2026年广西壮族自治区玉林市玉州区九年级中考第 三次阶段测试数学试题

2026年中考模拟试（二） 数学 （考试时间：150分钟 满分：120分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上． 1．若零下摄氏度记为，则零上摄氏度记为 A． B． C． D． 2．下列四个近年来热门的（人工智能）相关的图标中，是中心对称图形的是 A． B． C． D． 3．要使分式有意义，应满足的条件是 A． B． C． D． 4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是 A． B． C． D． 5．若样本，，…，的平均数为，方差为，则对于样本，，…，，下列结论正确的是 A．平均数为，方差为 B．平均数为，方差为 C．平均数为，方差为 D．平均数为，方差为 6．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为 A． B． C． D． 7．下列计算中，正确的是 A． B． C． D． 8．如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度 A．保持不变 B．越来越快 C．越来越慢 D．快慢交替变化 9．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为 A． B． C． D． 10．儿童节当天某班同学向全班其他同学各送一份小礼品，全班共送份小礼品，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为 A． B． C． D． 11．在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是 A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．摩托车充满电后，行驶将自动报警 D．一次性充满电后，摩托车最多行驶 12．如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接，，．若，，则的值为 A． B． C． D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在答题卡的横线上． 13．计算：的算术平方根是________． 14．因式分解：________． 15．一般情况下路口会设置红色、黄色、绿色三种颜色的信号灯．已知某路口三种信号灯的时长依次是：红灯秒、黄灯秒、绿灯秒，一辆汽车行驶到该路口遇到红灯的概率是________． 16．如图，矩形中，对角线，相交于点，，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是________． 三、解答题：本大题共7小题，满分共72分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（8分）（1）计算：； （2）化简：． 18．（10分）如图，在中，． （1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图中，将中线绕点旋转得到，连接、．求证：四边形是菱形． 19．（10分）为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分满分100分均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图． 其中组共有个成绩，从高到低分别为：，，，，，，，，，，，，，，． 根据以上信息，解答下列问题： （1）组个成绩的平均数为________分； （2）本次被抽取的所有成绩的个数为________，本次被抽取的所有成绩的中位数为________分； （3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数． 抽取的成绩统计图 20．（10分）如图，中，，，经过、两点，与斜边交于点，连接并延长交于点，交于点，过点作交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 21．（10分）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售某县出产的甲、乙两种苹果．已知箱甲种苹果和箱乙种苹果的售价之和为元；箱甲种苹果和箱乙种苹果的售价之和为元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价． （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 22．（12分）综合与实践 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计游乐园抛物线型彩虹桥的广告牌？ 素材 某游乐园计划在道路上方搭建一座抛物线型彩虹桥．如图①，道路的宽为，桥拱最高处距离路面的距离为． 素材 在实际搭建时，为了安全需在桥拱下方安置两个竖直方向的桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱对称轴对称．如图②，桥墩之间的距离． 素材 如图③，在两个桥墩上搭一个限高横杆，为了宣传游乐园新开发的项目，现要在桥拱下方，横杆上方设置一个面积为的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告牌关于桥拱的对称轴对称． 问题解决：以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系完成以下任务． （1） 确定桥拱形状如图①，求抛物线的函数表达式； （2） 确定桥墩高度如图②，求桥墩的高度（不考虑桥墩的宽度）； （3） 拟定设计方案如图③，请你给出广告牌的设计方案，并求出矩形中点坐标． 23．（12分）综合与探究 【定义】在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形．如图，在四边形中，是对角线，，则四边形为对垂四边形，记作对垂四边形． 【理解】（1）如图，在对垂四边形中，若，，求的值； 【应用】（2）如图，在对垂四边形中，已知，，点为边上一动点，且，求证：； 【拓展】（3）在（2）的条件下，连接，将沿翻折，得到，连接，若，，求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 中考模拟试（二）数学参考答案 1、 选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确答案的标号填（涂）在答题卡内相应的位置上。 1.C 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.A 8.B 9.A 10.B 11.D 12.C 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，把答案填在答题卡的横线上。 13. 2 14. 15. 0.5 16. 6 三、解答题：本大题共7小题，满分共72分，解答过程写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．解：（1）（﹣2）×（﹣1）+4 ＝2+4...................2分 ＝6；...................4分 （2） a（a﹣1） ＝a2﹣a.................2分 ＝．...................4分 18．（1）解：如图，线段AO即为所求； .......................4分 （2）证明：∵AB＝AC，AO⊥BC， ∴OB＝OC，.......................6分 ∵OA＝OD， ∴四边形ABDC是平行四边形，.......................8分 ∵AB＝AC， ∴四边形ABDC是菱形．......................10分 19．解：（1）B组15个成绩的平均数为：（3×80+2×81+83+84+4×85+86+2×88+89）＝84（分）， 故答案为：84；.......................2分 （2）本次被抽取的所有成绩的个数为：15÷30%＝50， A组人数为：50×24%＝12（个）， 把50个成绩从大到小排列，排在中间的两个数分别是80，80， 所以本次被抽取的所有成绩的中位数为：80（分）， 故答案为：50，80；.......................6分 （3）600×24%＝144（人）， 答：估计本次竞赛的获奖人数为144人．.......................10分 20．（1）证明：连接OE， ∵∠BAC＝90°，∠ACB＝45°， ∴∠B＝45°， ∴∠AOE＝2∠B＝90°，.......................2分 ∵EF∥AD， ∴∠OEF＝90°，.......................3分 ∵OE是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线；.......................4分 （2）解：连接BD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°，.......................5分 ∵tan∠DAB， ∴设BD＝x，AB＝3x， ∴ADx＝4， ∴x＝4， ∴BE＝4，AB＝12， ∴AC＝AB＝12， ∴BC12，.......................7分 ∵∠CAB+∠ABD＝180°， ∴AC∥BD， ∴△ACG∽△BDG， ∴， ∴， ∴CG＝9．.......................9分 .......................10分 21．解：（1）设甲种苹果每箱的售价为a元，乙种苹果每箱的售价为b元， 根据题意得：，.........................3分 解得：， 答：甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为80元；.........................5分 （2）设购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果（14﹣x）箱， 根据题意得：14﹣x≤x， 解得：x≥7，.........................8分 设该公司需花费w元， 根据题意得：w＝100x+80（14﹣x）＝20x+1120， ∵20＞0， ∴w随x的增大而增大， ∴当x＝7时，w有最小值＝20×7+1120＝1260， 答：该公司最少需花费1260元．.........................10分 22．解：（1）桥拱最高点M的坐标为（0，9）， ∵AB＝30， ∴OB＝15， ∴B（15，0）， 设抛物线的解析式为 y＝ax2+c， 则， 解得，.......................2分 ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣0.04x2+9（﹣15≤x≤15）；.......................3分 （2）∵DF＝20， ∴F（10，0）， 令x＝10，y＝﹣0.04x2+9＝5， ∴桥墩的高度5m；.......................6分 （3）∵矩形广告牌的面积为18m2且长、宽均为整数， ∴矩形广告牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落在CE上）： ①1×18：②2×9；③3×6；④6×3；⑤9×2；⑥18×1， ∵拱桥的最高点到CE的距离为 9﹣5＝4（m）， ∴方案①，②，③不符合题意， 方案④： 当x＝3 时，y＝8.64， 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为 5+3＝8（m）， ∵8.64＞8， 方案④可以满足要求，此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是（3，8）， 方案⑤： 当时，y＝8.19（m）， 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为 5+2＝7（m）， ∵8.19＞7， 方案⑤可以满足要求，此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是， 方案⑥： 当x＝9时，y＝5.76（m）， 此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为 5+1＝6（m）， ∵5.76＜6， 方案⑥不满足要求， 综上所述，共有两种设计方案： 方案一；矩形广告牌的长为6m，宽为3m，Q点的坐标是（3，8），因为点P与Q关于对称轴对称，所以P点的坐标是（-3，8）；.......................9分 方案二：矩形广告牌的长为9m，宽为2m，Q点的坐标是，因为点P与Q关于对称轴对称，所以P点的坐标是；.......................12分 23.（1）解：∵∠A＝55°，∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣55°＝35°， ∴∠CBD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣35°＝55°， ∵∠CBD+∠BCD+∠BDC＝180°， ∴∠BCD+∠BDC＝180°﹣55°＝125°，.......................2分 ∵∠BCD＝80°， ∴∠BDC＝45°；.......................3分 （2）证明：∵∠ADB＝90°，∠A＝45°， ∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣45°＝45°， ∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABC＝90°﹣45°＝45°，∠A＝∠ABD， ∴∠A＝∠CBD，AD＝BD，.......................5分 ∵CD⊥DE， ∴∠CDE＝90°， ∴∠BDC+∠BDE＝90°， ∵∠ADE+∠BDE＝90°， ∴∠ADE＝∠BDC， ∴△ADE≌△BDC（ASA）， ∴DC＝DE；.......................6分 （3）解：如图，过点D作DP⊥AB于点P， 由（2）知，AD＝BD＝12， ∴∠BDP∠ADB＝45°， ∵∠A＝45°， ∴BP＝DPBD＝6， ∵CD＝DE， 由折叠的性质可知四边形CDEF为正方形， 连接DF，则DEDF，∠EDF＝∠BDP＝45°， 分两种情况：①如图1，当点D的对应点F在AB的上方时， ∵∠EDF＝∠BDP＝45°， ∴，∠BDF＝∠PDE， ∴△BDF∽△PDE， ∴， ∵BF＝4， ∴EPBF， ∴BE＝BP﹣PE＝6， ∴S△BDEBE•DP24；.......................9分 ②如图，当点D的对应点F在AB的下方时， 同理可得BE＝BP+PE＝6， ∴S△BDEBE•DP48； 综上可得，△BDE的面积为24或48．.......................12分 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/2/4 10:00:05；用户：黄曼荷；邮箱：yzqz032@xyh.com；学号：39300030 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