形，. （1）证明：平面 平面； （2）若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值. 19. 如图1，设半圆的半径为2，点B，C三等分半圆，P，M，N分别是OA，OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题. （1）求证：平面平面ABC. （2）求四面体ACMN的体积. （3）若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点E，使得平面ABC？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴彦淖尔市第一中学2024-2025学年第二学期5月月考 高一年级数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 设复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法运算求解即可. 【详解】由，可得， 故选 ：A 2. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式. 【详解】如下图所示： 由题意得 . 故选：C. 3. 某学校高一年级选择“物化生”、“物化地”、“物化政”和“史政地”组合的同学人数分别为240、120、90和150．现采用分层抽样的方法选出40位同学进行一项调查研究，则“史政地”组合中选出的同学人数为（ ） A. 16 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义结合题意求解即可. 【详解】由题意得，“史政地”组合中选出的同学人数为. 故选：B 4. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若为异面直线，，则不垂直于 【答案】D 【解析】 【分析】由平面平行的判定定理可判断A错误，由线面垂直性质可判断B错误，利用面面垂直的性质定理可判断C错误；由反证法可得D正确. 【详解】对于A，由平面平行的判定定理易知当两个平面内的两条直线平行时，不能得出两平面平行，即A错误； 对于B，若，则可得或，故B错误； 对于C，由面面垂直的性质知，两个平面垂直时，仅当直线在一个平面内且与交线垂直时才能确保直线与另一个平面垂直， 而C中直线与平面的关系不确定，故与不一定垂直，故C错误； 对于D，若，由条件易得，与二者异面矛盾，故D正确． 故选：D． 5. 跳水比赛中共有名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到个有效评分，则与个原始评分（不全相同）相比，一定不改变的是（    ） A. 中位数 B. 平均数 C. 极差 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、极差的定义，分析可得答案． 【详解】对于A：7个数据从小到大排列，第4个数为中位数，当首、末两端的数字去掉，中间的数字依然不变，故5个有效评分与7个原始评分相比，中位数一定不变，故A正确； 对于B，平均数可能变大、变小或不变，B错误； 对于C：当首、末两端的数字去掉后，极差可能会变小，C错误； 对于D：方差体现数据的偏离程度，因为数据不完全相同，当去掉一个最高分、一个最低分，一定使得数据偏离程度变小，即方差变小，故D错误. 故选：A 6. 如图，圆锥的轴截面是正三角形，为底面圆的圆心， 为的中点，点在底面圆的圆周上，且是等腰直角三角形，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作中点，则直线与所成角为，由几何关系求出三边长，结合余弦定理得解. 【详解】如图，作中点，连接，因为 为的中点，为中点， 所以，则线与所成角等价于与所成角，设， 则，，，，， 则， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：C 7. 某同学8次考试的数学成绩分别为94，89，90，92，87，93，96，85，则这组成绩的分位数为（ ） A. 88 B. 93 C. 94 D. 93.5 【答案】D 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，再由百分位数计算规则计算可得. 【详解】将成绩从小到大重新排列为85，87，89，90，92，93，94，96， 又，故这组成绩的分位数为. 故选：D. 8. 如下图，在三棱锥中，点 ，分别为棱，的中点，为线段上的点，若，且满足平面，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用线面平行的性质定理证得，从而利用三角形的重心求得，由此得解. 【详解】连接，交于，连接 ，如图， 平面，平面平面， 平面，， 点 ，分别为棱，的中点．是的重心， ，又，则. 故选：A. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，正方体的棱长为1，O为BD的中点，直线与平面D交于点M，则下列结论正确的是（ ） A. ，M，O三点共线 B. 平面平面 C. 点到平面的距离为 D. 二面角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图示可得三点，，在平面与平面的交线上，可判断A；利用线面垂直与面面垂直的判定与性质定理可判断B；利用等体积法，可判断C；由二面角为且，结合诱导公式及二倍角正切公式求正切值，进而求二面角的余弦值.可判断D. 【详解】对于A，如图所示， 因为，平面，所以平面. 因为，平面，所以平面， 所以是平面和平面的公共点； 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， 所以三点，，在平面与平面的交线上， 即，，三点共线，故A正确； 对于B，在正方体中，平面， 平面，所以，又， 平面， 所以平面，又 平面， 所以，同理， 又，平面，所以 平面， 平面，所以平面平面，故B正确； 对于C，由B分析知道 平面，则点到平面的距离为 . 设点C到平面的距离为， 由可得，， 又正方体的棱长为1，所以正三角形的边长为， 所以， 所以，则，故C错误. 对于D，如下图， 若为 交点，则二面角为， 又，且， 所以 ， 故，故D正确. 故选：ABD. 10. 据网络平台最新数据，截止到2025年4月20日14时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超149．81亿元，成为首部进入全球票房榜前六．登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取10000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. B. 观众年龄的众数估计为35 C. 观众年龄的平均数估计为30.2 D. 观众年龄的第70百分位数估计为38 【答案】BD 【解析】 【分析】根据频率之和为1求判断A；根据众数定义判断B，根据频率直方图求平均值判断C，根据百分位数的求法判断D. 【详解】由题意知，解得，故A错误； 观众年龄的众数估计是，故B正确； 估计这10000名观众年龄的平均数为，故C错误； 前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 故第70百分位数位于第4组，设其为， 则，解得， 即第70百分位数为38，故D正确． 故选：BD 11. 在棱长为1的正方体中，点M在线段上运动（包含端点），则（ ） A. 直线平面 B. 正方体外接球的表面积为 C. 三棱锥的体积为定值 D. 直线AM与平面的夹角可能为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：分析可知，进而可知不相互垂直，即可得判断；对于B：分析可知为正方体外接球的直径，进而可求表面积；对于C：可证∥平面 ，根据平行的性质结合锥体的体积分析判断；对于D：取点M与点C重合，结合线面夹角的定义分析判断. 【详解】对于选项A：连接， 因为 平面，平面，则， 在中，可知不相互垂直， 且∥，则不相互垂直， 所以直线与平面不垂直，故A错误； 对于选项B：由题意可得：为正方体外接球的直径，且， 所以正方体外接球的表面积为，故B正确； 对于选项C：因为∥，且， 可知为平行四边形，则 ∥， 且平面 ，平面 ，可得∥平面 ， 且点M在线段上运动，可知点M到平面 的距离为定值， 即三棱锥的高为定值，且的面积为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于选项D：例如点M与点C重合， 因为平面，可知直线AM与平面的夹角为 ， 且为正方形，可知， 所以直线AM与平面的夹角可能为，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：对于AD：直接说明比较复杂，可以通过举例说明即可. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________. 【答案】 【解析】 【详解】由正弦定理，得，结合 可得，则. 【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 13. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形， 平面，若P，A，B，C四点都在表面积为的球的球面上，则三棱锥的体积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意确定三棱锥外接球球心位置，根据外接球表面积求得外接球半径，即可求得PA的长，利用三棱锥体积公式即可求得答案. 【详解】设为正的中心，M为的中点， 过点作平面的垂线l，由于 平面，故， 在确定的平面内作，垂足为O，则四边形为矩形， 连接，则， 故，则O即为三棱锥外接球的球心， 因为P，A，B，C四点都在表面积为的球的球面上， 设外接球半径为R，故， 是边长为2的等边三角形，故, 故， 所以三棱锥的体积， 故答案为： 14. 如图，在四边形ABCD中，，，，且，，则实数 的值为____________，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得 的值，建立平面直角坐标系，设点，则点（其中 ），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值. 【详解】因为，所以 ， 又，所以， 所以， 因为，， 所以， 解得， 以点 为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 因为，所以点的坐标为， 因为，所以点的坐标为， 又,则， 设，则（其中 ）， ，， ， 所以，当时，取得最小值. 故答案为：；. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）点 在边上，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合诱导公式计算得出，最后结合角的范围求解； （2）应用余弦定理得出，，即可求解. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以，所以． 【小问2详解】 在中，，解得， 在中，，所以， 所以周长． 16. 如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）根据给定条件，结合直三棱柱的结构特征证得平面平面，再利用点不对劲平面距离定义，结合面面垂直的性质求解. 【小问1详解】 在直三棱柱中，连接， 由，四边形是矩形，得是的中点，而点D是棱的中点， 则，又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 依题意，，点D是棱的中点，得， 由平面，平面，得， 而平面，则平面， 又平面，因此平面平面，且平面平面， 在平面内过点作于，则平面， 即长是点到平面的距离，在中，， ，因此， 所以点到平面的距离为. 17. 为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示： 分组（单位：岁） 频数 频率 5 0.05 ① 0.20 35 ② 30 0.30 10 0.10 总计 100 1.00 （1）频率分布表中的①②位置应填什么数据？ （2）补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在岁的人数； （3）现用比例分配的分层随机抽样从、、的样本中共抽取n名志愿者，已知从中抽取了2人，求n的值． 【答案】（1）①应填 ，②应填； （2）直方图见解析，人数为175； （3）15 【解析】 【分析】（1）结合抽取的总人数，结合表格中数据，计算出结果； （2）计算出区间的频率/组距，绘制直方图，并利用年龄在岁的频率得到答案； （3）计算出三个区间的比例，从而计算出从、中分别抽取的人数，得到答案. 【小问1详解】 ①应填，②应填； 【小问2详解】 区间的频率为0.20，故频率/组距为， 故补全频率分布直方图，如下： 这500名志愿者中年龄在岁的人数为； 【小问3详解】 、、的人数比例为， 从中抽取了2人，故从、中分别抽取了7人和6人， 故. 18. 如图，四棱锥 的底面是边长为的正方形，. （1）证明：平面 平面； （2）若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设，连接，即可证明、，从而得到平面，即可得证； （2）过点作交于点，即可证明平面，则即为与平面所成的角，即可求出，过点作 交于点，连接，即可证明 平面，从而得到即为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 设，连接，因为为正方形，所以且为的中点， 又，所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面 平面. 【小问2详解】 在平面中过点作交于点， 因为平面，又平面， 所以， 又， 平面，所以平面， 所以即为与平面所成的角，即， 又，所以， 过点作 交于点，连接， 又平面， 平面，所以， 又，平面，所以 平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 又，所以 因为为正方形，所以，则， 所以，即，解得， 又平面，平面，所以， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 19. 如图1，设半圆的半径为2，点B，C三等分半圆，P，M，N分别是OA，OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题. （1）求证：平面平面ABC. （2）求四面体ACMN的体积. （3）若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点E，使得平面ABC？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由 【答案】（1）证明见解析 （2）. （3）存在，，证明见解析 【解析】 【分析】（1）易证 平面ABC，平面ABC，再利用面面平行的判定定理证明； （2）由求解； （3）取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF，得到，，取CB的四等分点G，使，得到，，从而四边形DFGE是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明. 【小问1详解】 证明：因为M，N分别是OB，OC的中点，所以， 又 平面ABC， 平面ABC， 所以 平面ABC，同理得平面ABC， 又平面PMN，平面PMN，， 所以平面平面ABC. 【小问2详解】 如图所示： 设圆锥的底面圆半径为r，则，解得. 所以在图中，B，C为圆锥的底面圆周的三等分点， 所以为等边三角形，所以，所以. ，圆锥的高， 所以， 所以， 即四面体ACMN的体积为. 【小问3详解】 如图所示： 在线段OB上存在点E，且，使得平面ABC， 理由如下： 取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF， 所以，. 取CB的四等分点G，使，连接GE，FG. 因为，所以，， 所以，，所以四边形DFGE是平行四边形， 所以，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $