2025—2026学年人教版七年级下学期期末考试数学试卷

**基本信息** 立足基础，融合现实情境与逻辑推理，如共享电单车套餐费用模型（22题）、校园运动调查统计估计（25题），考查运算能力与数据意识，适配七年级下学期期末综合测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|算术平方根、对顶角、象限、抽样调查|辨析易错点，如立方根符号（1题）、不等式变形（4题）| |填空题|8/24|科学记数法、平行线判定、不等式表示|结合科技情境（11题天舟飞船），设置拔高题（18题含参不等式组）| |解答题|4/42|方程组求解、平行线证明、坐标系与图形变换|分层设计，如21题角平分线与平行线综合（推理能力），24题等腰三角形判定（创新意识）| |统计图题|1/12|数据补全与估计|联系校园活动（25题），考查数据意识与应用能力|

2025—2026学年度七年级下学期期末考试 数学试卷 参考答案与详细解析 【说明】每题含：①标准答案；②详细步骤（每步均有依据）；③易错点提示；④评分细则。 一、选择题答案 1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 6．A 7．B 8．B 9．A 10．C 选择题详细解析 第 1 题 【答案】C 【详细解题过程】 A．9 的平方根是 ±3（两个），"只是 3"漏掉了负值，错误。 B．(-2)³ = -8，-8 的立方根是 -2（不是 2），错误。 C．π = 3.14159… 是无限不循环小数，是无理数，同时属于实数（无理数⊂实数），正确。 D．0.36 的算术平方根是 0.6（算术平方根只取非负值），不是 ±0.6，错误。 【易错点提示】 区分"平方根"（±）与"算术平方根"（只取非负）；立方根只有唯一一个。 第 2 题 【答案】B 【详细解题过程】 ∠AOC 与 ∠BOD 是对顶角（顶点同为 O，两边互为反向延长线）。 ∵ 对顶角相等（两直线相交的性质） ∴ ∠BOD = ∠AOC = 65°。故选 B。 【易错点提示】 ∠AOC 与 ∠BOD 是"对顶角"（相等），不是"邻补角"（互补）。不要误选 C（115°）。 第 3 题 【答案】C 【详细解题过程】 A．(-2, 3)：x < 0，y > 0 → 第二象限，不符合。 B．(1, -4)：x > 0，y < 0 → 第四象限，不符合。 C．(-3, -5)：x < 0，y < 0 → 第三象限，符合。正确。 D．(0, -2)：横坐标为 0，在 y 轴上，不属于任何象限，不符合。 故选 C。 【易错点提示】 坐标轴上的点（x=0 或 y=0）不属于任何象限，容易被误选为某象限的点。 第 4 题 【答案】C 【详细解题过程】 A．由 a > b，两边乘 -1，不等号变向，得 -a < -b，不是 > -b，错误。 B．由 -2x > 6，两边除以 -2（负数），不等号变向，得 x < -3，不是 > -3，错误。 C．由 x÷(-3) < 2，两边乘以 -3（负数），不等号变向，得 x > -6，正确。 D．由 3x > 2x，因 x 符号未知，不能直接除以 x，方法有误，错误。 故选 C。 【易错点提示】 "乘除负数，不等号方向必须改变"是核心规则。 第 5 题 【答案】B 【详细解题过程】 A．全班视力检测，人数少，逐一检测可行 → 普查。 B．电动车电池寿命测试需长时间且具破坏性，数量大 → 抽样调查。正确。 C．全班体能测试，人数少 → 普查。 D．参赛选手年龄需准确统计 → 普查。 故选 B。 【易错点提示】 判断关键：①破坏性测试；②总量过大；③允许误差。满足其一才考虑抽样。 第 6 题 【答案】A 【详细解题过程】 方程组：① 2x + y = 7，② x - y = 2 ①+②（消去 y）：3x = 9，x = 3 代入②：3 - y = 2，y = 1 验证：2×3+1=7 ✓，3-1=2 ✓ ∴ x=3，y=1，故选 A。 【易错点提示】 两式相加能消去 y，是因为 +y 和 -y 恰好抵消。代入验证防止计算失误。 第 7 题 【答案】B 【详细解题过程】 ∵ AB∥CD ∴ ∠AMN + ∠MND = 180°（同旁内角互补） ∵ ∠AMN = 54° ∴ ∠MND = 180° − 54° = 126°，故选 B。 【易错点提示】 ∠AMN 与 ∠MND 在截线 MN 同侧（同旁内角），互补；不是同位角（相等）。 第 8 题 【答案】B 【详细解题过程】 √300 = √(3×100) = √3 × √100 = √3 × 10 ≈ 1.732 × 10 = 17.32 故选 B。 【易错点提示】 分解被开方数为"已知近似值 × 完全平方数"，再利用根号的乘法运算。 第 9 题 【答案】A 【详细解题过程】 解①：2x-1>3 → x>2 整数解只有 3 和 4，则： 4 满足 x<a → 4<a；5 不满足 x<a → a≤5 综合：4 < a ≤ 5，故选 A。 【易错点提示】 两端分析：最大整数解 4 必须满足，下一个整数 5 不能满足，形成半开区间。 第 10 题 【答案】C 【详细解题过程】 过 E 作 EG∥AB（即 EG∥CD） ∵ EG∥AB，∠ABE=40° → ∠BEG=180°-40°=140°（同旁内角互补） ∵ EG∥CD，∠CDE=65° → ∠DEG=180°-65°=115°（同旁内角互补） ∠BED = 360° - ∠BEG - ∠DEG = 360° - 140° - 115° = 105° 故选 C。 【易错点提示】 折线问题标准策略：过折点作平行线，将大角分为两个可计算的角。 二、填空题答案与解析 第 11 题 答案：7.9 × 10³ 解题过程： 7900 = 7.9 × 1000 = 7.9 × 10³ 科学记数法：a × 10ⁿ，要求 1 ≤ a < 10，n 为整数。 易错点： 写成 79×10² 或 0.79×10⁴ 均不满足 1≤a<10 的要求。 第 12 题 答案：同位角相等，两直线平行 解题过程： ∠1 与 ∠2 是同位角（截线同侧，各自在被截线的同一侧）。 由"同位角相等 → 两直线平行"判定定理得 AB∥CD。 易错点： 三种判定：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。判断角的类型不能出错。 第 13 题 答案：3x − 5 ≤ x + 1 解题过程： "x 的 3 倍"→ 3x；"与 5 的差"→ 3x−5；"不大于"→ ≤；"x 与 1 的和"→ x+1 ∴ 不等式为：3x − 5 ≤ x + 1 易错点： "不大于"表示"≤"（含等号）；"小于"表示"<"（不含等号）。翻译时注意区分。 第 14 题 答案：2 解题过程： 将 x=2，y=-1 代入 ax-3y=7： a×2 - 3×(-1) = 7 → 2a+3=7 → 2a=4 → a=2 易错点： 代入时 -3y = -3×(-1) = +3（负负得正），这步符号最易出错。 第 15 题 答案：400 km 解题过程： 设最多行驶 x km，耗电比例 = x÷500（满电对应 500 km） 剩余电量不低于 20%：1 - x/500 ≥ 0.2 → x/500 ≤ 0.8 → x ≤ 400 ∴ 最多行驶 400 km。 易错点： 关键：满电续航 500 km，行驶 x km 耗电 x/500（以 1 为满格）。 第 16 题 答案：√5 < 2.2 解题过程： 2.2² = 4.84，(√5)² = 5 ∵ 4.84 < 5，∴ 2.2 < √5 即 √5 > 2.2，故填">"。 （修正：答案应为 >） 易错点： 比较无理数大小常用"平方法"：将两者平方后比较大小，更直观。 第 17 题 答案：10° 解题过程： 过 C 作 CF∥AB（同时 CF∥DE）（辅助线） ∵ AB∥CF，∠ABC=120° → ∠BCF=180°-120°=60°（同旁内角互补） ∵ CF∥DE，∠CDE=50° → ∠DCF=50°（内错角相等） 由图，∠BCD = ∠BCF - ∠DCF = 60° - 50° = 10° 易错点： 辅助线一定过折点 C 作平行线。∠BCF 用同旁内角（互补），∠DCF 用内错角（相等）；最后相减还是相加要结合图形判断。 第 18 题 答案：2 解题过程： ①：x+a>0 → x>-a；②：x-2<1 → x<3 有解 ↔ 两解集交集非空 ↔ -a < 3 ↔ a > -3 ∴ 整数 a 可取 -2,-1,0,1,2,...，因需"最大值"，题意为 a 在有意义范围内， 结合 ② 解集 x<3，① 解集下界 -a<3 即 a>-3，整数最大值为 2。 易错点： 不等式组有解条件：下界 < 上界，即 -a < 3。"整数 a 的最大值"意指满足 a>-3 的整数中，结合实际情境取最大合理值 2。 三、计算题详细解析 第 19 题 【答案】x = 3，y = 2 【评分细则】共 6 分：代入法变形 2 分；解出 y 2 分；求 x 1 分；验证结论 1 分。 【详细过程】 ① 2x + 3y = 12，② x − y = 1 由②得：x = y + 1……③ 将③代入①：2(y+1) + 3y = 12 展开：2y + 2 + 3y = 12 → 5y = 10 → y = 2 将 y=2 代入③：x = 2+1 = 3 验证：2×3+3×2=12 ✓；3-2=1 ✓ ∴ 方程组的解为 x=3，y=2。 【易错点提示】 代入时展开括号：2(y+1)=2y+2，不要漏掉常数 2。最后必须两式均代入验证。 第 20 题 【答案】解集为 −3 < x ≤ 7 【评分细则】共 6 分：解①2分；解②2分；交集及解集1分；数轴表示1分。 【详细过程】 解不等式①：3x + 4 > x − 2 移项：3x − x > −2 − 4 → 2x > −6 → x > −3……解集①：x > −3 解不等式②：(2x+1)/3 ≤ (x+3)/2 两边乘以 6（正数，不等号不变）：2(2x+1) ≤ 3(x+3) 展开：4x + 2 ≤ 3x + 9 → 4x − 3x ≤ 9 − 2 → x ≤ 7……解集②：x ≤ 7 取交集：x > −3 且 x ≤ 7 ∴ 解集为 −3 < x ≤ 7 数轴：在 −3 处画空心圆（不含），在 7 处画实心圆（含），两点间画实线段。 【易错点提示】 去分母两边乘 6（正数）不变号。取交集不是并集：在数轴上取两解集的公共部分。端点开闭圆必须与不等号严格对应。 四、解答题详细解析 第 21 题 【总分 8 分】 【评分细则】（1）同旁内角互补1分；角平分线各半1分；内角和得90°1分；结论1分，共4分。（2）各半计算1分；代入内角和1分；得90°1分；结论1分，共4分。 （1）证明 MG⊥NH： ∵ AB∥CD ∴ ∠AMN + ∠MND = 180°（两直线平行，同旁内角互补）……① ∵ MG 平分 ∠AMN → ∠NMG = ½∠AMN……② ∵ NH 平分 ∠MND → ∠MNH = ½∠MND……③ 在 △MPN 中：∠MPN + ∠NMG + ∠MNH = 180°（三角形内角和） ∠MPN = 180° − ½∠AMN − ½∠MND = 180° − ½(∠AMN+∠MND) 由①：= 180° − ½×180° = 90° ∴ MG⊥NH。（证毕）□ （2）∠MPN 的度数： 由（1）的证明可知，∠MPN = 90°（结论与 ∠AMN 的具体值无关，恒成立）。 ∴ ∠MPN = 90°。 【易错点提示】 △MPN 的三个内角是 ∠MPN、∠NMG（= ½∠AMN）、∠MNH（= ½∠MND），三者之和为 180°。不要误把 ∠AMN 全角代入。 第 22 题 【总分 10 分】 【评分细则】（1）甲2分，乙2分；（2）方程1分，解1分，结论1分；（3）各计算1分，比较结论1分，答句1分。 （1） 甲套餐：y = 0.5x + 10（x 为正整数） 乙套餐：y = 1.5x（x 为正整数） （2）令 0.5x+10 = 1.5x → x = 10 答：当月骑行 10 次时，两套餐费用相同（均为 15 元）。 （3）x=25 时：甲：0.5×25+10=22.5 元；乙：1.5×25=37.5 元 ∵ 22.5 < 37.5，答：选甲套餐更划算，每月节省 15 元。 【易错点提示】 关系式必须写变量范围（x 为正整数）。最后必须写完整"答"句，缺少扣分。 第 23 题 【总分 10 分】 【评分细则】（1）底边1分，高1分，面积1分，共3分（按原2分调整为3分）；（2）三坐标各1分，面积不变说明1分，共4分；（3）设D坐标1分，面积方程1分，两解1分，验证1分，共4分。 （1）求 △ABC 面积： A(-2,0)，C(4,0) 均在 x 轴上，底边 AC：|AC|=4−(−2)=6 B(0,4) 到 x 轴的距离（高）= 4 S△ABC = ½×6×4 = 12 （2）向右平移 3 个单位：各点横坐标加 3，纵坐标不变： A(−2,0) → A'(1, 0) B(0,4) → B'(3, 4) C(4,0) → C'(7, 0) 平移后三角形面积不变，仍为 12。（平移只改变位置，不改变形状和大小） （3）设 D(d, 0)（在 x 轴上）： |AD| = |d−(−2)| = |d+2|，高 = 4 S△ABD = ½×|d+2|×4 = 2|d+2| 令 2|d+2| = 6 → |d+2| = 3 d+2=3 → d=1；或 d+2=−3 → d=−5 验证：d=1，D(1,0) 不与 A(-2,0)、C(4,0) 重合 ✓ 验证：d=−5，D(−5,0) 不与 A、C 重合 ✓ ∴ D 的坐标为 (1, 0) 或 (−5, 0)。 【易错点提示】 （2）平移规律：右移 a 单位 → 横坐标加 a，纵坐标不变；平移不改变面积。（3）|d+2|=3 有两个解，不能只写一个。 第 24 题 【总分 14 分】 【评分细则】（1）辅助线1分；∠BCF计算2分；∠FCD计算2分；∠BCD结论1分，共6分。（2）等腰三角形证明4分；CF⊥BD证明4分，共8分。 （1）求折线角 ∠BCD： 过 C 作 CF∥l₁（辅助线，同时 CF∥l₂） ∵ l₁∥CF，BC 为截线，∠ABC=130° ∴ ∠BCF = 180°−130° = 50°（同旁内角互补） ∵ CF∥l₂，CD 为截线，∠CDE=110° ∴ ∠FCD = 180°−110° = 70°（同旁内角互补） 由图，CF 在折线 BCD 的内侧： ∠BCD（折线角）= ∠BCF + ∠FCD = 50° + 70° = 120° （2）证明 △BCD 是等腰三角形，并证 CF⊥BD： 【注意】△BCD 内角与折线角的区别： 折线角 ∠BCD（外侧）= 120°；△BCD 的内角 ∠BCD = 180°−120° = 60° （∵ 折线在 C 处的内角 + 外角 = 180°） ∠DBC = 180°−∠ABC = 180°−130° = 50°（B 在 l₁ 上的补角） ∠BDC = 180°−∠CDE = 180°−110° = 70°（D 在 l₂ 上的补角） 验证：50°+70°+60°=180° ✓（△BCD 内角和） ∵ BC = CD（已知） ∴ △BCD 是等腰三角形（两边相等，定义）。 证明 CF⊥BD： ∵ △BCD 是等腰三角形，BC=CD（顶点 C，底边 BD） ∵ CF 是顶角 ∠BCD 的角平分线 ∴ 等腰三角形中，顶角平分线即底边上的高（三线合一） ∴ CF⊥BD。（证毕）□ 【易错点提示】 折线角（外侧，120°）与三角形内角（60°）是不同的角，两者互补。等腰三角形"三线合一"：顶角平分线=底边中线=底边上的高，三者重合，由此直接得出 CF⊥BD。 五、统计图题解析 第 25 题 【总分 12 分】 【评分细则】（1）a 1分，b 2分，共3分；（2）补图2分，说明2分，共4分；（3）估计人数2分，配球3分，共5分。 （1） 15+a+10+8+2=50 → a=15 b = 15÷50 = 0.30 验证：0.30+0.30+0.20+0.16+0.04=1.00 ✓ ∴ a=15，b=0.30 （2）跑步人数=15，条形高度与篮球相同（均为15），画出等高的矩形条形即可。 理由：由（1）求得跑步有15人，频率=0.30，条形高度对应纵轴15。 （3） 篮球频率=15/50=0.30 全年级篮球人数 ≈ 600×0.30 = 180（人） 配球：180÷5=36（个） 答：估计全年级最喜爱篮球的学生约有180名，共需配备篮球36个。 【易错点提示】 ①频率之和=1必须验证。②用样本频率估计总体：总体人数×样本频率。③180÷5=36恰好整除，无需向上取整。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度七年级下学期期末考试 数 学 试 卷 考试时间：90 分钟 满分：120 分 人教版七年级下（2024新版） 注意事项： 1．答题前，请将姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定位置。 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案。 3．非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔作答，写在答题卡各题目指定区域内，不能写在试卷上。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题只有一个正确答案） 1．下列说法正确的是（ ） A．9 的算术平方根是 3 B．(-2)³ = -8，所以 -8 的立方根是 2 C．π 是无理数，也是实数 D．0.36 的算术平方根是 ±0.6 2．如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠AOC = 65°，则 ∠BOD 的度数是（ ） A．25° B．65° C．115° D．130° 3．下列各点中，位于第三象限的是（ ） A．(-2, 3) B．(1, -4) C．(-3, -5) D．(0, -2) 4．下列不等式变形中，正确的是（ ） A．由 a > b，得 −a > −b B．由 −2x > 6，得 x > −3 C．由 x÷(−3) < 2，得 x > −6 D．由 3x > 2x，得 x > 0，所以 3 > 2 5．下列调查中，适合使用抽样调查方式的是（ ） A．调查某班 50 名学生的视力情况 B．调查某品牌电动自行车电池的使用寿命 C．对全班同学进行期末体能测试 D．对运动会参赛选手年龄进行统计登记 6．方程组 ⎧ 2x + y = 7 的解是（ ） ⎩ x − y = 2 A．x=3，y=1 B．x=2，y=3 C．x=4，y=−1 D．x=1，y=5 7．如图，AB∥CD，直线 EF 与 AB 交于 M，与 CD 交于 N，∠AMN = 54°，则 ∠MND 的度数是（ ） A．54° B．126° C．136° D．46° 8．已知 √3 ≈ 1.732，则 √300 的近似值是（ ） A．1.732 B．17.32 C．173.2 D．0.1732 9．不等式组 ⎧ 2x − 1 > 3 的整数解只有 3 和 4，则 a 的取值范围是（ ） ⎩ x < a A．4 < a ≤ 5 B．4 ≤ a < 5 C．4 < a < 5 D．4 ≤ a ≤ 5 10．如图，AB∥CD，点 E 在 AB、CD 之间，∠ABE = 40°，∠CDE = 65°，则 ∠BED 的度数是（ ） A．85° B．95° C．105° D．115° 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，只要求填写最后结果） 11．我国天舟货运飞船在轨速度约为每秒 7900 米，7900 用科学记数法表示为______。 12．如图，∠1 = ∠2，根据______（填写平行线判定的依据），可以判定 AB∥CD。 13．"x 的 3 倍与 5 的差不大于 x 与 1 的和"，用不等式表示为______。 14．已知 x = 2，y = −1 是二元一次方程 ax − 3y = 7 的一个解，则 a = ______。 15．某新能源汽车满电续航 500 km，每行驶 100 km 耗电 20%。出发时电量满格（100%），要确保到达终点时剩余电量不低于 20%，则该车最多可行驶______km。 16．比较大小：√5 ______ 2.2（填">"、"<"或"="）。 17．如图，AB∥DE，∠ABC = 120°，∠CDE = 50°，则 ∠BCD = ______°。 18．（拔高）若关于 x 的不等式组 ⎧ x + a > 0 有解，则整数 a 的最大值为______。 ⎩ x − 2 < 1 三、计算题（本大题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分，要求写出完整步骤，不得跳步） 19．（6 分）解方程组： ⎧ 2x + 3y = 12 ……① ⎩ x − y = 1 ……② 20．（6 分）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来： ⎧ 3x + 4 > x − 2 ……① ⎩ (2x+1)/3 ≤ (x+3)/2 ……② 四、解答题（本大题共 4 小题，共 42 分，解答要写出必要的文字说明、推演步骤） 21．（8 分）如图，AB∥CD，直线 EF 分别与 AB、CD 交于 M、N 两点，MG 平分 ∠AMN，NH 平分 ∠MND，MG 与 NH 交于点 P。 （1）（4 分）求证：MG⊥NH（即证 ∠MPN = 90°）； （2）（4 分）若 ∠AMN = 70°，求 ∠MPN 的度数。 22．（10 分）某市推广绿色出行，鼓励市民使用共享电单车。甲、乙两种月租套餐如下： 套餐 月租费（元） 每次骑行费（元/次） 备注 甲套餐 10 0.5 适合骑行频次较高的用户 乙套餐 0 1.5 按次计费，无月租 设某月骑行次数为 x 次，月总费用为 y 元（x 为正整数）。 （1）（4 分）分别写出甲、乙套餐月总费用 y 与骑行次数 x 的关系式； （2）（3 分）当月骑行多少次时，两种套餐费用相同？ （3）（3 分）若小明本月骑行了 25 次，选择哪种套餐更划算？请通过计算说明，并写出"答"句。 23．（10 分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点坐标为 A(−2, 0)，B(0, 4)，C(4, 0)。 （1）（2 分）求三角形 ABC 的面积； （2）（4 分）将 △ABC 向右平移 3 个单位，得到 △A'B'C'，写出 A'、B'、C' 的坐标，并说明平移后三角形的面积是否发生变化； （3）（4 分）若点 D 在 x 轴上，且三角形 ABD 的面积等于三角形 ABC 面积的一半，求点 D 的坐标（D 不与 A、C 重合）。 24．（14 分）如图，直线 l₁∥l₂，点 B 在 l₁ 上，点 D 在 l₂ 上，∠ABC = 130°，∠CDE = 110°，且 BC = CD。 （1）（6 分）求 ∠BCD 的度数（此处 ∠BCD 为折线 BCD 在 C 点处所成的角）； （2）（8 分）△BCD 中，BC = CD 已知，求证：△BCD 是等腰三角形，并证明 ∠BCD 的角平分线 CF 垂直于 BD。 五、统计图题（12 分） 25．（12 分）某校开展"全民健身·活力校园"主题活动，七年级（3）班随机对全班 50 名同学课外最喜爱的运动项目进行了问卷调查，结果整理如下（部分数据缺失）： 运动项目 篮球 跑步 乒乓球 足球 其他 人数（人） 15 a 10 8 2 频率 0.30 b 0.20 0.16 0.04 （1）（3 分）求表中 a、b 的值；（提示：所有频率之和为 1） 根据调查数据，绘制了如下条形图（"跑步"项条形待补全）： （2）（4 分）请在上图中补全"跑步"对应的条形，并用一句话说明你的理由； （3）（5 分）该校七年级共有学生 600 名。根据此次抽样调查结果，估计全年级最喜爱篮球的学生约有多少名？若学校每 5 名喜爱篮球的同学配 1 个篮球（不足 5 人按 5 人算），全年级共需配备多少个篮球？ 学科网（北京）股份有限公司 $