2026年河南省普通高等学校招生全国统一考试考前自测数学试题

**基本信息** 本卷以“文化传承+科技前沿”为情境特色，通过原创情景题（如古代建筑台基体积）、跨学科改编题（如微扰级数应用），融合数学抽象、空间观念与创新意识，适配高三模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题40分|集合、复数、双曲线离心率等|创新题（循环小数化分数）考查数学抽象，原创情景题（正四棱台体积）渗透文化传承| |多选|3题18分|统计量、解三角形等|结合罚球数据辨析平均数、方差，强化数据观念与推理能力| |填空|3题15分|函数单调性、取整函数零点等|原创数列规律题（排列求和）培养观察与模型意识| |解答题|5题77分|统计与概率、立体几何翻折、椭圆综合等|改编题（员工绩效独立性检验）融合实际应用，函数零点证明题突出逻辑推理与创新思维|

绝密★启用前 高 三 数 学 准考证号 姓 名 注意事项： 1. 答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 学科网（北京）股份有限公司 2026年普通高等学校招生全国统一考试河南最后一卷 高三数学试题 1．已知全集，且，，则 A． B． C． D． 2．已知复数满足为纯虚数，则复数的实部为 A． B．0 C．1 D．2 3．已知是偶函数，则 A．2 B． C．1 D．0 （创新题）4．阅读下列材料：有理数都能表示成（，且与互质）的形式，从而有理数集与互质}，任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反之，任一有限小数或者无限循环小数也可以化为的形式，从而是有理数．例如：．循环小数化成分数为 A． B． C． D． 5．已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，则E的渐近线方程为 A． B． C． D． （原创情景题）6．中国传统文化博大精深，源远流长，其中我国古代建筑文化更是传统文化中一颗璀璨之星，在古代建筑中台基是指建筑物底部高出室外地面的部分，通常由台阶，月台，栏杆，台明四部分组成，某地的国家二级文化保护遗址——玉皇阁，其台基可近似看作上、下底面边长分别为，侧棱长为的正四棱台，则该四棱台的体积约为 A． B． C． D． 7．已知，则 A． B． C． D． （改编题）8．微扰级数是物理学中用于处理非线性系统的重要方法，对于小扰动参数，可得系统的能量，若为常数，则 A．当E取最小值时， B．当E取最大值时， C．E无最小值 D．E无最大值 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．小明和小强在球场上进行罚球练习，双方均以5个罚球为一组，其中小明练习5组，小强练习7组，现将他们每组练习中罚球命中的个数统计如下： 小明 小强 则下列说法正确的是 A．若，则小明和小强罚球命中个数的平均数相同 B．若小明和小强罚球命中个数的极差相同，则 C．若，则小明和小强罚球命中个数的中位数相同 D．若，则小明罚球命中个数的方差小于小强罚球命中个数的方差 10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，，下列说法正确的是 A．若，则 B．△ABC外接圆的半径为 C．取得最小值时， D．时，取得最大值为 （原创题）11．已知A，B分别是圆：与轴的左、右交点，点P在圆C上，且，将圆C沿直线翻折成一个二面角，使得点A、点P分别到达点、点的位置，该二面角的大小为，且，翻折前后点B的位置始终不动．设翻折前点的坐标为，下列说法正确的是 A．圆C的直径为2 B．当时， C．当时， D．当时，二面角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数在上单调且其部分图象如右图所示，若不等式的解集为，则实数的值为_____. 13．记是不小于x的最小整数,例如,则函数的零点个数为__________. （原创题）14．已知数列各项的排列规律如下：，，，，，，，，， ，，其前n项的和为，则时n的最大值为______. 参考公式： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，且，，，． (1) 求角C； (2) 求的面积； (3) 求向量在向量上的投影向量的模． （改编题）16．（15分） 某工厂为了解员工绩效分数达标情况与员工性别的关系，随机对该厂男、女各30名员工的绩效分数达标情况进行调查，整理得到如下列联表： 单位：人 性别 绩效分数达标情况 合计 未达标 达标 男 20 10 30 女 5 25 30 合计 25 35 60 (1) 经计算，所调查的男员工绩效分数的平均数为26；女员工绩效分数的平均数为34，求这60人绩效分数的平均数. (2) 根据上表数据，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断绩效分数达标情况与性别有关联？ (3) 该厂为激励员工，规定每月绩效分数的第一名奖励1千元，其他名次无奖励.甲为该厂员工，他在工厂开工的第一个月赢得奖励的概率为，从第二个月开始，若上个月没有赢得奖励，则这个月赢得奖励的概率为；若上个月赢得奖励，则这个月仍赢得奖励的概率为，求甲在前两个月所得奖金总额X（单位：千元）的分布列和数学期望. 附： 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 参考公式：，其中. 17．（15分） 在梯形ABCD中，，，，AB的中点为E，将A点沿DE折起到P点位置，使得，如图所示． (1) 证明：平面PBE； (2) 求平面PBC和平面PDC夹角的正弦值． （改编题）18．（17分） 已知椭圆（）的离心率为，曲线（ 是正实数）与椭圆交于M，N两个不同的点，点是线段MN的中点，曲线与y轴交于点P，直线l为曲线在点P处的切线． (1) 证明：直线l过定点； (2) 若直线l过的定点是椭圆的一个焦点，直线l与交于两点A，B，当时，求面积的最小值； (3) 若直线l过的定点是椭圆的一个焦点，记直线MN的斜率为k，证明： ，且． 19．（17分） 已知函数有四个不同零点且． (1) 求a的取值范围； (2) 证明：； (3) 证明：． 数 学 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 集合的补集、并集运算 0.85 2 单选题 5 复数的除法、纯虚数、实部 0.85 3 单选题 5 偶函数的性质、指数运算 0.65 4 单选题 5 循环小数化分数、有理数定义 0.78 5 单选题 5 双曲线与椭圆的离心率、渐近线方程 0.85 6 单选题 5 正四棱台体积计算、近似估算 0.65 7 单选题 5 三角恒等变换、诱导公式 0.65 8 单选题 5 函数最值分析、微扰级数 0.5 9 多选题 6 平均数、极差、中位数、方差比较 0.65 10 多选题 6 正余弦定理、外接圆半径、最值问题 0.65 11 多选题 6 圆的几何性质、二面角、坐标变换 0.5 12 填空题 5 三角函数图象与单调性、解不等式 0.8 13 填空题 5 取整函数、函数零点个数 0.75 14 填空题 5 数列规律、前n项和、不等式求解 0.5 15 解答题 13 正余弦定理、三角形面积、投影向量 0.85 16 解答题 15 独立性检验、期望、分布列 0.72 17 解答题 15 折叠几何、线面垂直、二面角正弦值 0.65 18 解答题 17 椭圆离心率、切线方程、面积最值、斜率关系 0.65 19 解答题 17 函数零点、不等式证明 0.5 $2026年普通高等学校招生全国统一考试河南最后一卷 数学试题答案 1.D 【详解】由全集U={1,2,3,4,5,6,7},CuA={1,3,5}及CB={2,3,7}, 得A={2,4,6,7},B=1,4,5,6,所以A∩B={4,6}. 2.B 【分析】根据待定系数法，复数的乘方，及复数的定义即可得到答案。 【详解】设z=a+bi,则i+二=(a+bi)i+a+bi=(a-b)+(a+b)i, 又zi+z为纯虚数，则 a-b=0 a+b≠0'解得a=b,且a,b≠0， 则：=a+ai(a≠0)， 所以z2=(a+ami2=ad+2a2i-ad2=2di, 故复数z2的实部为0. 3.D 【分析】根据给定条件，利用函数奇偶性运算，结合正弦函数奇偶性求出α值. 【详解】函数f(x)=(c-a)sinx是R上的偶函数，而y=sinx是奇函数， 则函数gx)=(x-a)是奇函数，g(0=-d=0,解得a=0,此时g(x)=x3是奇函数， 所以a=0. 故选：D 4.D 【分析】根据有限小数或者无限循环小数也可以化为二的形式，即可得出循环小数1,27化 成分数 【详解】由题意， 127=1+0.27+0.0027+0.00027+.=1+027-1+ 2712614 11 99-9911. 100 答案第1页，共15页 故选：D 5.A 【分析】分别求出椭圆、双曲线的离心率，根据它们的离心率互为倒数求出α的值，进而求 出双曲线的渐近线方程. 【详解】椭圆c:+父-1的离心率为e=9一5_3 95 V93 双曲线E:y2 a25 l的离心率为e=a2+5 因为双曲线与椭圆的离心率互为倒数，所以V+5_3 a 解物a=2,放双由线E的方程为号号-1：所以。帝近线行程为：生5 x. 45 故选：A 6.A 【分析】借助正四棱台的性质可得其高，结合体积公式即可得解 【详解】该正四棱台上、下底面的对角线分别为2√2、4√2， 则该正四棱台的高为 3 4W2-2V22 =7， 2 则严-(2+4+x4k万-285 3 故选：A 7.A 【分析】先由平方差公式化简已知条件并结合二倍角的余弦公式得cosθ，进而得sn日，从 而结合二倍角正弦公式即可计算求解， 【详解】因为sim49-cos日=3 2 0e(0,), 25 所以sin -C0s ) 2 2 5+c0s 2F58e(0π)， 所以sn2日 51 所以由8e(0,π)得sin6= 答案第2页，共15页 1+sin20 所以 +cos0=1+2sin0 cos0 12[ +cOS日 cos20-sin20 cos0-sin20 3 5(5 故选：A 8.D 【分1向题可得日=2，然后利用导数。期充=2上 ,e[10”,)单调 1-2 性，可判断选项正误。 【详解】B=∑8=21+2+2++2)=2.1-2 1=0 1-元 令f(a)=2.1-2 ,e10”,1), 1-2 则了(a)=2-a+1)2-+1--21+n-a+1)2 （1-)2 (1-2) 令g(2)=1+n2m1-(n+1)2”,∈「101,1)， 则g'(2)=n(n+1)2”-n(n+1)2=n(n+1)21(2-1)<0, 则g(2)在∈[10”，1)上单调递减，又注意到g()=0,则g(2)>0, 从而(2)=28>0，则f)在10”)上单调造指 (1-2)2 则f107)≤f()<f(1),则E无最大值，有最小值，取最小值时=101 故ABC错，D正确. 故选：D 9.AC 【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用极差的定义结合特殊值法可判断B选项；列 举出(，)所有的可能情况，结合中位数的定义可判断C选项；根据方差公式可判断D选 项 【详解】对于A,若m+n=6,则+2+3+45++11+2+3+4+5=3，故A正确： 7 对于B,若极差相同，未必有m+n=6,如m=n=4,故B错误； 对于C,若+n=6,则(m,n)可能为(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(5,1)， 此时小强罚球命中个数的中位数始终为3，故C正确： 答案第3页，共15页 对于D,若=n=3,设小明罚球命中个数的平均数分别为x、y,方差分别为s、S, 则x=1+2+3+4+5=3,=5+2+3+1+4+3+3-3, > 所以，=-3+2-3+6-3j+4-3j+6-3】2: 5 5--3+2-3+3x63+-3j+6-3】0, 7 则两人罚球命中个数的平均数相同，而小强的数据更加集中，故D错误 故选：AC. 10.BD 【分析】对A,由正弦定理化简sim4=2 sinBsinc可得smC三，再根据三角形面积公式判 断即可；对B,根据a=2bsiC结合正弦定理判断即可；对C,根据正弦定理与余弦定理化 简6m4-2smsn℃可得22smA4-。+分》再根据基本不等式与三角函数性质判陈即 可；对D,根据三角函数值域求解即可. 【详解】对A,由正弦定理sm4=2n8snC即a=2次nC,又a=-1,放smC-方故三角 形面积为5地nc-b石子，数A错误 snC,故 对B,a=2binC,则$nC=乃，设△ABC外接圆的半径为R,则2R=C R=cbc 2×aa,故B正确； 2b 对C,由sinA=2 sinBsinC及正弦定理可得a2=2 bcsinA,由余弦定理 2 bc sin A=b2+c2-2 bc cosA,即2bc(SinA+cosA)=b2+c2,化简可得 23m4)名后由长本不式，名号2形-2,41议6时取4号，比 c b Vc b 时如4+引-兰放当4=子8=C-,会号取得最小值，放C错限： 对D,由c25:4+分-名后当4时，名后风相说大雀2，改D正确 故选：BD 11.ABD 答案第4页，共15页 【分析】先将圆C的一般方程化为标准方程，确定半径、直径及翻折前各点坐标，以翻折后 固定不动的圆心C为原点，翻折棱（原直线x=2)为x轴，翻折前的x轴为y轴，垂直于xOy 平面向上为2轴建立空间直角坐标系，依据翻折的几何不变性得到各点翻折后的坐标，逐一 验证选项即可. 【详解】圆C的方程为x2-4x+y2=0,配方得(x-2)2+y2=4, .圆心C(2,0),半径r=2,直径为4，故A正确， 令y=0代入圆方程，解得x=0或x=4,.翻折前A(0,0),B(4,0) 设点P(x,y)在圆C上，·1PA=2,∴.x2+y2=4,联立圆方程(x-2)2+y2=4, 解得x=1,y=±V3,不妨取P(1,V3) 建立空间直角坐标系：以翻折后固定的圆心C为原点，翻折棱（原直线x=2)为x轴，翻 折前的x轴为y轴，垂直于xOy平面向上为z轴 翻折过程中，垂直于棱的分量绕x轴旋转二面角日，因此翻折后各点坐标为： A'(0,2cos8,2sin),p'(←√3，cos6,sin),B、M、C坐标不变 M B 对于B适项。当0骨，402×号2 29=(01,5, .|AB1=V(0-0)+(2-1)2+(0-√3)2=V1+3=2,故B正确 对于C选项，当日=匹时，A0,0,2,4B=√0-02+(2-02+0-2=22， 此时p'(-√5,0,1)，|PB1=V(←3-02+(2-0)2+(0-1)2=3+4+1=22， .ABPB|,故C错误. 对干D选现，当9=吾时c9=片09Pr(5月. 2 则c5=@20,cP=(5,-55.cm=20.0. 2’2 答案第5页，共15页 设平面BCP的法向量为h=(:,,三)，则 元·CB=2y1=0 ·cp=-3x1-y+91=0 取=1，解得片=0，z=2,.2=1,0,2) 设平面MCP的法向量为n=(化，乃，=2)，则 .CM=2x2=0 ·cp=-v3xy+9,=0 取53=1，解得x=0,3=V3,.m=(0,V3,1). os成网>调需高言 2 ·二面角B-CP-M的正弦值为1-（信）2=得故D正确 【点睛】方法归纳：翻折类立体几何问题的核心是抓住翻折前后的不变量：沿棱方向的坐标、 线段长度不变，垂直于棱的线段长度不变，仅空间位置随二面角变化：建立贴合题意的空间 直角坐标系可将几何关系转化为向量运算，大幅降低解题难度， 12.1 【分析】由图得f(3)<f(x+t)<f(0),利用单调性得x+t∈(0,3)，即可求解 【详解】由题中图象可知不等式-2<∫(x+t)<4,即为f(3)<f(x+t)<f(0), 由图知函数∫(x)单调递减，所以x+t∈(0,3)， 即不等式的解集为(-t,3-t), 又因为等式-2<f(x+t)<4的解集为(-1,2)， 所以-t=-1且3-t=2,可得t=1. 故答案为：1 13.3 【分析1先将/)=r(-x-2+专的零点个数转化为g()=(x和h)=2-专的交 点个数，然后画图确定交点个数. 【详解】令f(x)=0,则x(x)-x=2- 81 答案第6页，共15页 令e国=-A刘=2专 则g(x)与h(x)的交点个数即为f(x)的零点个数， 当-1<x≤0时，g(x)=0-x=-x∈[0,1)， 又g(x+1)=x(x+1)-(x+1)=x(x)-x=g(x), 所以g(x)是周期为1的函数， ()在R上单调道减且a(-小>14O)-名A(3)-=0, 所以可作出g(x)与h(x)的图象如图， x =g(x) 所以g(x)与h(x)有3个交点，故f(x)的零点个数为3， 故答案为：3. 14.254 【分析】将数列表示为三角数阵的形式，计算出前k行所有数的总和，以及S,=2025时对 应项数，即可得解 【详解】将数列写成以下形式： 1 12 123 123…k 第(k∈N)行所有数的和为1+2+3++k=(任+ 2 前(keN)行所有数之和为号[1x2+2x3++k(k+1】= k(k+1)(k+2) 6 当k=22时， k(k+10(k+2=22×23×24=2024, 6 6 若再加上第23行第一个数1，总和为2025， 答案第7页，共15页 加上第23行前两个数，则总和大于2026， 故n的0最大值为1+2++22+1=22x23+1=254 2 故答案为：254 15.1)C=- 23 (2)6√3 (3)4 【分析】(1)由正弦定理边化角即可求解： (2)由余弦定理结合三角形面积公式即可求解； (3)由投影向量的计算公式即可求解 【详解】(1)由正弦定理，得sinCsinA=√3 sinA.cosC, 因为A∈(0，T),所以sinA≠0， 所以simC=V3cosC,得tanC=√3，(3分) 因为C=(0动，所以c=号(5分) （2)由余弦定理得c2=a2+b2-2 ab cosC, 因为C-号，b-6,G=27,代入整理得a2-6a+8=0, 解得a=4(a=2舍去)，(7分) 所以△MBC的面积S=0snC=65.(9分) (3)因为CB.CA=ab cosC=12,(10分) AB=CB-CA 所以向量AB在向量CA上的投影向量的模为 AB.CA C丽-cd⑧.c-12-4.13分) 网 c4 6 16.(1)30 (2)有关联 (3)分布列见解析，0.44 【分析】(1)根据题意计算即可： (2)由已知数据利用公式计算x,与参考数据比较大小即可得出结论： 答案第8页，共15页 (3)根据题意计算出X可能取值及相应概率，即可得到分布列，再利用公式计算期望值 【详解】(1)由愿意可知，x=30x+30=26+3430.(3分) 60 2 (2)零假设为H:绩效分数达标情况与性别无关.(5分) 7-60x0x255x10≈15429>10828=6m·(8分) 30×30x25×35 根据小概率值a=0.001的x己独立性检验，我们推断H不成立，即认为绩效分数达标情况与 性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.(9分) (3)由题意知X可能的取值为0,1,2， pr==-引-》片石 Px-2-×2- 5525 所以甲在前两个月所得奖金总额X的分布列为 X 0 1 2 16 7 2 25 25 25 (13分) 数学期望E(X)=0 +132是04.15分 16 2525 17.(1)证明见解析； 2)36 7 【分析】(1)根据给定条件，利用线面垂直的判定推理得证 (2)以E为原点建立空间直角坐标系，求出平面PBC和平面PDC的法向量，再利用面面 角的向量法求解。 【详解(1)在梯形ABCD中，由AB//CD,AB=2CD,E为AB的中点，得BE/ICD,BE=CD, 则四边形BCDE为平行四边形，DE Il BC,而AB⊥BC,因此DE⊥AB, DE⊥BE,DE⊥PE,又BEPE=E,BE,PEC平面PBE,则DE⊥平面PBE, 所以BC⊥平面PBE.(6分) (2)由(1)得平面PBE⊥平面BCDE,在平面PBE内过E作E=⊥EB,则E⊥平面BCDE, 答案第9页，共15页 直线EB,ED,Ez两两垂直，以E为原点，直线EB,ED,Ez分别为x,y,z轴建立空间直角坐标 系， B 令BC=2,又∠PBB=,则P-10,V5,B2,00,C2,20,D0,20. BC=(0,2,0),DC=(2,0,0),PC=(3,2,-√3)，(9分) 设平面PBC和平面PDC的法向量分别为=(a,b,c),1=(化，y,z), 则m-8c=2b0 m-Pc=a+2b-=0'取a=1,得m=Q0,V),(10分) DC=2x=0 n.Pc=3x+2y-V3z=0取z=2,得元=(0，V5,2,11分) 设平面P8C和平面PDC夹角为0，则cos6=m--25-点 1mi2xV万万，13分) 所以平面PBC和平面PDC夹角的正弦值为sim9=VcoS0=2 .(15分) 7 18.(1)证明见解析 a号 (3)证明见解析 【分析】(1)利用导数求切点处的切线方程，进而证明： (2)求出椭圆方程，联立椭圆与直线方程，利用韦达定理和三角形面积公式列出表达式， 再利用函数的性质求出最值： (3)表示出直线N的斜率，根据指数函数的性质证明k<%:利用点差法得到x=-2,k, 再根据点Q(,%)在椭圆内部，通过放缩进行证明 【详解】(1)设f(x)=e,则f'(x)=e,(2分) 因为曲线C,与y轴交于点P,所以P(O,), 又f'(0)=e°=1， 答案第10页，共15页 所以直线1的方程为：y-2=(x-0),即y=(x+1),(3分) 所以直线1过定点(-1,0)：(4分) (2)由(1)及题意可得：c=1, 又e==5,所以a=V2,所以公=d-c=1,(5分) 所议稀圆G号+了-1.6分) [y=(x+1) 联立x2 2+2=1,消去x并整理得：1+2入)少-2y-入=0， 2元 设A(1,1),B(x2,y2),所以 为+9=1+20 -12 4%=1+22 所以以-=y+)-y出，= -4 -元2 V1+2λ2 1+29 42(2+222) 2W2+22 ΓV(1+2λ2)2 ,(8分) 1+22 由(1)直线1过定点（←-1,0）， 所以S△OAB= 1 2W2+2221N2+222 1+22 1+222 设1=1+2，则号，因为21，所以3， 所以S2os (2+22) 2 t-10t+)_P-1_10 (1+22) 220. 当t≥3时， }行所以s的设小值为 1、4 -=9 所以当1=3，即4=1时，(6ae加子：1分》 (3)设M(x3,),N(x4y4),≠x4,为3=e,4=e, 直线W的斜率为k=当-业=e5-e 3-453-4 又点(，为)是线段W的中点，所以为=当+业=2的+c心 2 2 由指数函数的性质：e-ee+e a-b 2(a≠b) 答案第11页，共15页 理由如下： 不妨设a>b,令m=a-b>0, 则a=b+m,要证：e-ee+e 一(4≠b)，即正：≤2（≠b),135、 m 需证：e=1<e0m>0),即证：me+D-2e-1>0, 2 令f(m=u(e+1)-2(e"-1), 则f'(m)=e"+e"+1)-2em=mem-e"+1, 令8(m)=em-em+1,则g'(m)=e", 当m>0时，g'(m)=mem>0,所以g(m)在(0，+o)上单调递增， 所以g(m)>g(0)=0,即f'(m)>0, 所以f()在(0，+o)上单调递增， 所以f(m)>f(0)=0, 所以(e+1)-2e”-1)>0,e-g<e2(a≠b)得证(a<b同理) a-b 所以k=的-e4 e+e4 53-x4 2=为，即k<6,(15分) 生+=1 、又4N在椭圆，+y2=1上，所2】 臣+1 两式相减得：(3+x4)(3-x4)+2(+y4)y-4上0， 又6=当，%=当业，所以传-飞4)=-2%-4)， 2 2 所以。=-2yk, 因为Q(x,)在椭圆内部， 所以发+好<1，即2+片<1， 2 又k<且k>0,所以y哈>k2,所以k2(2k2+1)<(2k2+1)<1, 即2+-1<0，即(22-k2+1)小0，因为2+1>0，所以k2< 21 答案第12页，共15页 所以k<2 综上所述，k<6,且k<巨 (17分) 2 19.(1)1,+0): (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】(1)化简f(x)解析式得出f(x)是偶函数，利用偶函数性质将问题转化为在(0，+o) 上有2个零点，结合单调性得出f(x)最小值，进而解出a的取值范围； (2)将问题转化为，+x,>2,这是典型的极值点偏移问题，利用构造辅助函数的方法证明 双零点的和大于极值点两倍即可： (3)利用切线放缩对两个零点分别作上界和下届估计，通过代数变形直接得到待证明的不 等式 【详解】(1)f(x)=x2-ln(ex2)=x2-a-lnx2=x2-2nx-a,定义域为(-o,0)U(0,+o), 且f()=f(x), 所以函数f(x)是偶函数，只需保证x>0时，f(x)有2个不同零点即可满足函数总共4个不 同零点 当x>0时，f(9)=-2r-a,f)=2x-2_2-D,(2分) x∈(0,1)时，f"(x)<0,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减， x∈1，+o)时，f'(x)>0,所以函数f(x)在(1，+o)上单调递增， 当x>0且x→0时，f(x)→+∞，x→+0时，f(x)→+0， 所以f(x)ma=f0)=1-a,要使x>0时，f(x)有2个不同零点，所以f(x)m<0, 所以1-a<0→a>1, 所以a的取值范围为1，+o).(6分) V 答案第13页，共15页 (2)由(1)可知f(x)是偶函数，由偶函数性质，四个零点满足>63>0>>x4,且x3=-x2, 要证6-5<-2，等价于证明：-x2-x1<-2, 只需证明x+x2>2, 其中x>1>x3>0是x>0时f(x)=0的两个根， 构造辅助函数：F(x)=f(x)-f(2-x),x∈(0,1).(8分) F'田=f+f2-9=4-4、=46e-102 (2-)x(2-, 当x∈(0,1)时，F'()<0,所以F(x)在(0,1)上单调递减，(9分) 又F(1)=0,因此对任意x∈(0,1)有F(x)>0,即f(x)>f(2-x) 又f(x)=f(s)=0,故f(x)>f(2-), 且5>1,2-x2>1,因为f(x)在(1，+0)上单调递增，(10分) 因此￥>2-x,即3+为>2，代入得-=-（伍+5）<-2. 所以x3-5<-2.(11分) (3)令g(x)=x2-2lnx,x>0,则a=8(x)=8(x2),其中x>1,0<x3<1, 在七=e处对8)作切线放缩：g'⊙=2c-2_2(@-), ee 切线方程为：y=2e-Dx-c2,(13分) e 令h(x)=g(x) e 所以0)=2x2246》,所以re-2c-22c-）-0， e ee 令)=2x-2.2e2- 2是>0，所以y在@=。上严格举湖遥塔，因此e足(=0的 唯一解，(15分) 当x>e时，()>h(e)=0;当1<x<e时，h(x)<0, 答案第14页，共15页 于是h(x)在(1，e)上递减，在(e,+o)上递增，故h(x)≥h(e)=0, 等号仅当x=e时成立， 所以对任意>1，有g付2e- x-e,等号仅在x=e处成立， e 代入a=g)解得ysa+e), 2(e2-1)1 在对行切线放年子)足 201-e2) e e 切线方程为：y-2044令 e 同退可证对任意0<<1，有8)220x+4日 e 等号仅在x处成立，代入a=8)解得x,≥之c0是 所以-6≤- a-4+3) 21-e2) 所以-xsa+e的 e(a-4+ e3) 2(e2-1)21-e2) 2ae+e3-4e e_(a-1)e,(e-1P 2(e2-1) e2-12e(e2-D e2-1,(a-1)e 2ee2-1 1 等号仅当x=e,x,=二时成立，此时a=e2-2,函数零点唯一对应，等号成立条件为单点 e 情况，严格小于关系成立，得证.(17分) 答案第15页，共15页