8.3 同底数幂的除法 课件 2025--2026学年冀教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“同底数幂的除法”，涵盖法则推导、零指数幂及负整数指数幂等核心内容。课堂导入通过回顾同底数幂乘法法则，结合乘除互逆关系引导学生探究除法规律，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点在于以具体实例（如2^15÷2^7）引导学生观察规律，培养抽象能力；通过幂的意义约分推导法则，发展推理意识；以规范公式和例题强化数学语言表达。助力学生主动建构知识，教师可提升教学效率。

第八章 整式的乘法 8.3 同底数幂的除法 1.会推导同底数幂的除法的运算性质. 2.掌握同底数幂的除法的运算性质，并会进行同底数幂的除法，并能解决一些实际问题. 3.归纳并掌握零指数幂和负整数指数幂的意义. 新课讲解 合作探究 根据同底数幂的乘法法则进行计算： 28×27＝ 52×53＝ a2×a5＝ 　3m－n×3n＝ 215 55 a7 3m （　）× 27＝215 （　）×53＝ 55 （　）×a5＝a7 　　 （　　）×3n ＝ 28 a2 52 乘法与除法互为逆运算 215÷27=( ) =215－7 55÷53=( ) =55-3 a7÷a5=( ) =a7-5 3m÷3m－n=( ) =3m－(m－n) 28 52 a2 3n 填一填： 上述运算你发现了什么规律吗？ 　3m－n 3m 猜想：如果a≠0，m,n是正整数，且m＞n，则am ÷an=am－n 新课讲解 证明： am÷an= =am–n am÷an=am–n(a≠0，m,n是正整数，且m＞n) 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 除数为0没有意义 条件：①除法 ②同底数幂　 结果：①底数不变 ②指数相减 注意: 为什么a≠0？ ②同底数幂的乘法运算法则： a m·a n＝ (m，n 都是正整数) ③幂的乘方运算法则： (a m)n = (m，n 都是正整数) ④积的乘方运算法则： (ab)n = (n 为正整数) ①幂的意义： a ·a ·…·a ＝______ n 个a a n a m+n a mn a n ·bn 接下来我们将进入同底数幂的除法的学习. 1.结合幂的意义，用幂的形式表示结果，并说明计算的依据. (3)如果a≠0，那么a6÷a3=______. a3 (4)如果b≠0，那么b10÷b4=______. b6 55÷53 =5×5 =52 (－3)5÷(－3)3 =(-3)×(-3) =(-3)2 =32 (2) (－3)5÷(－3)3=_________. (－3)2 (1) 55÷53 =______. 52 a6÷a3 =a×a×a =a3 b10÷b4 =b×b×b×b×b×b =b6 2.观察上面计算结果中幂指数之间的关系，如果a≠0，m，n，是正整数，且m＞n，那么a m÷a n =_______. a m-n 活动一 探究同底数幂的除法法则 (m－n)个a m个a n个a am÷an = am-n (a≠0，m，n是正整数，且m＞n). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 同底数幂的除法法则 结果：①底数不变；② 指数相减. 前提：①相除；② 底数相同. 事实上，当a≠0，m，n是正整数，当m＞n时，根据除法和乘方的意义，有 反之，am-n= (a≠0，m，n是正整数，且m＞n). 同底数幂除法法则的逆用 类比除法的运算规则，思考为什么a≠0. am · an (1)根据同底数幂的乘法法则填空： ① ___·28=214； ② ___·5=54； ③ ___·b4=b12； ④ ___·a4=a9. (2)根据第(1)题所填的结果填空： ① 214÷28=___=2(____)； ② 54÷5=___=5(____)； ③ b12÷b4=___=b(____)； ④ a9÷a4=___=a(____)； ⑤由所填的结果猜想 am÷an=a(____). 26 53 b8 a5 26 14-8 53 4-1 b8 12-4 a5 9-4 m-n 为什么这里规定a≠0? 8 计算下列各题，用幂的形式表示结果，并说明计算的依据. 除法的意义 验证你的猜想. 归纳 乘方的意义　　 (m－n)个a m个a n个a 理由： 知识点1 同底数幂的除法 新课讲解 计算： (1) a7÷a4 ; (2) (-x)6÷(-x)3; (3) (xy)4÷(xy) ; (4) b2m+2÷b2 。 = a7–4 = a3 ; (1) a7÷a4 解： (2) (-x)6÷(-x)3 = (-x)6–3 = (-x)3 (3) (xy)4÷(xy) =(xy)4–1 (4) b2m+2÷b2 = b2m+2 – 2 = -x3 ; =(xy)3 =x3y3 ; = b2m 练一练 新课讲解 1.为了使 (a≠0,m,n是正整数)在m=n时仍然成立,应如何规定 的意义？ 2.为了使 (a≠0,m,n是正整数)在m<n时仍然成立,应如何规定 的意义？ 思考： 注意： (1) 同底数幂相除运算中，相同底数可以是不为0的数字、字母、单项式或多项式； (2) 同底数幂相除运算中，也可以是两个或两个以上的同底数幂相除，幂的底数必须相同，相除时指数才能相减. am÷an = am-n (a≠0，m，n是正整数，且m＞n). (1)a6÷a3=a2 ; (2)x5÷x4=x; (3) y5÷y=y5 ; (4) (-mn)6÷(-mn)2=-m4n4. a6÷a3=a6-3=a3. 1.下面的计算是否正确？如果不正确，请改正过来. ①幂的指数、底数都应是最简的； ②底数中系数不能为负； ③幂的底数是积的形式时，要化成an bn的形式. 小贴士 y5÷y=y5-1=y4 (-mn)6÷(-mn)2=(-mn)6-2=(-mn)4=m4n4. 同底数幂的除法运算性质 (a≠0,m,n是正整数,且m>n) 除数为0没有意义 指数相减 底数不变 同底数幂相除, 底数不变, 指数相减. 条件：①除法 ②同底数幂　 结果：①底数不变 ②指数相减 注意: 讨论:为什么a≠0？ 知识点1 同底数幂的除法 例1.计算： (1) x8÷x2 (2) (ab)5÷(ab)2 解： (1) x8÷x2=x8-2=x6 (2) (ab)5÷(ab)2=(ab)5-2=(ab)3=a3b3 【点睛】计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算． 新课讲解 问题1 根据除法运算中,一个数除以它本身商为1,得 33÷33=1; 108÷108=1; an÷an=1(a≠0)。 你能利用同底数幂的除法来计算吗？你发现了什么？ 33-3=30； 108-8=100； an-n=a0(a≠0)； 结论：30=1, 100=1, a0=1 (a≠0) 任何不等于0的数的0次幂都等于1。即 a0=1 (a≠0) 合作探究 新课讲解 例1：已知(3x－2)0有意义，则x应满足的条件是________． 解析：根据零次幂的意义可知：(3x－2)0有意义，则3x－2≠0， . 方法总结：零次幂有意义的条件是底数不等于0，所以解决有关零次幂的意义类型的题目时，可列出关于底数不等于0的式子求解即可． 例题讲解 已知m，n是正整数，a≠0，为了使am÷an = am-n 在m≤n时仍然成立： 1.当m=n时，m-n=0，应该如何规定a0的意义？ 2.当m＜n时，m-n＜0，应该如何规定am-n的意义？ 活动二 认识零指数幂和负指数幂 思考： 问题2 根据同底数幂相乘，除法运算及分数约分，得： 新课讲解 32÷35=32－5=3－3； 104÷108=104－8=10－4； am÷an=am－n=a－p 你能利用同底数幂的除法来计算吗？你发现了什么？ 任何不等于0的数的－p次幂(p为正整数),等于这个数的p次幂的倒数.即 结论： 新课讲解 例2.计算： (1)(－xy)13÷(－xy)8；(2)(x－2y)3÷(2y－x)2；(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2. (3)原式＝(a2＋1)6－4－2＝(a2＋1)0＝1. 解：(1)原式＝(－xy)13－8＝(－xy)5＝－x5y5； (2)原式＝(x－2y)3÷(x－2y)2＝x－2y； 例3. 已知am＝12，an＝2，a＝3，求am－n－1的值． 【点睛】解此题的关键是逆用同底数幂的除法即am－n =am÷an，对am－n－1进行变形，再代入数值进行计算． 解：∵am＝12，an＝2，a＝3， ∴am－n－1＝am÷an÷a＝12÷2÷3＝2. 53÷55=______. (－3)3÷(－3)5=______. 当b≠0，b2÷b4=______. （1）根据幂的意义填空. （2）若am÷an = am-n(a≠0,m,n是正整数)在m＜n（m＜n=0）时仍然成立，可得 53÷55=______. (－3)3÷(－3)5=______. 当b≠0，b2÷b4=______. 5-2 (－3)-2 b-2 由上可知5-2=______.(－3)-2=______.b-2=______. 由此，我们可以猜想：a-p = (a≠0，p是正整数). 负指数幂 2.当m＜n时，m-n＜0，应该如何规定am-n的意义？ 规定a-p= (a≠0，p是正整数)，即任何不等于0的数的-p次幂，等于这个数的p次幂的倒数. (n－m)个a m个a n个a 若a≠0，对于正整数m，n，当m＜n时， am÷an=am-n n-m和m-n互为相反数，n-m为正整数，设p=n-m，则有a-p= . 验证： am–n (m＞n), am÷an=am–n= a0=1 (m=n), (a≠0，m,n是正整数) 于是有am÷an=am–n(a≠0，m,n是正整数) 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 同底数幂的除法法则 知识要点 新课讲解 新课讲解 不要把 的指数误认为是0。 （1）运用法则的关键是看底数是否相同； （2）因为零不能作除数，所以底数不能为0； （3）注意单个字母的指数为1，如 同底数幂除法注意事项： 根据除法运算中,一个数除以它本身商为1,得 33÷33=1; 108÷108=1; an÷an=1(a≠0). 你能利用同底数幂的除法来计算吗？你发现了什么？ 33－3=30； 108－8=100； an－n=a0(a≠0)； 结论：30=1, 100=1, a0=1 (a≠0) 归纳：任何不等于0的数的0次幂都等于1.即a0=1 (a≠0) 知识点2 零指数幂及负整数指数幂 = 1 　　　 规定 ，即任何不等于0的数的0次幂都等于1. 填空： 　　　 除法的意义 　　　 当m=n时 则 1 1 1 1 1 另外按照 来计算 知识点2 零指数幂及负整数指数幂 新课讲解 例4 已知：am=3,an=5. 求： （1）am-n的值； (2)a3m-3n的值. 解:(1) am-n= am ÷ an= 3 ÷5 = 0.6； (2) a3m-3n= a 3m ÷ a 3n = (am)3 ÷(an)3 =33 ÷53 =27 ÷125 = 同底数幂的除法可以逆用：am-n=am÷an 当m<n时 m个a n个a (n－m)个a 除法的意义 乘方的意义　　 按照刚才归纳的运算性质得 即任何不等于0的数的－p次幂，等于这个数的p次幂的倒数. n-m为正整数， n-m和m-n 互为相反数 设p=n-m 计算： 　　　 规定 是正整数) 知识点2 零指数幂及负整数指数幂 全品文教初中 同底数幂的除法运算性质 两个规定 即任何不等于0的数的－p次幂，等于这个数的p次幂的倒数. 是正整数) ,即任何不等于0的数的0次幂都等于1. 　　　 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 是正整数) 归纳总结 知识点2 零指数幂及负整数指数幂 全品文教初中 同底数幂的除法 am÷an=am-n (a≠0，m，n都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相减 法则 注意 a0=1 (a≠0） 零指数幂 负指数幂 a-p= (a≠0，p是正整数) am-n =am÷an (a≠0，m，n都是正整数） 回顾本节课的学习，说说本节课我们学习了哪些内容. $