江苏南通市如皋市长江高级中学2025-2026学年高一下学期数学冲刺期末小题练习3

**基本信息** 覆盖三角函数、立体几何等核心模块，以选择填空为载体，注重基础概念与综合应用结合，针对性突破期末高频考点。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数与解三角形|4题（题1、5、6、13）|图像变换、恒等变换、面积与角平分线综合|从图像变换（概念）到恒等变换（运算），再到解三角形（综合应用）| |立体几何|3题（题2、8、11）|线面关系判断、正方体动点综合、线面角计算|从线面关系（基础）到空间几何体动态问题（综合），培养空间观念| |统计与概率|2题（题3、9）|均值方差变换、上四分位数计算|数据特征（概念）到统计量计算（应用），体现数据意识| |向量与复数|3题（题4、7、10）|向量线性运算、复数几何意义|向量运算（基础）到复数综合（应用），强化数学语言表达| |函数|1题（题12）|零点与单调性综合|函数性质（概念）到综合应用，发展数学思维|

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度下学期高一数学冲刺期末小题练习3 1.为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（    ） A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 2.设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 3.已知一组样本数据，，…，的均值和方差分别为2和0.25，则，，…，的均值和方差分别为（    ） A．6和0.75 B．8和0.75 C．8和2.25 D．6和2.25 4.已知中，点M是线段的中点，N是线段的中点，则向量为（    ） A． B． C． D． 5.已知，则（    ） A． B． C． D． 6.已知的三个内角所对的边分别为的面积为，角的平分线交边于点，且，则为（    ） A． B． C． D．4 7.（多选）若复数z满足（i为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．z的虚部为 B． C．若复数w满足，则的最小值为 D．若z在复平面内对应的点为，则在向量的投影向量为 8.（多选）如图，在边长为1的正方体中，点P在线段上运动，下列命题中正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与直线所成角为定值 C．在点P运动过程中，平面BPD截该正方体的截面形状为三角形或矩形 D．直线与平面所成角的余弦值的范围是 9.高一某班10名学生的英语口语测试成绩（单位：分）如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.这组数据的上四分位数是_______. 10.已知向量，的夹角为，，，则______. 11.如图，已知，在平面内，OA是平面的斜线，且，，则直线与平面所成的角的大小为______． 12.已知函数，若为函数的一个零点，且函数在上是单调函数，则的最大值为 . 13.在中，内角，，所对的边，，满足，则_______，三角形为锐角三角形，则的取值范围是_______. 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度下学期高一数学冲刺期末小题练习3解析版 1.为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（    ） A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 【详解】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍， 纵坐标不变，得到函数的图象．故选：A 2.设，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【详解】对于A，由，，则或，故A错误； 对于B，由，则，使得，由，则，即，故B正确； 对于C，由题意可得与的位置关系可能为相交、平行或在面内， 当与相交时，与的位置关系可能是相交或异面不垂直，故C错误； 对于D，当且时，，，，故D错误. 故选：B. 3.已知一组样本数据，，…，的均值和方差分别为2和0.25，则，，…，的均值和方差分别为（    ） A．6和0.75 B．8和0.75 C．8和2.25 D．6和2.25 【详解】由题意得，故， 则即，，…，的均值为，又， 故，解得， 故 故，，…，的方差为.故选：C 4.已知中，点M是线段的中点，N是线段的中点，则向量为（    ） A． B． C． D． 【详解】中，点M是线段的中点，N是线段的中点，则    故选：D 5.已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为 所以， 所以.故选：D 6.已知的三个内角所对的边分别为的面积为，角的平分线交边于点，且，则为（    ） A． B． C． D．4 【详解】因为，且角的平分线交边于点， 所以，即， 又，所以，即， 由余弦定理得， 所以，即.故选：C. 7.（多选）若复数z满足（i为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．z的虚部为 B． C．若复数w满足，则的最小值为 D．若z在复平面内对应的点为，则在向量的投影向量为 【详解】A选项，，故虚部为，A错误； B选项，，B正确； C选项，设，，则， 所以，可将看作圆心为，半径为3的圆上和内部的点， 其中几何意义是点到原点的距离， 显然最小距离为到原点的距离减去半径，即最小值为，C正确； D选项，若z在复平面内对应的点为，则， 故在向量投影向量为. 故选：BCD 8.（多选）如图，在边长为1的正方体中，点P在线段上运动，下列命题中正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与直线所成角为定值 C．在点P运动过程中，平面BPD截该正方体的截面形状为三角形或矩形 D．直线与平面所成角的余弦值的范围是 【详解】对于A，由，其中的面积为定值， 在正方体中，， 因为平面，平面，所以直线平面， 所以当点在线段上运动时，点到平面的距离也为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，连接，在正方体中，平面， 因为平面，所以， 又由，，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 所以异面直线与直线所成的角为，故B正确； 对于C，设分别为的中点， 连接，，，则， 设为与的交点， 在正方体中，，则，且， 则此时平面BPD截该正方体的截面为梯形，故C错误； 对于D，在正方体中，平面， 则为直线与平面所成角， 当与重合时，最大，此时平面，则， 当与重合时，最小，而， 此时， 所以直线与平面所成角的余弦值的范围是，故D错误. 故选：AB. 9.高一某班10名学生的英语口语测试成绩（单位：分）如下：76，90，84，82，81，87，86，82，85，83.这组数据的上四分位数是_______. 【详解】解：成绩从小到大排序为：76，81，82， 82，83， 84，85，86，87，90， 则，所以这组数据的上四分位数是86，故答案为：86 10.已知向量，的夹角为，，，则______. 【详解】. 故答案为：. 11.如图，已知，在平面内，OA是平面的斜线，且，，则直线与平面所成的角的大小为______． 【详解】取线段的中点，连接，并延长，作，如图， 因，，， 则由余弦定理得，即， 同理可得， ∵，D是的中点，，， 而，即，因此，， ∵，，平面， 平面，又平面， ∴，又∵，平面， ∴平面，是直线OA与平面所成的角，， ∵线面角的范围为，∴，所以直线OA与平面所成的角的大小为． 故答案为： 12.已知函数，若为函数的一个零点，且函数在上是单调函数，则的最大值为 . 【详解】根据题意可得，所以， 可得； 由函数在上是单调函数，可得，解得； 因此可得当时，取得最大值.故答案为：3 13.在中，内角，，所对的边，，满足，则_______，三角形为锐角三角形，则的取值范围是_______. 【详解】由余弦定理，又， 所以，所以， 由正弦定理可得， 所以， 所以，所以， 又，则，所以或， 若，则，显然不符合题意，故舍去， 所以，即，所以， 因为为锐角三角形，所以，解得，则， 所以， 因为，所以，令，则， 令，，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以，又，所以， 即的取值范围是.故答案为：； 2 学科网（北京）股份有限公司 $