精品解析：2026年江苏省宿迁市初中数学中考模拟试卷

宿迁市2026年初中毕业暨升学模拟考试 数学 本卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 为缓解学生学业压力，打破传统教学空间壁垒，将“读万卷书”与“行万里路”结合，今年开始国家明确“支持有条件的地方推广中小学春秋假”，年春假期间宿迁市预计接待游客人次．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 92，94 B. 95，95 C. 94，95 D. 95，96 6. 如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射．一束光线沿斜射入水面，在点处发生折射，沿方向射入水中．如果，，那么光的传播方向改变了（ ）． A. B. C. D. 7. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点、是反比例函数图象上的两点，直线交轴正半轴于点，连接并延长交反比例函数图象的另一支于点，过点作的角平分线的垂线，垂足为点，若点是线段的中点且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ______ ． 10. 因式分解：______． 11. 等腰三角形两边长分别为，，则它的周长是_______． 12. 已知，是方程的两个实数根，则___________； 13. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______． 14. 如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为__________ 15. 如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______． 16. 将正八边形与正五边形如图摆放，其中点为公共顶点，边在同一直线上，则的度数为___________． 17. 如图，，，…都是等腰直角三角形，点，，…，按图中规律，的坐标是_______． 18. 如图，已知正方形的边长为，点是射线上的一个动点，连接，点为上的一个动点，且满足，连接，则的最小值为_______． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，在四边形中，，，点E为的中点． （1）尺规作图：作的平分线，与交于点F，连接． （2）求证：四边形是菱形 22. 某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集并整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图、图两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题： （1）该校九年级接受调查的人数为 ，并补全条形统计图． （2）扇形统计图中的“体育活动”所对应的圆心角度数为 ． （3）若该校九年级有名学生，请估计该校九年级学生中喜欢“体育活动或听音乐”方式进行考前减压的人数． 23. 某校开展“爱国主义教育”诵读活动，诵读读本有《红星照耀中国》、《红岩》、《长征》三种，小文和小明从中随机选取一种诵读，且他们选取每一种读本的可能性相同． （1）小文诵读《长征》的概率是_____； （2）请用列表或画树状图的方法求出小文和小明诵读同一种读本的概率． 24. 如图，汽车在转弯时，两个前轮（转向轮）分别沿着两个半径不相等的同心圆行进才会使车身平稳转向，因此两个前轮转动的角度不相同，两个前轮转动角度的差（即）叫“阿克曼角”.分别过两个前轮的中心点A，B作两个前轮所在直线的垂线交于点E，经过实验研究当点E恰好落在后轮轴所在直线上，此时为完美阿克曼角．如图某款中大型轿车，轴距（线段的长）为米，在转向时经测量完美阿克曼角（）约为，此时，且四边形为矩形，请求出该款轿车的车身宽（线段的长）为多少米？（结果保留一位小数）（参考数据：） 25. 如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 26. 随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 27. 完成下面各题． 如图①，，点为上一点，且，是边上的动点，，且，连接，求的最大值． （1）【定值探究】如图②，小明过点作，过点作，可得，连接，，将转化为，再利用，通过面积计算，从而确定为定值，请结合上述探究过程，求的值； （2）【最值探究】再由，可以确定点的轨迹，试求的最大值； （3）【问题拓展】如图，，为上一点，，是边上的动点，，且，直接写出的最大值 ． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； （3）是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宿迁市2026年初中毕业暨升学模拟考试 数学 本卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义作答即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数． 【详解】解：根据相反数的定义可得：实数的相反数是， 故选：． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则与合并同类项法则，根据初中整式运算的对应法则逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，∴，A计算错误； 选项B：∵合并同类项时，系数相加减，字母和指数保持不变，∴，B计算错误； 选项C：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，C计算正确； 选项D：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，∴，D计算错误． 3. 为缓解学生学业压力，打破传统教学空间壁垒，将“读万卷书”与“行万里路”结合，今年开始国家明确“支持有条件的地方推广中小学春秋假”，年春假期间宿迁市预计接待游客人次．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值． 【详解】解：∵科学记数法要求，将的小数点向左移动位可得， ∴． 4. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图）．主视图是从正面看到的视图，据此即可得出答案． 【详解】解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其主视图为 故选：． 5. 某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（ ） A. 92，94 B. 95，95 C. 94，95 D. 95，96 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数，熟知中位数和众数的定义是解题的关键．中位数是将数据从小到大排列后位于中间位置的数；众数是出现次数最多的数，据此即可求解． 【详解】解：将7个评委分数从小到大排列为：88，92，94，95，95，95，96， 中位数为第4个数，即95； 数据中出现次数最多的数是95（出现3次），故众数为95； ∴这组数据的中位数、众数分别是95，95． 故选：B． 6. 如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射．一束光线沿斜射入水面，在点处发生折射，沿方向射入水中．如果，，那么光的传播方向改变了（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题可知：， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 7. 明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程组的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键． 设哪吒有个，夜叉有个，然后根据等量关系“共有36个头”和“108只手”列出二元一次方程组即可解答． 【详解】解：设哪吒有个，夜叉有个， 然后根据题意可得：． 故选D． 8. 如图，点、是反比例函数图象上的两点，直线交轴正半轴于点，连接并延长交反比例函数图象的另一支于点，过点作的角平分线的垂线，垂足为点，若点是线段的中点且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，过点作轴于，过点作轴于，由经过原点，则与关于原点对称，再由，为的平分线，可得，进而可得；设点，由已知条件是线段中点，，可得，则点，所以，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，过点作轴于，过点作轴于， ∵过原点的直线与反比例函数图象交于、两点， ∴与关于原点对称． 是的中点． ， ， ． 为的角平分线， ， ， ， ． ， ． 设点， 是的中点，， ， ∴， ， ∴． ∵， ． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ______ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式在实数范围内有意义的条件，可得被开方数为非负数，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 10. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式． 先提取公因数y，再利用完全平方公式进行二次分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 11. 等腰三角形两边长分别为，，则它的周长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质与三角形的三边关系，需分情况讨论哪条边长为腰，再根据三角形三边关系验证能否构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 当腰长为，底边长为时，三角形三边长为5，5，2， 满足，，符合三角形三边关系，可以构成三角形， 此时周长为． 当腰长为，底边长为时，三角形三边长为2，2，5， 因为，不符合三角形三边关系，不能构成三角形，此种情况舍去． 综上，该等腰三角形的周长为． 12. 已知，是方程的两个实数根，则___________； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据，即可求解． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ， 故答案为：． 13. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积为； 故答案为：． 14. 如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为__________ 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得得出得出 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：4 15. 如图，是的内接三角形．若，，则的半径是______． 【答案】1 【解析】 【分析】连接、，根据圆周角定理得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接、， ， ， ，即， 解得：， 故答案为：1． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键． 16. 将正八边形与正五边形如图摆放，其中点为公共顶点，边在同一直线上，则的度数为___________． 【答案】##63度 【解析】 【分析】本题考查了多边形外角和问题，三角形内角和定理，掌握多边形的外角和为是解题关键． 由多边形外角和，得到，再利用三角形内角和定理，求出的度数即可． 【详解】解：∵多边形的外角和为， ∴正八边形的外角度数为，正五边形的外角度数为， ， ， 故答案为：． 17. 如图，，，…都是等腰直角三角形，点，，…，按图中规律，的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】通过计算，，… 的长度发现 ，通过观察点的位置发现每个点为一个循环周期，利用除以 的余数确定 所在的象限位置，结合等腰直角三角形性质得出坐标． 【详解】解：∵，，…都是等腰直角三角形，， ∴ ， 由勾股定理得：．  ∵， ∴． 同理可得， ……，  ∴， ∴， 观察图形可知，点的位置每个一循环，即 在  轴负半轴，在第二象限角平分线上，在 轴正半轴，……， ∵， ∴的位置与方向相同，在第二象限角平分线上， 设 的坐标为 ，则 ，且 ， 由勾股定理得， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的坐标为， 故答案为 ． 18. 如图，已知正方形的边长为，点是射线上的一个动点，连接，点为上的一个动点，且满足，连接，则的最小值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据已知条件及公共角，可证，利用相似三角形对应边成比例得到，结合正方形性质，可得，进而证得，确定点在以为直径的圆上运动，将求的最小值转化为求圆外一点C到圆上一点的最短距离问题，利用勾股定理求解即可 ． 【详解】解：如图，连接， ∵ 四边形是正方形， ∴ ，，， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上， 设的中点为，连接交于点， 此时的长度即为的最小值， ∵，为的中点， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可． 【详解】解： ． 当时， 原式． 21. 如图，在四边形中，，，点E为的中点． （1）尺规作图：作的平分线，与交于点F，连接． （2）求证：四边形是菱形 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用尺规作角平分线的方法作图即可； （2）利用角平分线和平行线得出，可得，利用直角三角形斜边中线的性质得出，可得，结合，证明四边形为平行四边形，再结合，即可求证． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的角平分线． 【小问2详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，点是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 22. 某校随机抽取九年级部分同学接受一次内容为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，学校收集并整理数据后，将减压方式分为五类，并绘制了图、图两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题： （1）该校九年级接受调查的人数为 ，并补全条形统计图． （2）扇形统计图中的“体育活动”所对应的圆心角度数为 ． （3）若该校九年级有名学生，请估计该校九年级学生中喜欢“体育活动或听音乐”方式进行考前减压的人数． 【答案】（1）50；如图补全条形统计图： （2） （3）432 【解析】 【分析】（1）先根据享受美食的人数与百分比计算总人数，再计算“听音乐”方式减压的人数即可； （2）用乘以“体育活动”所对应的所占百分比即可求解； （3）用该校九年级人数乘以喜欢“体育活动或听音乐”方式的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：（人）． 听音乐人数：（人），图略． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：（人）． 23. 某校开展“爱国主义教育”诵读活动，诵读读本有《红星照耀中国》、《红岩》、《长征》三种，小文和小明从中随机选取一种诵读，且他们选取每一种读本的可能性相同． （1）小文诵读《长征》的概率是_____； （2）请用列表或画树状图的方法求出小文和小明诵读同一种读本的概率． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式即可求解； （2）根据题意画出树状图，利用概率公式即可求解． 【详解】（1）P（小文诵读《长征》）= ； 故答案为：； （2）依题意画出树状图如下： 故P（小文和小明诵读同一种读本）=． 【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是根据题意画出树状图． 24. 如图，汽车在转弯时，两个前轮（转向轮）分别沿着两个半径不相等的同心圆行进才会使车身平稳转向，因此两个前轮转动的角度不相同，两个前轮转动角度的差（即）叫“阿克曼角”.分别过两个前轮的中心点A，B作两个前轮所在直线的垂线交于点E，经过实验研究当点E恰好落在后轮轴所在直线上，此时为完美阿克曼角．如图某款中大型轿车，轴距（线段的长）为米，在转向时经测量完美阿克曼角（）约为，此时，且四边形为矩形，请求出该款轿车的车身宽（线段的长）为多少米？（结果保留一位小数）（参考数据：） 【答案】该款轿车的车身宽约为米 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，三角函数值的应用，熟练掌握三角函数值的应用是解题的关键．根据矩形得到米，，根据求出，再根据求出，即可得到． 【详解】解：四边形为矩形 米， ， 点E在直线上， ， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 米． 答：该款轿车的车身宽约为米． 25. 如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明，推出，即可证明与相切； （2）由可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 与相切； 【小问2详解】 解：如图，连接交于点D， ， ，， 垂直平分， ，，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 26. 随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． （1）求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． （2）该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】（1）甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 （2）购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【解析】 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． 【小问2详解】 解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 27. 完成下面各题． 如图①，，点为上一点，且，是边上的动点，，且，连接，求的最大值． （1）【定值探究】如图②，小明过点作，过点作，可得，连接，，将转化为，再利用，通过面积计算，从而确定为定值，请结合上述探究过程，求的值； （2）【最值探究】再由，可以确定点的轨迹，试求的最大值； （3）【问题拓展】如图，，为上一点，，是边上的动点，，且，直接写出的最大值 ． 【答案】（1）6 （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据，得到，而且是定值，又因为，是定值，即可求出； （2）作的垂直平分线交于点G，以G为圆心，为直径作圆，点E在上运动，当过圆心点G时的值最大，利用勾股定理，即可求出； （3）过点C作，过点E作，连接，，过点C作于点M，根据，求出的两条直角边，再根据，求出，以中点G为圆心，为直径作圆，点E在上运动，当过点G时，的值最大，结合勾股定理，即可求出的最大值． 【小问1详解】 解：过点C作，过点E作，连接，，如下图 ，， ， ，与都以为底，为高， ， ，， ，即， ， ， 与都是定值，高是定值， 也为定值． 【小问2详解】 解：作的垂直平分线交于点G，以G为圆心，为直径作圆， ， 点E在上运动，如下图 当过点G时的值最大， ， ， 由勾股定理得， ，即的最大值是8． 【小问3详解】 解：过点C作，过点E作，连接，，过点C作于点M，如下图 ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，且为定值， 以中点G为圆心，为直径作圆， ， 点E在上运动， 过点G作于点N，过点F作于点K， 四边形、是矩形， ，， 当过点G时，的值最大， ， 在中，运用勾股定理， ， 即的最大值为． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； （3）是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，正方形的边长为或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∵与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； 【小问3详解】 存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $