河北邯郸市永年区第二中学2025-2026学年高一下学期数学必修二作业考试化训练20（空间线线角）

**基本信息** 聚焦空间线线角计算，通过三棱柱、正方体等多样几何体的选择、填空、解答题，系统覆盖定义法、中位线法等核心求角方法，强化空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|单选7题+填空3题|考查不同几何体中异面直线所成角的识别与计算|从空间线线角概念出发，通过平移转化为平面角，体现几何直观与逻辑推理| |综合应用|解答题3题（含教材例题改编）|结合证明、体积计算综合考查线线角应用|从概念到应用，构建"识别-转化-计算"完整逻辑链，发展推理能力|

永年二中高一数学必修二作业考试化20 测试范围：空间线线角 一、单选题 1．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若，AB=BC=1，则异面直线B1C1与AC所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．在长方体中，，，则异面直线与所成的角为（     ） A． B． C． D． 4．在棱长均相等的正四棱锥中，点为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，在正方体中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线与所成的角的大小为（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 6．如图，已知空间四边形ABCD的四条边及对角线的长均为1，M､N分别是BC与AD的中点，设AM和CN所成角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，则异面直线DE与AB所成的角为______. 9．如图是一个正方体的表面展开图，A、B、D均为棱的中点，C为顶点，在该正方体中，异面直线AB和CD所成角的余弦值为______． 10.如图所示,在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且,EF=,则AB和CD所成的角为______． 三、解答题 11、【人教A版必修二第8.6.1节例1】如图，已知正方体. （1）哪些棱所在的直线与直线垂直？ （2）求直线与所成的角的大小. （3）求直线与所成的角的大小. 12、【人教A版必修二习题8.6第13题】求证：两条平行直线与同一个平面所成的角相等. 13．如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱AC的中点． (1)求证：平面； (2)求与BD所成角的余弦值； (3)该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二作业考试化20 测试范围：空间线线角 一、单选题 1．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若，AB=BC=1，则异面直线B1C1与AC所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由BC∥B1C1，所以∠ACB(或它的补角)为异面直线B1C1与AC所成角在可得答案. 【详解】因为BC∥B1C1，所以∠ACB(或它的补角)为异面直线B1C1与AC所成角，因为，AB=BC=1，所以，所以异面直线B1C1与AC所成角为． 2．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN或其补角即异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5． 3．在长方体中，，，则异面直线与所成的角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接，因为，所以为异面直线与所成的角. 因为，所以， 4．在棱长均相等的正四棱锥中，点为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不妨设棱长为1，取中点为， 由为的中位线知，，所以是异面直线，所成角的平面角， 在中，，，. 5．如图所示，在正方体中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线与所成的角的大小为（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】B 【分析】连接，可得为异面直线与所成的角，利用正方体的性质结合条件即得. 【详解】连接，，分别是，的中点，，又由正方体的性质可知，故就是异面直线与所成的角或所成角的补角，连接，由题可知为正三角形，即故与所成的角为60°． 6．如图，已知空间四边形ABCD的四条边及对角线的长均为1，M､N分别是BC与AD的中点，设AM和CN所成角为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作出平行直线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求解三角形得出答案. 【详解】如图，连接MD，设O为MD的中点，连接ON､OC，则且. 所以为异面直线AM与CN所成的角（或补角）.由题意，可得，所以，，.在中，由余弦定理，可得：，即. 7．如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，取的中点，连接，，，在长方体中，，因为，分别是，，所以，所以，所以直线和所成角是锐角， 因为，所以，所以，因为为的中点，所以，所以，所以，，在中，由余弦定理得，所以异面直线和所成角的余弦值为. 二、填空题 8．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，则异面直线DE与AB所成的角为______. 【答案】45°. 【详解】因为D、E分别是VB、VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角， 又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形， 于是∠ABC＝45°，故异面直线DE与AB所成的角为45°. 9．如图是一个正方体的表面展开图，A、B、D均为棱的中点，C为顶点，在该正方体中，异面直线AB和CD所成角的余弦值为______． 【答案】 【详解】将正方体的表面展开图还原成正方体，如图：连接、，因为A、B均为棱的中点，所以所以是异面直线AB和CD所成角（或补角）， 设正方体的棱长为，在中，，,， 10.如图所示,在空间四边形ABCD中,两条对边AB=CD=3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且,EF=,则AB和CD所成的角为______． 【答案】90° 【详解】如图,连接BD,过点E作AB的平行线交BD于点O,连接OF. ∵EO∥AB, 又AB=3,∴EO=2.,,∴OF∥DC. ∴∠EOF或其补角即为AB和CD所成的角. ∵DC=3,∴OF=1.在△OEF中,∵OE2+OF2=5,EF2=()2=5, ∴OE2+OF2=EF2,∴∠EOF=90°.∴AB和CD所成的角为90°. 三、解答题 11、【人教A版必修二第8.6.1节例1】如左图，已知正方体. （1）哪些棱所在的直线与直线垂直？ （2）求直线与所成的角的大小. （3）求直线与所成的角的大小. 解：（1）棱，，，，，，，所在直线分别与直线垂直. （2）因为是正方体，所以，因此为直线与所成的角.又因为，所以直线与所成的角等于45°. （3）如右图，连接.因为是正方体，所以.从而四边形是平行四边形，所以.于是为异面直线与所成的角.连接，易知是等边三角形，所以.从而异面直线与所成的角等于60°. 12、【人教A版必修二习题8.6第13题】求证：两条平行直线与同一个平面所成的角相等. 【答案】证明见解析 【分析】写出命题，作出图形，找出线面角，通过全等三角形关系证明线面角相等. 【详解】已知：分别是a，b与所成的角.求证：. 证明：如图，在a，b上分别取点A，B，这两点在平面的同侧，且，连接AB和， 因为，所以四边形是平行四边形.所以，又， 所以.设分别是平面的垂线的垂足，连接，则， 在和中，因为.所以， 所以. 【点睛】此题考查线面角的辨析，根据定义作出直线与平面所成角，结合全等三角形的性质证明角相等. 13．如图，在正三棱柱中，已知，，D是棱AC的中点． (1)求证：平面； (2)求与BD所成角的余弦值； (3)该正三棱柱被平面截去一个棱锥，求剩余部分的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3). 【分析】（1）连接，使得，再连接，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；（2）设中点为，可证，利用余弦定理可求. （3）利用柱体及锥体体积公式可求. 【详解】（1）连接，交于点，则为中点，连接，如图所示，    在中，因为分别为的中点，所以， 又因为面，且面，所以平面； （2）设中点为，连接，，∵是棱的中点，∴且，即四边形为平行四边形，∴，在正三棱柱中，， ，，，,故与所成角的余弦值. （3）在正三棱柱中，底面为等边三角形， ，，， ，所以剩余部分的体积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $