2026年山东省菏泽市中考数学模拟卷

**基本信息** 2026年菏泽中考数学模拟卷以劳动课程调查、越野车实际问题等真实情境为载体，通过动态几何、半角模型探究等梯度设计，考查空间观念、推理意识与数据观念，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数、几何体视图、函数图像等|第2题动态取走正方体考查空间观念| |填空题|5/15|一元二次方程、《九章算术》弧田面积等|第13题结合传统文化考查模型意识| |解答题|8/75|统计与概率、圆的切线、二次函数综合等|第22题半角模型探究培养推理能力，第20题劳动课程调查体现数据意识|

2026年山东省菏泽市中考数学模拟卷 （总分：120分 时间：120分钟） 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．） 1.下列实数中的无理数是（ ） A. B. 3.14 C. D. 2. 下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 3. 实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 6. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为和，则和的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图，在菱形中，，点在边上，连接，将沿折叠，若点落在延长线上的点处，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 9. 如图，在中，，以点A为圆心，以的长为半径作弧交于点D，连接，再分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，连接，则下列结论中不正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是______．（只需写出一种结果） 12. 若一元二次方程的两根为m，n，则的值为________． 13. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为______． 14. 如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是______． 15. 已知二次函数的与的部分对应值如下表： 下列结论：；关于的一元二次方程有两个相等的实数根；当时，的取值范围为；若点，均在二次函数图象上，则；满足的的取值范围是或．其中正确结论的序号为______． 三、解答题（本题共8小题，16-18，每题8分，19题9分, 20-21，每题10分，22-23题11分，共75分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．） 16.（8分）（1）化简： （2）利用数轴，确定不等式组的解集． 17.（8分）如图，在矩形中，，点分别在边上．将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上；将沿折叠，点的对应点恰好也落在对角线上．连接． 求证： （1）； （2）四边形为平行四边形． 18. （8分）图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 19. （9分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求的面积． 20.（10分）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维护，D烹饪与营养．学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． 请根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，一共调查了___________名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有___________名，“D烹饪与营养”的男生有___________名． （2）补全上面的条形统计图和扇形统计图； （3）学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者，请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 21.（10分） 如图，是切线，点A为切点．点B为上一点，射线交于点C，连接，点D在上，过点D作，，交于点F，作，垂足为点E．． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 22.（11分）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． （1）【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系______． （2）【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由． 23.（11分）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； （3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $2026年山东省菏泽市中考数学模拟卷 (总分：120分 时间：120分钟) 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.） 1.下列实数中的无理数是() A月 B.3.14 c.15 D.64 【答案】C 【详解】解：A、 是有理数，不符合题意」 B、3.14是有理数，不符合题意； C、15是无理数，符合题意： D、)64=4是有理数，不符合题意； 2.下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几 何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走() A.① B.② C.③ D.④ 【答案】A 【详解】解：A、取走①时，左视图为 既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项A符合题意； B、取走②时，左视图为 ， 既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项B不符合题意； C、取走③时，左视图为 既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项C不符合题意； D、取走④时，左视图为 既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 3.实数a,b,C在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是() a b C -3-2-10123453 A.b+c>3 B.a-c<0 c.la>le D.-2a<-2b 【答案】B 【详解】由数轴可得，-3<a<-2,-2<b<-1,3<c<4, A、b+C<3,原选项判断错误，不符合题意， B、a-c<0,原选项判断正确，符合题意， C、根据数轴可知：a<d,原选项判断错误，不符合题意， D、根据数轴可知：a<b,则-2a>-2b,原选项判断错误，不符合题意， 4.下列运算正确的是() A.b3+b2=b B.（-2b2）3=-6a5 a b C.b÷ .2=b D.(-b)3÷(-b2）=b b a 【答案】D 【详解】解：A、b与b2不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、（-2b2)'=-8a6,原式计算错误，不符合题意； C、b÷0.b=bb.b_6,原式计算错误，不符合题意： b aaa a2 D、(-b)÷(-b2)=（-b)÷(-b2）=b,原式计算正确，符合题意； 3 5.如图，在直角坐标系中，一次函数y=x一2与反比例函数y2=二的图象交于A,B两点，下列结论正 确的是() B(3,1) A(-1,-3)X- A.当x>3时，y<y2 B.当x<-1时，y<y2 C.当0<x<3时，y>y2 D.当-1<x<0时，<y2 —2 【答案】B 【详解】解：A、当x>3时，y1>y2,则此项错误，不符合题意： B、当x<-1时，y<y2,则此项正确，符合题意； C、当0<x<3时，<y2,则此项错误，不符合题意： D、当-1<x<0时，y>2,则此项错误，不符合题意； 6.如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若∠1=44°，则∠2的度数为() A.14° B.16° C.24° D.26° 【答案】B 【详解】解：如图： ①3 4入 正六边形的一个外角的度数为： 360° =60°， 6 .正六边形的一个内角的度数为：180°-60°=120°， 即：∠4=60°，∠2+∠5=120°， ,一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，∠1=44°， ∴.∠3=∠1=44°， ∴.∠5=∠3+∠4=104°， .∠2=120°-∠5=16°； 7.射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下图，其成绩的方差分别记为S品和S二，则S 和S2的大小关系是() 3 成绩/环甲 101 一● 10个成绩/环乙 8 9 ● 6 8 ● 4-------- 7 2 012345678次数 012345678次数 A.S>S2 B.S年<S2 C.S=2 D.无法确定 【答案】A 【详解】解：，：方差表示数据的离散程度，方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小，由折线图 可知乙选手的成绩波动较小， Sm>2: 8.如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=6,点E在边BC上，连接AE,将AABE沿AE折叠，若 点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为() A.2 B.6-3V2 C.2V2 D.6√2-6 【答案】D 【详解】解：由折叠的性质可知，∠AEB=∠AEF=90°，BE=EF, 在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=6, ∴.∠BAE=∠B=45°，BC=AB=6, :AE BE, :AB=AE2+BE2=2BE=6, .BE =32, .BF 2BE =62, .CF=BF-BC=62-6, 9.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D, 连接BD,再分别以点B,D为圆心，大于)BD的长为半径作弧，两弧交于点P作射线AP交BC于点E ,连接DE,则下列结论中不正确的是() 4 D IP C.CE=2BE D S△EDC= 阝 A.BE=DE B.AE=CE S△ABC 3 【答案】D 【详解】解：由题意得：AB=AD,AP为∠BAC的平分线， .∠ABC=90°，∠C=30°， .∠BAC=60°， “△ABD为等边三角形， :AP为BD的垂直平分线， BE=DE,故A的结论正确： :△ABD为等边三角形， :LABD=60°，LADB=60°， .∠DBE=30°， BE=DE, ∴.∠EDB=∠EBD=30°， .∴.∠ADE=∠ADB+∠EDB=90°， .DE⊥AC. .∠ABC=90°，∠C=30°， .AC=2AB, AB AD .AD=CD, .DE垂直平分线段AC, ∴.AE=CE,故B的结论正确； :RtACDE中，∠C=30°， :.CE=2DE, BE=DE, —5 .CE=2BE,故C的结论正确. .∠EDC=∠ABC=90°，LC=LC, .∴ACDEACBA, .AD=AB, DEDE AB AD =tan∠DAE=tan300= 3 1 AB 故D的结论错误； 10.如图，水平放置的矩形ABCD中，AB=6cm,BC=8cm,菱形EFGH的项点E,G在同一水平 线上，点G与AB的中点重合，EF=23cm,∠E=60°，现将菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向 匀速运动，当点E运动到CD上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积 S(cm2)与运动时间t(s之间的函数关系图象大致是() H E T) B ◆Scm3 S/cm 63 63 3/3 3J3 691114t/s 3 691114ts ←S/cm3 S/cm 63 6/3 33 33 3 691114ts 3 6 9 11 14t/s 【答案】D 【详解】解：如图所示，设EG,HF交于点O, 6 B .菱形EFGH,∠E=60°， ∴.HG=GF 又：∠E=60°， ∴.△FG是等边三角形， .EF=2W3cm,∠HEF=60°， ∴.∠OEF=30° ∴.EG=2EO=2×EF cos.30°=V3EF=6 5mm-G-F1-6x235=65 当0≤x≤3时，重合部分为△MNG, 如图所示， A D H B 依题意，△MNG为等边三角形， 运动时间为t,则NG= t 2V5 3 -t, c0s30° .S=5×WG×NGxsin60°= 525, 43 3 当3<x≤6时，如图所示， B 7 依商，EM=EG-1=6-1,两EK=EM-6125 sin60V5=3(6-) 成mw-296-4-6- 2 S=S菱形EFGH-S,EK =656-小-54-1w56 3 EG=6<BC 当6<x≤8时，S=6V3 当8<x≤11时，同理可得，S=6- 3-82 当11<xs14时.同室可得，S=[6--8]=54-月 A D H G 综上所述，当0≤x≤3时，函数图象为开口向上的一段抛物线， 当3<x≤6时，函数图象为开口向下的一段抛物线， 当6<x≤8时，函数图象为一条线段， 当8<x≤11时，函数图象为开口向下的一段抛物线， 当11<x≤14时，函数图象为开口向上的一段抛物线： 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求把最后结果填 写在答题卡的相应区域内.) —8 l1.从-√2、√5，√6中任意选择两个数，分别填在算式（口+0）÷V2里面的“口”与“O”中，计算该 算式的结果是·（只需写出一种结果） 【悠】5-25（该42-26号万+6，写出-结吴即可） 【详解】解：①选择-√2和√3， 则(-2+V5'÷V2=(2-26+3列÷2 =(5-26)÷v2 =5÷√2-2√6÷√2 -2w6 ②选择-√2和√6， 则(-V2+V6)}÷√2=(2-212+6)：2 =(8-212)÷2 =8÷√2-212÷√2 =4W2-26 ③选择√5和√6， 则(3+V6)'÷V2=(3+218+6)÷V2 =(9+6N2)÷V2 =9÷V2+62÷√2 66 故答案为：V2-25(或4W2-26或9V2+6,写出一种结果即可). 12.若-元二次方程2x2-4x-1=0的两根为m,n,则3m2-4m+n2的值为 【答案】6 【详解】解：：一元二次方程2x2-4x-1=0的两个根为m,n, 六m+n=2m1=,2m-4m=司 -9 .3m2-4m+n2 =2m2-4m+m2+n2 =m2+n2+1 =(m+n)2-2mn+1 -2-2x31 =6 故答案为：6. 13.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面 积=方（弦×矢十矢2），藏田（如图）是白圆弧和其所对的弦所国成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB, “矢”等于半径长与圆心0到弦的距离之差.在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则c0s∠0AB 的值为 B 【华1青 【详解】解：如图，作OH⊥AB交AB于H,交圆弧于C, B H 由题意：AB=8,HC=2, 设OA=x,由OC=x, .OH=x-2, ,OH⊥AB,OC为半径， :AH BH =-AB=4, 在Rt△OAH中， 由勾股定理得AH2+OH2=OA2, 一 10 .42+(x-22=x2, 解得x=5, 0A=5, c0s∠OAB= AH 4 OA 5 故答案为：5 14.如图，在△ABC中，AB=6,∠BAC=30°，∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和 AB上的动点，则BM+MN的最小值是 M D 【答案】3 【详解】解：如图，作BH⊥AC,垂足为H,交AD于M'点，过M'点作MN'⊥AB,垂足为N',则 BM'+MW'为所求的最小值. C H MM N NB :AD是∠BAC的平分线， .MH=MN', :BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）， .'AB=6,∠BAC=30 :BH =-AB=3. 2 :BM+MN的最小值是BM'+MN'=BM'+MH=BH=3, 故答案为：3. 15.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表： -3 5 0 5 5 -27 下列结论：①abc>0;②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根；③当 -11 -4<x<1时，y的取值范围为0<y<5:④若点(m,y),(-m-2,y2)均在二次函数图象上，则y=y2 ;⑤满足ax2+(b+1)x+c<2的x的取值范围是x<-2或x>3.其中正确结论的序号为 【答案】①②④ 【详解】解：把(4,0)，（-1,9，(1,5)代入y=ax2+bx+c得， 16a-4b+c=0 a-b+c=9 a+b+c=5 a=-1 解得b=-2, c=8 .abc>0,故①正确； a=-1,b=-2,c=8, .y=-x2-2x+8, 当y=9时，-x2-2x+8=9, .x2+2x+1=0, △=22-4×1×1=0， .关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根，故②正确； :抛物线的对称轴为直线x=3+1。-1, 2 ∴.抛物线的项点坐标为(-1,9)， 又a<0, .当x<1时，y随x的增大而增大，当x>-1时，y随x的增大而减小，当x=-1时，函数取最大值S, ,x=-3与x=1时函数值相等，等于5， .当-4<x<1时，y的取值范围为0<y≤9，故③错误： :m+-m-2=-1. 2 .点m,y),（-m-2,y2)关于对称轴x=-1对称， .月=2，故④正确 —12— 由ax2+(b+1x+c<2得ax2+b.x+c<-x+2, 即-x2-2x+8<-x+2, 画函数y=-x2-2x+8和y=-x+2图象如下： 9 y=-x+2 B 54-32101X3456 -1 y=x2-2x+8-2 -3 ∫x2=-3 y=0'2=5, A2,0),B(-3,5), 由图形可得，当x<-3或x>2时，-x2-2x+8<-x+2,即ax2+(b+1)x+c<2,故⑤错误： 综上，正确的结论为①②④， 故答案为：①②④. 三、解答题（本题共8小题，16-18，每题8分，19题9分，20-21，每题10分， 22-23题11分，共75分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内.) 16.(8分)(1)化筒： 21 x2-4x+4 xx-1 x2-2x 3(x+4)≥2(1-x) (2)利用数轴，确定不等式组了x-1 3-3 2x 的解集 2 【答案】(1)-2 x-1 (2)画图见解析，不等式组的解集为：-2≤x<3, —13— 【详解】解：(1) x2-4x+4 -2x-2-x(x-22 x(x-1) xx-2】 x-2,x-2 x(x-1 x =_x-2 ,x2-3x+2 x(x-1x(x-1 =x2-2x x(x-1) =x-2 x(x-1) =x2 x-1: 3x+4)≥21-x)① (2) 由①得：3x+12≥2-2x, 解得：x≥-2， 由②得：3x-3<18-4x, 解得：x<3, 两个不等式的解集在数轴上表示如下： -5-4-3-2-1012345 .不等式组的解集为：-2≤x<3. 17.(8分)如图，在矩形ABCD中，AB>2AD,点E,F分别在边AB,CD上，将△ADF沿AF折 叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线 AC上.连接GE,FH. —14 D G A E B 求证： (1)△AEH≌△CFG; (2)四边形EGFH为平行四边形. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【小问1详解】 证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC,∠B=LD=90°，AB∥CD, .∠EAH=∠FCG, 由折叠可得，AG=AD,CH=CB,∠CHE=∠B=90°，∠AGF=∠D=90°， ∴.CH=AG,∠AHE=∠CGF=90°， ..AH=CG 在△AEH和△CFG中， [∠EAH=∠FCG AH=CG ∠AHE=∠CGF=90° ∴.△AEH≌△CFG(ASA): 【小问2详解】 证明：由(1)知∠AHE=∠CGF=90°，△AEH≌△CFG, .EH∥FG,EH=FG, .四边形EGFH为平行四边形. 18.(8分)图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知AB=1m,BC=0.6m, ∠ABC=123°，该车的高度AO=1.7m.如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在AB'C'处，AB'与水平 面的夹角∠B'AD=27°. —15— B (1)求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面I的距离； (2)若小琳爸爸的身高为1.8m,他从打开的车后盖C”处经过，有没有碰头的危险？请说明理由 (结果精确到0.01m,参考数据：sin27°≈0.454，cos27°≈0.891，tan27°≈0.510，√3≈1.732) 【答案】(1)车后盖最高点B'到地面的距离为2.15m (2)没有危险，详见解析 【小问1详解】 如图，作B'E⊥AD,垂足为点E 在Rt△AB'E中 ,∠BAD=27°，AB′=AB=1 sin27°=B'E AB' ∴.B'E=AB'sin27°≈1×0.454=0.454 平行线间的距离处处相等 .B'E+A0=0.454+1.7=2.154≈2.15 答：车后盖最高点B'到地面的距离为2.15m 【小问2详解】 没有危险，理由如下： 过C作CF⊥BE,垂足为点F —16 B :∠B'AD=27°，∠B'EA=90° ∴.∠AB'E=63° ,∠AB'C'=∠ABC=123° .∠C'B'F=∠AB'C'-∠AB'E=60° 在Rt△B'FC'中，B'C'=BC=0.6 .B'℉=B'C'.c0s60°=0.3. ,平行线间的距离处处相等 .C到地面的距离为2.15-0.3=1.85 .1.85>1.8 没有危险。 199分)如围。正比勿医紫了=-5：的型章与发比列函数y=上的图家的一个交点是4小m,V。点 P点.小在直线y=-上，过点P车y轴药平行线，突y-冬的阳幸于点Q (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求△OPQ的面积. 【答案】(1)y=33 2)3 21 【小问1详解】 —17 :鬼4m入y-5- 3 .m=-3, A-3,5, 把A-3)代入y=得，5=上 .k=-3V3, 一反比例函数的表达式为y=3 【小问2详解】 :电P2入y=9青=525=-2 3 ·P(25,-2. .PQ∥y轴， ∴.点Q的横坐标为23， 把x=2V5代入y=35得，y= 3V33 25-21 g25 阳=-2 5ac2 20.(10分)《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准(2022年版)》正式发布，劳动课正式成为中 小学的一门独立课程，日常生活劳动设定四个任务群：A清洁与卫生，B整理与收纳，C家用器具使用与维 护，D烹饪与营养，学校为了较好地开设课程，对学生最喜欢的任务群进行了调查，并将调查结果绘制成以 下两幅不完整的统计图. —18— 男生女生 人数 口口 0 6 5 4 25% 3 2 B 50% A B D 类别 请根据统计图解答下列问题： (1)本次调查中，一共调查了 名学生，其中选择“C家用器具使用与维护”的女生有 名，“D烹饪与营养”的男生有 名 (2)补全上面的条形统计图和扇形统计图： (3)学校想从选择“C家用器具使用与维护”的学生中随机选取两名学生作为“家居博览会”的志愿者， 请用画树状图或列表法求出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的概率. 【答案】(1)20,2,1 (2)图见解析 (3) 5 【小问1详解】 解：(1+2)÷15%=20（人）， .一共调查了20人： .C组人数为：20×25%=5（人）， .C组女生有：5-3=2（人)： 由扇形统计图可知：D组的百分比为1-15%-25%-50%=10%， .D组人数为：20×10%=2（人)， .D组男生有：2-1=1（人）： 故答案为：20,2,1 【小问2详解】 补全图形如下： -19 男生女生 人数 口口 (10% A 6 15% 25% 3 3 50% 0 A D类别 【小问3详解】 用A,B,C表示3名男生，用D,E表示两名女生，列表如下： A B C D E (4,B) （A,C) （A,D) (A,E) (B,A) (B,C) (B,D) (B,E) C （C,A) (C,B (C,D) (C,E) D (D,A) (D,B) (D,c) (D,E) E (E,A (E,B) (E,C) (E,D) 共有20种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果有12种， P=123 205 21.(10分)如图，PA是⊙O切线，点A为切点.点B为⊙O上一点，射线PB,AO交于点C,连接 AB,点D在AB上，过点D作，DF⊥AB,交AP于点F,作DE⊥BP,垂足为点E. AD=BE,BD=AF. B (1)求证：PB是⊙O的切线； —20 2)若4P=4,sin/C=2,求⊙0的半径 【答案】(1)见解析 2)45 【小问1详解】 证明：连接OB, 4 B ,PA是⊙O的切线， .∠0AP=∠1+∠3=90° DF⊥AB,DE⊥BP, .∠ADF=∠BED=90°， AD=BE,BD=AF, :△DEB≌△FAD(SAS, ∠3=∠4， OA=OB ∠1=∠2， .∠1+∠3=∠2+∠4， .∠OBP=∠2+∠4=90°， 即OB⊥BP, .PB是⊙O的切线； 【小问2详解】 解：：OB⊥BP,∠OAP=90°， .sinc=AP0B 2 PC OC 3 设OB=2x,0C=3x, BC=OC2-OB2=5x,0A=0B=2x, -21 :PB是⊙O的切线，PA是⊙O的切线， ..PB=PA=4, sinC=4P_2 PC3 42 4+5x3' 解得：x 25, :半径为25×2=45. 5 5 22.(11分)【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题.若四边 形ABCD是正方形，M,N分别在边CD,BC上，且∠MAN=45°，我们称之为“半角模型”，在解决“半 角模型”问题时，旋转是一种常用的方法 B 图1 图2 图3 (1)【初步尝试】如图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE,连接MW .用等式写出线段DM,BN,MN的数量关系 (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M,N分别在正方形ABCD的边 CD,BC的延长线上，∠MAN=45°，连接MN,用等式写出线段MWN,DM,BN的数量关系，并说明理 由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=I20°， ∠B+∠D=180°，点N,M分别在边BC,CD上，∠MAN=60°，用等式写出线段BN,DM,MN的数量 关系，并说明理由 【答案】(1)MN=DM+BN;理由见解析 (2)MN=BN-DM;理由见解析 (3)MN=DM+BN;理由见解析 【小问1详解】 解：MN=DM+BN.理由如下： 由旋转的性质，可知AE=AM,BE=DM,∠EAM=90°，∠ABE=∠D=90°， 22 ∴.∠ABE+∠ABC=90°+90°=180°， E,B,C三线共线. ,∠MAN=45°， ∴.∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN. AE=AM 在△EAN和△MAN中， ∠EAN=∠MAN, AN=AN ∴.△EAN≌△MAN(SAS), ..EN =MN .EN BE BN, ∴.MW=DM+BN. 【小问2详解】 解：MN=BN-DM.理由如下： 如图，在BC上取BE=MD,连接AE. M A D B E C N ,AB=AD,∠B=∠ADM=90°， .△ABE≌AADM(SAS), .AE=AM,∠BAE=∠DAM. ,∠DAM+∠DAN=45°， .∠BAE+∠DAN=45°， ∴.∠EAN=45°=∠MAN. AE=AM 在△EAN和△MAN中， ∠EAN=∠MAN, AN=AN .△EAN≌△MAN(SAS), .EN MN 23— EN BN-BE, ∴.MN=BN-DM. 【小问3详解】 解：MN=DM+BN.理由如下： 如图，将△ABN绕点A逆时针旋转120°得ADE, E D M B N C ∴.∠B=∠ADE,AN=AE,BN=DE. ∠B+∠ADC=180°， ∴.∠ADE+∠ADC=180°， E,D,C三点共线 由(1)同理可得△EAN≌△NAM(SAS), ∴.MN=DM+DE=DM+BN. 23.(11分)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B,点M是抛物 线的项点，直线AM与轴交于点D, D D A O 备用图 (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH,DH,求MH+DH的最小值； (3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q,使得以D,M,P,Q为项点的四边形是平行 四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由， —24— 【答案】(1)y=-x2+2x+3 (2)V37 (3)存在，Q1,3)或Q1,1)或Q(1,5) 小问1详解】 解：抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两点， 1-b+c=0 b=2 ,解得： c=3 c=3' ∴.y=-x2+2x+3; 【小问2详解】 y=-x2+2x+3=-(x-12+4, ∴.M(1,4, 设直线AM:y=kx+m(k≠0)， -k+m=0 k=2 则： (k+m=4，解得： m=21 ∴.AM:y=2x+2, 当x=0时，y=2, .D(0,2): 作点D关于x轴的对称点D',连接D'M, 则：D'(0,-2),MH+DH=MH+D'H≥D'M, 当M,H,D'三点共线时，MH+DH有最小值为DM的长， D D —25— D'(0,-2,M(1,4), ·D'M=V12+(4+2)2=V37, 即：MH+DH的最小值为：√37： 【小问3详解】 解：存在； y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, .对称轴为直线x=1, 设P(p,t,Q(1,n, 当以D,M,P,Q为项点的四边形是平行四边形时： 1+p=0+1 ①DM为对角线时： t+n=4+2' D B p=0 t+n=61 当p=0时，t=3, ∴.n=3, .Q1,3: 0+p=1+1 ②当DP为对角线时： 2+t=4+n —26— M B p=2 2+t=4+n 当p=2时，t=-22+2×2+3=3, .n=1, .Q1,1: 1+p=0+1 ③当MP为对角线时： 4+t=2+n1 M D p=0 n-t=2' 当p=0时，t=3, ∴.n=3, .01,5)； 综上：当以D,M,P,Q为项点的四边形是平行四边形时，Q1,3)或Q1,1)或Q1,5). -27—