精品解析：宁夏回族自治区吴忠市青铜峡市宁朔中学2025-2026学年第二学期高三适应性考试数学试卷

青铜峡市宁朔中学2025-2026学年第二学期 高三数学适应性考试试卷 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简两个集合，结合集合的补集和并集运算可得答案. 【详解】由，解得或，所以， 又，所以 2. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】依题意有，，所以． 3. 已知，是夹角为的两个单位向量，，，则（ ） A. B. C. 19 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】应用向量数量积的定义及其运算律求数量积即可. 【详解】由题设 . 4. 已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的偶数项的和与奇数项的和的性质可求答案. 【详解】设的公差为．依题意，，解得， 又，解得，则． 5. 已知正方体的体积为，若球与该正方体的所有棱都相切，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知正方体的体积为，则，则， 球为正方体的棱切球， 故其半径， 球的表面积为． 6. 已知互不相等的正数满足，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简等式得到，作出函数图象，结合图象可比大小. 【详解】因为所以，整理可得． 令， 在同一直角坐标系中分别作出的图象， 因为互不相等，观察可知，当时，，当时，． 7. 设一组样本数据的平均值是1，且的平均值是3，则数据的方差是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件结合方差公式直接求解即可. 【详解】由题意得， 所以数据的方差 . 故选：B 8. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明函数是奇函数且在上单调递增，利用函数奇偶性和单调性解不等式. 【详解】因为函数的定义域为， 且， 所以函数是奇函数， 因为函数，，在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为，所以， 所以，解得或. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】A选项，，最小正周期为：，令，其中，解得：， 当时，，即：在上单调递增，所以A选项正确； B选项，，最小正周期为：，令，其中，解得：， 当时，，当时，，即：在和上单调递增，所以B选项错误； C选项，，最小正周期为：，所以最小正周期为，令，其中， 当时，，即：在上单调递增，所以C选项正确； D选项，，最小正周期为：，令，解得：， 当时，，当时，，即：在和上单调递增，所以D选项错误； 10. 已知等比数列的前n项和为，公比为q，则下列命题正确的是( ) A. 若，，则 B. 若，则数列是单调递增数列 C. 若，，，则数列是公差为的等差数列 D. 若，，且，则的最小值为4 【答案】AC 【解析】 【分析】A：利用等比数列前n项和公式即可计算；B：根据函数单调性即可判断；C：根据等差数列定义即可判断；D：利用基本不等式即可判断． 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，∵，故的单调性由q和共同决定，q>1无法判断数列为递增数列，如，此时数列为递减数列，故B错误； 对于C，∵为常数，∴数列是公差为的等差数列，故C正确； 对于D，若，，则，， ∵， ∴， 即，即，即， 即当时，的最大值为4，故D错误． 故选：AC． 11. 设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 与的面积之比为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由抛物线焦半径公式结合题意得到则在第二象限，在第一象限，且，接着联立直线与抛物线方程结合韦达定理求出和p即可判断选项AB；进而求出点A和B和C即可计算求解判断CD. 【详解】由题得且， 则在第二象限，在第一象限，且， 联立， 则， 所以或（舍去）， 所以抛物线，，， 所以可得，， 所以， 直线与轴交于点， 所以， 所以. 所以A错误，BCD正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若双曲线过点且与双曲线有相同的渐近线，则的焦距为___________． 【答案】 【解析】 【详解】设，将代入可得， 则，焦距为． 13. 已知随机变量，且，若（为有理数），则________． 【答案】2 【解析】 【分析】由正态分布的对称性求参数值，应用二项式定理及已知确定对应项系数确定，即可得. 【详解】由正态分布的对称性知，则，所以， 由的展开式通项为， 由题设，， 所以. 14. 小华在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小华从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）．现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先计算每种情况下，“取出 2 个黑球” 的条件概率，再用贝叶斯公式计算概率. 【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球， 则， 由全概率公式可得， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； （2）若恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用在处斜率为0即可求解； （2）将问题转化成进行求解. 【小问1详解】 当时，，， 设点的坐标，由题意得：，解得：， 所以，因此点的坐标为. 【小问2详解】 ， 令，则， 因为，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， 即：a的取值范围是. 16. 某新能源汽车公司为研究电池容量对续航里程的影响，随机选取了10辆不同配置的车进行测试，测量每辆车的电池容量（单位：）和续航里程（单位：），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 电池容量 35 40 45 50 55 65 70 75 80 85 600 续航里程 330 350 390 410 480 520 560 620 640 700 5000 并计算得． （1）估计这10辆车的平均电池容量与平均续航里程； （2）求电池容量与续航里程的样本相关系数；（精确到0.001） （3）现该公司计划推出新款车型，电池容量为，已知续航里程与电池容量近似成正比，利用以上数据给出新款车型续航里程的估计值．（精确到1） 附：相关系数． 【答案】（1）平均电池容量，平均续航里程． （2）0.995 （3） 【解析】 【小问1详解】 平均电池容量， 平均续航里程． 【小问2详解】 【小问3详解】 由样本数据，可知续航里程与电池容量的比值约为， 故新款车型续航里程的估计值为． 17. 的内角的对边分别是，已知． （1）求； （2）若点在边上，为的平分线且长度为1，求； （3）若是边上的一点，且，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理对已知条件进行转换得到，从而得到； （2）利用为及三角形的面积公式即可得到的关系式，变形得； （3）根据已知条件得到，再利用数量积的运算律得到的关系式，最后运用基本不等式得到的最大值，从而得到的面积的最大值． 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得， 整理可得，由余弦定理可得 ，所以， 因为，故． 【小问2详解】 因为为的平分线，所以， 因为，即， 又因为，所以，故． 【小问3详解】 因为，所以，即， 所以， 即， 即，当且仅当即当时等号成立， 所以， 即面积的最大值为． 18. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点，分别是棱，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求到直线的距离； 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据向量平行关系判断直线与平面的垂直关系. （2）已知两个平面的法向量，利用向量点积公式求两个法向量夹角的余弦值，此余弦值的绝对值即为两个平面夹角的余弦值. （3）求出，，再求出两向量夹角正弦值，最后乘以即可. 【小问1详解】 因为四棱锥的底面是正方形，平面， 所以以点D为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，． 设平面EFD的法向量为， 则令，则． 又因为，所以，即， 由平面，得平面． 【小问2详解】 设平面与平面的夹角为θ， 平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以， 则平面与平面的夹角的余弦值为． 【小问3详解】 ，， 则， 则求到直线的距离为. 19. 如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）求中点E的轨迹方程； （3）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件列的关系式求解即可. （2）设直线方程，与椭圆联立可表示点，根据点横、纵坐标之间的关系可得轨迹方程. （3）根据韦达定理代入中即可得到定值. 【小问1详解】 由题意得，， 又∵，∴， ∴椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线方程为，， 由得，， 由得，， 则， ∴， ∵E为中点，∴，即， 设，则， 由得， 故中点E的轨迹方程为. 【小问3详解】 由直线的斜率存在且异于点得，，故且， ∴ ， ∴为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青铜峡市宁朔中学2025-2026学年第二学期 高三数学适应性考试试卷 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 已知，是夹角为的两个单位向量，，，则（ ） A. B. C. 19 D. 9 4. 已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 5. 已知正方体的体积为，若球与该正方体的所有棱都相切，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知互不相等的正数满足，则下列关系式可能成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 设一组样本数据的平均值是1，且的平均值是3，则数据的方差是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的为（ ） A. B. C. D. 10. 已知等比数列的前n项和为，公比为q，则下列命题正确的是( ) A. 若，，则 B. 若，则数列是单调递增数列 C. 若，，，则数列是公差为的等差数列 D. 若，，且，则的最小值为4 11. 设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴交于点，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 与的面积之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若双曲线过点且与双曲线有相同的渐近线，则的焦距为___________． 13. 已知随机变量，且，若（为有理数），则________． 14. 小华在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小华从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）．现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； （2）若恒成立，求a的取值范围. 16. 某新能源汽车公司为研究电池容量对续航里程的影响，随机选取了10辆不同配置的车进行测试，测量每辆车的电池容量（单位：）和续航里程（单位：），得到如下数据： 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 电池容量 35 40 45 50 55 65 70 75 80 85 600 续航里程 330 350 390 410 480 520 560 620 640 700 5000 并计算得． （1）估计这10辆车的平均电池容量与平均续航里程； （2）求电池容量与续航里程的样本相关系数；（精确到0.001） （3）现该公司计划推出新款车型，电池容量为，已知续航里程与电池容量近似成正比，利用以上数据给出新款车型续航里程的估计值．（精确到1） 附：相关系数． 17. 的内角的对边分别是，已知． （1）求； （2）若点在边上，为的平分线且长度为1，求； （3）若是边上的一点，且，求的面积的最大值． 18. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点，分别是棱，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）求到直线的距离； 19. 如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）求中点E的轨迹方程； （3）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $