10.1.3 古典概型 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦古典概型，涵盖定义（有限性、等可能性）、概率公式及应用，通过课前回顾随机事件概率，结合微思考辨析非古典概型案例，搭建从随机事件到古典概型的知识支架，帮助学生构建概念体系。 其亮点是以数学抽象素养为核心，通过“四步法”引导分析饮料检测、放回不放回取球等典例，结合微探究突破复杂问题关键，提升数学建模与运算能力。学生能深化概念理解，教师可依托结构化资源高效教学。

10.1　随机事件与概率 10.1.3　古典概型 目 标 素 养 1.会对具体试验的样本点和样本空间的特征加以分析,并归纳出古典概型的两个特征,提升数学抽象素养. 2.结合具体实例,理解古典概型的定义.会判断具体问题是否为古典概型,提升数学抽象素养. 3.能计算古典概型中简单随机事件的概率,提升数学建模和数学运算素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.随机事件的概率 对随机事件　发生可能性大小　的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用　P(A)　表示.  2.古典概型的定义 试验具有如下共同特征: (1)有限性:样本空间的样本点只有　有限　个;  (2)等可能性:每个样本点发生的可能性　相等　.  我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. 3.古典概型的概率计算公式 一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率 P(A)= ,其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.  微思考 (1) “在区间[0,10]上任取一个数,这个数恰为5的概率是多少?”这个概率模型属于古典概型吗? 提示：不属于古典概型.因为在区间[0,10]上任取一个数,其试验结果有无限个,故其样本空间的样本点有无限个,所以不是古典概型. (2)若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个,则该试验是古典概型吗? 提示：不一定是古典概型.还必须满足每个样本点发生的可能性相等才是古典概型. 微探究 计算较复杂的古典概型的概率的关键是什么? 提示：关键有两个: 一是正确理解试验的意义,写出样本空间所包含的样本点及其总数; 二是正确理解样本点与事件A的关系,正确计算事件A所包含的样本点数. 课堂·重难突破 一 古典概型的判断 典例剖析 1.下列试验是古典概型的是(　　) A.任意抛掷两枚质地均匀的骰子,将所得点数之和作为样本点时 B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为样本点时 C.从甲地到乙地共有10条路线,某人从中随机选择一条路线,求某人正好选中最短路线的概率 D.抛掷一枚均匀硬币直到首次出现正面为止,将出现正面时的抛掷次数作为样本点时 C 解析:A项中由于点数的和有可能是2,3,4,…,12,每个数出现的可能性不相等,故A不是古典概型;B项中的样本点是无限的,故B不是古典概型;C项满足古典概型的有限性和等可能性,故C是古典概型;D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性,故D不是古典概型. 规律总结 判断一个试验是不是古典概型,前提是确定试验的样本点和样本空间,关键是看它是否具备有限性和等可能性这两个特征,二者缺一不可. 学以致用 1.(多选题)下列试验是古典概型的是(　　) A.从6名同学中随机选出4名参加数学竞赛,求某人被选中的可能性大小 B.同时掷两枚质地均匀的骰子,求点数和为6的概率 C.求近三天中有一天降雨的概率 D.10人(包含甲、乙)站成一排,求甲、乙相邻的概率 答案:ABD 解析:ABD是古典概型,因为符合古典概型的定义和特点.C不是古典概型,因为不符合等可能性,降雨受多方面因素影响. 二 较简单的古典概型问题 典例剖析 2.一箱6听装的某种饮料,其中有2听不合格,质检人员依次不放回地从箱中随机抽出2听,求检测出不合格产品的概率. 解：只要检测的2听中有1听不合格,就表示检测出了不合格产品.分为两种情况:1听不合格和2听都不合格.将4听合格饮料依次编号为1,2,3,4,2听不合格饮料依次编号为5,6,则6听中依次不放回地抽出2听试验的样本空间为Ω={(1,2),(1,3),(1,4), (1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共15个样本点,且每个样本点出现的可能性相等,可用古典概型来计算概率.有1听不合格的样本点有(1,5),(1,6),(2,5),(2,6), (3,5),(3,6),(4,5),(4,6),共8个;有2听不合格的样本点有(5,6),共1个,所以检测出不合格产品的概率为 . 规律总结 求解古典概型问题“四步”法 学以致用 2.现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取2道题解答.试求: (1)所取的2道题都是甲类题的概率; (2)所取的2道题不是同一类题的概率. 解:(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4,2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题,这个试验的样本空间为Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5), (3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共15个样本点,且每个样本点出现的可能性相等,可用古典概型来计算概率. 用A表示“所取的2道题都是甲类题”这一事件, 则A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共含有6个样本点, (2)由(1)知试验的样本空间共有15个样本点,用B表示“所取的2道题不是同一类题”这一事件, 则B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)}, 共包含8个样本点, 三 “放回”与“不放回”抽取的古典概型问题 典例剖析 3.一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球,球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于4的概率; (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为n,求n<m+2的概率. 解:(1)从袋中随机取两个球,所有可能的结果组成的基本事件有:1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6个.从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有:1和2,1和3,共2个, (2)先从袋中随机取一个球,记下编号为m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为n,所有可能的结果(m,n)有(1,1), (1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个. 又满足条件n<m+2的有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2), (3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共13个. 规律总结 若无特殊说明,“无放回抽取”应为一次取出相应的元素,在求解对应的样本点总个数时要注意对事件性质的确认,一次取出的元素之间无顺序的差异性.而“无放回抽取”中的“逐个抽取”,取出的结果则有先后顺序之分. 学以致用 3.口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球, 求: (1)从中任意摸出两个小球,摸出的是红球和白球的概率; (2)从袋中摸出一个后放回,再摸出一个,两次摸出的球是一红一白的概率. 解:(1)无放回地取球.任意摸出两个小球的样本空间为{(红,白),(红,黄),(白,黄)},所以摸出的是红球和白球的概率为 . (2)有放回地取球.样本空间为{(红,红),(红,白),(红,黄),(白,白),(白,红),(白,黄),(黄,红),(黄,白),(黄,黄)},而事件“摸出一红一白”包括(红,白),(白,红)2个样本点,所以两次摸出的球是一红一白的概率为 . 随堂训练 1.下列问题中是古典概型的是(　　) A.种下一粒杨树种子,求其能长成大树的概率 B.掷一枚质地不均匀的骰子,求出现1点的概率 C.在区间[1,4]上任取一数,求这个数大于1.5的概率 D.同时掷两枚质地均匀的骰子,求向上的点数之和是5的概率 答案:D 解析:A,B两项中的样本点的发生不是等可能的;C项中样本点的个数是无数多个;D项中样本点的发生是等可能的,且是有限个. 2.分别标有数字1,2,3,4,5的卡片(除标号外其余完全相同)各一张,从中不放回地依次随机抽取两张,则抽取的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(　　) 答案:A 解析:如图: 样本点的总数为20,且每个样本点出现的可能性相等.记“第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数”为事件A,则事件A包含的样本点的个数是10,故所求概率P(A)= . 3.有A,B,C,D,E五种活动,甲、乙都要选择三个活动参加,则甲选到A活动的概率为　　　　　;已知乙选了A活动,那么他再选择B活动的概率为　　　　　.  解析:从五个活动中选三个有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE, ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种情况,其中甲选到A活动有ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,共6种情况, 4.将一枚质地均匀的骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,向量p=(m,n),q=(2,6),则向量p与q共线的概率为　　　　　.  解析:已知第一次出现的点数为m,第二次出现的点数为n,那么试验的结果可用(m,n)表示,共有6×6=36种等可能的结果,满足条件的事件是使向量p=(m,n)与q=(2,6)共线,即6m-2n=0, ∴n=3m,满足条件的为(1,3),(2,6),共有2种可能结果, ∴向量p与q共线的概率P= . 5.从含有两件正品a1,a2和一件次品b的三件产品中,每次任取一件. (1)若每次取后不放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率; (2)若每次取后放回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率. 解:(1)每次取出一个,取后不放回地连续取两次, 所有可能的结果组成的基本事件有6个,即(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,b),(b,a1),(b,a2). 用A表示“取出的两件产品中恰有一件次品”这一事件, 所以A={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}. (2)有放回地连续取出两次,所有可能的结果为(a1,a1),(a1,a2), (a1,b),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b),(b,a1),(b,a2),(b,b),共9个基本事件组成.用B表示“取出的两件产品中恰有一件次品”这一事件,则B={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}.事件B由4个基本事件组成,因而P(B)= . $