四川眉山市丹棱中学校2025-2026学年高一下学期六月份月考数学试卷

**基本信息** 立足高二下学期知识，以数学文化（棣莫佛定理、奔驰定理）和生活情境（太阳能电池板、雷达站救援）为载体，通过分层设问考查空间观念、运算能力与推理意识，适配月考诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、解三角形、圆台侧面积|基础概念辨析，如第3题结合截面求圆台侧面积| |多选题|3/18|三角函数图像、棣莫佛定理|选项分层，如第10题辨析复数乘方运算| |填空题|3/15|斜二测直观图、奔驰定理|融入数学文化，如第14题用奔驰定理求角余弦| |解答题|5/77|向量运算、立体几何证明|情境化与综合，如第16题雷达站救援考查建模，第18题四棱锥问题融合线面垂直与距离计算|

四川省丹棱中学校高2025级下学期六月份月考试题 数 学 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数的虚部为（     ） A．8 B． C．6 D． 2．中，已知，则边为（     ） A． B． C．或 D． 3．已知圆台的上、下底面中心分别为，，过直线的截面是上、下底边边长分别为2和4，且高为的等腰梯形，则该圆台的侧面积为（ ） A． B． C． D． 4．函数的图象可看成是把函数的图象做以下平移得到（ ） A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移 5．在中，若，，，则解的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 6．在平行四边形中，点为对角线上靠近点的三等分点，连结并延长交于，则（     ） A． B． C． D． 7．设、是两条不同的直线，、、是三个不同平面．下列命题中正确的命题是（　　） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 8．如图，水平地面上有一正六边形地块，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板.若其中三根柱子，，的高度依次为，则另外三根柱子的高度之和为（     ） A．47m B．48m C．49m D．50m 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．函数的部分图象，则（     ） A．是函数的一条对称轴 B．的最小正周期为 C．若，则 D．将函数的图象向右平移个单位后，得到的函数为奇函数 10．已知为虚数单位，若，，…，，则.特别地，如果，那么，这就是法国数学家棣莫佛创立的棣莫佛定理.根据上述公式，可判断下列命题错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 11．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2），则（    ） A．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满 B．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 C．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P D．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．有一个多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），，，，则原多边形面积为________． 13．若，则__________. 14．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内任一点，，，的面积分别为，，， 都有 ，在中， I为的内心，若， 则角C的余弦值为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．已知向量． (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 16．海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为. (1)救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？ (2)求之间的距离，并判断若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援（说明理由）？ 17．如图，一块棱长为2正方体形木料，F是的中点. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)若点是的中点，证明：直线三条直线交于一点. 18．如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，，是侧棱的中点. (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成的角； (3)求直线到平面的距离. 19．如图，在四棱锥中，，，，平面底面，，和分别是和的中点.求证： （1）底面； （2）平面； （3）平面平面. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2025级下学期六月份月考试题 数 学》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C C C C D A 题号 9 10 11 答案 BC BCD AC 1．A 【分析】先根据复数的乘法运算计算出复数，然后根据虚部的定义得出结果. 【详解】，所以该复数的虚部为8. 2．B 【分析】根据余弦定理解三角形即可. 【详解】在中，由余弦定理得，， 所以. 故选：C 3．C 【分析】先根据题意求得母线长，利用侧面积公式计算可求出答案． 【详解】由题意，圆台的上下底面半径分别为1和2，且截面等腰梯形的腰是该圆台的母线， 则母线长=2， 则该圆台的侧面积. 故选C 【点睛】本小题考查圆台的侧面积的求法，考查运算求解能力，属于基础题． 4．C 【分析】应用“左加右减”进行求解 【详解】设的图象向左平移了m个单位长度得到，则化简为，则，解得； 所以函数的图象可看成是把函数的图象向左平移个单位即可得到； 故选：C. 5．C 【分析】应用正弦定理结合角的范围计算求解. 【详解】由正弦定理，得，所以，即，又， 所以，或， 所以解的个数为2． 故选：C． 6．C 【分析】根据平面向量的基本定理，利用向量线性运算求解. 【详解】如图所示： ，， ， ， . 故选：C. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题. 7．D 【分析】对A，运用面面平行的性质即可判断；对B，运用线面垂直的性质即可判断；对C，运用线面平行的性质即可判断；对D，运用线面垂直的性质即可判断. 【详解】若，，，则或与异面，故A错误； 若，，则或与相交，故B错误； 若，，则或与相交或与异面，故C错误； 若，，则，又，则，故D正确． 故选：D. 8．A 【分析】根据梯形中位线求得，进而求得正确答案. 【详解】依题意可知六点共面， 设正六边形的中心为，连接， 平面且平面， 依题意可知相交于， 连接交于，连接交于， 根据正六边形的性质可知四边形是菱形，所以相互平分， 则相互平分，根据梯形中位线有， 即， 在梯形中，是的中点，则是的中点， 所以， 同理可得， 所以. 故选：A 【点睛】关键点睛：研究空间图形的结构，关键点在于利用空间平行、垂直、中点等知识.在本题中，柱子与地面垂直，柱子之间相互平行.柱子之间高度不相同，则构成了梯形，则可考虑利用中位线来对问题进行求解. 9．BC 【分析】根据图象求，可判断B；由周期可得，代入点可得，代入验证可判断A；利用求出的范围，结合正弦函数性质可判断C；根据平移变换求出平移后的解析式可判断D. 【详解】由图可知，，所以， 又的图象过点，所以， 所以，即， 因为，所以，. 对A，因为， 所以不是函数的对称轴，A错误； 对B，由上知，的最小正周期为，B正确； 对C，当时，，所以， 所以，C正确； 对D，将函数的图象向右平移个单位后，得： ，显然不是奇函数，D错误. 故选：BC 10．BCD 【分析】根据题目中的已知条件，依次判断各项正误. 【详解】A.若，则，所以该选项正确； B.若，则，所以该选项错误； C.若，，则 ，所以该选项错误； D.，，则 .所以该选项错误. 故选：BCD. 11．AC 【分析】根据题意，设图1中水的高度为，几何体的高为，底面正方形的边长为，利用水的体积，得出与的关系，从而结合选项即可逐一判断． 【详解】设图1中水的高度，几何体的高为，底面正方形的边长为； 则图2中水的体积为，即，解得， 所以正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半是错误的，即B错误． 对于A，往容器内再注入升水，水面将升高，则，容器恰好能装满，A正确； 对于C，当容器侧面水平放置时，点在长方体中截面上，占容器内空间的一半， 所以水面也恰好经过点，C正确； 对于D中，如图所示，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时， 因为四棱锥的高为，几何体的高度为，设正四棱柱的底面边长为， 可得，由，可得，可得， 所以的体积为， 可得水的体积为，此时，矛盾，所以D不正确. 故选：AC． 12．/ 【分析】根据所给的直观图中直角梯形的数据求出梯形面积，根据原来的平面图形面积是直观图面积的倍，求出平面图形的面积. 【详解】因为直角梯形，， 所以直观图的面积是 因为原来的平面图形面积是直观图面积的倍， 所以平面图形的面积是 故答案为： 13．/ 【分析】利用诱导公式可求解. 【详解】. 故答案为： 14．0 【分析】根据内心的性质和向量关系可得到三角形三边的比值，然后根据勾股定理的逆定理可知三角形为直角三角形，从而得出的值. 【详解】根据题意，画出图形为： 因为是的内心，所以根据内心的性质和向量关系可知， 若，则，分别为三角形三边的长度. 因为，所以， 根据勾股定理的逆定理，则，余弦值为0 故答案为：0. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示列式计算即可； （2）的夹角为锐角，则且不共线，列式计算即可. 【详解】（1），， ， ，解得. （2）的夹角为锐角，且不共线同向， 且，解得且， 即实数的取值范围为. 16．(1)120海里 (2)，能在3小时内赶到救援，理由见解析 【分析】（1）在中，求出，，利用正弦定理求解即可. （2）在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得，比较时间即可判断. 【详解】（1）在中，因为，， 所以，， 又，所以由正弦定理可得，即，解得， 所以A船距离雷达站C距离为120海里； （2）在中，根据正弦定理可得， 即，解得， 在中，由余弦定理可得， 解得， 因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而， 所以能在3小时内赶到救援. 17．(1)； (2)证明见详解. 【分析】（1）取棱的中点，易得直线与所成角，即与所成角，在中，由余弦定理求解； （2）先证明，，由此设直线与交于点，根据平面的性质可证. 【详解】（1）取棱的中点，连接， 又是的中点，所以，，所以四边形为平行四边形， 所以， 所以直线与所成角，即为或其补角， 在中，，， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为 . （2）因为是的中点，是的中点，所以，， 又在正方体中，易得，， 所以，， 记直线与交于点，因为平面，所以平面， 同理，平面， 所以平面平面， 所以直线三条直线交于一点. 18．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，即可得到，再由线面垂直的判定定理即可证明； （2）由异面直线夹角的定义可得或其补角就是异面直线与所成的角，然后代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为底面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 因为，是侧棱的中点，所以， 又，平面，平面，所以平面. （2） 连，，两直线交于点，连， 因为底面是正方形，所以是的中点， 又分别是的中点，所以， 所以或其补角就是异面直线与所成的角， 因为为正方形，且， 所以，， ， 故，，， 即是正三角边， 所以. 所以异面直线与所成的角为. （3）因为，平面，平面，所以平面， 则直线到平面的距离等于点到平面的距离， 又底面，平面，所以， 又底面为正方形，， ，平面，所以平面， 且平面，所以，则， 则， 设点到平面的距离为， 由可得， 即，解得， 所以直线到平面的距离为. 19．(1)证明见解析. (2) 证明见解析. (3) 证明见解析. 【详解】试题分析：（1）根据条件，利用平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD． （2）根据已知条件判断ABED为平行四边形，故有BE∥AD，再利用直线和平面平行的判定定理证得BE∥平面PAD． （3）先证明ABED为矩形，可得BE⊥CD ①．现证CD⊥平面PAD，可得CD⊥PD，再由三角形中位线的性质可得EF∥PD， 从而证得 CD⊥EF ②．结合①②利用直线和平面垂直的判定定理证得CD⊥平面BEF，再由平面和平面垂直的判定定理 证得平面BEF⊥平面PCD． 解：（1）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD． （2）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD． 又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD． （3）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD ①． 由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD， ∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD． 再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD， ∴CD⊥EF ②． 而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF． 由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD． 考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定． 答案第2页，共11页 答案第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $