8.2.2+积的乘方 课件 2025--2026学年冀教版 数学 七年级下册

该初中数学课件聚焦“积的乘方”，通过巩固复习幂的意义、同底数幂乘法及常见变形搭建学习支架，以“4⁶×0.25⁶的简便计算”问题导入，引导学生从已有知识过渡到新知探究。 其亮点在于以问题驱动培养数学思维，通过乘方意义、乘法交换律结合律严谨推导性质，结合地球表面积计算等实例强化应用意识，逆用性质解决“4²⁰¹⁵×0.25²⁰¹⁶”等问题。小结系统梳理公式及注意事项，助力学生提升推理能力与应用能力，为教师提供完整探究式教学流程。

第八章 整式的乘法 8.2. 幂的乘方与积的乘方 8.2.2 积的乘方 1.会推导积的乘方的运算性质. 2.掌握积的乘方的运算性质，能熟练运用积的乘方的运算法则进行计算和化简. 巩固复习 1.幂的意义 2.同底数幂相乘的法则： am·an= am+n（m，n为正整数） 同底数幂相乘,底数不变,指数相加 巩固复习 计算 1. （-m）3×（-m）4 2.-x•x5•x7 3. m3•（-m）-m2•m2 4. （x-y）5×（y-x）4 计算：46×0.256 小明认为46×0.256=（4×0.25）6，马上得出结果为1.你认为他这样计算有道理吗？ 一般的，如果n是正整数，（ab)n=anbn成立吗？ 2.按照上面的方法，试着完成下面的填空. (ab)2 = ________ (ab)3 = ________ 1.观察下面的运算过程，指出每步的运算依据. a2b2 a3b3 （ ） （ ） =（3×7）×（3×7） =（3×3）×（7×7） =32×72 （3×7）2 （ ） 乘方的意义 乘法交换律、结合律 同底数幂的乘法法则 填一填. (ab)·(ab) (ab)2   (a·a)·(b·b)  a2b2 (ab)·(ab)·(ab) (ab)3   a3b3  (a·a·a)·(b·b·b) 观察底数和指数，你有什么发现？ 【发现】结果把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 3.若n是正整数，则 (ab)n = . anbn 学 习 新 知 问题思考   (1) 问题:若已知一个正方体的棱长为1.1×103 cm,你能计算出它的体积是多少吗? V=(1.1×103)3 cm3 (3) 问题:积的乘方如何运算呢?能不能找到一个运算性质? (2) 问题:这个结果是幂的乘方形式吗? 活动1　探究积的乘方运算性质 计算46×0.256.小明认为46×0.256=(4×0.25)6,马上得出结果为1. 你认为他这样计算有道理吗? 1.观察下面的运算过程,指出每步运算的依据. (3×7)2 =(3×7)×(3×7) ( ) =(3×3)×(7×7) ( ) =32×72 . ( ) 乘方的意义 乘法交换律和乘法结合律 乘方的意义 2.按照上面的方法,完成下面的填空. (ab)2=　　 　; (ab)3=　 　　　　. (ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)=a2b2 (ab)·(ab)·(ab)=(a·a·a)·(b·b·b)=a3b3 请猜想（ab）n的结果 3.性质推导. 一般地，若n是正整数，则有： (ab)n=anbn(n是正整数) 积的乘方,等于各因式乘方的积. (ab)n =(ab)× (ab)×··· × (ab) = (a × a ×··· × a)×(b×b ×··· × b) = a n b n n个ab n个a n个b 注意: 1.运用这个性质可以直接进行积的乘方运算. 2.三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质, 即 (abc)n=anbncn (n是正整数). 1. （3×7）2 =（3×7）×（3×7） =（3×3）×（7×7） =32×72 2.按照上面的方法，完成下面填空。 （ab）2= 。 （ab）3 = 。 一起探究 同底数幂的乘法 乘法交换律、结合律 乘方的意义 a2b2 a3b3 知识点 积的乘方 11 知识点1 积的乘方 猜想: (ab)n=_____. (n为正整数) anbn 你能说明理由吗？ =(ab) ·(ab) · … ·(ab) n个ab =(a·a·…a) ·(b·b·…b) n个a n个b =anbn 乘方的意义 乘法的交换律、结合律 同底数幂的乘法 12 (ab) n= (ab)· (ab)· ··· ·(ab) n个ab =(a·a· ··· ·a)·(b·b· ··· ·b) n个a n个b =anbn. 【验证】 积的乘方运算法则 (ab)n = anbn ( n 为正整数). 积的乘方，等于各因式乘方的积. 反过来，anbn =______(m，n 都是正整数). (ab)n 积的乘方的逆用 1.积的乘方，不要漏掉任何一个因式. 2.底数中的a，b不仅可以代表数、单项式，还可以代表多项式等其他式子. 注意 14 探究新知 你知道(102)3等于多少吗？ (102)3 =102×102×102 =102+2+2 =106 =102×3 (根据幂的意义). (根据同底数幂的乘法). 探究新知 做一做：计算下列各式，并说明理由 . (1) (62)4 ; (2) (a2)3 ; (3) (am)2 ; (4) (am)n . 解：(1) (62)4 = 62·62· 62·62 =62+2+2+2 =62×4 ; (2) (a2)3 = a2·a2·a2 =a2+2+2 =a6 =a2×3 ; (3)(am)2 =am·am =am+m =a2m ; (4) (am)n =am·am· … ·am =am+m+ … +m =amn n个am n个m 结论： 积的乘方的运算性质： 知识点1 积的乘方 (ab)n=_____. (n为正整数) anbn 积的乘方,等于各因式乘方的积 你能用文字语言叙述这个性质吗？ 积的乘方法则 (ab)n = an·bn （m,n都是正整数） 积的乘方 乘方的积 积的乘方= . 每个因式分别乘方后的积 你能说出法则中“因式”这两个字的意义吗? (a+b)n，可以用积的乘方法则计算吗? 即 “(a+b)n= an·bn ” 成立吗？ 又 “(a+b)n= an+an ” 成立吗？ 知识点 积的乘方 1.小组分工，计算下列各题. (1) (-2b)3; (2) (-xy3)2 ; (3) (-2ab3c2) 4 ; (4) (2a2)3+ (-3a3)2+ (a2)2·a2. 注意运算顺序是先乘方，再乘除，后加减. 解： (1) (－2b)³＝(－2)³·b³＝－8b³. (2) (－xy³)²＝(－1)²·x²·(y³)²＝x²y⁶. (3) (－2ab³c²)⁴＝(－2)⁴·a⁴·(b³)⁴·(c²)⁴＝16a⁴b¹²c⁸. (4) (2a²)³＋(－3a³)²＋(a²)²·a² ＝2³·(a²)³＋(－3)²·(a³)²＋(a²)²·a² ＝8a⁶＋9a⁶＋a⁴·a² ＝8a⁶＋9a⁶＋a⁶ ＝18a⁶. 2.球体表面积的计算公式是S=4πr 2.地球可以近似地看成一个球体， 它的半径r 约为6.4×106 m.地球的表面积大约是多少平方米？(π取 3.1) S=4πr 2 ≈4×3.1×(6.4×106)2 =4×3.1×6.42×1012 =507.904×1012 (m2). 答：地球的表面积大约是507.904×1012 m2. 解： 探究新知 幂的乘方法则 (am)n=amn (m,n都是正整数) 幂的乘方，底数_______，指数_______. 不变 相乘 我们学过的幂的乘方的运算性质适用吗？ 积的乘方 一 思考下面三道题 (1) (2) 我们只能根据乘方的意义及乘法交换律、结合律 可以进行运算. 这三道题有什么特点？ 底数为两个因式相乘，积的形式. 这种形式为积的乘方. (ab) n= (ab)· (ab)· ··· ·(ab) n个ab =(a·a· ··· ·a)·(b·b· ··· ·b) n个a n个b =anbn. 证明： （3）思考：积的乘方(ab)n =? 猜想结论： 因此可得：(ab)n=anbn (n为正整数). (ab)n=anbn (n为正整数) 推理验证 例1 计算： (1)(2x)2 ; (2)(3ab)3 ; (3)(-2b2)3 ; (4)(-xy3)2 ; (5) (2a2)3 +(-3a3)2 +(a2)2·a2 解： (1) (2x)2 =22x2 = 4x2 (2) (3ab)3 = 33a3b3 = 27a3b3 (3) (-2b2)3 = (-2)3 b6 = -8b6 (4) (-xy3)2 = -x2 (y3)2 =- x2y6 (5) (2a2)3 +(-3a3)2 +(a2)2·a2 =8a6 +9a6 +a6 = 18a6 知识点1 积的乘方 例2 球体表面积计算公式是 .地球可以近似的看成一个球体，它的半径r约为6.37×106 m .地球的表面积大约是多少平方米？（ 取3.14） 解: ＝5.10×1014 答：地球的表面积大约是5.10×1014m2. 知识点1 积的乘方 想一想：如何计算42015×0.252016呢？与同学交流. 42015×0.252016 = 42015×0.252015×0.25 = (4×0.25)2015×0.25 = 12015×0.25 =0.25. 观察两个因式的指数，0.252016可以表示成什么形式呢？ 独立完成计算：46×0.256. 解：46×0.256 =(4×0.25)6 =16 =1. 方法：底数互为倒数的两个幂相乘时，先通过逆用同底数幂的乘法法则化为指数相同的幂，然后逆用积的乘方法则，从而简化运算． ★必须是同指数的幂才能逆用法则，逆用时一定要注意：底数相乘，指数不变. 积的乘方法则:积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. (ab)n = anbn （n为正整数） 想一想：三个或三个以上的积的乘方等于什么？ (abc)n = anbncn （n为正整数） 知识要点 积的乘方 乘方的积 乘法运算 逆用积的乘方的运算性质 逆用幂的乘方的运算性质 解：原式 还可以这样做 乘方的运算 知识点2 积的乘方的逆应用 28 三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质? 怎样用公式表示? (abc)n=an·bn·cn 怎样证明 ? 有两种思路： 一种思路是利用乘法结合律，把三个因式积的乘方转化成两个因式积的乘方、再用积的乘方法则; 另一种思路是仍用推导两个因式的积的乘方的方法： 方法提示 试用第一种方法证明: (abc)n=[(ab)·c]n =(ab)n·cn = an·bn·cn. 乘方的意义、乘法的交换律与结合律. 知识点 1 积的乘方 29 课堂小结 $