河北博野中学等校2026级高一创新班（0.5+3班）摸底测试数学试题

26级高一创新班摸底测试 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第三章第2节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知命题p:3x∈R,x3一x>1,则命题p的否定为 A.Vx∈R,x8-x<1 B.]x∈R,x3-x≤1 C.]x∈R,x3-x<1 D.Vx∈R,x3-x≤1 2.已知集合A={x∈N|x2≤16)，B={x|2x-5<0},则A∩B= A.{1,2) B.(0,1,2} ca-4长<} D.{a0x<} 3.函数f()=4二3远的定义域为 4Z- A(-∞，0U(0,号] B[,+) c(-o,号] D.(o,号)U(告，t∞) x2-2,x<3, 4.已知函数f(x)= 则f(8)= 2f(x-2),x≥3， A.4 B.8 C.16 D.32 5.已知f(x)是定义域为R的奇函数，则“f(a)十f(b)=0”是“a十b=0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【高一数学第1页（共4页）】 26-L-628A ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣5 6.单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、 气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N= 0.4十0.6十d其中4，(m)为安全距离，o(m/s)为车速，当安全距离d山取40m时，该道 1000v 路一小时“道路容量”的最大值约为 A.116 B.118 C.119 D.122 7.设G为非空数集，若对于任意的a,b∈G,都有a十b∈G,a一b∈G,ab∈G,则称G是一个数 环.关于数环，下列说法错误的是 A.0是任何数环的元素 B.集合M={x|x=2k,k∈Z)是一个数环 C.集合P=√5nln∈Z}是一个数环 D.若集合G,G2为数环，则G∩G2也为数环 8.已知f()是定义在R上的偶函数，当<，≤0时，f)二f)>十2恒成立，且 C1一x2 f(2)=1,则不等式f(x一2)<x2一4x十1的解集为 A.(0,4) B.(-∞，0)U(4,+∞) C.（-2,2) D.(-∞，-2)U(2,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知a>b>0>c>d,则下列不等式正确的是 A>方 B.a2>62 C.a-d>b-c D.bc-ad 10.下列说法错误的是 A.函数y=√x十1·√x一1与函数y=√x2一1表示同一个函数 B.若f(x)是一次函数，且f(f(x))=16x十5，则f(x)=4x一1 C.函数f(x)的图象与y轴最多有一个交点 D函数)=十在（一0，-1U(一1，十e∞）上是单调递减函数 11.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意的x,y∈R,都有f(xy)=yf(x)十 xf(y),则下列说法正确的是 A.f(0)=0 B.f(x)是偶函数 C若f2)=2,则f()=-司 D.若当c>1时，f(x>0,则g(x)=f在(0，十oo)上单调递增 x 【高一数学第2页（共4页）】 26-L-628A ▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.集合A={x∈Z0<2<7)有 个子集。 13.若函数f(x)=x +1,x≥1， 在（一o∞，十o∞）上单调递减，则a的取值范围是 ((2-a)x+4,x<1 14.已知二次函数f(x)满足f(x)=1有两个相等实根，且不等式f(x)<0的解集为（一∞，0） 112,+o∞).当a>b>0时，在[b,a]上f()的取值范围为[日言]，则a= ,b= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知全集U=R,集合A={x|一2≤x≤4)}，B={x|2a-1≤x≤2a+3}. (1)若a=一1，求AQB和(CA)UB; (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求a的取值范围. 16.(本小题满分15分) 设a,b,c为正实数，且a十b十c=1. (1D求日十方产的最小值： (2)若b2≤ac,求b的取值范围， 【高一数学第3页（共4页）】 26-L-628A ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)一牛是定义在[26-3,2-b]上的奇函数 (1)求a,b的值； (2)判断f(x)在[0,1]上的单调性并证明； (3)解关于x的不等式f(x)+f(1一4x)<0. 18.(本小题满分17分) 已知二次函数y=x2一(a一3)x十4. (1)若关于x的不等式x2一(a一3)x十4≤0的解集为{x|1≤x≤b}(b>1),求a和b的值； (2)若不等式y≥0对一切实数x都成立，求a的取值范围； (3)解关于x的不等式x2-(a-3)x十4>(a+1)x2+1. 19.(本小题满分17分) 都到 已知函数f(x)=ax2-|x-a(a∈R) (1)若a<1,f(x)在[1，十o∞)上单调递增，求a的取值范围； (2)若a>0,设函数f(x)在[0，十∞)上的最小值为g(a),求g(a)的解析式； (3)在(2)的条件下，若对任意n∈[一1,1]，存在t∈(0，+∞)，使得g(t)≥-m十m2-2- 恒成立，求实数：的取值范围， 【高一数学第4页（共4页）】 26-L-628A ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效26级高一创新班摸底测试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.D命题p:3x∈R,ax3一x>1的否定为Hx∈R,x3一x1.故选D. 2.B由题意知A={x∈N2<16)=401,2.3,4,又B={x2x-5<0={x<号所以AnB {0,1,2}.故选B. 3.A由题意知 4二≥0解得≤专且≠0，故)的定义域为(-，0U(0,青]故选A x≠0， 4.Cf(8)=2f(6)=4f(4)=8f(2)=8×(22-2)=16.故选C. 5.B若f(x)=x3一x,则f(x)是R上的奇函数，取a=1,b=0,此时f(1)十f(0)=0,但1十0≠0，充分性不 成立：若a+b=0,则a=一b,因为f(x)是R上的奇函数，所以f(a)+f(b)=f(a)一f(-b)=f(a)一f(a)= 0,必要性成立.故选B. 6.A由题知Na4十06m+d0,4+0.o+004+g+0.624oxg 1000w 1000u 1000 1000 -=1000≈116 +0.6 8.6 (当且仅当0,4和=碧，即=10时取“=")，所以该道路一小时道路容量的最大值约为16放选A 7.C由数环的定义可知，若a∈G,则a一a=0∈G,所以0是任何数环的元素，A正确；偶数与偶数相加、相减、 相乘的结果均是偶数，所以M是一个数环，B正确：设a=√5n,b=√52，n1,12∈Z,则ab=√5(51)，因 为5m2不是整数，所以集合P不是数环，C错误；设a,b∈G∩G2,因为G为数环，则a十b,a一b,ab∈G, 又G2为数环，则a十b,a一b,ab∈G2,所以a十b,a一b,ab∈G∩G2,D正确.故选C. 8.B因为）f》>十n<<0,所以f()-f(m)<号-，即f()-<fx)-,令 x1一x2 g(x)=f(x)一x2,则有g(x)<g(x2),则g(x)在（一∞，0]上单调递增.又f(x)是定义在R上的偶函数， g(-x)=f(一x)-(-x)2=f(x)-x2=g(x),所以g(x)是定义在R上的偶函数.由f(x一2)<x2-4x十1， 可得f(x-2)-(x-2)2<-3=f(2)-22,即g(x-2)<g(2),由g(x)的单调性和奇偶性，可得|x-2>2, 解得x>4,或x<0.故选B. 9.BCD当a=2,b=1时，2<方放A错误：a2-=(a-b)(a十b),又a>6>0,所以a-一6>0，a+6>0,所 以a2一？>0，故B正确：因为c>d,所以一dD-c,又a>b,所以a一d>b-c,故C正确；因为a>b>0>c>d, 所以bc>bd,bd>ad,所以bc>ad,故D正确.故选BCD. 10.ABD对于A,函数y=x+1·√x-I的定义域为[1，十∞)，函数y=√/x2-1的定义域为 (一∞，一1]U[1,十∞)，两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故A错误； 对于B,设fCx)=kx+b(k≠0)，则f)=k(x+b)+b=x+b叶6=16+5，所以b+6-5. k2=16, 解 得/4， k=一4， b气1,6=一5，所以f(x)=4x+1或f(x)=一4x号，故B错误： 或 对于C,根据函数的定义可得函数y=∫(x)的图象与y轴最多有一个交点，故C正确； 对于D,函数)一有在（一o∞，一1D,(一1，+o∞）上是单调递减函数，故D错误.故选ABD, 11.ACD因为f(xy)=yf(x)+xf(y),所以令x=y=0,得f(0)=0,故A正确：令x=y=1,得f(1)=f(1) +f(1),所以f(1)=0,令x=y=-1,得f(1)=-f(-1)-f(-1),所以f(-1)=0,令y=-1,得f(-x) 【高一数学参考答案第1页（共4页）】 26-L-628A =一f(x)十xf(-1),又f(-1)=0,所以f(一x)=一f(x),又因为定义域为R,所以函数f(x)是奇函数， 故B错误：令x=y=2,得④)=22)+22)=42)=8，令x=4,y=子，得1)=子4④+4()， 所以f(分)=-4)=一，故C正确：当，≠0时，由f()=yx)+f(,可得型-巴 +,又g()=卫，所以g(y)=g(0+gy,任取0<西<，所以g(G)-g()=g()- g(西·妥）8)-8西)8(）一8（件）又0<西<，所以受>1，（停） >0,故 T2 g()<g(2),所以g(x)=f四在(0，十oo)上单调递增，故D正确.故选ACD 12.8由题意得集合A={1,2,3},可得A的子集个数为23=8. a>0, 13.(2,3] 由题意可知2一a<0, 解得2a≤号，即a的取值范围是(2，号] 2-a+4≥a+1, 142分)1(3分) 由不等式f(x)<0的解集为(-∞，0)U(2,十∞)可知，二次函数f(x)的图象过原 点，且2是方程f(x)=0的一个根.设f(x)=mx2+x,又由f(x)=1,即mx2十n.x一1=0有两个相等实根，则 4m+21=0, 解得m=-1,n=2,故f(x)=一x2+2x,且其最大值为1.由f(x)在[b,a]上的取值范围 △=n2+4m=0, 为[日，方]，可得方<1，所以6≥1，所以)在[6a]止单调递减，则f0=石a)=,即a,6是方程 一+2x=的两个根，由-2+2x=,得-x-1=文-1=，所以(x-D(2-1-)=0,即 一D…-=0,解得=1155又心b1所以a1片56= 2 15.解：(1)若a=-1,则B={x2a-1≤x2a十3}={x|-3≤x≤1}，… 2分 所以A门B={x-2≤1}，…4分 又CuA={xx<-2或x>4},所以(CuA)UB={xa≤1或x>4}.…7分 (2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，所以B真包含于A,…9分 12a-1≥2， 所以 且等号不能同时取， 11分 2a+3≤4， 解得一<a<即a的取值范围是{a-之<a<号}月 13分 1解，1+产。=（日+产）[a++]=5+(+) …3分 5+2V·0 =9,… …5分 当且仅当件-0。即a=子：b十c=号时，等号成立，所以号+气的最小值为9 a …7分 2)由基本不等式得，ac≤a十0)=b),当且仅当a=c时等号成立，…… 10分 4 为气≤6，所以<b》当且仅当即a=0c三时，等号成立，…… 解得-1<3，又b为正实数，所以0<K名， 【高一数学参考答案第2页（共4页）】 26-L-628A 即b的取值范围是 15分 1.解：1)因为函数)=号是定义在[26-3,2-上的奇函数，所以26-3计2-6=0，…1分 解得b=1, …2分 所以)号是定义在[一1,1门上的奇函数所以0)=书-a=0,…3分 此时/)=千所以(-)=《-)有千一f),满足题意。 …4分 (2)f(x)在[0,1门上单调递增. …5分 证明：任取>，且∈[0，，所以f)-)升 2 -1(z+1)-x2(.x号+1) (+1)(+1) =西2(2一西）十西一2=（一9）(1一西9） (x+1)(z+1) (x+1)(x吃+1) …7分 因为x1>x2,且，2∈[0,1]，所以1一2>0且一x2>0, 所以f(x1)一f(x2)>0,即f()>f(x2),因此f(x)在[0,1]上单调递增.…9分 (3)因为f(x)为奇函数，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在[一1,1]上单调递增， …10分 由f(x)+f(1-4x)0,可得f(x)<-f(1-4x),即f(x)f(-1+4x), x<-1+4x, 所以{一1≤x1, 13分 (-1≤-1+4x≤1， 解得子<≤分，即关于x的不等式f()+1-一4)<0的解集为（仔2] …15分 18.解：(1)因为关于x的不等式x2-(a-3)x+4≤0的解集为{x|1≤x≤b}(b>1), 1+b=a-3, 所以1和b是方程x2一(a一3)x+4=0的两个根，所以 …2分 1×b=4, 解得Q=8,b=4.…4分 (2)若不等式y≥≥0对一切实数x都成立，则△=[一(a一3)门2一4X4≤0，…7分 解得一1≤a≤7，即a的取值范围是{a|一1≤a≤7}.… …9分 (3)由x2-(a-3)x+4>(a十1)x2+1,得a.x2+(a-3)x-3<0,所以(a.x-3)(x+1)<0,…11分 若a=0,则x>一1，此时不等式的解为{x|x>一1〉；… 12分 若a>0,则-1<<2，此时不等式的解为-1K<县 …13分 若a<0,当-3<a<0时，则<或x>-1,此时不等式的解为{x<2或x>-1: …14分 当a=一3时，则不等式的解为{x|x<-1或x>一1}； 15分 当a<-3时，则<-1或>2，此时不等式的解为{x<-1或x>} …16分 综上，当a=0时，不等式的解为{zz>-1:当a>0时，不等式的解为{z-1<<县}： 当-3<a<0时，不等式的解为z<或x>-1:当a=-3时，不等式的解为xx<-1或x>-1 当a<-3时，不等式的解为{xx<-1或x>3}: …17分 19.解：(1)因为a<1,所以x≥1时，x-a>0,此时f(x)=a.x2-x+a, 当a=0时，f(x)=一x,显然f(x)在[1，十o∞)上单调递减，不满足题意，舍去；…2分 【高一数学参考答案第3页（共4页）】 26-L-628A fa>0, 当a≠0时，由二次函数的性质可知f(x)开口向上，对称轴为x一2a≤1，即 解得a心， 又a<1,所以实数a的取值范围为[之，1)。 4分 |a.x2+x-a,0≤x<a, (2)由题意得f(x)= la.x2-x+a,x≥a, (1)当0≤a时f)-ar+a,)开日向上，对称销为=立0， 所以f(x)在[0，a)上单调递增，故f(x)mn=f(0)=一a. …5分 (i)当≥a时，f)=a-z+a,则fx)开口向上，对称轴为x云>0 ①当六a即a≥号时，x)在[a,十)上单调递增，放K》n=a)=d； ②当安>a,即0<u<号时，/)在[a)上单调速减，在（合+）上单调递增，故了()=（分） 1 a4a1 …7分 三3严型泉时”()/“丁(o∞十0]pw-<担行京W霜 当0a<时 <-a,所以在[0，十o)上fx)m=a,即ga)=a 1 4 当<号时a ≥一a,所以在[0，十∞)上，f(x)m=一a,即g(a)=一a ,0<a 2 4a 49 综上，g(a) 10分 一a,a2 4· (3)令h(m)=一m十m2-2-2(me[-1,1门)， 4 对任意ne[-1,1门，存在(0，十o∞)，使得g1)>-m十m2-2-恒成立， 等价于g(t)mx≥h(n)mm恒成立，… 12分 0< t1 由(2)知g(t) 显然)在(o,)上单道增，在[，+∞)上单调递减： -1 14分 4十 h(n)是关于n的一次函数，且定义域为[-1,1门，则h()mx=h(1),或h(n)mx=h(-1),…15分 ≥(-1）=m+m2-2 4 所以 解得-1≤m≤1， E≥h1)=m-m-2- 4 4 故实数m的取值范围为[一1,1门.…17分 【高一数学参考答案第4页（共4页）】 26-L-628A