23.4.1 建立一次函数模型 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

23.4 实际问题与一次函数 课时 1 建立一次函数模型 第二十三章 一次函数 人教版 数学 八年级 下册 学习目标 1. 通过实际问题经历一次函数模型的建模过程，在情境中 感受数学来源于生活，发展和培养数学建模思想以及分 析、解决问题的能力． 2. 了解分段函数的特点，学会根据题意求出分段函数的解 析式并画出函数图象，感知数形结合思想在一次函数中 的应用．（重点、难点） 问题：某辆汽车在加油后，油箱中有汽油50 L．如果汽车每行驶100 km耗油8 L，那么油箱中的剩余油量y(L)与行驶路程x(km)之间的关系是什么？ 1．审题与识别变量： 问：问题中变化的量是什么？(行驶路程x，剩余油量y) 问：谁是自变量，谁是因变量？(x是自变量，y是因变量) 新课导入 3 2．寻找对应关系： 问：汽车每公里的耗油量是多少？(8/100＝0.08 L/km) 问：行驶x km，耗油量是多少？(0.08x L) 问：耗油量与剩余油量是什么关系？(初始油量－耗油量＝剩余油量) 解：设购买量为x kg，付款金额为y元. 当0≤x≤2时，种子价格为40元/kg，函数解析式为y=40x； 当x＞2时，购买的种子中有2 kg按40元/kg计价，其余的（x-2）kg按24元/kg（即6折）计价，函数解析式为y=80+24（x-2）=24x+32. 一次函数的建模 例 某玉米种子的价格为40元/kg.若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2 kg的种子，超过部分的种子价格打6折. （1）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象； 探究新知 5 40 y/元 x/h O 2 80 3 100 60 20 1 函数图象如图所示. y=40x y=24x+32 （2）一次购买4 kg玉米种子，需付款多少元？ 解：因为4＞2， 所以y=24×4+32=128. 因此，一次购买4 kg种子，需付款128元. 探究新知 6 （2）一次购买 4 kg 玉米种子，需付款多少元？ y/元 O 40 20 60 80 100 x/kg 2 1 3 y = 40x y = 24x + 32 因为 4 > 2， 所以 y = 24 × 4 + 32 = 128. 因此，一次购买 4 kg 种子，需付款 128 元. y = 40x，0 ≤ x ≤ 2， 24x + 32，x > 2 . 抽象一次函数模型的“四步法”： 定变量：找准谁是自变量x，谁是自变量的函数y. 01 02 找关系：分析y是如何随着x的变化而变化的．寻找“初始值”(对应b)和“单位变化量”(对应k)． 03 建模型：根据关系写出y＝kx＋b. 04 释意义：解释k和b在实际问题中的具体含义． 知识归纳 某玉米种子的价格为40元/kg，若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打6折. （1）写出付款金额关于购买量的函弊解析式，并画出函数图象； （2）一次购买4 kg玉米种子，需付款多少元 探究新知 分析：付款金额与种子价格有关，而种子价格不是固定不变的，它与购买量有关,因此，写函数解析式与画函数图象时，应分0≤x≤2和x>2讨论。 1 O x/kg y/元 20 2 3 40 60 80 100 某市为了鼓励全民节约用水，制定了新的两级收费制度.按照新标准，用户每月缴纳的水费 y ( 单位:元 ) 与每月用水量 x ( 单位:m3 ) 存在如图所示的函数关系． （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2）若某用户某月缴纳水费 63 元， 则该用户当月的用水量是多少立方米？ 探究新知 8.当年游泳次数________时，选择套餐A能节省游泳费用. 当年游泳次数_________时，选择套餐B能节省游泳费用. 当年游泳次数_________时，选择套餐C能节省游泳费用. 在同一坐标系画出它们的图象： 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800 400 y/元 x/h O 20 800 30 600 200 10 40 50 60 0＜x≤35 y1=y2时，x=35. 35≤x≤65 y2=y3时，x=65. x＞65 探究新知 问题2 怎样租车？ 某学校计划在总费用不超过23 00元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示： （1）共需租多少辆汽车？ （2）给出最节省费用的租车方案． 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 探究新知 【讨论1】租车的方案有哪几种？ 共三种：（1）单独租甲种车；（2）单独租乙种车； （3）甲种车和乙种车都租． 某学校计划在总费用不超过23 00元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示： 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 探究新知 　 某种储蓄罐的质量为50 g，投入若干枚某种硬币以 后，储蓄罐和硬币的总质量y(单位：g)与硬币数量x(单 位：枚)的关系如下表： 硬币数量x/枚 1 2 3 4 5 储蓄罐和硬币总质量y/g 56 62 68 74 80 解：(1)由题意，每增加1枚硬币，总质量增加6 g，则y与x满足一次函数关系， (2)当储蓄罐和硬币总质量为110 g时，即当y＝110时， (1)求y与x之间的函数关系式(x为正整数)； (2)当投入的硬币数量为6枚时，储蓄罐和硬币的总质量为____g；当储蓄罐和硬币总质量为110 g时，投入的硬币为多少枚？ 设y＝kx＋b(k≠0)，把(1，56)，(2，62)代入，得 ∴y＝6x＋50. ∴y与x之间的函数关系式为y＝6x＋50. 56＝k+b， 62＝2k+b， 解得 k＝6， b＝50， 86 由110＝6x＋50，解得x＝10. 3.某日，王爷爷准备了80kg苹果在市场上销售，在销售过程中，顾客均通过电子支付的方式向王爷爷支付购买费用．他按市场价售出50kg苹果后，为早点收摊回家，他将剩余苹果降价处理且全部售完．已知王爷爷电子钱包中的零钱总额y(单位：元)(含原有零钱)与售出水果的千克数x的关系如图所示，请结合图象回答问题： （1）王爷爷的电子钱包中原有零钱____元； （2）苹果降价前每千克____元，降价后每千克____元； 80 12 10 （3）请求出 y 关于 x 的函数解析式． 解：由图象和（1）（2）可得，当0 ≤ x ≤ 50时，y=12x+80； 当50 < x ≤ 80时，y=10(x－50)+680，即y=10x+180. 综上，y关于x的函数解析式为y= 12x+80，0 ≤ x ≤ 50， 10x+180，50 < x ≤ 80 . 【讨论2】如果单独租甲种车需要多少辆？乙种车呢？ 【讨论3】如果甲、乙都租，你能确定合租车辆的范围吗？ 汽车总数不能小于6辆，不能超过8辆. 单独租甲种车要6辆，单独租乙种车要8辆. 240÷30=8 客车种类 载客量/人 租金/元 甲 45 400 乙 30 280 探究新知 【讨论4】要使6名教师至少在每辆车上有一名，你能确定排除哪种方案？你能确定租车的辆数吗？ 说明了车辆总数不会超过6辆，可以排除方案(2)——单独租乙种车；所以租车的辆数只能为6辆． 【讨论5】在讨论3中，合租甲、乙两种车的时候，又有很多种情况，面对这样的问题，我们怎样处理呢？ 方法1：分类讨论——分3种情况； 方法2：设租甲种车x辆，确定x的范围. 探究新知 实际问题 函数问题 设变量 找对应关系 函数问题的解 实际问题的解 解释实 际意义 课堂小结 $