河北邯郸市永年区第二中学2025-2026学年高一下学期数学必修二作业考试化训练21（空间线面角）

**基本信息** 聚焦空间线面角计算，覆盖正方体、长方体等基础几何体及四棱锥、三棱锥等综合模型，题型从选择填空到解答题梯度设计，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础几何体|单选1-6、多选7-8、填空9-10|以正方体、长方体为载体，考查线面角的三角函数值计算|由线面角定义出发，通过找斜线在平面内的射影，结合几何直观构建直角三角形求解| |综合应用|解答题11-14|结合教材例题与复习题，涉及线面垂直证明及复杂几何体（四棱锥、三棱锥）中的线面角计算|体现“定义理解→线面垂直判定→空间角转化→三角函数计算”的逻辑链条，强化推理能力与应用意识|

永年二中高一数学必修二作业考试化21 测试范围：空间线面角 一、单选题 1．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，是直角三角形，，在中解出即可得到体积. 【详解】 由已知，是直角三角形，且即为与平面所成的角，即，，则，则.长方体的体积. 2．如图，在正方体中，直线与平面ABCD所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面角的定义，确定直线与平面ABCD的夹角，解三角形求其大小. 【详解】因为多面体为正方体，所以平面，平面所以，所以，由平面可得为直线与平面ABCD的夹角，设,在中，,，，所以， 3．在正方体中，若点是面的中心，则与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取中点，则所求线面角为，利用勾股定理求得，作比可求得结果. 【详解】取中点，连接 为侧面的中心，平面，与平面所成角即为， 设正方体棱长为，则，，， ，即与平面所成角的余弦值为. 4．在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（    ） A． B．112 C． D． 【答案】A 【详解】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接，则底面，过点作于点，则底面，则即侧棱与底面的夹角,即， 因为，所以，故， 所以，故该正四棱台的体积为. 5．已知正方体的棱长为1，点P在线段上，且，则AP与平面ABCD所成角的正切值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】作于，先证明AP与平面ABCD所成角为，再根据三角形中的关系分别求解再求解正切值即可 【详解】如图，连接，因为在平面ABCD上的投影为，故作于，且平面，连接，则AP与平面ABCD所成角为.因为，故，且，故. 所以AP与平面ABCD所成角的正切值为 6．如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，则直线与对角面所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，交于点O，证明直线与平面所成的角是，由得直线与平面所成的角等于，在直角三角形中求得此角大小． 【详解】由E，F分别是的中点得．连接，交于点O， 平面，平面，则，又正方形中，，平面，所以平面，所以直线与平面所成的角是，即直线与平面所成的角等于，平面，，，，直角三角形中， 二、多选题 7．（多选题）下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（    ） A． B． C．与成60°角 D．与平面所成角为45° 【答案】BCD 【分析】由正方体的平面展开图还原原正方体，再由正方体的结构特征结合空间角的概念逐个分析判断即可 【详解】由正方体的平面展开图还原原正方体如图所示，由正方体的结构特征可知，与异面垂直，所以A错误，，而为在平面上的射影，所以，所以B正确，连接，由∥，，可得四边形为平行四边形，则∥，所以或其补角为异面直线与所成的角，连接，可得为等边三角形，得与成60°角，所以C正确，因为平面，所以为与平面所成角为，所以D正确。 8．（在正方体中，下列四个命题正确的有（    ） A．平面 B． C．异面直线与所成的角为60° D．直线与平面所成的角为45° 【答案】ABC 【分析】在正方体中，证明，根据线面平行的判定定理，即可得A正确； 根据线面垂直的判定定理，证明平面，即可得B正确；在正方体中，通过平移线段法，作出异面直线所成的角，进而求解，可判断C正确；在正方体中，由线面角的概念，结合题中条件，作出线面角，可结合题中数据，判断D错. 【详解】如图所示，在正方体中，易知，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，A正确；连接，，因为，，且，，平面，所以平面，又平面，所以，B正确；连接，因为，所以异面直线与所成的角为（或其补角），而为等边三角形，故，C正确；连接，交于点，连接，则，又平面，平面，所以，因为，平面，，平面，所以平面，即平面，故直线与平面所成的角为，在中，，所以在中，，，D错误. 三、填空题 9．在长方体中，，，，是的中点，直线与平面所成的角的大小是______． 【答案】/ 【分析】连接，根据平面，可得即为直线与平面所成的角的平面角，解三角形即可. 【详解】如图，连接，因为平面，所以即为直线与平面所成的角的平面角，又平面，所以，在中，，所以，即直线与平面所成的角的大小是. 10．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．若正方形的边长为2，则直线与平面所成的角的正切值为 ． 【答案】 【详解】在正方形中，．又∵侧面底面，平面平面， 平面，∴平面．∵，∴平面，平面故． 又平面，∴．∵侧面是正三角形且是的中点，∴． 平面，平面，，∴平面．∴是直线与平面所成的角．在正中，，∴，， 在中，，∴．∴． 四、解答题 11、【人教A版必修二第8.6.2节例4】如图，在正方体中，求直线和平面所成的角. 【答案】 【分析】根据正方体性质作出直线和平面所成角的平面角，即可求得结果. 【详解】设正方体的棱长为a.易知，，，平面， 所以平面，又平面，所以. 又易知，，平面，可得平面. 因此为斜线在平面上的射影，即为和平面所成的角， 在中，，，，可得.所以. 即直线和平面所成的角为30°. 12、【人教A版必修二复习参考题8第13题】如图，在三棱锥中，，底面ABC (1)证明：平面平面PAC (2)若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）由，得到，再根据底面ABC，得到，然后利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明；（2）作，连接OM，由平面平面PAC，得到平面PBC， 则即为AM与平面PBC所成的角求解. 【详解】（1）证明：因为，所以，又底面ABC，所以，又，所以平面PAC，因为平面PBC，所以平面平面PAC； （2）如图所示： 作，连接OM，因为平面平面PAC，平面平面PAC=PC，所以平面PBC，则即为AM与平面PBC所成的角，设，则，所以，又，所以，所以AM与平面PBC所成角的正切值为. 13．如图，四棱锥的底面是正方形，平面． (1)求证：平面； (2)若，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）要证明平面，需证明垂直于平面内的两条相交直线； （2）要求四棱锥的体积，根据四棱锥体积公式，（为底面积，为高），需要先求出底面正方形的面积和四棱锥的高. 【详解】（1）因为四边形是正方形，所以，因为平面，平面，所以,因为，且平面,所以平面； （2）因为平面，所以为直线与平面所成的角， 因为是正方形，且，所以，所以，因为与平面所成的角为，所以，解得：， 所以四棱锥的体积为. 14．如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为是的直径，是圆周上不同于的一动点，所以，又因为平面，平面，所以，又因为平面，所以平面. （2）因为平面，平面，所以平面平面. （3）过作于，连接，如图所示， 因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，所以是直线与平面所成的角，在中，由等面积法得而所以，在中，，故直线与平面所成角的正弦值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二作业考试化21 测试范围：空间线面角 一、单选题 1．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，在正方体中，直线与平面ABCD所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 3．在正方体中，若点是面的中心，则与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 4．在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（    ） A． B．112 C． D． 5．已知正方体的棱长为1，点P在线段上，且，则AP与平面ABCD所成角的正切值为（    ） A．1 B． C． D． 6．如图，在正方体中，E，F分别是，的中点，则直线与对角面所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（多选题）下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（    ） A． B． C．与成60°角 D．与平面所成角为45° 8．（在正方体中，下列四个命题正确的有（    ） A．平面 B． C．异面直线与所成的角为60° D．直线与平面所成的角为45° 三、填空题 9．在长方体中，，，，是的中点，直线与平面所成的角的大小是______． 10．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．若正方形的边长为2，则直线与平面所成的角的正切值为 ． 四、解答题 11、【人教A版必修二第8.6.2节例4】如图，在正方体中，求直线和平面所成的角. 12、【人教A版必修二复习参考题8第13题】如图，在三棱锥中，，底面ABC (1)证明：平面平面PAC (2)若，M是PB中点，求AM与平面PBC所成角的正切值 13．如图，四棱锥的底面是正方形，平面． (1)求证：平面； (2)若，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 14．如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $