23.4.1《分段函数》 课件 -2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦“分段函数”核心知识点，通过玉米种子购买、乘车行程等实际问题导入，衔接一次函数基础，以“思考”问题引导学生分析变量与分段规律，搭建从简单函数到分段函数的学习支架，帮助理解分段逻辑。 其亮点在于采用“四步法”抽象函数模型，结合温度变化、出租车计费等生活实例，培养学生数学眼光（抽象能力）和模型观念（数学语言）。如工艺品销售题强化分类讨论，提升推理意识（数学思维）。小结明确应用领域，学生能提升解题能力，教师可高效实施教学。

第二十三章 一次函数 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 23.4 实际问题与一次函数 23.4.1 分段函数 1 学习目标 1. 能识别实际问题中的变量与分段变化规律，会根据自变量取值范围列分段一次函数解析式、绘制函数图象，能用分段函数解决生活中的计费、动态变化等实际问题. 2. 经历实际问题抽象为函数模型的探究过程，掌握分类讨论、数学建模的思想，提升分析、归纳与运算解题的能力. 3. 体会一次函数的生活应用价值，感受数学的实用与严谨，在探究练习中提升学习信心，养成规范解题、认真严谨的学习习惯. 2 3 新知探究 例 某玉米种子的价格为40元/kg，若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打6折. (1) 写出付款金额关于购买量的函弊解析式，并画出函数图象； (2) 一次购买4 kg玉米种子，需付款多少元? 思考：(1)题中哪个量是自变量？哪个量是自变量的函数？ (2)你能写出函数解析式吗？ (3)画函数图象时应注意什么问题？ (4)求所需付款金额时应注意什么问题？ 1.自变量与函数： 自变量是购买量x（kg），付款金额y（元）是自变量的函数。 2.函数解析式： y= 3.画函数图象的注意事项： 分段绘制，注意各段的自变量取值范围； 明确分段点\((2,80)\)，两段图象在此处衔接； 第一段为线段，第二段为射线，避免画成直线。 4.求付款金额的注意事项： 先判断购买量x所在的取值范围； 选择对应范围的解析式代入计算； 确保计算结果与实际意义相符（金额为正数）。 4 新知探究 抽象一次函数模型的“四步法”： 定变量：找准谁是自变量x，谁是自变量的函数y. 找关系：分析y是如何随着x的变化而变化的．寻找“初始值” (对应b)和 “单位变化量” (对应k)． 建模型：根据关系写出y＝kx＋b. 释意义：解释k和b在实际问题中的具体含义． 5 新知探究 例 某玉米种子的价格为40元/kg，若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打6折. (1) 写出付款金额关于购买量的函弊解析式，并画出函数图象； (2) 一次购买4 kg玉米种子，需付款多少元? 分析：付款金额与种子价格有关，而种子价格不是固定不变的，它与购买量有关，因此，写函数解析式与画函数图象时，应分0≤x≤2和x>2讨论. 6 新知探究 解：(1) 设购买量为xkg，付款金额为y元. 当0≤x≤2时，种子价格为40 元/kg， 函数解析式为y=40x； 当x>2时，购买的种子中有2kg按40元/kg计价， 其余的（x-2）kg（即超出2kg部分） 按24元/kg（即6折）计价， 函数解析式为y=80+24(x-2)=24x+32. 函数图象如图所示. 20 O 1 40 60 y/元 x/kg 80 100 2 3 y=24x+32 y=40x 7 新知探究 （2）因为4>2，所以y=24×4+32=128. 因此，一次购买4 kg种子，需付款128元. 20 O 1 40 60 y/元 x/kg 80 100 2 3 y=24x+32 y=40x 前面的函数解析式也可以合起来表示为y= 注意：分段函数是一个函数，不是多个函数，每一段必须标注自变量取值范围. 8 新知探究 例 “人人冬奥，全民冰雪”，寒假赵凯一家乘车去离家80千米的太白山滑雪场体验滑雪运动，出发后，前1.5小时匀速行驶了30千米，之后又匀速行驶了1小时到达目的地，他们在滑雪场玩了4小时后乘车回家.他们离家的距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系如图所示. (1)求AB的函数表达式. (2)赵凯一家经过多长时间离家的距离 为40千米? 30 O 1.5 80 y/千米 x/小时 2.5 8.5 A B C D 9 新知探究 (1)解：设AB段对应的解析式为： y=kx+b，把A(1.5，30)，B(2.5 ，80)代入，得 解得： ∴ AB段对应的解析式为y=50x-45. 30 O 1.5 80 y/千米 x/小时 2.5 8.5 A B C D 10 新知探究 30 O 1.5 80 y/千米 x/小时 2.5 8.5 A B C D (2)由题意知，C(6.5，80)，D(8.5，0)， 设CD段对应的解析式为y=mx+n， 把C(6.5，0)，D(8.5，0)代入，得， 解得： 11 新知探究 30 O 1.5 80 y/千米 x/小时 2.5 8.5 A B C D ∴ CD段对应的解析式为y=-40x+340. 把y=40代入y=50x-45，得40=50x-45，解得x=1.7. 把y=40代入y=-40x+340，得 40=-40x+340，解得x=7.5. 答：赵凯一家经过1.7或7.5小时， 离家的距离为40千米. 12 随堂演练 1.一个实验室在0：00--2：00保持20℃的恒温，在2：00-4：00匀速升温，每小时升高5℃.写出实验室温度T（单位：℃）关于时间t(单位：h)的函数解析式，并画出函数图象. 13 随堂演练 解：根据题意，温度 T 随时间 t 的变化分为两段： 第一段（0 ≤ t < 2）：保持恒温 20℃ 第二段（2 ≤ t ≤ 4）：匀速升温，每小时升高 5℃. 2:00 时温度为 20℃，之后每小时增加 5℃， 因此：T=20+5(t−2)=5t+10 综上，函数解析式为： T = 函数图象如图所示. 10 O 1 20 30 40 50 2 3 4 T=20 T=5t+10 t/h T(℃) 14 随堂演练 2.某市出租车的收费方式为：路程不超过3km时收费9元，超过3 km部分每千米收费2元.记乘客乘坐出租车的路程为x（x>3）km，乘车费为y元. (1) 求y关于x的函数解析式； 解：(1) 当x>3时，前3千米收费9元， 超过3千米的部分路程为（x-3）千米，这部分费用为2（x-3）元. ∴总费用y=9+2（x-3），化简可得： y=2x+3 故y关于x的函数解析式为y = 2x+3（x>3） 15 随堂演练 2.某市出租车的收费方式为：路程不超过3km时收费9元，超过3 km部分每千米收费2元。记乘客乘坐出租车的路程为x（x>3）km，乘车费为y元. (2) 若有一位乘客付了23元乘车费，则他的乘车路程是多少？ (2) ∵23>9，说明路程超过了3千米. 将y= 23代入y= 2x+3中， 得到23 = 2x+3，即2x+3=23. ∴他的乘车路程是10千米， 解得 x=10. 16 随堂演练 3．一个弹簧不挂重物时有一定的长度，挂上重物后伸长的长度与所挂重物的质量成正比(在弹簧的弹性限度内)，如果挂上1 kg的物体后，弹簧的总长为14 cm；如果挂上4 kg的物体后，弹簧的总长为20 cm. (1)求弹簧总长y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数解析式； (2)求弹簧不挂重物时的长度． 根据自变量的值求函数的值，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 17 随堂演练 解：(1)设弹簧总长y关于所挂物体质量x的函数解析式为y＝kx＋b， 根据题意，得 解得 ∴弹簧总长y关于所挂物体质量x的函数解析式为y=2x＋12. (2)当x＝0时，y＝12. 答：弹簧不挂重物时的长度为12 cm. 18 随堂演练 4．工艺品店销售某种工艺品，调查发现：当销售价为40元/件时，每天的销售量为20件；而当销售价每降低1元，每天的销售量就多5件．设售价为x元/件，每天的销售量为y件． (1)求y与x之间的函数关系式； 解：根据题意，得y＝20＋ ×5＝-5x＋220， ∴y与x之间的函数关系式为y＝-5x＋220. 19 随堂演练 4．工艺品店销售某种工艺品，调查发现：当销售价为40元/件时，每天的销售量为20件；而当销售价每降低1元，每天的销售量就多5件．设售价为x元/件，每天的销售量为y件． (2)若某天销售时，每件工艺品的利润为15元，当天共盈利750元，求这天该种工艺品每件的销售价． 解：当y= =50时，-5x+220＝50， 解得x=34. ∴这天该种工艺品每件的销售价为34元． 20 课程小结 分段函数中，自变量在不同的取值范围内的解析式不同，在解决问题时，要特别注意自变量的取值范围的变化，分段函数的应用面广，在水费、电费、商品促销等领域都有广泛应用. 实际问题与一元一次函数 注意：自变量的取值范围 分段函数的解析式与图象 21 第二十三章 一次函数 人教版八年级（初中）数学下册 授课老师：XXX 23.4 实际问题与一次函数 23.4.1 分段函数 22 $