上海市杨浦双语学校2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷

**基本信息** 以真实情境与分层设计为特色，涵盖不等式、平行线、三角形等核心知识，通过机器人表演、北斗七星等素材考查数学眼光与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/28|不等式性质（1题）、三角形三边关系（4题）|结合自行车反光镜光反射（5题）考查平行线性质| |填空题|16/56|折叠问题（18题）、三角形内角和（16题）|谷雨气温（12题）体现量感，共享单车结构（15题）强化几何直观| |计算题|4/32|不等式组（25题）、新定义“t系数补角”（27题）|27题分概念理解-初步认识-问题解决三层次，培养创新意识| |解答题|5/34|角平分线与平行线（32题）、格点作图（33题）|32题探究两角数量关系，33题垂线段最短应用，发展推理能力与应用意识|

2025-2026学年上海市杨浦双语学校七年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，共28分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如果，那么下列不等式中正确的是(    ) A. B. C. D. 2.图中，与是同位角的有(    ) A. B. C. D. 3.下列说法中正确的个数为(    ) ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离； ④两条直线被第三条直线所截，同位角相等. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 4.下列三条线段能组成三角形的是(    ) A. 23，10，8 B. 15，23，8 C. 18，10，23 D. 18，10，8 5.如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回即，根据光的反射可知，，其原理如图2所示，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若，则(    ) A. B. C. D. 7.若是某不等式的解，则该不等式可以是(    ) A. B. C. D. 8.x和y是有理数，满足和那么下列哪个结论是错误的(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共16小题，共56分。 9.根据要求写出不等式“x的一半与y的3倍的和是非负数”：        . 10.若是关于x的一元一次不等式，则        . 11.不等式组的解集是        . 12.谷雨，春雨渐多，气温回升，寒潮褪去，空气湿润，降雨频繁，正是雨生百谷的时节.今年谷雨这一天上海市的最高气温是，最低气温是，则当天我市气温满足的不等关系为        . 13.在读书节活动中，老师把一些图书分给双语智慧小组的同学们，如果每人分5本，那么剩余12本，如果每人分8本，那么最后一人分到了书但不足8本，则双语智慧小组一共        人. 14.将含角的三角板如图放置，已知，，则的度数为        . 15.共享单车为市民的绿色出行提供了方便.图①是某品牌共享单车的实物平面图，图②是其部分结构示意图，其中，，，则的度数为        . 16.已知中，：：：2：6，如果按角分类，那么是        三角形. 17.如图，一张直角三角形纸片ABC，，，，将纸片沿MN折叠，使点A落在点D处，则的度数为        . 18.如图，将一张长方形纸片进行折叠，若，则的度数为        . 19.2026年春晚机器人表演武术，动作精准，难度极高，视觉冲击力极强意义重大.如图1，这是捕捉某款机器人表演的姿态，图2为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，，若，则        度. 20.如图，在中，D、E分别是边AB和AC上的点，将这个纸片沿DE折叠，点A落到点F的位置.如果，，，那么        度. 21.已知关于x的不等式组的所有整数解的和为，则m的取值范围为        . 22.已知：如图，直线EF分别交AB，CD于点E，的角平分线EG与的角平分线FG交于点作的角平分线EM与的角平分线FM交于点M，则        . 23.如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A，B，G，C，D，E，F，将A，B，G，C，D，E，F，顺次首尾连接.若B，G，C三点共线，AF恰好经过点G，且，，，则        . 24.如图，E在线段BA的延长线上，，，，连接FH交AD于G，的余角比大，K为线段BC上一点，连CG，使则下列结论：①；②；③GK平分；④其中正确结论为        . 三、计算题：本大题共4小题，共32分。 25.解不等式组：，并写出所有负整数解. 26.已知在中，，b：：3，求三角形周长C的取值范围. 27.在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“t系数补角”.例如，，，有，则是的“5系数补角”. 【概念理解】 若，在，，中，的“2系数补角”是______； 【初步认识】 在平面内，，点E为直线AB上一点，点F为直线CD上一点.如图1，点G为平面内一点，连接GE，GF，，若是的“3系数补角”，求的大小； 【问题解决】 连接点M、N为直线AB与直线CD间的动点点M、N不在直线EF上，，，是的“2系数补角”，此时的度数？ 28.将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，已知，，，， 若三角板如图1摆放时，则______，______； 现固定位置不变，将沿AC方向平移至点E正好落在PQ上，如图2所示，作和的角平分线交于点H，求的度数； 将中的固定，在绕点A以每秒的速度顺时针旋转至AB与直线AN首次重合的过程中，当的BC边与的一条边平行时，所需的时长为t秒，请求出符合条件t的值. 四、解答题：本题共5小题，共34分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 29.本小题5分 解下列不等式 30.本小题5分 如图，在四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB延长线上的点，连接分别交AD、BC于点G、若，证明： 31.本小题8分 如图，中，，，点D是线段AC上一点，按要求完成问题. 过点D作交BC于点F，连接AF； 点F到AC的距离是______的长度； ______，如果设，那么______用含的代数式表示 32.本小题8分 【问题情境】 在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接AB，点P是射线AM上的一个动点与点A不重合，BC，BD分别平分和，且分别交射线AM于点C， 【探索发现】 当时，则的度数为______； “双语研究小组”经过探索后发现：不断改变的度数，与始终存在某种数量关系. ①当时，______； ②当时，______用含x的代数式表示； 【操作探究】 “双语研究小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系.他们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变.请写出它们的关系，并说明理由. 33.本小题8分 在如图所示的方格纸中，横竖线的交点称为格点，A，B，C，E为格点利用方格纸作图，画出的点、线用铅笔描粗描黑 过点E画直线； 在线段AB上找一点P，使得点P与点E距离最短，在图中作出点P，此时PE最短蕴含的数学道理是______； 点Q为图中的格点，点Q与点E不重合，满足的点Q有______个.请在图中标注出来. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：， ， 选项A不符合题意； ， ， 选项B不符合题意； ，当时，， ，不一定成立， 选项C不符合题意； ， ， ， 选项D符合题意． 故选： 根据，应用不等式的性质，逐项判断即可． 此题主要考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘或除以同一个负数，不等号的方向改变． 2.【答案】C  【解析】解：根据同位角的意义，结合图形逐项分析判断如下： A、是内错角不是同位角，故此选项不符合题意； B、不是同位角，故此选项不符合题意； C、是同位角，故此选项符合题意； D、不是同位角，故此选项不符合题意． 故选： 根据同位角的意义，结合图形进行判断即可． 本题考查同位角的意义，掌握同位角的意义是正确判断的前提． 3.【答案】B  【解析】解：由题意知，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，①错误，故不符合要求； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，②正确，故符合要求； 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，③错误，故不符合要求； 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，④错误，故不符合要求； 故选： 根据平行线的定义，垂线，点到直线的距离，平行线的性质进行判断作答即可． 本题考查了平行线的定义，垂线，点到直线的距离，平行线的性质等知识．熟练掌握平行线的定义，垂线，点到直线的距离，平行线的性质是解题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：A、因为，所以以23，10，8为边长不能组成三角形，故本选项错误； B、因为，所以以15，23，8为边长不能组成三角形，故本选项错误； C、因为，所以以18，10，23为边长能组成三角形，故本选项正确； D、因为，所以以18，10，8为边长不能组成三角形，故本选项错误． 故选： 根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，针对每一个选项进行计算即可． 此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 5.【答案】D  【解析】解：如图，    ，  ，  ，  ，  ，  ，    故选： 由平角的定义求出，由平行线的性质推出，求出，即可得到的度数． 本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，掌握以上知识点是解题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：长方形ABCD， ， ，， 纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置， ，，， ， 由折叠的性质可得， ， 故选： 先根据平行线的性质得到，，再由折叠的性质得到，则，根据三角形内角和定理得到，则 本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：将代入各选项不等式判断如下： 选项A：不等式为，不成立，故A错误，不符合题意； 选项B：不等式为，成立，故B正确，符合题意； 选项C：不等式为，不成立，故C错误，不符合题意； 选项D：不等式为，不成立，故D错误，不符合题意； 故选： 将代入各选项不等式，判断不等式是否成立即可得到正确答案． 本题考查了不等式的解集，熟练掌握该知识点是关键． 8.【答案】C  【解析】解：由， 因为， 若，则， 此时，可推出， 即， 解得：， 但此时与矛盾，所以， 当时，，不等式变为， 由得， 即， 结合，成立； 由得， 即， 解得：， 因此，， 因为， 由得，即； 由得， 即，结合， 解得， 因此，， A选项，因为，，所以，A 选项正确； B选项，x是大于的负数，y是小于的负数，两个负数相加结果仍为负数，即，B选项正确； C选项，因为，所以，C选项错误； D选项，x和y均为负数，负数相乘结果为正数，即，D选项正确． 故选： 确定x的范围：由，排除，得，进一步推出；确定y的范围：由，得，进一步推出； 分析选项： A：，，故，正确； B：x、y均为负数，相加为负，正确； C：，则，错误； D：x、y均为负数，乘积为正，正确． 本题考查了有理数的乘法、绝对值、有理数的加法、有理数的减法，解决本题的关键是利用绝对值的定义，对 x、y 的正负进行分类讨论，求出各自的取值范围后再比较大小． 9.【答案】  【解析】解：根据题意，得 故答案为： 根据描述写出不等式即可． 本题考查列代数式，根据描述写出不等式是解题的关键． 10.【答案】2  【解析】解：由题意得：，且， 解得： 故答案为： 根据一元一次不等式的定义可得：，且，再解即可． 此题主要考查了一元一次不等式的定义，关键是掌握含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 11.【答案】  【解析】解：不等式组的解集为： 故答案为： 根据判断不等式组解集的口诀：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”，对各个不等式组进行解答即可． 本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握判断不等式组解集的口诀：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”． 12.【答案】  【解析】解：由题意可得，当天我市气温满足的不等关系为： 故答案为： 直接根据题意表示出t的取值范围即可． 此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 13.【答案】5或6  【解析】解：设双语智慧一共有x人， 如果每人分5本，那么剩余 12本， 这些图书的总数为：， 如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本， ，即， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：， 为正整数， 或， 勤奋小组一共有5人或6人， 故答案为：5或 设双语智慧小组一共有x人，根据“如果每人分5本，那么剩余12本”可得这些图书的总数为：，根据“如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本”，即可列出不等式组，进一步可得解． 本题主要考查了一元一次不等式组的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：如图， ， ， ， ， 故答案为： 利用平行线的性质得出，再根据角的和差得出即可． 本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解： 过点C作， ， ， ，根据“两直线平行，同旁内角互补”， ， 已知， ， ，同理可得： ， 已知， ， 故答案为： 过拐点作辅助线，将复杂图形转化为熟悉的平行线模型．通过作平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质，分别求出相关角度，再计算目标角的度数． 本题考查平行线的性质在折线型问题中的应用，熟练掌握过拐点作平行线的辅助线技巧，并利用平行线的性质进行角度转化是解题的关键． 16.【答案】钝角  【解析】解：：：：2：6， ，， ， ， ， 是钝角三角形， 故答案为：钝角． 由：：：2：6，得，，由三角形内角和定理得，则，可知是钝角三角形，于是得到问题的答案． 此题重点考查三角形内角和定理、三角形的分类等知识，正确地求出的最大内角的度数是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解：，， ， 将沿MN折叠，点A落在点D处， ，， ， 、M、D三点在同一条直线上， ， 故答案为： 由，得，由折叠得，，可证明A、M、D三点在同一条直线上，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行线的性质、翻折变换的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出且A、M、D三点在同一条直线上是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：由翻折得， 四边形ABCD是长方形， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为： 由翻折的性质得，再根据长方形的性质得出，由平行线的性质得出，，结合已知求出的度数，再根据邻补角互补即可求出的度数，从而得解． 本题考查了翻折问题，平行线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 19.【答案】100  【解析】解：过点B作，如图2所示： ，， ， 两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为： 过点B作，结合平行线的性质得，，代入数值得，，再运算角的和差以及根据列式计算，即可作答． 本题考查了平行线的判定与性质，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 20.【答案】80  【解析】解：，， 由翻折而成， ， ， ， 故答案为： 先根据平行线的性质求出的度数，再由求出的度数，根据翻折变换的性质求出的度数，根据三角形内角和定理即可得出的度数，进而可得出结论． 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键． 21.【答案】或  【解析】解：解第一个不等式得， 关于x的不等式组的所有整数解的和为， 或， 即它的整数解为，或4，，，，0，1，2， 或， 解得：或， 故答案为：或 解第一个不等式求得其解集，然后根据题意确定m的取值范围即可． 本题考查一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键． 22.【答案】  【解析】解：， ， 平分，FG平分， ，， ， ， 如图，过， ， ， ，， ， ， 同理：， 平分，FM平分， ，， ， 又， 故答案为： 先求的度数，然后过M作，得到，由平行线的性质推得到，同理，由角平分线定义得到，即可求出 本题考查平行线的性质，关键是灵活应用平行线的性质来解决问题． 23.【答案】  【解析】解：延长DC交AF于点M， ，， ， ， ， ， 故答案为： 根据平行线的性质进行计算即可． 本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 24.【答案】①②③④  【解析】解：，， ， ， 故①正确，符合题意； ， ， 故②正确，符合题意； ， ， ， 平分； 故③正确，符合题意； 的余角比大， ， ， ， ， 故④正确，符合题意； 故答案为：①②③④． 根据平行线的判定定理得到，故①正确；根据平行线的判定定理得到，故②正确；由平行线的性质得到，等量代换得到，求得GK平分；故③正确；根据题意列方程得到，故④正确． 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，对顶角性质，正确的识别图形是解题的关键． 25.【答案】，负整数解为，，  【解析】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为， 故不等式组的负整数解为，， 先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的所有负整数解即可． 本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的负整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 26.【答案】这个三角形的周长  【解析】解：：：3， 设，， 这个三角形的周长，由三角形三边关系定理得到：， ， ， ， 这个三角形的周长 设，，由三角形三边关系定理得到，因此，于是得到这个三角形的周长 本题考查三角形三边关系，关键是掌三角形三边关系定理． 27.【答案】    的度数为或  【解析】解：设的“2系数补角”是a， ，即， 解得， 的“2系数补角”是； 故答案为：； 如图，过G作， 由条件可知， ，， ， 设，， ①， 由条件可知，即②， 联立①②得， 解得， ； 由“2系数补角”定义可知， 设，，则，， 当点M、N在直线EF异侧时， 此时，， 同中方法可得，， ， 解得， ； 当点M、N在线段EF同侧时， 同理可知，， ， 解得， ， 综上，的度数为或 设的“2系数补角”是a，由“t系数补角”定义列方程即可得出； 过G作，利用平行线的内错角相等得出，设，，则①，由“3系数补角”定义得②，联立方程求解即可； 设，，则，，根据M、N的位置异侧/同侧，结合平行线性质，用x、y表示和，代入“2系数补角”的关系，求解，即可得的度数． 本题考查了平行线性质．余角和补角，熟练掌握以上知识点是关键． 28.【答案】    24 s或18s或6s  【解析】解：过点E作射线，如图1所示， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：，； 过点H作射线，如图2所示， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ，， ； 当时，设BC交EF于点K，如图3所示， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，如图4所示， ，， ， ， 当时，如图5所示， 延长BC交PQ和MN于点W和S， ，， ， ， ， ， ， ， 综上所述：t的值为24s或18s或 根据平行线性质，作射线EG平行MN即可解答； 作射线HR，利用平行线性质，内错角相等即可解答； 根据旋转后BC平行三角形DEF三边情况，分三种情况讨论，利用旋转角的度数与速度即可解答． 本题考查平行线性质和三角问题，解题关键是熟练运用三角板特殊值和平行线性质． 29.【答案】  【解析】解：， ， ， ， ， 根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 30.【答案】证明：， ， ， ， ， ， ，   【解析】证明：， ， ， ， ， ， ， 先根据同位角相等，两直线平行，判定，进而得到，再根据内错角相等，两直线平行，即可得到 本题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握同位角相等，两直线平行，和内错角相等，两直线平行． 31.【答案】  DF    【解析】解：如图，在AC的下方作，交BC于点F，连接AF， 则DF即为所求． 由题意得，点F到AC的距离是DF的长度． 故答案为： ， ，， ， 故答案为：56； 在AC的下方作，交BC于点F，连接AF即可． 根据点到直线的距离的定义可得答案． 由平行线的性质得由题意得，则可得 本题考查作图-复杂作图、列代数式、点到直线的距离、三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 32.【答案】    ， ， 两直线平行，内错角相等， 平分， ， ， ， 两直线平行，内错角相等，   【解析】解：已知， 两直线平行，同旁内角互补， ， ， 平分，BD平分， ，， ， 故答案为： ①已知， ， ， ， 平分，BD平分， ， ， 故答案为：70； ②已知， ， ， 平分，BD平分， ， 故答案为：； 关系：，理由如下： ， 两直线平行，内错角相等， 平分， ， ， ， 两直线平行，内错角相等， 先利用平行线同旁内角互补求出的度数，再结合角平分线的定义计算； ①理解始终是的一半，与的具体度数无关，先利用平行线性质求，再通过角平分线求； ②先利用平行线性质表示出，再结合角平分线的定义推导出与的关系； 先利用平行线的内错角相等得到，再结合角平分线的定义与平行线的性质推导与的关系． 本题考查平行线的性质与角平分线的综合应用，熟练掌握平行线的内错角、同旁内角性质，以及角平分线的定义，能灵活进行角度转化是解题的关键． 33.【答案】  见解析；垂线段最短  4  【解析】解：如图所示，DE即为所求， 在线段AB上找一点P，使得点P与点E距离最短，点P是过E作AB的垂线的垂足，此时PE最短， 依据是：垂线段最短； 故答案为：垂线段最短； 要使， 则点Q必须在与AC平行且到AC的距离等于点E到AC的距离的两条直线上， 在图中，这样的格点不与E重合共有，，，共4个． 故答案为： 先确定AB的方向从B到A是向右 3 格、向上 3 格，再从点E出发，按相同方向向右 3 格、向上 3 格找到格点，连接直线DE即可； 过点E作AB的垂线，此时PE最短，依据是：垂线段最短； 要使，则点Q必须在与AC平行且到AC的距离等于点E到AC的距离的两条直线上，即可得出答案． 本题考查作图-应用与设计作图，正确记忆相关知识点是解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $