外接球问题、内切球问题、点到平面距离专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦空间几何三大核心模块，通过多样化题型强化空间观念与几何直观，系统训练外接球、内切球及点面距离的逻辑推理与计算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |外接球问题|12题（6例+6变式）|涵盖三棱锥、圆台、正四棱台等几何体，考查表面积与体积|围绕球心确定（补形法、勾股定理），从简单几何体到复杂组合体| |内切球问题|8题（4例+4变式）|涉及球与圆台、正四面体等相切，计算表面积与体积|基于相切几何性质（半径与母线/高关系），从基本几何体到多球相切| |点到平面距离|6题（3例+3变式）|结合四棱台、三棱柱等，需证明并计算距离|以线面垂直、体积转换为核心，连接空间证明与计算|

外接球问题、内切球问题、点到平面距离专项训练 外接球问题、内切球问题、点到平面距离专项训练 考点目录 外接球问题 内切球问题 点到平面距离 考点一 外接球问题 例1．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为（） A．28π B．27π C．19π D．29π 【答案】D 【详解】如图,根据题意补全为长方体，三个长度为三个对面的对角线的长，设长、宽、高分别为, 则，所以， 所以，所以三棱锥的外接球的表面积为. 例2．（25-26高一下·天津和平·期中）在矩形中，，，沿矩形对角线将折起得到四面体，则四面体的外接球体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用矩形折叠后两个直角三角形共斜边的性质，确定外接球球心为BD中点，计算半径后代入球体积公式求解. 【详解】因为四边形为矩形，故，沿折起得到后，， 因此与均为斜边为的直角三角形. 设中点为，可得， 即为四面体的外接球球心，外接球半径. 所以，故， 所以外接球体积. 例3．（25-26高一下·福建福州·期中）三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助补形法可将原三棱锥补形为长方体，再求出该长方体体对角线长即可得外接球半径，最后利用体积公式计算即可得解. 【详解】如图，由题意可知，可将三棱锥补形为长、宽、高分别为的长方体， 且三棱锥的外接球与长方体的外接球为同一个球， 又该长方体的外接球半径为， 则球的体积是. 例4．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的外接球表面积为__________． 【答案】 【分析】先根据圆台的侧面积公式求出圆台的母线，再结合勾股定理求出圆台的高，再设外接球的半径为，外接球的球心到圆台下底的距离为，则球心到圆台上底的距离为，从而结合勾股定理列出方程组，求出，进而根据球的表面积公式即可求解． 【详解】由圆台的上底面半径为，下底面的半径为，其侧面积为， 设该圆台的母线为，高为， 则，解得， 则， 设外接球的半径为，外接球的球心到圆台下底的距离为，则球心到圆台上底的距离为，（若球心在下底的上方，则为正值，反之为负值） 所以，解得， 所以该圆台的外接球表面积为．    例5．（2026·河南安阳·模拟预测）已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________. 【答案】 【分析】根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在上下底面中心的连线上，设球心到下底面的距离为，外接球的半径为，根据球的截面圆的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】如图所示，正四棱台下底面对角线交点为，上底面对角线交点为， 因为正四棱台下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为， 可得上、下底面正方形的对角线长为和，可得， 根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在直线上， 设外接球的球心为，球心到下底面的距离为，外接球的半径为， 因为正四棱台的高为， 所以若球心在线段上，则，解得， 所以，所以外接球表面积为. 例6．（2026·广东珠海·模拟预测）在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______． 【答案】 【分析】先求出底面正三角形的外接圆半径，再结合侧棱垂直底面的几何特征计算外接球半径，最后代入球的表面积公式求解． 【详解】 设底面正的外接圆圆心为，外接圆半径为， 已知是正三角形，边长， 则其外接圆半径为， 平面， 三棱锥的外接球球心在过且垂直于平面的直线上， 且球心到平面的距离， 外接球半径为：， 由球的表面积公式得． 变式1．（25-26高一下·吉林延边·期中）已知圆台上底面的半径为1，下底面的半径为3，高为2，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易知圆台的轴截面是球的大圆的内接等腰梯形，且球心落在梯形上下底中点连线上，利用与用半径表示出梯形的高，得到的方程，求解即可． 【详解】如图，圆台的轴截面为球的大圆的内接梯形， 易知球心落在梯形上下底中点连线上，设球半径为． 在直角三角形中，，在直角三角形中，， 故或， 所以或， 两边平方整理得或，得， 所以（负值舍去）． 故球的体积．    变式2．（2026·河北雄安·三模）在长方体中，，，则长方体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体体对角线的长即为外接球的直径得出，然后再根据球的表面积公式即可求解 . 【详解】设外接球半径为，已知长方体长宽高为：，，. 根据长方体体对角线公式： ， 由体对角线长等于，得，即， 所以长方体外接球表面积. 变式3．（2026·辽宁抚顺·二模）如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过面面垂直确定球心的大致位置，在直角三角形中利用勾股定理可求球的半径，结合表面积公式可得答案. 【详解】如图，由题可知，外接圆的圆心O是的中点. 设三棱锥外接球的球心为，连接，则平面. 过A作，与的延长线交于点，则由平面平面，可得平面. 因为，，所以，. 取的中点E连接，，可得，， 则. 设，连接，，则，解得， 故三棱锥外接球的表面积为. 变式4．（25-26高二下·湖南长沙·期中）正三棱锥中，，侧棱，则三棱锥的外接球体积为______． 【答案】 【分析】作出辅助线，找到球心，并设出外接球的半径，利用勾股定理列出方程，求出半径，进而得到外接球体积. 【详解】取的中点，连接，过点作⊥于点， 则⊥平面，且， 由于正三棱锥中，，侧棱， 故，，， 由勾股定理得， 设正三棱锥的外接球球心为，则，故， 由勾股定理得，即，解得， 故正三棱锥的外接球体积为. 变式5．（25-26高一下·河北唐山·期中）已知三棱锥中三组相对的棱长分别相等，长度分别为，，，其中，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为________. 【答案】 【分析】根据三棱锥的三组对棱分别相等，可得到三棱锥的顶点必是一个长方体的顶点，再由棱的长度可求得长方体同一个顶点发出的三条棱的长度，继而表示出外接球半径，借助于基本不等式即可求得. 【详解】由题设知，三棱锥的四个顶点是一个长方体的四个顶点，如图． 因三棱锥中三组相对应的棱长分别相等， 长度分别为，，， 故该长方体从同一个顶点出发的三条棱长分别为， 且三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 故外接球的直径长为长方体的体对角线长，设外接球半径为， 则三棱锥的外接球表面积为， 因，则，当且仅当时等号成立． 此时，，即时，. 变式6．（25-26高三下·广西玉林·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，与平面平行的平面截三棱柱得到截面，若几何体的体积为，且几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为___________. 【答案】 【分析】利用棱柱体积公式求得边长，分别求出两个平面和平面的外接圆半径，圆心分别为和，由球心在上，按照在平面上方和下方分类讨论求得球的半径，从而可得表面积.. 【详解】方法一：因为， 所以，又，所以， ，即， 因为到的距离为，所以到的距离为， 如图，设正方形的外接圆圆心为，半径， 设正方形的外接圆圆心为，半径， 已知几何体的所有顶点均在同一个球面上， 设此球的半径为，若球心在平面下方，则（舍）， 若球心在平面的上方，则解得， 故该球的表面积为. 方法二：因为， 所以，又，所以， 即，如图，设四边形的外接圆的半径为， 由余弦定理可得， 故，故，已知几何体的所有顶点均在同一个球面上， 则该球的半径为，所以该球的表面积为. 考点二 内切球问题 例1．（25-26高一下·四川成都·期中）已知球的表面积为，圆台的上、下底面半径之比为，球与圆台的两个底面及侧面都相切，则圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由球的表面积得到球的半径，由球与圆台内切得到圆台的高，进而求出圆台上下底面半径和母线长，求出表面积. 【详解】已知球的表面积为，设球的半径为，则得，解得， 因为球与圆台上下底面都相切，所以圆台的高. 设圆台上下底面半径分别为、（满足），因为圆台有内切球，则母线长， 即 .又，所以 ， 即 ，整理得 解得，即 ， ，母线. 所以圆台的表面积 . 例2．（25-26高一下·浙江杭州·期中）如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出圆台及球的轴截面，从而可得等腰梯形及其内切圆，再结合勾股定理及条件解方程可得. 【详解】作圆台及球的轴截面，圆台的轴截面是等腰梯形且与球的截面的圆相切，如图： 所以圆台的母线长. 由勾股定理得：，化简得①. 又，代入①得：，，解得或. 若时，则，，所以圆台的侧面积； 若时，则，此时几何体是圆柱不是圆台，不符合题意，舍去. 因此，圆台的侧面积为. 例3．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的表面积为________. 【答案】 【详解】作出圆台和内切球的组合体的轴截面，设圆台的内切球的半径为，结合圆的性质，得到圆台的母线长为，结合梯形性质，求得，结合球的表面积公式，即可求解. 【点睛】如图所示，作出圆台和内切球的组合体的轴截面，圆台的母线与圆的切点为， 因为圆台的上底面半径为，下底面半径为， 根据圆的切线的性质，可得， 设圆台的内切球的半径为，可得 可得圆台的母线长为， 又由，可得，即， 所以圆台的内切球的表面积为. 例4．（25-26高一下·海南海口·期中）已知球内切于圆台（即球与圆台的上、下底面及侧面均相切），且圆台上、下底面半径之比为2：5. 设圆台的侧面积为，球的表面积为，则=__________. 【答案】 【分析】画出圆台的轴截面图，由几何知识可确定球的半径，再计算对应圆台的侧面积，球的表面积，即可得答案. 【详解】设上底半径，下底半径 . 由圆台内切球的轴截面性质知，圆台母线长 ， 圆台的高（为球的半径） 由勾股定理得： ， 因此球半径 ， 所以圆台侧面积， 球的表面积， 所以=. 变式1．（25-26高一下·广东梅州·期中）设某正四面体的内切球的体积为，则该正四面体的棱长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】由球的体积公式求得球的半径，再通过正四面体体积确定棱长和半径的关系，即可求解. 【详解】球的体积公式为， 由题意内切球体积， 代入得： ，整理得： 设正四面体棱长为，高为 如图为正四面体，为的中心， 根据正弦定理知的外接圆半径， 所以， 设是正四面体PABC的内切球球心，内切球半径为， 则根据等体积法得： ． 故 对两边立方得： 将​代入上式，得： 因此该正四面体的棱长为. 变式2．（25-26高三上·山东东营·期末）已知圆柱和圆锥的底面半径均为3，侧面积相等，若圆柱的高为，则圆锥内切球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出圆柱的侧面积，得到圆锥的母线和高，利用圆锥轴截面面积得到方程，求出内切球半径，得到答案. 【详解】设圆柱的底面半径为，圆锥的母线长为，内切球半径为， 则圆柱侧面积为， 所以圆锥的侧面积为，由圆锥侧面积公式可得， 故圆锥母线长，可得圆锥的高. 根据圆锥轴截面面积可知， 化简得，则圆锥内切球体积为. 故选：C 变式3．（24-25高一下·广东汕头·期中）已知正四面体的表面积为，此四面体的内切球的表面积为，则＝______． 【答案】 【分析】设四面体的棱长为，求出正四面体的高，可得其体积，设正四面体的内切球半径为利用等体积法可得则,从而得到内切球的半径即可求解. 【详解】设四面体的棱长为，则底面三角形的高为，且底面中心将底面三角形的高分为两段， 所以底面中心到顶点的距离为可得正四面体的高为， 所以正四面体的体积 设正四面体的内切球半径为则， 所以内切球表面积，又正四面体的表面积， 所以 变式4．（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4中、4小共9个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体ABCD的表面积，则9个球的表面积之和为______. 【答案】 【分析】首先根据正四面体表面积求出棱长，高，再通过几何关系求出大球半径（也可以使用等体积法）．中球，小球也可以看成是内接于正四面体的球，求出外切正四面体的高，根据相似关系，得到中球，小球半径，最终求出个球的表面积之和． 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于， 连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，，，， 由正四面体ABCD的表面积为，即，解得， 由，解得， 由图知最大球内切于高的正四面体，最大球半径， 因此最大球的表面积为； 中等球内切于高的正四面体，中等球半径， 因此中等球的表面积为； 最小球内切于高的正四面体，最小球半径， 因此最小球的表面积为， 所以九个球的表面积为． 考点三 点到平面距离 例1．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，与交于点F，连接BF，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论； （2）根据已知求出相关线段长，再由等体积法求点面距离. 【详解】（1）如图，连接，与交于点F，连接BF， 因为四边形是正方形，， 所以，， 因为四边形是正方形，，所以. 因为，所以， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为在四棱台中，两底面均为正方形， 所以，所以， 所以， 所以， 又， 设点到平面的距离为h， 由等体积法得，即，解得， 所以点到平面的距离为. 例2．（25-26高一下·广东清远·期中）如图，在三棱柱中，，．点E，F分别为棱，的中点. (1)记三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，求； (2)若，且三棱柱是直棱柱. （ⅰ）求点E到平面ABF的距离； （ⅱ）求一只蚂蚁沿三棱柱表面从点B爬行到点E的最短路程. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）利用中点性质及几何分割，得出三棱锥体积与三棱柱体积的固定比例； （2）（ⅰ）先用勾股定理证明三角形为直角三角形并计算面积，再通过等体积法，由已知体积反推高； （ⅱ）将三棱柱的侧面展开为平面，考虑三种不同的展开方式，分别计算两点间的直线距离，取最小值即为最短路径, 【详解】（1）因为，点，分别为棱，中点， 所以，，所以， 所以，,所以， 所以， 所以． （2）（ⅰ）如图1，因为三棱柱是直棱柱，所以， 因为，所以三棱柱的体积， 由（1）知三棱锥的体积为， 在中，， ，， 所以，的面积， 设点到平面的距离为，则，即， 所以． （ⅱ）沿三棱柱表面从点到点有三种路径： （1）经过平面与平面，如图2沿棱翻转平面，使得平面与平面在同一平面内，此时最短路程为． （2）经过平面与平面，如图3沿棱翻转平面，使得平面与平面在同一平面内，此时最短路程为． （3）经过平面与平面，如图4沿棱翻转平面，使得平面与平面在同一平面内，此时最短路程为． 因为， 所以蚂蚁沿三棱柱表面从点爬行到点的最短路程为． 例3．（25-26高二上·云南普洱·期末）如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2)192； (3). 【分析】（1）利用线面垂直的判定及性质，结合圆锥的结构特征推理得证. （2）利用锥体的体积公式求解即可. （3）证明平面，再利用等体积法求出距离. 【详解】（1）在圆锥中，正方形内接于圆O，则，， 而平面，平面，则，又平面， 因此平面，而平面，所以. （2）由（1）得，由，得， 正方形的面积，而平面， 所以四棱锥的体积为. （3）由正方形，得，而平面，平面， 则平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离， 在中，，则边上的高， 的面积，由（2）得， 又，因此， 所以直线到平面的距离为. 变式1．（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，分别是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接DE，推导四边形BEDF是平行四边形，从而得到，再得到，从而平面BFG，平面BFG，进而得到平面平面BFG，因此得证平面； （2）根据平行线的性质，利用等积法进行求解即可. 【详解】（1）连接， ∵是正方形，，分别是棱，的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵是的中点，∴， ∵平面，平面， ∴平面，平面， ∵，直线平面， ∴平面平面，∵平面， ∴平面．    （2）设点到平面的距离为， 因为分别是的中点， 所以， 因为底面， 所以底面，因为底面， 所以， 因为底面为正方形，，分别是的中点 所以，，     因为， 所以， . 变式2．（24-25高一下·安徽宣城·期末）如图，在正三棱柱中，，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）过点作交于点，交于点，说明点A到平面的距离为的长度，结合几何性质求出的长度即可； （2）根据给定条件，证明平面平面，过点作交于点，利用面面垂直的性质推理作答. 【详解】（1）如图所示，过点作交于点，交于点， 因为与互余，与互余， 所以， 又因为， 所以，所以， 因为在正三棱柱中，，，点M为的中点， 所以即为，解得， 所以， 由等面积法有，即，解得， 所以， 由正棱柱性质可知，平面，而平面， 从而， 因为三角形是正三角形且点为的中点， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 所以点A到平面的距离为； （2）在正三棱柱中，因为点为的中点，则， 又平面， 平面，则有， 而平面，于是平面， 平面，则平面平面，在平面内过点作交于点， 平面平面，因此平面，于是点即为所要找的点， 显然，因此，即有，于是，， 所以. 变式3．（24-25高一下·河北石家庄·月考）如图，点为四边形所在平面外的一点，平面，，，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，通过为平行四边形，即可求证； （2）通过等体积法即可求解. 【详解】（1） 取的中点，连接， 由中位线可得， 又，， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又在平面内，不在平面， 所以平面 （2） 连接， 因为平面，都在平面内， 所以， 又，， 由勾股定理可得：， 所以， 设点到平面的距离为， 由， 可得：， 所以， 又是的中点， 所以点到平面的距离为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $外接球问题、内切球问题、点到平面距离专项训练 外接球问题、内切球问题、点到平面距离专项训练 考点目录 外接球问题 内切球问题 点到平面距离 考点一 外接球问题 例1．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为（） A．28π B．27π C．19π D．29π 例2．（25-26高一下·天津和平·期中）在矩形中，，，沿矩形对角线将折起得到四面体，则四面体的外接球体积为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·福建福州·期中）三棱锥中，，平面，，，球是三棱锥的外接球，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的外接球表面积为__________． 例5．（2026·河南安阳·模拟预测）已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________. 例6．（2026·广东珠海·模拟预测）在三棱锥中，底面为正三角形，平面，若四点都在球的表面上，则球的表面积为______． 变式1．（25-26高一下·吉林延边·期中）已知圆台上底面的半径为1，下底面的半径为3，高为2，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·河北雄安·三模）在长方体中，，，则长方体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·辽宁抚顺·二模）如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高二下·湖南长沙·期中）正三棱锥中，，侧棱，则三棱锥的外接球体积为______． 变式5．（25-26高一下·河北唐山·期中）已知三棱锥中三组相对的棱长分别相等，长度分别为，，，其中，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为________. 变式6．（25-26高三下·广西玉林·阶段检测）如图，在正三棱柱中，，与平面平行的平面截三棱柱得到截面，若几何体的体积为，且几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为___________. 考点二 内切球问题 例1．（25-26高一下·四川成都·期中）已知球的表面积为，圆台的上、下底面半径之比为，球与圆台的两个底面及侧面都相切，则圆台的表面积为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·浙江杭州·期中）如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（        ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的表面积为________. 例4．（25-26高一下·海南海口·期中）已知球内切于圆台（即球与圆台的上、下底面及侧面均相切），且圆台上、下底面半径之比为2：5. 设圆台的侧面积为，球的表面积为，则=__________. 变式1．（25-26高一下·广东梅州·期中）设某正四面体的内切球的体积为，则该正四面体的棱长为（    ） A．2 B． C．3 D． 变式2．（25-26高三上·山东东营·期末）已知圆柱和圆锥的底面半径均为3，侧面积相等，若圆柱的高为，则圆锥内切球的体积为（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高一下·广东汕头·期中）已知正四面体的表面积为，此四面体的内切球的表面积为，则＝______． 变式4．（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4中、4小共9个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切，小球与中球及正四面体三个面均相切.若正四面体ABCD的表面积，则9个球的表面积之和为______. 考点三 点到平面距离 例1．（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 例2．（25-26高一下·广东清远·期中）如图，在三棱柱中，，．点E，F分别为棱，的中点. (1)记三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，求； (2)若，且三棱柱是直棱柱. （ⅰ）求点E到平面ABF的距离； （ⅱ）求一只蚂蚁沿三棱柱表面从点B爬行到点E的最短路程. 例3．（25-26高二上·云南普洱·期末）如图，在圆锥中，底面圆心为O，母线，圆锥的高，底面圆O的内接四边形为正方形. (1)证明：； (2)求四棱锥的体积； (3)求直线到平面的距离. 变式1．（25-26高三上·上海宝山·期末）如图，在四棱锥中，底面，且底面为正方形，分别是的中点．    (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 变式2．（24-25高一下·安徽宣城·期末）如图，在正三棱柱中，，，点M为的中点. (1)求点A到平面的距离； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 变式3．（24-25高一下·河北石家庄·月考）如图，点为四边形所在平面外的一点，平面，，，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 2 学科网（北京）股份有限公司 $