河北邯郸市永年区第二中学2025-2026学年高一下学期数学必修二作业考试化训练22（空间二面角）

**基本信息** 聚焦空间二面角的平面角判断与大小计算，通过正方体、四棱锥等几何体变式训练，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1（教材改编）|考查二面角平面角的定义理解|从平面角定义出发，结合线面垂直判定二面角| |基础计算|单选2-7、填空9|结合线面垂直，用定义法求二面角的三角函数值|构建“线面垂直→平面角确定→三角函数计算”链条| |综合应用|多选8、填空10、解答11-14（含教材原题）|涉及面面垂直证明、体积计算及复杂几何体二面角求解|通过教材原题迁移，实现从基础到综合的知识应用|

永年二中高一数学必修二作业考试化22 测试范围：空间二面角 一、单选题 1、【人教A版必修二教材152页练习第2题改编】如图，四棱锥的底面是正方形，平面，则下列说法中不正确的是（ ） A．是二面角的平面角 B．二面角为直二面角 C．二面角为直二面角 D．是二面角的平面角 2．在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．在四棱锥中，底面，底面是边长为1的正方形，，则侧面与底面所成的二面角的大小是（    ） A． B． C． D． 4．已知正三棱锥的底面边长为3，高为2，则该三棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，，则二面角的大小为（    ） A．30° B．45° C．60° D．75° 6．若平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，则二面角的大小为（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 7．已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值为（ ） A． B． C．2 D．2 二、多选题 8．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，则下列说法中正确的是（ ） A. 平面 B.平面平面 C.二面角的平面角的大小为30° D．直线PB与平面所成角的正切值为 三、填空题 9．已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且，则二面角的大小为______． 10．（人教A版必修二复习参考题8综合运用第11题改编）如图，在四面体中，平面BCD．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且．若为正三角形，且，则二面角的余弦值为 ． 四、解答题 11、【人教A版必修二习题8.6第7题】如图，在正方体中，平面与正方体的各个面所在的平面所成的二面角的大小分别是多少？ 12、【人教A版必修二复习参考题8第14题】如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的余弦值． 13．如图，四棱锥的底面是矩形，平面，． (1)求证：；(2)求三棱锥的体积； (3)求平面和平面夹角的余弦值的大小． 14．如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的任意一点. (1)证明：平面平面； (2)若，，求二面角的余弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二作业考试化22 测试范围：空间二面角 一、单选题 1、【人教A版必修二教材152页练习第2题改编】如图，四棱锥的底面是正方形，平面，则下列说法中不正确的是（ ） A．是二面角的平面角 B．二面角为直二面角 C．二面角为直二面角 D．是二面角的平面角 【答案】D 【解析】根据直线与平面所成的角及二面角平面角的定义，可知ABC错误，故选D. 2．在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到所求二面角的平面角，结合勾股定理即可求解. 【详解】如图所示，连接，设， 因为正方体，所以，，所以就是平面与平面所成二面角，设正方体的边长为，则，，，所以，故C正确. 3．在四棱锥中，底面，底面是边长为1的正方形，，则侧面与底面所成的二面角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可推出，，可知为侧面与底面所成的二面角的平面角，由可得答案. 【详解】∵底面，平面，∴，又底面是正方形，∴， 而，∴平面，得，可知为侧面与底面所成的二面角的平面角.在中，由，可得.即侧面与底面所成的二面角的大小是. 【点睛】本题主要考查二面角的概念与求法，考查学生的直观想象能力与论证推理的能力，求出为侧面与底面所成的二面角的平面角是解题的关键，属于基础题. 4．已知正三棱锥的底面边长为3，高为2，则该三棱锥的侧面与底面所成的二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定正三棱锥底面中心的位置，结合图形确定侧面与底面所成二面角的平面角，再利用正弦的定义计算所求正弦值. 【详解】如图所示，正三棱锥顶点在底面的投影为底面正三角形的中心，取中点，连接、，由正三棱锥性质，，，可知是侧面与底面所成二面角的平面角，且（棱锥的高），，为直角三角形.由底面正三角形边长为，其高为，正三角形中心分高的比为，可知中心到边的距离. 在中，，二面角的正弦值. 5．在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，，则二面角的大小为（    ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】A 【分析】证明线面垂直,线线垂直，找到二面角的平面角，再进行求解. 【详解】因为底面，平面，所以，又，，所以 平面，因为平面，则，所以二面角的平面角为.在中，，则.故二面角的大小为30°. 6．若平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，则二面角的大小为（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】 【分析】由已知条件可证是二面角的平面角，在中，，即可求出的大小. 【详解】平面，，又是正方形，，又， 平面，是二面角的平面角.在中，， ，二面角的大小为。 7．已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值为（ ） A． B． C．2 D．2 【答案】A 【分析】由线面垂直的判定和性质，结合二面角平面角定义可知所求角为，根据长度关系可求得结果. 【详解】设，连接， 平面，平面，，，四边形为正方形，，，平面，平面， 又平面，，是二面角的平面角，由，得：. 二、多选题 8．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，则下列说法中正确的是（ ） A. 平面 B.平面平面 C.二面角的平面角的大小为30° D．直线PB与平面所成角的正切值为 【答案】ABD 【详解】，．．同理可证．平面．平面，． ∵四边形是正方形，．又，平面．又平面， ∴平面平面．由上知平面，平面，．又，平面．平面，．为二面角的平面角．在中，．∴二面角的平面角的大小为45°．由直线PB与平面所成角的正切值为。 三、填空题 9．已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且，则二面角的大小为______． 【答案】/ 【分析】作于点，连接，连接交于点，连接，由全等三角形可判断，即为二面角的平面角，利用等面积法可得，易得，则，求得即可求解. 【详解】如图，作于点，连接，连接交于点，连接， 由题，则≌，知，所以≌，则，， 所以为二面角的平面角，因为PA⊥平面ABCD，所以，又，所以平面，所以，设正方形的边长为，则，，则，所以，所以，所以， 10．（人教A版必修二复习参考题8综合运用第11题改编）如图，在四面体中，平面BCD．M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且．若为正三角形，且，则二面角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】作出该二面角的平面角，假设正三角形边长为4，利用勾股定理求出相关线段长，再利用三角函数定义即可得到余弦值. 【详解】取线段中点，分别连接，因为为等边三角形，则，则，设的边长为4，则，因为平面BCD，且平面， 则，则，所以，所以即为二面角的平面角，因为M是AD的中点，则，，， 则. 四、解答题 11、【人教A版必修二习题8.6第7题】如图，在正方体中，平面与正方体的各个面所在的平面所成的二面角的大小分别是多少？ 【答案】平面与平面ABCD，平面，平面，平面都成45°，平面与平面，平面成的角为90° 【解析】根据线面垂直判定面面垂直得二面角为90°，根据二面角定义找出二面角的平面角，并求出大小. 【详解】在正方体中，考虑平面与平面ABCD，平面， 平面，所以平面就是平面与平面ABCD所成角， 即平面与平面ABCD成角，同理平面与平面ABCD，平面， 平面，平面都成45°角，又因为平面，平面与平面垂直， 即所成的角为90°，同理可得平面与平面，平面都垂直，即与它们所成的角为90°. 所以平面与平面ABCD，平面，平面，平面都成45°角，平面与平面，平面都垂直，即与它们所成的角为90°. 【点睛】此题考查求平面与平面所成角的大小，常通过求二面角的平面角的大小进行度量，特殊情况可用垂直关系讨论. 12、【人教A版必修二复习参考题8第14题】如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）证法一：由平面得，结合，由线线垂直即可证明平面；证法二：由平面可得平面平面，由面面垂直的性质定理即可证明平面； （2）取，的中点分别为，，连接，，，可得是侧面与底面所成二面角的平面角，然后在直角三角形中求解即可. 【详解】（1）证法一：在正方形中，，又侧面底面，侧面底面，底面，所以平面；因为平面，平面， 所以，因为是正三角形，是的中点，所以，又，，平面，所以平面。          证法二：由法（1）知平面，又平面，故平面平面， 因为是正三角形，是的中点，所以，   又平面平面，平面，故平面。 （2）取，的中点分别为，，连接，，，    则，，因为，所以，又在正中，， 因为，，平面，所以平面，正方形中，， 平面，又，平面， 所以，，                                               所以是侧面与底面所成二面角的平面角，  因为平面，， 所以平面，因为平面，所以， 设正方形的边长，则，，所以， 所以，  即侧面与底面所成二面角的余弦值为. 13．如图，四棱锥的底面是矩形，平面，． (1)求证：； (2)求三棱锥的体积； (3)求平面和平面夹角的余弦值的大小． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【分析】（1）利用线面垂直的性质即得； （2）利用锥体的体积公式即得； （3）利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得是平面和平面的夹角，结合条件即得. 【解析】（1）因为平面，平面，所以； （2）因为平面，．四边形是矩形，所以，是三棱锥的高，∴； （3）因为底面，平面，所以，又，，所以平面，因为平面，所以，又因为，所以是平面和平面的夹角，由于，，所以，所以，所以平面与平面的夹角余弦值为. 14．如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于，的任意一点. (1)证明：平面平面； (2)若，，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合圆周角和面面垂直的判定定理证明可得； （2）过点分别作于点，于点，连结，先由线面垂直的判定定理证明，得到二面角的平面角，再由几何关系求出即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以.因为点是圆周上不同于，的任意一点，是的直径，所以.又因为，平面，平面，所以平面.又平面，所以平面平面. （2）过点分别作于点，于点，连结. 由平面平面，平面平面，得平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，故，所以二面角的平面角为.不妨设， 因为，，所以，，，. 在中，，在中，， 所以，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $