河南信阳高级中学北湖校区2026届普通高等学校招生全国统一考试模拟预测数学试题

**基本信息** 本卷为2026届高考数学模拟预测卷，以教材探究内容（如第8题函数图象旋转为双曲线）为创新载体，通过体育比赛概率（15题）、立体几何体积分割（17题）等真实情境，考查数学眼光的创新意识与数学思维的推理能力，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、向量、统计量|第4题以骰子点数统计量判断数据特征，体现数据分析| |多选题|3/18|概率、立体几何、函数性质|第10题正方体动态探究，考查空间观念与逻辑推理| |填空题|3/15|三角求值、圆锥侧面积、不等式恒成立|第13题结合母线夹角与线面角，融合几何直观| |解答题|5/77|概率分布、数列创新、立体几何、椭圆、导数|19题函数极值点证明，层次分明，考查数学语言表达与逻辑推理|

河南省信阳高级中学北湖校区 2026届普通高等学校招生全国统一考试模拟预测 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B A C B D C D ABC CD ABD 1 学科网（北京）股份有限公司 11．ABD 12．/ 13． 14． 【分析】将原不等式拆分为左右两个独立的不等式，对于拆分后的每个不等式，将参数分离出来，转化为或在上恒成立的形式，因此利用导数法求函数、在区间的最值即可 【详解】左侧不等式：，整理得 设，求导得 当时，，单调递减； 当时，，单调递增 的最大值在端点处取得，经计算​， 最大值为​，故 右侧不等式：，整理得： 设，求导得​ 当时，，单调递减； 当时，，单调递增 最小值在处：​，故 综上，的取值范围为 15．(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式，可以求出甲学校获得冠军的概率； （2）的可能取值为，利用随机变量的分布列，即可得X的分布列. 【详解】（1）甲学校获得冠军,需要在3场比赛中至少获胜2场， 甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8， 甲学校3场全胜，概率为：， 甲学校3场获胜2场败1场，概率为：， 所以甲学校获得冠军的概率为：； （2）依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 16．(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由，得，两式推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）求得，假设存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列，可得出，整理得出，联立可得出结论. 【详解】（1）当时，由①，得②. 由①②得，，即. 当时，，解得. 所以数列是首项为，公比为的等比数列.所以. （2）不存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列.理由如下： 依题意得，即，解得. 假设存在项、、成等比数列（其中），则， 即，整理得. 联立，解得，这与已知条件矛盾. 所以不存项、、（其中、、成等差数列）成等比数列. 17．(1)证明见解析 (2)． 【分析】(1)结合已知条件证明，可得，结合为直角三角形确定直角顶点为，取中点，利用正三角形与等腰直角三角形的性质可得平面，进而得到平面平面； (2) 根据平面将四面体分为体积相等的两部分，即到平面的距离为到平面的距离的，可确定为的中点，建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，进而可得到二面角的余弦值. 【详解】（1）由题设可得，，从而， 又是直角三角形，所以， 取的中点，连接，，则，． 又由于是正三角形，故， 所以为二面角的平面角， 在中，，又，所以， 故， 所以平面平面． （2）由题设及（1）知，，，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 由题设知，四面体的体积为四面体的体积的，从而到平面的距离为到平面的距离的，即为的中点，得． 故，，． 设是平面的法向量，则， 即， 可取． 设是平面的法向量，则， 同理可得， 则． 观察可得，该二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 18．(1) . (2)证明见解析. 【详解】试题分析：（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：（），将代入，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出，根据列出等式表示出和的关系，从而判断出直线恒过定点. 试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上. 因此，解得. 故C的方程为. （2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2， 如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）. 则，得，不符合题设. 从而可设l：（）.将代入得 由题设可知. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=. 而 . 由题设，故. 即. 解得. 当且仅当时，，欲使l：，即， 所以l过定点（2，） 点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简. 19．（1）y＝（﹣2+a）x+2﹣a．（2）见解析（3）见解析 【解析】（1）求出切点坐标，根据导函数求出切线斜率，即可得到切线方程； （2）求出导函数，对g（x）＝﹣x2+ax﹣1，进行分类讨论即可得到原函数单调性； （3）结合（2）将问题转为证明1，根据韦达定理转化为考虑h（x）＝2lnx﹣x的单调性比较大小即可得证. 【详解】（1）∵f（x）x+alnx（x＞0） ∴f′（x）（x＞0） ∴当x＝1时，f（1）＝0，f′（1）＝﹣2+a， 设切线方程为y＝（﹣2+a）x+b，代入（1，0），得b＝2﹣a， ∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y＝（﹣2+a）x+2﹣a． （2）函数的定义域为（0，+∞）， 函数的导数f′（x）， 设g（x）＝﹣x2+ax﹣1，注意到g（0）＝﹣1， ①当a≤0时，g（x）＜0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数； ②当a＞0时，判别式△＝a2﹣4， （i）当0＜a≤2时，△≤0，即g（x）≤0，即f′（x）≤0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数； （ii）当a＞2时，令f′（x）＞0，得：x； 令f′（x）＜0，得：0＜x或x； ∴当a＞2时，f（x）在区间（，）单调递增，在（0，），（，+∞）单调递减； 综上所述，综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数， 当a＞2时，在（0，），（，+∞）上是减函数， 在区间（，）上是增函数． （3）由（2）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2＝1， 则f（x1）﹣f（x2）x1+alnx1﹣[x2+alnx2] ＝（x2﹣x1）（1）+a（lnx1﹣lnx2） ＝2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2）， 则2， 则问题转为证明1即可， 即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2， 则lnx1﹣lnx1， 即lnx1+lnx1＞x1， 即证2lnx1＞x1在（0，1）上恒成立， 设h（x）＝2lnx﹣x，（0＜x＜1），其中h（1）＝0， 求导得h′（x）10， 则h（x）在（0，1）上单调递减， ∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x0， 故2lnx＞x， 则a﹣2成立． 【点睛】此题考查导函数的应用，根据几何意义求切线斜率，讨论函数的单调性，证明不等式，解决双变量问题，综合性强. $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2026届普通高等学校招生全国统一考试模拟预测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知非零向量，，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 4．甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子次，分别记录每次骰子出现的点数根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数的是（   ） A．甲：平均数为，中位数为 B．乙：中位数为，众数为 C．丙：平均数为，方差为 D．丁：中位数为，方差为 5．内角，，所对边分别为，，，若，，，则的值为（    ） A．2 B．6 C．4 D．8 6．下列各式中，不是的展开式中的项是（ ） A． B． C． D． 7．已知点到同一直线的距离分别为7，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．人教版必修第一册第92页上“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”，经探究它的图象实际上是双曲线.现将函数的图象绕原点顺时针旋转得到焦点位于轴上的双曲线，则该双曲线的离心率是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A．为对立事件 B． C． D． 10．如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得为直角 B．对于任意点，都有直线平面 C．对于任意点，都有平面平面 D．三棱锥的体积为定值 11．已知，则下列说法正确的是（    ） A．在定义域内单调递增 B．的对称中心为 C．已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 D．若，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，则_______． 13．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________． 14．已知，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立. (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列. 16．（15分）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.在数列中是否存在项、、（其中、、成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由. 17．（15分）如图，四面体中，是正三角形，是直角三角形，，． (1)证明：平面平面； (2)过的平面交于点，若平面把四面体分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值． 18．（17分）已知椭圆C：（），P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）四点中恰有三点在椭圆C上. （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）设直线l不经过点且与C相交于A，B两点.若直线与直线的斜率的和为，证明：l过定点. 19．（17分）已知函数f（x）x+alnx． （1）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程（用含a的式子表示） （2）讨论f（x）的单调性； （3）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $