精品解析：福建宁德市博雅培文学校高中部2025-2026学年第一学期1月教学诊断高二数学试卷

福建宁德市博雅培文学校高中部2025-2026学年第一学期1月教学诊断高二数学试卷 一、单选题 1. 等差数列满足，则的公差为（ ） A. －4 B. －1 C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合等差数列的通项公式，列出方程组，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 即等差数列的公差为. 故选：B. 2. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线平行的条件，建立关于的关系式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【详解】解：当时，直线为与平行. 当直线与直线平行时 且，解得. 故“”是“直线与直线平行”的充要条件. 故选：C. 3. 将名世博会志愿者全部分配给个不同的地方服务，不同的分配方案有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】每名志愿者有种选择，利用分步乘法计数原理可得出分配方案的种数. 【详解】由题意可知，每名志愿者有种选择，将名世博会志愿者全部分配给个不同的地方服务，不同的分配方案种数为种. 故选：D. 【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题. 4. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据裂项相消法、累加法求出通项公式即可. 【详解】由可得，. ，，，，， 所以（）， ， 又当时，依然成立， 所以. 故选：B. 5. 过点作直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简曲线方程，作图，根据点到直线的距离可求斜率. 【详解】由，得，即， 所以曲线是以原点为圆心，为半径的圆的上半部分，如图． 因为，即，所以， 所以圆心到直线l的距离为． 设直线的斜率为，则直线的方程为， 圆心到直线的距离，解得，因为，所以． 故选：C． 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 45 B. C. 120 D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为，故展开式特点可知的系数即为的的系数，再结合二项式定理通项公式即可求解 【详解】 ， 故在的展开式中，的系数即为的的系数， 又展开式的通项为，令，故， 所以的系数为. 故选：A. 【点睛】本题考查三项展开式中指定项的系数，解决此类问题的关键在于把三项整合成两项的和，即将问题转化为的的系数，再利用二项展开式求相关项的系数，注意这些相关项的系数与指定项的系数的关系. 7. 已知数列是公差不为0的等差数列，且，，为等比数列的连续三项，则的值为 A. B. 4 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：数列{an}是公差d不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，可得=a1•a7，化简可得a1与d的关系．可得公比q=．即可得出=． 详解：数列{an}是公差d不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项， ∴=a1•a7，可得=a1（a1+6d），化为：a1=2d≠0． ∴公比q====2． 则==． 故选A． 点睛：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8. 已知斜率为2的直线与双曲线 的左､右两支分别交于两点，且､，都垂直于轴(其中､分别为双曲线的左､右焦点)，则该双曲线的离心率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可知两点关于原点对称，即直线的方程是，根据条件可知两点的横坐标分别是，代入椭圆方程和直线方程，求纵坐标，建立方程求双曲线的离心率. 【详解】直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且､，都垂直于轴， 根据双曲线的对称性，设点， ， 则 ，即 根据双曲线的对称性可知，直线过原点，直线的方程是， ， ，整理得，两边同时除以， 可得： ， 解得. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的离心率，意在考查转化与化归和数形结合的思想，和计算能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程. 二、多选题 9. 在的展开式中，若所有项的二项式系数和为64，则（ ） A. B. 展开式中的常数项为240 C. 展开式中的第3项和第4项的二项式系数相等 D. 展开式中的各项系数之和为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】由二项式系数和为64计算可判断A；求得通项公式，令，解得，代入计算可判断B；结合通项公式计算可判断C；令，代入计算可判断D. 【详解】对于A，由二项式系数和为64得，解得，故A正确； 对于B，展开式通项为， 令，得，即常数项为，故B正确； 对于C，第3项二项式系数为，第4项的二项式系数为， 所以展开式中的第3项和第4项的二项式系数不相等，故C错误； 对于D，令得，故D正确. 故选：ABD 10. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列的前n项和为 C. 数列的前100项和为50 D. 数列的前30项和为345 【答案】AC 【解析】 【分析】A利用降标作差可得；B利用等差数列求和公式即可；C利用并项求和即可；D求出其通项，再分别求出前项和以及后项和. 【详解】当时，， 两式相减可得：，所以， 当时，，符合上式，故，故A正确； 由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误； 令，的前100项和为：，故C正确； 令，所以的前30项和为：，故D错误. 故选：AC 11. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，过点作双曲线的切线交双曲线于点（在第一象限），点在延长线上，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 为的平分线 D. 的角平分线所在直线的倾斜角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据题意设出切线方程，与双曲线方程联立求出点的坐标，然后即可求出，，从而可以判断AB两项；再根据角平分线性质定理的逆定理可以判断C项；最后根据条件求出的角平分线所在直线的斜率即可求出倾斜角. 【详解】由题意知点为切点，且切线斜率大于零， 设切线方程为， 联立消得， 由得，所以切线方程为. 把代入，解方程得 将代入切线方程得，所以，所以，故选项A正确. 因为,所以，故选项B错误. 因为,所以， 又因为，所以， 所以为的平分线，故选项C正确. 又因为，且与的角平分线所在直线垂直， 所以的角平分线所在直线的斜率为， 所以的角平分线所在直线的倾斜角为，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 若，则__________. 【答案】33 【解析】 【分析】由赋值法分别令，即可求解. 【详解】令，得， 令，得，所以. 故答案为：33 13. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】将表示为圆上的点与点的连线的斜率，然后设出切线方程为，结合图形求出结果即可. 【详解】圆的方程为，即，圆心为，半径， 则表示圆上的点与点的连线的斜率， 过点作圆的切线方程， 显然，切线斜率存在，设切线方程为，即． 则，解得， 所以的取值范围为． 故答案为：. 14. 公元前3世纪，阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中明确给出了椭圆和圆的一个基本性质：如图，过椭圆（或圆）上任意一点P（不同于A，B）作长轴（或直径）AB的一条垂线段，垂足为，则为常数．若此图形为圆，则____________；若，则此图形的离心率为____________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】若图形为圆，根据相似三角形可解；当图形为椭圆时，建立坐标系，将问题坐标化，然后计算可得. 【详解】若为圆，则为直角三角形， 因为，所以，于是有，所以 当为图形为椭圆时，如图建立平面直角坐标，设椭圆方程为，点， 则，所以 又，得，即 所以，， 所以 故答案为：1，. 四、解答题 15. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）本小题求等差数列的通项公式，由已知，采取基本量法，即把已知条件用首项和公差出来，由此写出通项公式；（2）数列是由等差数列形成的，可裂成两项的差：，则求和时，可以通过前后项相消求得. 【详解】（1）. （2）， 所以. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，前项和公式，裂项求和，属于中档题目. 16. 已知的三顶点坐标分别为：，，． （1）求的外接圆的标准方程； （2）已知过的直线被的外接圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）设外接圆，代入坐标可构造方程组求得，整理可得圆的标准方程； （2）由圆的方程可知圆心和半径，由垂径定理可求得圆心到直线的距离；当直线斜率不存在时可知其满足题意；当斜率存在时，设，利用点到直线距离公式可构造方程求得，从而得到直线方程；综合两种情况可得结果. 【小问1详解】 设外接圆的方程：， 则有，解得：， 外接圆的方程：，即； 【小问2详解】 由（1）知：外接圆的圆心为，半径； 圆心到直线的距离， ①当直线的斜率不存在时，，符合题意 ②当直线的斜率存在时，设直线，即， ，解得：，； 综上所述：直线的方程为：或． 17. 设数列的前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，且，求数列的通项公式； （3）设，数列的前n项和为.求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由和项求通项，关键分类求解：当n=1时，解得，当n≥2时，，解得，再根据等比数列定义得数列的通项公式（2） 因为，所以利用叠加法求数列的通项公式，注意右边求和时的项数为n-1（3）因为，所以先利用错位相减法求和：注意相减时项的符号变化，中间等比数列求和时的项数，最后结果需除以，最好代入验证所求结果；再根据解，注意结合运用数列单调性及试根法求超越方程的根. 试题解析：（1）当n=1时，，所以 当n≥2时， ，且 所以得： 则数列是以1为首项，为公比的等比数列， 数列的通项公式是 ． （2）由 且 所以：， 则：，，⋯⋯⋯， 以上n-1个等式相加得： 则：＝2－，又 所以： （3）由题意知 则 以上两式相减得 则 恒成立 ， 【方法点睛】用错位相减法求和应注意的问题 （1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形； （2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式； （3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 18. 已知椭圆（a>b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）. （i）若，求直线l的倾斜角； （ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（ⅰ）直线l的倾斜角为或（ⅱ）或 【解析】 【详解】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.满分14分. （Ⅰ）解：由e=，得.再由，解得a=2b. 由题意可知，即ab=2. 解方程组得a=2，b="1." 所以椭圆的方程为. (Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）. 于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得 . 由，得.从而. 所以. 由，得. 整理得，即，解得k=. 所以直线l的倾斜角为或. （ii）解：设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为. 以下分两种情况： （1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是 由，得． （2）当时，线段AB的垂直平分线方程为． 令，解得． 由，， ， 整理得．故．所以． 综上，或 19. 已知双曲线，双曲线的右焦点为F，圆C的圆心在y轴正半轴上，且经过坐标原点O，圆C与双曲线Γ的右支交于A、B两点． （1）当△OFA是以F为直角顶点的直角三角形，求△OFA的面积； （2）若点A的坐标是，求直线AB的方程； （3）求证：直线AB与圆x2+y2＝2相切． 【答案】（1） （2） （3） 证明：由题知直线AB斜率必存在， 故设直线AB的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2）， 圆C的方程为， 由，消去y得:， 由题意得：，且， 由，消去x化简得：，所以. 所以， 即 ， 因此原点O到直线AB的距离，所以直线AB与圆相切． 【解析】 【分析】（1）根据题意求得，由三角形面积公式即可求得答案； （2）设圆C的方程为，由点A的坐标求得m，联立求得B点坐标，可得答案； （3）设直线AB的方程为，，联立，可得根与系数的关系式， 再联立可得，结合根与系数的关系式化简， 可得的圆心到直线AB的距离等于半径，可证明结论． 【小问1详解】 由题意△OFA是以F为直角顶点的直角三角形，， 所以点A在直线上，设A，代入，解得， 取，则，所以△OFA的面积； 【小问2详解】 设圆C圆心坐标为，因其过原点，则. 故圆C方程为：. 代入点A，得，解得. 将圆C方程与联立得，消去得：， 解得. 又B点在双曲线右支，故B. 则AB方程为：.，化简为， 即直线的方程为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题为直线，圆，双曲线综合题.（1），（2）为基础题，难点在于（3）关键在于做第二问时，能够发现对于任意A，B两点，均有，从而在（3）中建立起与关系，得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建宁德市博雅培文学校高中部2025-2026学年第一学期1月教学诊断高二数学试卷 一、单选题 1. 等差数列满足，则的公差为（ ） A. －4 B. －1 C. 1 D. 4 2. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 将名世博会志愿者全部分配给个不同的地方服务，不同的分配方案有（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 5. 过点作直线与曲线相交于两点，为坐标原点，当时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 45 B. C. 120 D. 7. 已知数列是公差不为0的等差数列，且，，为等比数列的连续三项，则的值为 A. B. 4 C. 2 D. 8. 已知斜率为2的直线与双曲线 的左､右两支分别交于两点，且､，都垂直于轴(其中､分别为双曲线的左､右焦点)，则该双曲线的离心率为 A. B. C. D. 二、多选题 9. 在的展开式中，若所有项的二项式系数和为64，则（ ） A. B. 展开式中的常数项为240 C. 展开式中的第3项和第4项的二项式系数相等 D. 展开式中的各项系数之和为1 10. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 数列的前n项和为 C. 数列的前100项和为50 D. 数列的前30项和为345 11. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，过点作双曲线的切线交双曲线于点（在第一象限），点在延长线上，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 为的平分线 D. 的角平分线所在直线的倾斜角为 三、填空题 12. 若，则__________. 13. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是_______. 14. 公元前3世纪，阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中明确给出了椭圆和圆的一个基本性质：如图，过椭圆（或圆）上任意一点P（不同于A，B）作长轴（或直径）AB的一条垂线段，垂足为，则为常数．若此图形为圆，则____________；若，则此图形的离心率为____________． 四、解答题 15. 已知等差数列的前项和为，，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知的三顶点坐标分别为：，，． （1）求的外接圆的标准方程； （2）已知过的直线被的外接圆截得的弦长为，求直线的方程． 17. 设数列的前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，且，求数列的通项公式； （3）设，数列的前n项和为.求. 18. 已知椭圆（a>b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）. （i）若，求直线l的倾斜角； （ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值. 19. 已知双曲线，双曲线的右焦点为F，圆C的圆心在y轴正半轴上，且经过坐标原点O，圆C与双曲线Γ的右支交于A、B两点． （1）当△OFA是以F为直角顶点的直角三角形，求△OFA的面积； （2）若点A的坐标是，求直线AB的方程； （3）求证：直线AB与圆x2+y2＝2相切． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $