作业考试化07（范围：面面垂直关系+空间线面角）专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 基于教材例题改编，聚焦面面垂直关系与空间线面角，通过判定、计算、证明题组构建立体几何基础训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |面面垂直判定|1,3,5,6,10|单选/多选/证明题，考查判定定理应用|以线面垂直为基础，推导面面垂直，形成"线线垂直→线面垂直→面面垂直"逻辑链| |空间线面角计算|2,7,11(2)|计算题，结合距离与三角函数|从线面角定义出发，通过垂线找射影，建立空间角与平面几何量的联系| |综合应用|4,8,9,11(1)|二面角计算/证明填空/综合证明|整合垂直关系与空间角，体现概念从理解到应用的递进，培养空间观念与推理能力|

永年二中高一数学必修二作业考试化07 考试范围：面面垂直关系+空间线面角 班级 姓名 1．【人教A版必修二教材158页例8改编】如图，是圆O的直径，垂直圆O所在的平面，点C是圆上的任意一点，图中有（    ）对平面与平面垂直. A．1 B．2 C．3 D．4 2．【人教A版必修二教材158页例8改编】如图，圆O所在平面，是圆O的直径，是圆周上一点其中，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．【人教A版必修二教材158页例8改编】如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．【人教A版必修二教材158页例8改编】如图，是的直径，垂直于所在平面，是圆周上不同于两点的任意一点，且，，则二面角的大小为（ ） A． B． C． D． 5、（多选题）【人教A版必修二教材158页练习第3题改编】如图，平面，，则下列说法中正确的是（ ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 6．（多选）【人教A版必修二教材158页例8改编】如图所示，AB是半圆O的直径，垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．平面VAC B．平面ABC C．MN与BC所成的角为 D．平面平面VBC 7．【人教A版必修二教材158页例8改编】如图，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C为圆周上一点，AB=5cm，AC=2cm，则B到平面PAC的距离为__________. 8．【人教A版必修二教材158页练习第3题改编】阅读下面题目及其证明过程，并回答问题. 如图，在三棱锥中，底面，，，分别是棱，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：. 解答：（1）证明：在中，因为，分别是，的_____，所以. 因为____平面，_____平面，所以平面. （2）证明：在三棱锥中，因为底面，平面，所以______.因为，且，所以______.因为平面，所以______.由（1）知，所以. 问题1：在（1）的证明过程中，证明的思路是先证______，再证______. 问题2：在（2）的证明过程中，设置了三个空格.请从下面给出的四个选项中，为每一个空格选择一个正确的选项，以补全证明过程.①；②；③平面；④. 9.【人教A版必修二教材160页例10】如图，已知平面，平面平面， 求证：平面. 10.【人教A版必修二教材158页例8】如图，是的直径,所在的平面，是圆周上不同于的任意一点,求证:平面平面. 11.【人教A版必修二教材171页综合运用第13题】如图,在三棱锥中,底面. (1)求证:平面平面; (2)若是的中点,求与平面所成角的正切值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二作业考试化07 考试范围：面面垂直关系+空间线面角 班级 姓名 1．【人教A版必修二教材158页例8改编】如图，是圆O的直径，垂直圆O所在的平面，点C是圆上的任意一点，图中有（    ）对平面与平面垂直. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据面面垂直的判定定理进行证明判断． 【详解】由⊥平面，平面，∴平面⊥平面，同理，平面⊥平面. 由⊥平面，平面，得，又，且，∴平面， 由平面，从而平面⊥平面，故图中相互垂直的平面有3对．故选：C． 2．【人教A版必修二教材158页例8改编】如图，圆O所在平面，是圆O的直径，是圆周上一点其中，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先证明平面，然后可得与平面所成角为，然后可得答案. 【详解】因为平面，平面，所以因为，，所以平面所以与平面所成角为因为，所以， 所以，故选：A 3．【人教A版必修二教材158页例8改编】如图所示，AB是圆O的直径，C是异于A，B两点的圆周上的任意一点，PA垂直于圆O所在的平面，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC中，直角三角形的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用线面垂直的性质可得直角三角形，再利用线面垂直的判定得出BC⊥平面PAC，从而得到直角三角形的个数. 【详解】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC．∴△ABC为直角三角形．又PA⊥⊙O所在平面，AC，AB，BC都在⊙O所在平面内，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∴△PAC、△PAB是直角三角形， 又PA∩AC＝A，平面PAC,∴BC⊥平面PAC．∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC，∴△PBC是直角三角形，从而△PAB，△PAC，△ABC，△PBC均为直角三角形．故选：D. 4．【人教A版必修二教材158页例8改编】如图，是的直径，垂直于所在平面，是圆周上不同于两点的任意一点，且，，则二面角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵垂直于所在平面，,又是的直径，∴∠ACB=90°，即平面，，∴∠PCA即为二面角的平面角． 在△ABC中，∠ACB=90°，又，，∴，∴在中，.故选：C. 5、（多选题）【人教A版必修二教材158页练习第3题改编】如图，平面，，则下列说法中正确的是（ ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ABD 【详解】平面平面，平面平面，平面平面. 理由：平面，平面，平面，∴平面平面，平面平面.平面，平面，.又，,平面.平面，∴平面平面. 6．（多选）【人教A版必修二教材158页例8改编】如图所示，AB是半圆O的直径，垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．平面VAC B．平面ABC C．MN与BC所成的角为 D．平面平面VBC 【答案】BCD 【分析】对于A，举例判断，对于B，利用线面平行的判定定理分析判断，对于C，利用异面直线所成的角求解判断，对于C，利用面面垂直的判定理分析判断. 【详解】对于A，连接，因为AB是半圆O的直径，所以，所以与不垂直，因为平面，所以与平面不可能垂直，所以A错误，对于B，因为M，N分别为，的中点，所以‖，因为平面，平面，所以‖平面，所以B正确，对于C，由选项B可知‖，所以为MN与BC所成的角，因为，所以MN与BC所成的角为，所以C正确，对于D，因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，所以D正确，故选：BCD 7．【人教A版必修二教材158页例8改编】如图，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O，C为圆周上一点，AB=5cm，AC=2cm，则B到平面PAC的距离为__________. 【答案】 【详解】由题意， 平面 ， ，又∵AB是 的直径，∴， 平面PAC， 平面PAC，点B到平面PAC的距离就是BC的长度，根据勾股定理：， 8．阅读下面题目及其证明过程，并回答问题. 如图，在三棱锥中，底面，，，分别是棱，的中点. （1）求证：平面；（2）求证：. 解答：（1）证明：在中，因为，分别是，的_____，所以. 因为____平面，_____平面，所以平面. （2）证明：在三棱锥中，因为底面，平面，所以______.因为，且，所以______.因为平面，所以______.由（1）知，所以. 问题1：在（1）的证明过程中，证明的思路是先证______，再证______. 问题2：在（2）的证明过程中，设置了三个空格.请从下面给出的四个选项中，为每一个空格选择一个正确的选项，以补全证明过程.①；②；③平面；④. 【答案】问题1：中点；； ；直线与直线平行；直线与平面平行； 问题2：；平面；. 【解析】（1）利用线面平行的判断定理，补全过程；（2）利用线线，线面的垂直关系补全条件. 【详解】（1）根据证明过程可知，利用的是直线与平面平行的判断定理，先证明直线与直线平行，再证明直线与平面平行； （2）根据证明过程可知，本题是证明线线垂直，利用线面垂直，证明线线垂直，底面，则，再根据线面垂直的判断定理可知，平面PAB，再证明得到. 【点睛】本题第二问考查了垂直的证明，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含：1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直. 9.【人教A版必修二教材160页例10】如图，已知平面，平面平面，求证：平面. 证明：如图,过点作,垂足为. 平面平面,平面平面, 平面.平面,. 平面平面,. 又,平面. 10.【人教A版必修二教材158页例8】如图，是的直径,所在的平面，是圆周上不同于的任意一点,求证:平面平面. 证明:平面,平面,. 点是圆周上不同于的任意一点,是的直径,,即. 又平面平面,平面. 又平面,平面平面. 11.【人教A版必修二教材171页综合运用第13题】如图，在三棱锥中，，底面ABC (1)证明：平面平面PAC (2)若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）由，得到，再根据底面ABC，得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；（2）作，连接OM，由平面平面PAC，得到平面PBC， 则即为AM与平面PBC所成的角求解. 【详解】（1）证明：因为，所以，又底面ABC，所以，又，所以平面PAC，因为平面PBC，所以平面平面PAC； （2）如图所示： 作，连接OM，因为平面平面PAC，平面平面PAC=PC，所以平面PBC，则即为AM与平面PBC所成的角，设，则，所以，又，所以，所以AM与平面PBC所成角的正切值为. 学科网（北京）股份有限公司 $