第二十三章 一次函数 专题 一次函数与三角形面积训练 2025--2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦一次函数与三角形面积的综合应用，通过梯度题型构建从基础计算到动态综合的知识逻辑链，隐含坐标法、方程思想及分类讨论等解题方法。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|2题|直线与坐标轴围成面积计算|从坐标求交点到面积公式应用，培养抽象能力与运算能力| |两直线与面积|3题|两直线相交形成三角形面积|结合函数交点与坐标轴截距，强化几何直观与模型意识| |动点与面积|4题|动点引发的面积关系问题|通过分类讨论动点位置，发展推理意识与空间观念| |综合应用|6题|结合折叠/存在性的综合面积问题|融合几何性质与函数关系，提升创新意识与应用能力|

第二十三章专题一次函数与三角形的面积 1.直线y=一x一2与两坐标轴围成的图形的面积是() A.2 B.4 C.1 D. 2.已知一次函数y=kx+b(k≠0)图象过点(0,2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4， 则k= 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB,△BCD均是等腰直角三角形，其直角顶点 A,C在直线y=x+b上，点B,D在x轴上，且OB=8 YA (1)点A的坐标是 (2)△BCD的面积是 4.定义：在平面直角坐标系中，若m-n≠-2，称点(m,n)与点(n-2,m+2)互为友 好点.若直线1上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线1的表达式 为」 5如图，直线l1:y=x+3与x轴交于点A,经过点B(3,0)的直线2与直线l1交于点 C(1,m). (1)求直线的函数表达式： (2)求△ABC的面积 6如图，已知函数y1=2x+b和y2=ax-3的图像交于点P(-2,-5),这两个函数的 图像与x轴分别交于点A、B 米y=2x+b 5=ax-3 -2 OVA/B -5 (I)分别求出这两个函数的解析式： (2)求△ABP的面积； (3)请根据图像直接写出不等式ax-3<2x+b<0的解集， 7.如图， 1 一次函数)=2+1与x轴，y轴分别相交于点A和点B。 备用图 (1)求点A和点B的坐标： (2)在y轴上有一动点P,若△ABP的面积为3，请求出点P的坐标， 8如图，直线l1:y=k1x+5与直线l2:y=k2x+b相交于点A-2,3),l1交y轴于点B, 12交y轴负半轴于点C,且0B=30C. (1)求直线1和12的解析式： (2)D是直线l1上一点，且在第一象限.若△BCD的面积是12，求点D的坐标. 9.如图，直线y=3x-1交x轴于点A,直线1交x轴于点B(3,0),且与直线y=3x-1交 于点C(1,m) y y3x-1 (1)求直线1对应的函数解析式： (2)求△ABC的面积； (3)若P是直线BC上的点，当△ABP的面积与△ABC的面积的比为2：1时，求点P的坐 标. 10.如图，在平面直角坐标系x0y中，直线4：y=2x+1与y轴交于点A,直线马与y轴，x 轴交于点B,点C,Z与Z交于点D(1,m,连接0D,己知0C的长为4. B (1)求点D的坐标及直线2的解析式： (2)求△AOD的面积： (3)若直线上有一点P使得△ADP的面积等于△AD0的面积，直接写出点P的坐标. 11.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-3 x+3的图象与x轴，y轴分别交于A,B 4 两点。 B A (1)求A,B两点的坐标； (2)若y轴正半轴上有一点C,当S△48c=10时，求点C的坐标； (③)若x轴上有一点D,将△BOD沿直线BD折叠，当点O恰好落在直线AB上时，请求出点 D的坐标. 12.如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=手x+4的图象分别与轴、y轴交于点 A、B两点. B (I)点A的坐标是 ,点B的坐标是 4 (2)若点C(m,6)是直线y=- 3x+4上一点，求直线0C的解析式。 (3)在直线AB上是否存在一点D,使△AOD的面积等于△OAB面积的2倍？若存在，求出 点D的坐标；若不存在，请说明理由. 13.如图，一次函数y=mx+2m+3的图象与x轴、y轴分别交于点E、点F(0,6),与 =x的图象交于点☑ M (1)求m的值及点M的坐标； (2)①求△EM0的面积；②若点Q为直线EF上一点，且S△oM0=6,求点Q的坐标. 如图，直线AB:y=:+3与直线40：y三x交于点A-2,,与y轴交于点 )k，不等武0<c+3<2x的解集为 ； ②若点M(m,}在线段8上，点N1-,)在直线40：=x上，求-%的最大值 (3)在直线A0上是否存在一点P,使得△ABP的面积为6，若不存在，请说明理由，若存在， 请求出点P的坐标. 15.如图，直线AB经过点A(-3,0)和，B(0,2),经过点D(0,4)并且与y轴垂直的直线CD与 直线AB交于第一象限内点C. 6 3 65-43-210123456 -2 -3 -4 -5 6所 (I)求直线AB的表达式： (2)在x轴上有一点Q,若△AQC的面积为8，求点Q的坐标： (3)点P在x轴上，在平面内是否存在点H,使得以点A、C、P、H为顶点的四边形是矩形， 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 第二十三章专题一次函数与三角形的面积答案 1.A 2.± 3.(4,4) 499 4y=-x+V6或y=-x-V6 5.(1)解：把C(1,m)代入y=x+3,得m=4. 点C的坐标为(14). 设直线l2的函数表达式为y=kx+b, 将B(3,0),C(1,4)分别代入上式， （3k+b=0, 得{k+b=4 （k=-2 解得b=6. .直线l的函数表达式为y=-2x+6. (2)对于y=x+3,令y=0,得x=-3. 点A的坐标为(-3,0). :A(-3,0),B(3,0) AB=3-(-3)=6. :C(1,4) ∴AB边上的高线长为4， .△ABC的面积为方×6×4=12， 6.(1)解：：将点P(-2,-5)代入y1=2x+b, 得-5=2×(-2)+b, 解得b=-1, 将点P(-2,-5)代入y2=ax-3, 得-5=a×(-2)-3, 解得a=1, 这两个函数的解析式分别为1=2x-1和y2=x-3; (2)解：“在y1=2x-1中， 令y=0,得x=吉， A(克，0)， :在y2=x-3中， 令y2=0,得x=3, B(3,0), AB=3-支=号， :S△ABP=壹ABX5 =×号×5 =孕； (3)解：由函数图象可知，当-2<x<时，ax-3<2x十b<0. 7.(1)解：由y=)x+1得， 当x=0时，y=1, 当y=0时，x=-2, 点A的坐标为-2,0)，点B的坐标为0,1. (2)解：设P(0,b, 由(1)得点A的坐标为-2,0)，点B的坐标为0,1)， 0A=2,0B=1, :PB=b-1, :△ABP的面积为3， 901=3. 即号b-x2=3. b-=3, 解得：b=4或b=-2, 点P的坐标为0,4)或(0，-2). 8.(1)解：将点A-2,3代入直线l1:y=k1x+5得：3=-2k1+5; 解得k1=1, .直线l1的解析式为：y=x+5; B(0,5), .0B=5, 0B=30C, 0C=号， 点C(0,-), 3=-2k2十b, 将点A(-2,3),C(0,-)代入直线！2：y=k2x+b得： {-号=b, k2=-子， 解得： b=-3 :直线2的解析式为：y=-x-哥： (2)解：：点D在直线1上， 设D(xx+5), :B0,5),c(0,-) :BC=5-(-胃)=9 :S△BcD=BCx=12, x=9: 当x=号时，x+5=号， 点D的坐标为（号，号）· 9.(1)解：将点C(1,m)代入y=3x-1中，得m=2, 点C(1,2), 设直线1对应的函数解析式为y=kx+b(k≠0)， (3k+b=0 将点B(3,0),C(1,2)代入，得k+b=2· ∫k=-1 解得b=3 :直线1对应的函数解析式为y=一x+3; (2)解：在y=3x-1中，令y=0, 解得x=青， :点A(30), AB=3-青=号， :S△4Bc=ABy。=专×号×2=号； (3)解：S△4BC=号，S△4BP:S△ABc=2:1, :SAABP=, ABly=号， .Iypl =4. ∴yp=4或yp=-4, 将yp=4或yp=-4代入y=-x+3中， 解得xp=-1或Xp=7, ·点P的坐标为(-1,4)或(7，-4)： 10.(1)解：：y=2x+1, .将点D1,m)代入得m=2+1=3, .D1,3): 0C的长为4， C(4,0), 设直线Z的解析式为y=c+b, 将点D1,3)和C(4,0)代入得： [3=k+b 0=4k+b’ k=-1 解得： b=4’ 故直线2的解析式为y=-x+4; (2)解：令x=0,得y=2x+1=1, ÷A(0,1), :D1,3) S440p=克×1×1=： (3)解：根据题意得：SA4DP=S4D0= 设P(m,-m+4), 令x=0,得y=-x+4=4, B0,4), 如图： /1 B P D S44DP=S4DB-S4MBP=克×(4-1)×(1-m)=吉， 架移加产子 或SA4Dp=SAABP-S4MDB=吉×(4-1)×(m-1)=专 解得：子 故P9）我P》 3 1.（1)解：在)=-4+3中， 当x=0时，y=3, 当y=0时，x=4, .A4,0,B(0,3); (2)解：设C(0,c, C B A 则BC=c-3, S4Bc=10, 号ac04=c-k4=10 21 解得c=8或c=-2(舍去)， :点C的坐标为(0,8)； (3)解：当点D在x轴的正半轴上时，如图①，将△BOD沿直线BD折叠， 点O恰好落在直线AB上的点O处， B 图① .A4,0),B03), 04=4,0B=3, AB=VOA2+0B2=V32+42=5, 由翻折得， OB=OB=3,∠B0D=∠B0D=90°， 0D=0D,OA=AB-OB=5-3=2, 在RtAADO中， AD2=0,A2+0,D2, 即(4-0D2=22+0D2, 8器00-号 当点D在x轴的负半轴上时，如图②，将△BOD沿直线BD折叠， 当点0恰好落在直线AB上的点O处， 由翻折得， A 图② OB=O,B=3,∠B0D=∠B0,D=90°， 0D=02D, AB=5, 0,A=AB+O2B=5+3=8, 在Rt△ADO2中， AD2=02A2+0,D2, 即(4+0D)=82+0D2, 解得0D=6, .D-6,0): 综上所述，点D的坐标为 0 或(-6,0 12.(1)解：令x=0,y=4, 令y=0,x=3, 点A的坐标是(3,0).点B的坐标是(0,4)： 故答案为：(3,0)，(0,4). 4 (2)解：：点C(m,6是直线y=-x+4上一点， 3 6= 3m+4,解得：m=-3 36 点C26 设直线OC的解析式是y=x, 把点c(号6代入得：6= 3 解得：k=-4, .直线0C的解析式是y=-4x, 故答案为：y=-4x (3)解：存在， 由(1)得：点A的坐标是(3,0)，点B的坐标是(0,4)， 0A=3,0B=4, 设点D的坐标为 :△A0D的面积等于△OAB面积的2倍， ,1 4 1 小2×3x3a+42×3x4, 整理得-a+3=6, -a+3=6或-a+3=-6, 解得：a=-3或a=9, .点D的坐标为(-3,8)或(9,8) 13.(1)解：：一次函数y=mx+2m+3的图象与x轴、y轴分别交于点E、点F(0,6), .6=2m+3, 3 3 :一次函数的解析式为y=。x+6, 〔3 联立 =2+6 1 y=-2 x=-3 解得： 3， y-2 (2)解：①在y= 3 3 2x+6中，当y=0时，2x+6=0, 解得x=-4, E(-4,0）, .0E=4, :△Ew0的面积=0E=×4x}3, ②：点Q为直线EF上一点， 设@+6小 如图，当点Q在直线OM上方时， :S△0M0=6, .S.E00-S.EMo=6, 解得：=-1，此时+6 ×-)+6= 2 3 e-》 如图，当点Q在x轴下方时， M :S△oM0=6, :.S.EQo+S.EMO =6, 51+6+3=6, 3 x4 1 解得：1：-3（不符合题意，舍去）或=-5，此时1+6= -5列+6=3 s引： 综上所述，点？的坐标为 14.(1)1-3<x<-2; (2)解：由(1)如：点M(m,在线段4B上，点N1-,在直线40：=上， %=m+3-2ms0,⅓=0-m=名5 22m, 1,11,7 -y2=m+3- 22m2m+ 2 ”专>0，-2≤m≤0， :当m=0时，乃-y2有最大值， -⅓的最大值为x0+7_7 22 (3)解：存在.直线AB:y=x+3,令x=0得y=3, B(0,3. :点P在直线40上，设点P坐标为P)】 ①当t>0时，点P在x轴的下方， A B S.ABP=S.40B+S.BOP 2×3×[1-(-2]=6, 解得t=2,点P坐标为2，-1)， ②当t<0时，点P在x轴的上方， 解得1=-6，此时点P坐标为-6,3). :点P的坐标为2，-1)或(-6,3). 15.(1)设直线AB解析式为y=kc+b, 「-3k+b=0 把A(-3,0),B(0,2代入得 0b=2’ 解得： 3, b=2 则直线B解折式为子+2： (2)设Q(9,0),过C作CH⊥AQ,如图所示， 6 D C 3B/ -6-543-2-10L 123456x -2 3 -4 -5 -6 对于直线AB解析式y=x+2,把y=4代入得：x=3,即C3,4, 3 A0=9+3,CH=4, Se-40CH=21g+3非8，即g+非4， 解得：9=1或9=-7， 则Q坐标为1,0)或(-7,0)； (3)设P(m,0),分两种情况考虑， ①当AP为对角线时，如图所示： 6 5 D B P 6-543、-2-10 1234.56 -6 :以点A、C、P、H为顶点的四边形是矩形， .∠ACP=90°， .AC2+PC2=AP2, .（-3-3)2+(0-4+(3-m)2+(4-0)2=(-3-m)2, 17 解得m=3' ②当AP为边时，如图所示： 5 D .3B P 654210123456x 2 -4 -5 -6 :以点A、C、P、H为顶点的四边形是矩形， .LAPC=LHCP=90°， .m=3, .P3,0 17 综上可知，点P的坐标为 30 或(3,0