第十一章不等式与不等式组期末巅峰冲刺卷 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦不等式与不等式组核心考点，以“性质应用-参数求解-实际建模”为主线，系统整合解题方法与知识逻辑，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|3题|不等式性质3（变号）应用、作差比较法|从性质推导到符号判断，构建不等关系认知基础| |含参不等式组|4题|“同大取大”解集规则、无解条件分析|参数对解集的影响，培养推理意识与分类讨论能力| |实际应用|5题|利润/方案/行程问题建模、整数解筛选|从文字信息抽象不等关系，发展模型观念与应用意识| |程序与综合|3题|流程图转化不等式、关联方程求解|跨情境问题转化，提升数学抽象与综合应用能力|

2025-2026人教版七年级数学下期末巅峰冲刺 第十一章------不等式与不等式组期末巅峰冲刺卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．已知，则一定有□，“□”中应填的符号是（   ） A． B． C． D． 2．若，则下列不等式不成立的是（  ） A． B． C． D． 3．按如图所示的程序运算，若开始输入的值为正数，经过一次运算后，最后输出的结果大于31，则满足条件的的值为（    ） A．大于5的数 B．大于6的数 C．小于4的数 D．小于6的数 4．方程组有正整数解，则整数的个数是（    ） A． B． C． D． 5．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．某智能空调设置：当室内温度低于时自动开启制热模式，当室内温度高于时自动开启制冷模式．设室内温度为，当空调处于不工作状态时，t在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 7．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．若的解都能使的一元一次不等式成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．按照如下程序，输入的值并计算，规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于”为一次程序操作．若输入正整数，程序操作了两次后停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．若，，则a的取值范围是________． 12．如图，要使输出值大于100，则输入的最小正整数是___________． 13．全国中小学生安全教育日，是我国为了加强校园安全教育，提高广大中小学生法治意识、安全防范意识和自我防护能力而设定的教育宣传活动日，时间为每年3月份最后一周的星期一．为全面提升学生的安全防范意识与应急处置能力，筑牢校园安全防线，某校组织安全知识竞赛，试题共30题，评分规则是答对一题得4分，不答或答错一题扣2分．已知某同学在此次竞赛中的得分不低于90分，则他至少答对了________道题． 14．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是__________． 15．怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（10分）解不等式（组）： (1)； (2)． 17．（8分）为提升学生动手实践能力，某校计划购买一批教学器材．生物实验室需要配备放大倍数相同的单目显微镜和双目显微镜．经市场调查，现将相关信息整理如下： 单目显微镜（台） 双目显微镜（台） 总费用（元） 3 2 1440 8 5 3720 (1)单目显微镜和双目显微镜的单价分别是多少元/台？ (2)若学校计划购买这两种显微镜共台，且购买的总价不超过元，则最多可购买双目显微镜多少台？ 18．（8分）如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 19．（8分）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/件） 15 35 售价（元/件） 20 45 (1)若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？ (2)若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案． 20．（8分）已知关于x的不等式． (1)若不等式与该不等式的解集相同，求a的值； (2)若该不等式的最小整数解也是关于x的方程的解，求m的值． 21．（8分）阅读与思考 下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“关联方程”的研究报告 智慧小组 研究对象：关联方程 研究思路：类比，按“概念——性质——判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）——猜想——推理证明 研究内容： 【一般概念】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为， 所以称方程为不等式组的关联方程． 【概念应用】在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______（填序号）． 任务： (1)补全报告中横线处内容______． (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值． 22．（12分）综合与实践 【背景】 夏季来临，某电器专卖店计划采购、两种型号的空调进行销售．两种空调的进价均为元／台． 【素材1】 已知型空调每台售价为元，型空调每台售价比型多元．该店曾经购进型台、型台，全部售出后总利润为元．（注：两种型号空调的售价此后保持不变） 【素材2】 现该店计划用元的资金购进这两种空调共台，且型空调的数量不少于型空调数量的倍．全部售出后，总利润不低于元． 【任务】 (1)求、两种型号空调的销售单价； (2)求型空调所有可能的进货台数； (3)在（2）的条件下，分别计算每种进货方案的总利润，并指出总利润最大的进货方案． 23．（13分）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，横坐标为，点在轴上，纵坐标为，且满足为第一象限内的一点． (1)求的面积． (2)如图1，点在直线的上方，若，求的取值范围． (3)如图2，点，当时，过点作直线轴，动点从点出发，沿着直线向轴的负半轴移动，同时动点从点出发，沿着轴的正半轴方向移动，点的移动速度是点的2倍，当最短时，直接写出点的坐标和的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版七年级数学下期末巅峰冲刺 第十一章------不等式与不等式组期末巅峰冲刺卷（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．已知，则一定有□，“□”中应填的符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质逐步分析即可． 【详解】解：根据不等式的性质进行推导： ∵， 不等式两边同时乘负数，不等号方向改变， ∴， 不等式两边同时加5，不等号方向不变， ∴ ． 因此“□”中应填． 2．若，则下列不等式不成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可得到结论． 【详解】解：、由，可得，该选项成立，不符合题意； 、由，可得，该选项成立，不符合题意； 、由，可得，该选项不成立，符合题意； 、由，可得，该选项成立，不符合题意． 3．按如图所示的程序运算，若开始输入的值为正数，经过一次运算后，最后输出的结果大于31，则满足条件的的值为（    ） A．大于5的数 B．大于6的数 C．小于4的数 D．小于6的数 【答案】B 【分析】根据题意列出关于的一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故满足条件的的值为大于6的数． 4．方程组有正整数解，则整数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用消元法得到关于的表达式，变形后根据条件筛选出符合要求的整数，统计个数即可. 【详解】解：， ①②得 ， 解得 ， 由②得 ， ∵方程组有正整数解，为整数， ∴均为正整数，只需为正整数， ∴为正整数，且， ∴是的正约数，且， ∴的可能取值为， ∴对应整数为，共个． 5．已知实数x，y，z满足，．若，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，用x表示z得到，则，所以，再利用，得到，解不等式得到，所以，然后解不等式得到t的最大值即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴的最大值为1． 6．某智能空调设置：当室内温度低于时自动开启制热模式，当室内温度高于时自动开启制冷模式．设室内温度为，当空调处于不工作状态时，t在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，即可得解． 【详解】解：根据题意可知： ， 在数轴上表示如下： 7．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解第一个不等式得到解集，再根据一元一次不等式组“同大取大”的解集确定规则，结合已知的不等式组解集，推导出a的取值范围． 【详解】解不等式组 ， 解不等式①，移项得 ，即 ， ∵ 该不等式组的解集为 ，符合“同大取大”的解集规律 ∴ ． 8．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解两个不等式组，再依据不等式组无解可以得出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组无解， ∴， 解得． 9．若的解都能使的一元一次不等式成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解，可得，，结合题目条件，可得，解不等式求解即可． 【详解】解：的解都能使的一元一次不等式成立， ，即， 解得，， 的解都满足， ， ， ， ， ． 10．按照如下程序，输入的值并计算，规定从“输入一个数”到“判断结果是否大于”为一次程序操作．若输入正整数，程序操作了两次后停止，且所有符合条件的的最大值为，最小值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列不等式组求出的取值范围，进而得到和的值，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∵所有符合条件的正整数的最大值为，最小值为， ，， ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．若，，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：，， 12．如图，要使输出值大于100，则输入的最小正整数是___________． 【答案】21 【分析】设输入的值为，当为偶数，；当为奇数，，即可得到答案． 【详解】解：设输入的值为， 当为偶数，，解得， 当为奇数，，解得， 则输入的最小正整数是． 13．全国中小学生安全教育日，是我国为了加强校园安全教育，提高广大中小学生法治意识、安全防范意识和自我防护能力而设定的教育宣传活动日，时间为每年3月份最后一周的星期一．为全面提升学生的安全防范意识与应急处置能力，筑牢校园安全防线，某校组织安全知识竞赛，试题共30题，评分规则是答对一题得4分，不答或答错一题扣2分．已知某同学在此次竞赛中的得分不低于90分，则他至少答对了________道题． 【答案】25 【分析】设出答对的题数，根据总题数表示出不答或答错的题数，结合评分规则和得分要求列出一元一次不等式，求解后得到符合题意的最小整数解． 【详解】解：设该同学答对了道题，则不答或答错的题数为道． 根据题意得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 系数化为，得． 他至少答对了道题． 14．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据“不等式组无解”的条件，即两个解集没有公共部分，列出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：解不等式：， ， ； 解不等式：， ， 不等式组无解， ， 解得． 15．怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 【答案】3 【分析】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用， 一元一次不等式组的解法的运用， 解答中运用为整数的隐含条件求出结论是解答的关键 ． 设安排A中集装箱个， 则安排B中集装箱个， 根据题意建立不等式组， 然后求出其解集， 根据解集就可以确定装运方案 ． 【详解】解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，；当时，；当时，． 故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 故答案为：3． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（10分）解不等式（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解得 ∴原不等式的解集为； （2）解： 由①得，； 由②得， ∴原不等式组的解集为． 17．（8分）为提升学生动手实践能力，某校计划购买一批教学器材．生物实验室需要配备放大倍数相同的单目显微镜和双目显微镜．经市场调查，现将相关信息整理如下： 单目显微镜（台） 双目显微镜（台） 总费用（元） 3 2 1440 8 5 3720 (1)单目显微镜和双目显微镜的单价分别是多少元/台？ (2)若学校计划购买这两种显微镜共台，且购买的总价不超过元，则最多可购买双目显微镜多少台？ 【答案】(1)单目显微镜的单价为元/台，双目显微镜的单价为元/台 (2)台 【分析】（1）根据已知信息列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设可购买双目显微镜台，则可表示出购买单目显微镜的数量，再根据“购买的总价不超过元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设单目显微镜的单价为元/台，双目显微镜的单价为元/台． 根据题意，得，解得； 答：单目显微镜的单价为元/台，双目显微镜的单价为元/台． （2）解：设可购买双目显微镜台，则购买单目显微镜台． 根据题意，得 解得． 为整数，且取最大值， ． 答：最多可购买双目显微镜台． 18．（8分）如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当或时，的面积为 (3)当时，的面积大于 【分析】（1）根据，，可以求出点运动的路程，根据点运动速度即可求出需要的时间； （2）当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值；当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值； （3）当点在上运动时，可得，当点在上运动时，可得，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 点的运动速度为个单位长度每秒， 点整个运动过程中，共需秒； （2）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 综上所述，当或时，的面积为； （3）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当时，的面积大于． 19．（8分）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/件） 15 35 售价（元/件） 20 45 (1)若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？ (2)若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案． 【答案】(1)甲种商品应购进100件，乙种商品应购进60件 (2)有两种购货方案，方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件；方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件；获利最大的购货方案是甲种商品购进66件，乙种商品购进94件 【分析】（）设甲种商品应购进件，乙种商品应购进件，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （）设甲种商品购进件，则乙种商品购进件，根据题意，列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； 本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲种商品应购进件，乙种商品应购进件， 由题意得，， 解得， 答：甲种商品应购进件，乙种商品应购进件； （2）解：设甲种商品购进件，则乙种商品购进件， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴或， 当时，；当时，； ∴有两种购货方案： 方案一：甲种商品购进件，乙种商品购进件； 方案二：甲种商品购进件，乙种商品购进件； 方案一的获利：元； 方案二的获利：元； ∵， ∴甲种商品购进件，乙种商品购进件获利最大． 20．（8分）已知关于x的不等式． (1)若不等式与该不等式的解集相同，求a的值； (2)若该不等式的最小整数解也是关于x的方程的解，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别求出两个一元一次不等式的解集，依据解集相等建立等式，解方程即可求出字母a的值． （2）先求出原不等式解集，确定其最小整数解，再将该整数解代入一元一次方程，进而求出字母m的值． 【详解】（1）解：解不等式， 解得， 解不等式，得 ， 两个不等式的解集相同， ， 解得； （2）由（1）知：的解集为， 该不等式的最小整数解为， 将代入，得： ， 解得． 21．（8分）阅读与思考 下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“关联方程”的研究报告 智慧小组 研究对象：关联方程 研究思路：类比，按“概念——性质——判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）——猜想——推理证明 研究内容： 【一般概念】定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． 例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为， 所以称方程为不等式组的关联方程． 【概念应用】在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______（填序号）． 任务： (1)补全报告中横线处内容______． (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题考查了一元一次方程，解一元一次不等式组，能理解关联方程定义是本题的关键． （1）分别求出三个方程的解，再求出一元一次不等式组的解集，根据关联方程的定义即可判断； （2）先求出一元一次不等式组的解集，找到整数解代入关联方程求解即可． 【详解】（1）解：①， ； ②， ； ③， ， ， ； 解不等式组，得， ∵， ∴不等式组的关联方程是③； （2）解：解不等式组，得． 因此不等式组的整数解为． 将代入关联方程， 得． 22．（12分）综合与实践 【背景】 夏季来临，某电器专卖店计划采购、两种型号的空调进行销售．两种空调的进价均为元／台． 【素材1】 已知型空调每台售价为元，型空调每台售价比型多元．该店曾经购进型台、型台，全部售出后总利润为元．（注：两种型号空调的售价此后保持不变） 【素材2】 现该店计划用元的资金购进这两种空调共台，且型空调的数量不少于型空调数量的倍．全部售出后，总利润不低于元． 【任务】 (1)求、两种型号空调的销售单价； (2)求型空调所有可能的进货台数； (3)在（2）的条件下，分别计算每种进货方案的总利润，并指出总利润最大的进货方案． 【答案】(1)型空调销售单价为元，型空调销售单价为元 (2)型空调所有可能的进货台数是台，台，台 (3)三种进货方案的总利润分别为元，元，元；总利润最大的进货方案是购进型空调台，型空调台 【分析】（1）根据总利润的等量关系列一元一次方程，求解得到两种空调的销售单价； （2）设B型空调进货台数为未知数，结合题目给出的数量限制和总利润限制列一元一次不等式组，结合台数为正整数得到所有可能结果； （3）写出总利润关于B型空调台数的表达式，分别计算各方案总利润，比较得到总利润最大的方案． 【详解】（1）解：型空调销售单价为元，则型空调销售单价为 元． 由题意得 整理得 解得 则 答：A型空调销售单价为2300元，B型空调销售单价为2800元． （2）解：设购进B型空调台，则购进A型空调台． 两种空调总进价为 （元），满足不超过100000元的资金要求． 根据题意列不等式组 解第一个不等式得 解第二个不等式得 ，即 因为为正整数， 所以的取值为14，15，16 答：B型空调所有可能的进货台数为14台，15台，16台． （3）解：设总利润为元，由题意得 当时， （元），对应方案：购进A型空调36台，B型空调14台． 当时， （元），对应方案：购进A型空调35台，B型空调15台． 当时， （元），对应方案：购进A型空调34台，B型空调16台． 因为 所以总利润最大的方案为购进A型空调34台，B型空调16台 答：三种进货方案的总利润分别为22000元，22500元，23000元，总利润最大的进货方案是购进A型空调34台，B型空调16台． 23．（13分）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，横坐标为，点在轴上，纵坐标为，且满足为第一象限内的一点． (1)求的面积． (2)如图1，点在直线的上方，若，求的取值范围． (3)如图2，点，当时，过点作直线轴，动点从点出发，沿着直线向轴的负半轴移动，同时动点从点出发，沿着轴的正半轴方向移动，点的移动速度是点的2倍，当最短时，直接写出点的坐标和的面积． 【答案】(1)6 (2) (3)；4 【分析】（1）根据非负数的性质求出，得出点，根据三角形面积公式求出结果即可； （2）连接，先求出，，根据，根据，得出，求出m的取值范围即可； （3）根据垂线段最短，得出当最短时，，从而得出点的坐标为，根据点的移动速度是点的2倍，得出此时点的坐标为，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， 点， ， ． （2）解：如图，连接． ，， ， ∵， ， 解得：． （3）解：， ∴点， ∵垂线段最短， ∴当最短时，， ∵， ∴点的坐标为， ∴， ∴点向左移动了5个单位长度， ∵点的移动速度是点的2倍， ∴点向右移动了10个单位长度， ∴此时点的坐标为， ． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，坐标平移，非负数的性质，求不等式组的解集，三角形面积计算，解题的关键是数形结合熟练掌握三角形面积公式． 学科网（北京）股份有限公司 $