专项练习：空间中垂直的判定与性质-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦空间垂直判定与性质，以线面、面面垂直为核心，通过判定、性质及存在性问题构建逻辑体系，覆盖证明、计算与探究题型，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线面垂直-判定|7题|证明线面垂直，结合空间角、体积计算|从线线垂直推导线面垂直，覆盖多几何体（圆柱、棱台等）| |线面垂直-性质|3题|用线面垂直证线线垂直，涉及二面角|线面垂直性质的直接应用，强化垂直关系转化| |线面垂直-存在性问题|2题|探究棱上满足线面垂直的点|综合判定与性质，培养探究思维| |面面垂直-判定|5题|证明面面垂直，结合外接球等拓展|通过线面垂直推导面面垂直，构建层级关系| |面面垂直-性质|6题|用面面垂直证线面垂直，涉及体积、距离|面面垂直性质的逆向应用，深化逻辑推理| |面面垂直-存在性问题|2题|翻折后探究面面垂直的点|结合动态几何，提升空间想象能力|

专项练习一一空间中垂直的判定与性质 一、线面垂直 (一)判定：证明线面垂直 1.如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的一动点. (1)证明：BC⊥平面PAC: (2)证明：平面PAC⊥平面PBC; (3)若PA=AB=2,AC=V2,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值 P A--- 第1页 2.如图，在四棱台ABCD-A,B,C1D,中，AD1/BC'∠ADD,=90,∠BCD=60 AD=DC=BD1=2,A D=DD=BC=1 (1)证明：DD1⊥平面ABCD: (2)求平面A1ADD1与平面BBCC1夹角的余弦值. D C Av 、B D 3.如图，在五面体ABCDEF中，底面四边形ABCD是梯形，AD∥BC∥EF, 第2页 AD=2BC=2EF=4AB=4,ED⊥AB,FB⊥CD,∠BAD=60°，N为AD的中点. (I)求证：AB⊥平面CDE: (2)若CE=2V3,求平面ABF与平面CNP夹角的余弦值. 4.如图，已知正四面体P-ABC的棱长为2V3,Q为底面△ABC的外心，D为AB中点 (1)连接PQ,证明：PQ⊥平面ABC 第3页 (2)设PC的中点为E,求DE与平面PBC夹角的正弦值. >B 0 C 5.已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB=AC=BC=6,AD=23 (1)证明：BD⊥平面PAC: (2)若PA=AB,求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值： (3)若PD存在一点T,且PA=6,求BT与平面PAC夹角的余弦取值范围. 第4页 --)D B 6.如图，正四枝台ABCD-A,B,CD,中，D正=号DD,AB=2AB,=4,CC,=6 (1)求证：DD1⊥平面ACE: V2 (2)若点F在平面B1AC内，且直线D1F与平面B1AC所成的角的正切值为 3 (i)求F的轨迹的长度： 第5页 (ii)求三棱锥E-ACF体积的最大值， D A B D C 7.如图1，在平面五边形MADCB中， AB∥CD,AB⊥BC,AB⊥MA,BC=CD=2AB=2MA=4,将△MAB沿AB折起得到如图2 所示的四棱锥P-ABCD,且PD=4,E为棱CD的中点. (1)证明：PE⊥平面PAB; (2)若G为棱PD上一动点，直线CG与平面PAD所成角的正弦值为 V21 14 第6页 (i)求DP DG (ii)求点G到平面PBC的距离. D M B 图1 图2 (二)性质：线面垂直证明线线垂直 8.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC,△ABC和△PAB都是边长为2的正三角 形 (1)证明：PC⊥AB； (2)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值， 第7页 9.如图，在三楼锥A-BCD中，∠ACD=∠BDC=7,AC=BD=1,CD=X,记二面角 A-CD-B的大小为0，M,N分别为AD,BC的中点， (1)求证：CD⊥MN: (2)用x,0表示三棱锥M-CDN的体积； 第8页 (B)设在三棱锥A-BCD内有一个半径为r的球，0<x≤2，且日=X,求证：r< 4 M 、W B D 10.如图，PA、PB、PC为圆锥三条母线，AB=AC (1)证明：PA⊥BC: (2)若圆锥侧面积为3π，BC为底面直径，BC=2,求二面角B-PA-C的正弦值： 31 (3)在第(2)问的条件下，若△PBC内（含边界）存在一点Q满足QB·QC=4求Q1与圆锥底面所成角 正切值的取值范围. 第9页 P A B (三)存在性问题 11.如图，直三棱柱ABC-A,BC,E,F分别是BC,AA1的中点， (1)求证：AE∥平面B1FC: (2)若AB=AC,BC=BB1,在棱CC1上是否存在点P,使BC⊥平面PAE.如果存在，求出点P的 位置，如果不存在，请说明理由. 第10页 C A B 、E 2---- B 12.如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，△SAD为正三角 形.侧面SAD⊥底面ABCD,E,F分别为棱AD,SB的中点. (I)求证：AF平面SEC; (2)求证：平面ASB⊥平面CSB; ③在校8上是香布在点“使羽BDL平面aC:若存在，求兴的值；若不布在，请说明理面. 第11页 =>D B 二、面面垂直 (一)判定：证明面面垂直 13.如图，长方体ABCD-A1B,C1D1中，AB=AD=1,AA1=3,点P为DD1的中点 (1)求证：平面PAC⊥平面BDD1B1: (2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角的正弦值： B Q (③)在直线BB,上是否存在点O使得PQ上平面ACP,若存在，则此时B0为多少：若不存在，请 第12页 说明理由. D C B P D C A B 14.如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，所有棱长均为2'∠A,AC=60,A1B=6 (1)证明：平面ABC⊥平面AA1C1C: (2)求直线A1B与B1C1所成角的余弦值： (3)求二面角B-A1B1-C1的正弦值. 第13页 C B 15.如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD为正三角形，∠ADC=120°，AD=DC=2, PC=V10 (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD: 2V7 2)若∠ABC=120°，且锐二面角B-AP-D的正弦值为7，求AB. 第14页 、D 16.如图，P为圆锥顶点，O为底面圆心，A,B,C均在底面圆周上，且△ABC为等边三角形. (1)求证：平面POA⊥平面PBC: (2)若圆锥的底面半径为r=2,高为h=22,求点A到平面PBC的距离. (3)在(2)的条件下，该圆锥是否存在外接球，若有求出其外接球表面积；如果没有请说明理由. 第15页 P A 17.如图，在五面体ABCDE中，EA⊥平面ABC,CD∥AE,AC⊥BC, AE=AC=BC=2CD=4,点M为BE中点. (1)求证：平面BDE⊥平面ABE: (2)求直线ED与平面ABE所成角的余弦值： (3)求三棱锥M-ABD的体积. 第16页 M (二)性质：面面垂直证明线面垂直 18.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB,BC⊥AB,平面PAB⊥平面PBC,点M为PC 中点。 (1)求证：PA⊥底面ABC: (2)若PA=AB=BC=2,试求平面ABM和平面PAC夹角的余弦值. 第17页 M B 19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，平面ABCD⊥平面PAD, PA⊥CD,PA=AB=2,E为PD的中点. (1)求证：PA⊥平面ABCD: (2)求二面角C-AE-P的余弦值. 第18页 E 20.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面 ABCD,AB=2,点E是PC的中点. (1)证明：直线PB⊥平面ADE: 3 Q若直线DE与平面ABCD的夹角的正切值为亏， (i)求四棱锥P-ABCD的体积； 第19页 (i)求三棱锥P-ADE的外接球的半径. B 21.如图，已知正方形ABCD所在平面和平行四边形DBPQ所在平面互相垂直，平面PBA⊥平面 ABCD,M是线段PQ上的一点，且DM∥平面ACP.求证： (1)平面ADQ∥平面BCP: (2)M是线段pQ的中点： 3)PB⊥平面ABCD: 第20页 M D 22.如图，四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=PB,PC=PD,且平面PAB⊥平面 PCD.E,F分别是AB,CD的中点.AB=V2BC=V2, (1)求证：△PEF是直角三角形： (2)求四棱锥P-ABCD体积的最大值 第21页 D F E (三)存在性问题 23.如图，在几何体ABCDE中，EA⊥平面ABC,EA‖DC,AB⊥AC, EA=AB=AC=2DC,M是线段BD上的动点. (1)当M是线段BD的中点时，求证：BC⊥平面MEA. 回是香行在点M,使得平面MEA1平面PBD:芳存在，求器的值：若不有在，清说明理直。 第22页 M B 24.在梯形PABC中，AB‖PC,PA=AB=BC,PC=2PA.D为PC的中点，G为AD的中点.将 △PAD所在平面沿AD翻折，使构成的四棱锥P-ABCD体积最大. (1)求证：BG⊥平面PAD: (2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F,使平面乙⊥平面ABCD?并证明你的结论， 第23页 连忆熊 d 专项练习——空间中垂直的判定与性质 1、 线面垂直 （一）判定：证明线面垂直 1．如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的一动点. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为是的直径，是圆周上不同于的一动点， 所以，又因为平面，平面，所以， 又因为平面， 所以平面. （2）因为平面，平面， 所以平面平面. （3）过作于，连接，如图所示， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以是直线与平面所成的角， 在中，由等面积法得 而 所以， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为. 2．如图，在四棱台中，，，；，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理及勾股定理逆定理证明，进而得到，再结合已知条件证明和，利用线面垂直判定定理即可得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量夹角公式求解． 【详解】（1）在中，，，， 由余弦定理得， 所以． 因为，所以，即． 又因为，所以． 在中，，，， 因为，所以，即． 又因为，即，且，平面， 所以平面． （2）由（1）知平面，且，故以为坐标原点， 的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系． 则，，，． 因为，，且，所以． 因为四棱台中，，， 所以，所以． 同理，，，所以，． 平面即平面，其一个法向量为． 设平面的法向量为，，， 则，令，则，所以． 设平面与平面的夹角为，则． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 3．如图，在五面体中，底面四边形是梯形，，，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】第（1）题，利用底面梯形的边长、角度关系，结合线面垂直的判定定理，证明垂直于平面内的两条相交直线，得出平面. 第（2）题，建立空间直角坐标系，用空间向量法求两个平面的法向量，再计算两个平面夹角的余弦值. 【详解】（1）因为为的中点，，所以且 ， 所以四边形为平行四边形，所以． 在中，，，， 由余弦定理得 ， 又因，则得，即，所以． 又，， 平面，平面， 所以平面． （2）由（1）知平面，平面，所以，即． 因为且 ，所以四边形为平行四边形， 所以，，得， 因为，所以． 因为， 平面，平面， 所以平面． 由（1）知，，所以，，两两互相垂直. 以为原点， 所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. 易知平面的一个法向量为． 如图(2)所示，因为平面，，,, ， 所以, . 设平面的法向量为， 则，故可取． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 4．如图，已知正四面体的棱长为，为底面的外心，为中点. (1)连接，证明：平面. (2)设的中点为，求与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求解证明即可；（2）运用几何法求解线面夹角的正弦值. 【详解】（1）证明：如图，连接，由于为的外心，故有. 因为为中点，，所以，， ∵，平面∴平面， ∴.同理，. ∵，平面， ∴平面. （2）正四面体棱长​，等边中，中线， 为重心（等边三角形重心与外心重合），故. 由平面，​. 是中点，在中，，， 由中线长公式. 由体积法，​​， 故， 又​， 设到平面距离为，则，​ 设线面夹角为，由线面角定义，代入得. 即直线与平面夹角的正弦值为. 5．已知四棱锥中，平面，，，. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值； (3)若存在一点，且，求与平面夹角的余弦取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线段长度结合余弦定理确定形状，借助线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用面面夹角的向量公式和同角三角函数的基本关系计算即可. （3）利用线面角的向量求法结合同角三角函数的基本关系得到，再构造函数并结合导数得到取值范围即可. 【详解】（1）由题意可知为等边三角形，， 由余弦定理可知， 即为等腰三角形，取中点E，连接， 易知三点共线， 即，又平面， 而平面，所以， 因为平面，所以平面； （2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以，设平面与平面的夹角为， 设平面的一个法向量为，即， 令，解得， 易知平面的一个法向量为，所以， 由同角三角函数的基本关系得， 则平面与平面夹角的正弦值为. （3）由题意得， 则，，设平面的一个法向量为， 即，令，解得， 而存在一点，设，且， 设，则，则， 解得，可得， 则，设与平面夹角为， 可得， 由同角三角函数的基本关系得， 令，则， 而，此时，可得在上单调递减， 而，，则，故. 6．如图，正四棱台中，，，. (1)求证：平面； (2)若点在平面内，且直线与平面所成的角的正切值为. （i）求的轨迹的长度； （ii）求三棱锥体积的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）（ii） 【分析】（1）证明平面，从而，同时在等腰梯形中，通过得到 ，所以平面； （2）（i）依题意，建系，计算出到平面上的投影点的距离，再根据直线与平面所成角的正切，得到，所以的轨迹是圆，计算周长即可；（ii）设的坐标为，利用向量共面和法向量得到点坐标，通过计算圆心到的距离，分析得到圆上一点到距离的最大值即可；也可设，计算出点到的距离，并利用建立约束分析最大值，从而有的最大值，然后运用向量法或利用点和点到平面的距离相等，得到点到平面的距离，进一步有三棱锥体积的最大值. 【详解】（1）连结交于，连接交于点，连结， 在等腰梯形中，分别为中点，可得， 在正方形中，，又，平面， 所以平面，因为平面，所以， 作，为垂足，在等腰梯形中，， ，得，由得， 在中，，所以即， 又平面，，所以平面. （2）（i）因分别为正四棱台的两底面的中心， 则平面，且， 以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， ， 则，，， 设平面的一个法向量， 则，故可取， 设在平面上的投影为点，则， 设直线与平面所成角为，则，解得， 所以的轨迹是以为圆心，为半径的圆，则的轨迹长度为. （ii）解法一：设的坐标为， 因，即，得， 设， 即， ，解得，，从而， 记点到的距离为，则， 所以点到距离的最大值为，所以， 又， 记点到平面距离为，则， 所以. 解法二： 连结，因为且，所以为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面， 所以点和点到平面的距离相等，即为，     设， 记点到距离为， 则， 又， 由可得， 配方得， 令，可得当时，有，所以的最大值为， 所以， 所以. 7．如图1，在平面五边形中，，将沿折起得到如图2所示的四棱锥，且，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)若为棱上一动点，直线与平面所成角的正弦值为． （i）求 （ii）求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）或（ii）或． 【分析】（1）先由平面几何性质得到，结合折叠后推出平面，可得，再由勾股定理证得，最后根据线面垂直的判定定理完成证明； （2）（i）根据第一问的垂直关系建立空间直角坐标系，设得到的坐标，求出平面的法向量和直线的方向向量，利用线面角的向量计算公式列方程求解得到结果；（ii）在已建立的空间直角坐标系中求出平面的法向量，结合已得的点坐标，利用点到平面的距离向量公式计算得到所求距离，也可通过等体积法结合三棱锥体积关系求解。 【详解】（1）连接， 因为，所以四边形为矩形， 所以， 因为平面，所以平面． 又平面，所以，所以， 又，， 所以， 因为，所以，所以， 因为平面， 所以平面． （2）过点作于点，由（1）知平面． 因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 所以两两垂直， 过点作交于点， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由（1）知，所以，则， 所以， 则． 所以． （i）设， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则．所以． 又， 设直线与平面所成角为， 则， 整理得，解得或， 所以或． （ii）设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，所以． 因为，所以点到平面的距离为． 由（i）得或， 当时，，此时点到平面的距离为； 当时，，此时点到平面的距离为． 综上，点到平面的距离为或． （二）性质：线面垂直证明线线垂直 8．如图，在三棱锥中，平面平面，和都是边长为2的正三角形． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，通过证明平面，结合线面垂直的性质可证； （2）过作平面，垂足为，连接得即为直线与平面所成的角，再结合等体积法求解即可. 【详解】（1）证明：取中点，连接， 因为，是的中点，所以． 又，是的中点，所以． 又，平面， 所以平面，又平面，所以． （2）解：由（1）知， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以 因为和都是边长为2的等边三角形， 所以， 过作平面，垂足为，连接， 则即为直线与平面所成的角， 因为， 取中点，连接，则， 因为， 所以，解得， 所以，即直线与平面所成角的正弦值. 9．如图，在三棱锥中，，，，记二面角的大小为，，分别为，的中点． (1)求证：； (2)用，表示三棱锥的体积； (3)设在三棱锥内有一个半径为的球，，且，求证：．    【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）取中点，连接，，根据线面垂直的判定定理得到平面，进而可证. （2）根据面面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理得到平面，即为三棱锥的高，根据二面角的定义得到，结合三棱锥的体积公式求解即可. （3）求出三棱锥的表面积及体积，得到三棱锥内切球的半径，结合放缩法即可证明. 【详解】（1）取中点，连接，.    因为，分别为，的中点，则，. 因为，所以，. 又，，平面，所以平面. 又平面，所以． （2）由（1）知，平面， 又平面，所以平面平面，交线为． 过作于. 因为平面，所以平面，即为三棱锥的高． 因为、分别为、中点，所以，． 又平面，所以即为二面角的平面角，则， 在中，. 因为为中点，所以. 所以. （3）作于，由（2）知，， 过作交于，则，四边形为矩形，    又平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 在中，， 设的高，所以， 又，，所以， 即，， 所以三棱锥的表面积 ， 又， 所以三棱锥的内切球半径， 所以， 故. 10．如图，、、为圆锥三条母线，. (1)证明:； (2)若圆锥侧面积为为底面直径，，求二面角的正弦值； (3)在第(2)问的条件下，若内(含边界)存在一点Q满足，求QA与圆锥底面所成角正切值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点，连接、，证明出平面，利用线面垂直的性质可证得成立； （2）根据题意求出圆锥的半径长和母线长，可求出、的长，然后过点在平面内作，垂足为点，连接，推导出为二面角的平面角，求出、的长，结合余弦定理可求出二面角的余弦值． （3）由条件结合数量积性质证明，利用条件确定的坐标关系，再利用向量夹角公式求结论. 【详解】（1）取中点，连接、， 因为，所以， 又因为面面，所以面， 因为面，所以. （2）因为为直径，故为底面圆的圆心，故平面，而 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 因为圆锥侧面积为为底面直径，，所以底面半径为1，母线长为， 所以， 则可得， 故， 设为平面的法向量，则， 令，则，所以. 设为平面的法向量， 则， 令，则，所以. 则， 设二面角为，则. （3）因为， 故， 设，故， 因为点在​内（含边界）故​， 所以，即， 所以，，结合 所以，又， 所以的范围为， 圆弧​与分别交于一点，的轨迹两交点之间的一段圆弧， 点在平面上的投影为， 则平面，QA与圆锥底面所成角为， 设与底面所成角为，则， 代入化简得， ​ 是关于的增函数，的范围为， 代入得的范围为 （三）存在性问题 11．如图，直三棱柱，，分别是，的中点， (1)求证：平面； (2)若，，在棱上是否存在点，使平面.如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)点是的中点时，平面. 【分析】（1）根据线面平行的判断定理，构造平行四边形，证明线线平行； （2）根据垂直关系的转化，转化为构造. 【详解】（1）取的中点，连结， 因为点分别是和的中点，所以，， 且，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面， 所以平面； （2）假设存在点，使平面， 因为，且点是的中点，所以， 且平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，所以四边形是正方形，则； 取的中点，连结，则， 则，，平面， 所以平面， 所以点是的中点时，平面. 12．如图，在四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△SAD为正三角形．侧面SAD⊥底面ABCD，E，F分别为棱AD，SB的中点． (1)求证：AF∥平面SEC； (2)求证：平面ASB⊥平面CSB； (3)在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）取SC的中点G，连接FG，EG，证明四边形AFGE是平行四边形，则AF∥EG，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）先证明AD⊥平面SEC，再根据面面垂直的判定定理即可得证； （3）假设在棱SB上存在点M，使得BD⊥平面MAC，连接MO，BE，由面面垂直的性质可得SE⊥平面ABCD，再根据线面垂直的性质可得BD⊥OM，SE⊥BE，再分别求出即可得出答案. 【详解】（1）证明：如图，取SC的中点G，连接FG，EG， ∵F，G分别是SB，SC的中点， ∴FG∥BC，， ∵四边形ABCD是菱形，E是AD的中点， ∴AE∥BC，， ∴FG∥AE，FG＝AE，∴四边形AFGE是平行四边形， ∴AF∥EG，又平面SEC，平面SEC， ∴AF∥平面SEC； （2）证明：∵△SAD是等边三角形，E是AD的中点， ∴SE⊥AD， ∵四边形ABCD是菱形，， ∴△ACD是等边三角形，又E是AD的中点， ∴AD⊥CE， 又平面SEC， ∴AD⊥平面SEC，又平面SEC， ∴AD⊥EG， 又四边形AFGE是平行四边形， ∴四边形AFGE是矩形，∴AF⊥FG， 又SA＝AB，F是SB的中点，∴AF⊥SB， 又平面SBC， ∴AF⊥平面SBC， 又平面ASB， ∴平面ASB⊥平面CSB； （3）解：假设在棱SB上存在点M，使得BD⊥平面MAC，连接MO，BE， ∵平面MAC，∴BD⊥OM， ∵四边形ABCD是边长为2的菱形，，△SAD为正三角形， ∴， ∵侧面SAD⊥底面ABCD， 又侧面底面ABCD＝AD，平面SAD， ∴SE⊥平面ABCD， 又平面ABCD，∴SE⊥BE， ∴， ∴， ∴，∴， ∴， ∴在棱SB上是否存在一点M，使得BD⊥平面MAC，. 二、面面垂直 （一）判定：证明面面垂直 13．如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且 【分析】（1）利用正方形对角线互相垂直及侧棱垂直底面证明线面垂直，进而利用面面垂直判定定理得证； （2）利用平行线转化线面角，结合线面垂直定义找出线面角，在直角三角形中计算正弦值； （3）假设在直线上存在点使得平面，利用线面垂直的性质转化为平面几何中的垂直关系，设，利用平面向量求解出，再求解出. 【详解】（1）在矩形中， ， 底面为正方形，， 又在长方体 中， 平面， 平面， ， 又 ，平面， 平面，又平面， 平面 平面； （2）在长方体 中， 且， 四边形为平行四边形，故， 直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 设，连接， 由 （1）知 平面即 平面， 为直线与平面所成的角， 在正方形中，，则， 在中，，则， ， 直线 与平面所成的角的正弦值为； （3）假设存在点使得平面，由（1）知平面， 又平面，所以， 平面，平面， ， 设，则由， 即， 又点为的中点， 所以， 即， 又， 所以，解得， 所以，，故    14．如图，在三棱柱中，所有棱长均为，，． (1)证明：平面平面； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取中点，利用等腰三角形三线合一性质、勾股定理和线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定可证得结论； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角向量求法可求得结果； （3）根据二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）取中点，连接， 在三棱柱中，所有棱长均为，， 都为边长为的等边三角形， ，，， ，，， ，平面，平面， 平面，平面平面. （2）以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，， ， 直线与所成角的余弦值为. （3）由（2）得：，， 设平面的法向量， 则，令，则，，； 轴，平面的一个法向量， ，， 即二面角的正弦值为. 15．如图，在四棱锥中，为正三角形，，，． (1)证明：平面平面； (2)若，且锐二面角的正弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取棱的中点，由勾股定理可证，又，利用线面垂直的判定定理可证平面，再由面面垂直的判定定理得证； （2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题可得点在以为圆心，2为半径，过点的圆上，设出点的坐标，求出平面和平面的法向量，利用向量法结合已知条件列式求出的坐标，得解. 【详解】（1）取棱的中点，因为，所以. 在中，由余弦定理得. 又为等边三角形，所以， 在中，因为，所以，所以， 因为，，平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题设得，， 又由，可得点在以为圆心，2为半径，过点的圆上，有， 设，则，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则， 即，可取， 记锐二面角的大小为，， 则， 化简得，且，所以，， 所以，即. 16．如图，为圆锥顶点，为底面圆心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形． (1)求证：平面平面； (2)若圆锥的底面半径为，高为，求点到平面的距离． (3)在（2）的条件下，该圆锥是否存在外接球，若有求出其外接球表面积；如果没有请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）延长，交于点，根据给定条件，利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得； （2）连接，作于，证明平面，再计算即得； （3）设球心为，由对称性可知球心在直线上，由球心定义可知是直线和线段中垂线交点，进而结合勾股定理列方程求出外接球半径，进而求解即可. 【详解】（1）证明：延长，交于点， 由为等边三角形，得是的中心， 则，易知平面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）连接，作于，由（1）知平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 故到平面的距离为的长． 易知，， 又，所以， 所以， 又，所以， 故， 所以点到平面的距离为. （3）存在外接球，设球心为，由对称性可知球心在直线上， 由球心定义可知是直线和线段中垂线交点，下面为截面示意图： 设球半径为，在直角三角形中，由勾股定理知， 则，解得， 所以球表面积. 17．如图，在五面体中，平面，，，，点为中点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点，先根据线面平行的判定定理证明平面，再证明，即可得到平面，再根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）先根据线面角的定义找到直线与平面所成的角，然后在中求出即可； （3）利用等体积法将三棱锥的体积转化为三棱锥的体积，再根据锥体的体积公式计算即可. 【详解】（1） 如图所示，取的中点，连接. ， . 又 平面，平面， ， ，平面， 平面. 点为中点， ，又，， ， 是平行四边形， ， 平面，又平面，平面平面； （2）由（1）知平面， 就是在平面内的射影， 即为直线与平面所成的角. 在中， ，， ， . 平面，平面， ， 在中，， ， ， 平面，又平面， ， 在中，， ； （3）由（1）（2）可知，， ，且， 又知平面， 平面， 就是三棱锥的高， . （二）性质：面面垂直证明线面垂直 18．如图所示，在三棱锥中，，，平面平面PBC，点M为PC中点． (1)求证：底面ABC； (2)若，试求平面ABM和平面PAC夹角的余弦值．    【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)由面面垂直得到平面，则，再证明平面，则，又有，从而得到平面 . (2)以B为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，结合向量夹角公式计算求解. 【详解】（1）在平面内，过点作 于点. 因为平面 平面，平面 平面，平面， 所以 平面，因为 平面，所以 . 又因为 ， ， 平面， 所以平面. 因为平面 ，所以 . 又因为 ，， 平面， 所以 平面 . （2）    由 (1) 知 平面，且平面，平面， 所以 . 如图，以为坐标原点，分别以 的方向为轴、轴的正方向， 过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系 因为，所以，，. 因为平面 ，且，所以 . 因为为的中点，所以. 所以 ， ， ， . 设平面 的法向量为 ，则 ，即 取 ，则 ，所以 . 设平面 的法向量为 ，则，即 取 ，则 ，所以 . 设平面 和平面 的夹角为 ，则 所以平面 和平面夹角的余弦值为 . 19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，平面平面，，，E为PD的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形性质得到是等边三角形，取的中点，连接，得，再由面面垂直性质定理得到平面，再结合题中条件利用线面垂直判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用空间向量法求出平面与平面的法向量，计算夹角余弦值 【详解】（1）因为底面为菱形，，所以是等边三角形，， 取的中点，连接， 在菱形中，，所以是等边三角形，则， 又因为平面平面，且平面平面， 平面， 所以平面. （2）由（1）知平面，以A为原点，所在直线为x轴，过A作的垂线为 y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系. 因为，所以， 因为E为PD的中点，所以， ，设平面的法向量为， 则，取，得. ，设平面的法向量为， 则，取，得， 二面角为钝角， 故， 所以二面角的余弦值为. 20．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是等边三角形，平面平面，点是的中点. (1)证明：直线平面； (2)若直线与平面的夹角的正切值为， （i）求四棱锥的体积； （ii）求三棱锥的外接球的半径.    【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设中点为，证明平面即可证明结论； （2）（i）设中点为，过点作平面，即可证明是直线与平面所成的角，再结合几何关系得，最后计算四棱锥的体积即可. （ii）根据（1）得点与点关于平面对称，进而根据对称性转化为求三棱锥的外接球半径，设中点为中点为中点为，三棱锥的外接球球心为，半径长为，再结合几何关系即可求得答案. 【详解】（1）证明：设中点为，则由是等边三角形知 由四边形为矩形得， 又平面平面，平面平面，平面 所以平面， 又平面，所以 又，平面 所以平面. 由点是的中点，得 ， 所以四点共面， 所以直线平面    （2）解：（i）设中点为， 所以，又因为， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 过点作平面，因为平面平面， 所以点在上. 所以是直线与平面所成的角， 因为是等边三角形，， 所以在中，，， 因为直线与平面的夹角的正切值为 所以在中，，所以. 因为四边形为矩形， 所以在中，，即，解得， 所以 因此四棱锥的体积是.    （ii）由（1）知直线平面中点为， 所以，点与点关于平面对称， 所以，三棱锥的外接球与三棱锥的外接球关于平面对称， 接下来求三棱锥的外接球半径. 设中点为中点为中点为， 三棱锥的外接球球心为，半径长为. 则平面， ， 即， 解得，因此. 所以三棱锥的外接球的半径为    21．如图，已知正方形所在平面和平行四边形所在平面互相垂直，平面平面，是线段上的一点，且平面．求证： (1)平面平面； (2)是线段的中点； (3)平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）根据题意可证平面，平面，进而可证面面平行； （2）根据线面平行的性质定理可得，进而分析长度共线即可； （3）根据面面垂直的性质定理可得平面，平面，进而可得，，即可得线面垂直. 【详解】（1）因为为正方形，则， 且平面，平面，可得平面， 又因为为平行四边形，则， 且平面，平面，可得平面， 且，平面，所以平面平面. （2）设，连接， 因为平面，平面，平面平面，则， 平行四边形中，， 又因为，则为平行四边形，则， 且为中点，则， 即，所以是线段的中点. （3）因为为正方形，则，， 且平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面可得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 则平面，由平面可得， 且，平面，所以平面. 22．如图，四棱锥中，底面是矩形，，，且平面平面．分别是的中点.． (1)求证：是直角三角形； (2)求四棱锥体积的最大值.    【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证出平面PDC，根据平面PDC，即可得出，进而得到△PEF是直角三角形. （2）根据平面平面ABCD，得到P到平面ABCD的距离最大，即可求解. 【详解】（1）（1）设平面平面PCD， 由于，平面PDC，平面PDC， 因此平面PDC，而平面APB，平面平面， 因此，而，因此． 而平面平面PCD，平面平面，平面， 因此平面PDC，而平面PDC，因此. 故△PEF是直角三角形． （2）（2）由于，，因此P是以EF为直径半圆上的点． 而，，平面PEF， 因此平面PEF，而AB平面ABCD，因此平面平面ABCD． 故P到平面ABCD的最大距离为，四棱锥体积最大为． （三）存在性问题 23．如图，在几何体中，平面，，，，是线段上的动点． (1)当是线段的中点时，求证：平面． (2)是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，结合，可得，再根据线面垂直的判定即可证明； （2）将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点，可证明平面平面，即此时平面平面，再计算的值即可. 【详解】（1）如图，取的中点，连结． 因为是线段的中点，所以， 结合得，所以四点共面． 又因为，所以， 由平面得． 又因为平面，平面，， 所以平面． （2）如图，将几何体补成三棱锥，过点作交于点，连结，交于点． 由平面得， 结合平面，可得平面， 从而平面平面，即平面平面． 在中，，设，则，，， 所以． 设， 因为三点共线，所以，解得． 所以，故． 24．在梯形中，．为的中点，为的中点．将所在平面沿翻折，使构成的四棱锥体积最大． (1)求证：平面； (2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使平面平面?并证明你的结论．    【答案】(1)证明见解析； (2)当为中点时，平面平面，证明见解析. 【分析】（1）连接，证明，，根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）取中点为，连接，，，先根据面面平行的判定定理，证明平面平面，再由平面平面，即可证明平面平面. 【详解】（1）因为，又为的中点， 所以为等边三角形，四边形为菱形，所以， 因为为的中点，所以，所以，即 连接，所以， 若使构成的四棱锥体积最大，则平面， 因为平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面；    （2）当为中点时，平面平面. 取中点为，连接，，，因为为边的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 所以平面平面， 由（1）得平面，又平面，所以平面平面， 所以平面平面.    第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $