江苏省扬州市2025--2026学年七年级下学期数学期末仿真模拟练习卷

**基本信息** 2026年扬州七年级期末数学模拟卷，以几何直观与代数运算为核心，融合纳米材料科技情境、《孙子算经》文化传承及折纸操作，全面考查抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|轴对称与中心对称、整式运算|基础概念辨析，如第4题真命题判断| |填空题|10/30|科学记数法、多边形内角和|结合反证法（第11题）、平移性质（第14题）| |解答题|10/96|几何证明、方程组应用、规律探究|综合性强，如第24题平方差规律验证、第25题商场利润模型、第28题折纸与旋转操作|

2026年扬州市七年级下学期期末仿真模拟练习卷 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 4．下列命题中是真命题的是（　　） A．平行于同一条直线的两直线互相垂直 B．若不是负数，则一定大于0 C．若，则 D．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 5．若是关于、的二元一次方程的一个解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 6．《孙子算经》是中国古代的数学著作，其中一道题的原文是：“今五人共车，空一车；四人共车，一人步，问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐5人，则空余1辆车，若每辆车乘坐4人，则有1人步行，问人与车各多少？设有人，有辆车，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 7．如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，用块边长为的大正方形，块边长为的小正方形和块长为，宽为的长方形，密铺成正方形，已知，正方形的面积为S，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9．计算：_____________． 10．在纳米级别的电子器件中，二氧化硅是应用最广泛、技术最成熟的绝缘材料，其厚度可低至．将数据用科学记数法表示为____． 11．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”，用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 12．一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是_______． 13．对于有理数a、b，如果，，则b____（用“”，“”，“”填空）． 14．将三角形沿方向平移得到三角形，若三角形的周长为，则四边形的周长为______． 15．关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 16．已知是二元一次方程的一组解，则_________ ． 17．如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是______． 18．折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，交于点．若，则当__________度时，． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．计算： (1)； (2)； 20．（1）解方程组： （2）解不等式组： 21．先化简，再求值：，其中． 22．已知，，． (1)求的值； (2)写出，，之间的数量关系． 23．如图，点在的边延长线上，点在边上，连结交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 24．观察下列等式： ； ； ； ； … (1)请将2024写成两个整数平方差的形式： ； (2)用含有字母n（n为正整数）的等式表示这一规律，并用已学的数学知识验证这一规律； (3)相邻的两个整数的平方差是4的倍数吗？请说说你的理由． 25．某商场计划购进A、B两种型号的手机，已知每部A型号手机的进价比每部B型号手机的进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是2100元． (1)若商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，求A、B两种型号手机的进价各是多少元？ (2)在（1）的基础上，商场决定再次购进A、B两种型号的手机共40部，设购进A型号手机a部，总利润为W元，要求这40部手机全部售完后总利润不低于15600元，则a的取值范围是多少？ 26．阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，，又，，， 又，…………①， 同理可得…………②， 由①＋②得： 的取值范围是， 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是____________； (2)若，，，求的取值范围． 27．【知识生成】通过学习我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，进而得出． 【理解应用】 （1）若，则_____． （2）若，求的值． 【知识迁移】 （3）将两块正方形纸板（）如图2所示放置，其中点，，在一条直线上，点，在一条直线上，连接，若，正方形和正方形的面积和为36，求图中阴影部分的面积．参考：． 28．我们在七年级下册第9章学习了图形的变换，平移、轴对称和旋转是图形变换的基本形式．我们经常通过观察前后图形的关系，探求角的大小和线段的长短等问题． 某综合实践小组同学探究了下面几个问题： (1)如图a，和是两块完全一样的直角三角板，，，当沿射线的方向平移，在平移过程中，若和这两个角之间存在2倍的关系，请直接写出的度数． (2)是一张含的直角三角形纸片，，P为边上一定点，D为边上一动点，沿着折叠，点C落在点E处， ①如图b，若，请你帮小明求出的大小． ②聪明的小明发现：若，则存在异于图b的另一条折痕，请在图c中用无刻度直尺和圆规作出另一种情况的示意图，并求出此时的大小． (3)如图，在中，，，，，将绕点A顺时针旋转，点B、C的对应点分别是、，小组学生发现点和点都在以A为圆心的圆上运动，若点D为线段的中点，点E为线段上一动点．将绕点A旋转一周，线段的长度的范围为______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年扬州市七年级下学期期末仿真模拟练习卷 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一分析各个选项即可． 【详解】解：A项：该图形能绕某点旋转后与原图形重合，但不能沿着某条直线翻折后与原图形重合，所以是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A项错误； B项：该图形不能绕某点旋转后与原图形重合，但能沿着某条直线翻折后与原图形重合，所以不是中心对称图形，而是轴对称图形，故B项错误； C项：该图形不能绕某点旋转后与原图形重合，但不能沿着某条直线翻折后与原图形重合，所以不是中心对称图形，不是轴对称图形，故C项错误； D项：该图形既能绕某点旋转后与原图形重合，也能沿着某条直线翻折后与原图形重合，所以既是中心对称图形，也是轴对称图形，故D项正确， 故选：D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了整式的计算，正确掌握合并同类项法则，幂的乘方计算法则，同底数幂的乘除法计算法则是解题的关键．根据合并同类项法则，幂的乘方计算法则，同底数幂的乘除法计算法则分别计算并判断． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意；； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 3．下列各式能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的运用．根据平方差公式的特点逐个判断即可． 【详解】解：A．不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； B．不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； C．，能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意； D．，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．下列命题中是真命题的是（　　） A．平行于同一条直线的两直线互相垂直 B．若不是负数，则一定大于0 C．若，则 D．两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题的真假，平行线的性质，负数的定义，相反数的定义，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、平行于同一条直线的两直线互相平行，故该选项错误，不符合题意； B、若不是负数，则一定大于或等于0，故该选项错误，不符合题意； C、若，则，即，故该选项错误，不符合题意； D、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故该选项正确，符合题意； 故选：D 5．若是关于、的二元一次方程的一个解，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：将代入得：， 解得：． 6．《孙子算经》是中国古代的数学著作，其中一道题的原文是：“今五人共车，空一车；四人共车，一人步，问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐5人，则空余1辆车，若每辆车乘坐4人，则有1人步行，问人与车各多少？设有人，有辆车，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意，设有人，辆车．当每辆车坐5人时，空余1辆车，说明实际使用辆车，总人数为；当每辆车坐4人时，有1人步行，说明总人数比坐满的人多1人．由此可列方程组． 【详解】每辆车坐5人，空余1辆车．总车辆数为，空余1辆，实际使用辆．每辆车坐5人，总人数为，因此方程为： 每辆车坐4人，有1人步行．所有辆车坐满时，可载人，但实际人数比这多1人（步行者），因此总人数为，方程为： 综上，方程组为：． 故选A． 7．如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的性质，解题关键是掌握三角形外角的性质． 先利用三角形外角的性质得到，再利用三角形外角的性质求得，代入求出即可． 【详解】解：延长交于点E， 是的一个外角， ， ， ， 是的一个外角， ， ，， ， ， 解得：， 故选：B． 8．如图，用块边长为的大正方形，块边长为的小正方形和块长为，宽为的长方形，密铺成正方形，已知，正方形的面积为S，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键． 根据，以及逐项进行计算判断即可． 【详解】解：由题意得，， A．若，即，而， 所以，因此选项不符合题意； B．若，即，而， 因此，即，因此选项不符合题意； C．若，即，而， 所以，因此选项符合题意； D．若，即，而， 因此，所以，即，因此选项不符合题意． 故选：C． 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9．计算：_____________． 【答案】 【详解】解：． 10．在纳米级别的电子器件中，二氧化硅是应用最广泛、技术最成熟的绝缘材料，其厚度可低至．将数据用科学记数法表示为____． 【答案】 【详解】解： . 11．牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”，用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 【答案】 【分析】反证法证明命题时，第一步需要假设结论不成立，找出所证结论的所有反面情况即可． 【详解】解：本题要证明的结论是，其反面是， ∴应假设． 12．一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是_______． 【答案】7 【分析】本题主要考查多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式和外角和为是解题的关键．根据多边形的内角和公式以及外角和为建立一个关于边数的方程，解方程即可． 【详解】解：设多边形边数为n，根据题意得： ， 解得 ， 故答案为：7． 13．对于有理数a、b，如果，，则b____（用“”，“”，“”填空）． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴根据不等式的性质可得：， ∴． 14．将三角形沿方向平移得到三角形，若三角形的周长为，则四边形的周长为______． 【答案】22 【分析】平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段相等． 根据平移的性质可得，，再将四边形的周长转化为的周长与，的和，代入数据计算即可得解． 【详解】解：将沿方向平移得到， ，． 的周长为， ． ∴四边形的周长为：． 15．关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，由题意得不等式组无解需满足两个不等式的解集无交集，即，根据解集的情况正确的列出关于参数的不等式是解题的关键． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．已知是二元一次方程的一组解，则_________ ． 【答案】2023 【分析】将代入二元一次方程求出的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴， ∴． 17．如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程和一元一次不等式组的整数解，由方程组得，根据方程组有解，即，不等式组整理得，根据不等式组有且只有个整数解得出，从而确定的取值范围，继而得出答案，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， 即， ∵方程组有解， ∴，即， 不等式组，整理得， ∵不等式组有且只有个整数解， ∴， 解得， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故答案为：． 18．折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，交于点．若，则当__________度时，． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角性质以及外角性质，平行线的性质，折叠的性质，先由，得出，再结合两直线平行，同位角相等得，根据折叠性质得，最后由三角形外角性质得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵折叠， ∴， 则， 故答案为： 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．计算： (1)； (2)； 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，实数的混合运算，涉及负整数指数幂和零指数幂运算、单项式乘除法等知识点，正确计算是解题的关键． （1）分别计算负整数指数幂、零指数幂，立方根，再进行加减计算． （2）先根据幂的乘方、积的乘方、单项式乘除法法则计算，再合并即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20．（1）解方程组： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用加减消元法求出解即可； （2）分别求出每个不等式的解集，再求出其公共解集． 本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式组，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：（1）， 得，， ∴， 把代入得：， ∴， ∴方程组的解为：； （2）， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为：． 21．先化简，再求值：，其中． 【答案】，9 【分析】本题主要考查了整式的混合运算—化简求值．先根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 22．已知，，． (1)求的值； (2)写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂乘法及除法的逆用，熟练掌握同底数幂乘法及除法的逆用是解题的关键； （1）根据同底数幂乘法及除法的逆用可进行求解； （2）根据同底数幂乘法的逆用可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴ ． （2）解：∵， 又， ∴， ∴． 23．如图，点在的边延长线上，点在边上，连结交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，外角的性质． （1）利用三角形的外角性质，可得出，，再结合，即可证出； （2）由得出，再由，可求出及的度数，在中，利用三角形内角和定理，可求出，的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 24．观察下列等式： ； ； ； ； … (1)请将2024写成两个整数平方差的形式： ； (2)用含有字母n（n为正整数）的等式表示这一规律，并用已学的数学知识验证这一规律； (3)相邻的两个整数的平方差是4的倍数吗？请说说你的理由． 【答案】(1)507，505 (2)规律：，验证见解析 (3)不是．理由见解析 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． （1）根据并结合题中所给式子即可得解； （2）根据题中所给式子得出规律，再结合平方差公式验证即可； （3）设相邻的两个整数分别为，，其中为整数，再利用平方差公式验证即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：规律：，验证如下： ∵， ∴； （3）解：相邻的两个整数的平方差不是4的倍数，理由如下： 设相邻的两个整数分别为，，其中为整数， ∴， ∵为奇数，不是的倍数， ∴相邻的两个整数的平方差不是4的倍数． 25．某商场计划购进A、B两种型号的手机，已知每部A型号手机的进价比每部B型号手机的进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是2100元． (1)若商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，求A、B两种型号手机的进价各是多少元？ (2)在（1）的基础上，商场决定再次购进A、B两种型号的手机共40部，设购进A型号手机a部，总利润为W元，要求这40部手机全部售完后总利润不低于15600元，则a的取值范围是多少？ 【答案】(1)A型号手机进价2000元，B型号手机进价1500元 (2) 【分析】（1）设A型号的手机每部进价是x元、B型号的手机每部进价是y元，根据题意列二元一次方程组求解即可． （2）根据题意列出W与a之间的函数关系式，根据40部手机全部售完后总利润不低于15600元，列不等式求出a的范围，再结合，且，即可得出ａ的范围． 本题考查了列二元一次方程组解应用题，和不等式的实际应用问题．根据题意正确地列出方程组和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设A型号的手机每部进价是x元、B型号的手机每部进价是y元，根据题意得： ， 解得． 答：A型号的手机每部进价是2000元、B型号的手机每部进价是1500元． （2）解：由题意得， ， ∵， ∴， 解得：， 又∵，且， ∴． ∴a的取值范围是． 26．阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，，又，，， 又，…………①， 同理可得…………②， 由①＋②得： 的取值范围是， 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是____________； (2)若，，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）按照题干示范的步骤，先分别求出和的取值范围，再将两个范围相加即可求解； （）按照题干示范的步骤，先分别求出和的取值范围，再根据不等式性质求出和的取值范围，再将两个范围相加即可求解； 本题考查了不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得②， 由①②得：， ∴的取值范围是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得②， 由不等式性质，②乘得③， ①乘得④， ③④，得， ∴的取值范围是． 27．【知识生成】通过学习我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，进而得出． 【理解应用】 （1）若，则_____． （2）若，求的值． 【知识迁移】 （3）将两块正方形纸板（）如图2所示放置，其中点，，在一条直线上，点，在一条直线上，连接，若，正方形和正方形的面积和为36，求图中阴影部分的面积．参考：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查完全平方公式，整体思想和数形结合思想，灵活运用代数式的变形是解题关键． （1）根据完全平方公式变形，即可求解； （2）运用整体思想，可以把x和看作完全平方中的两个部分，它们的和为5，乘积也为5，通过公式变形求出； （3）类比第（2）问，可以设两个正方形的边长分别为m和n，由题意可得，，，而阴影面积为，利用完全平方公式变形得到结果． 【详解】解：（1）∵ ∴ 故答案为：． （2）， （3）如图，设，， ， ， ∴，即， ∵正方形和正方形的面积和为36， ∴， ， ， ，即阴影部分的面积为14． 28．我们在七年级下册第9章学习了图形的变换，平移、轴对称和旋转是图形变换的基本形式．我们经常通过观察前后图形的关系，探求角的大小和线段的长短等问题． 某综合实践小组同学探究了下面几个问题： (1)如图a，和是两块完全一样的直角三角板，，，当沿射线的方向平移，在平移过程中，若和这两个角之间存在2倍的关系，请直接写出的度数． (2)是一张含的直角三角形纸片，，P为边上一定点，D为边上一动点，沿着折叠，点C落在点E处， ①如图b，若，请你帮小明求出的大小． ②聪明的小明发现：若，则存在异于图b的另一条折痕，请在图c中用无刻度直尺和圆规作出另一种情况的示意图，并求出此时的大小． (3)如图，在中，，，，，将绕点A顺时针旋转，点B、C的对应点分别是、，小组学生发现点和点都在以A为圆心的圆上运动，若点D为线段的中点，点E为线段上一动点．将绕点A旋转一周，线段的长度的范围为______． 【答案】(1)或 (2)①；②作图见解析， (3) 【分析】（1）连接，易证明，则，利用三角形内角和定理求出，分情况讨论：当或时，利用求解即可； （2）①延长交于点，利用平行线的性质求出的度数，根据折叠的性质得到、，求出的度数，从而求出的度数； ②由题意知，点E在下方，过点P作的垂线，以点P为圆心，为半径画弧与垂线交于点E，即，作的角平分线，与交于点D，连接，此时即为所求；利用平行线的性质和角平分线的定义求出的度数，再利用三角形内角和定理进行求解即可； （3）根据题意可知，当时，为最小值，当点与点重合时，有最大值，则点E在以点A为圆心，内半径为、外半径为8的圆环上运动，当D、A、E三点共线时，分情况讨论：若点A在点D、E之间，此时有最大值，若点D在点A、E之间，此时有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：连接， 、， ， ， ， ， ， ， 当时，， 解得：， ， 当时，， 解得：， 综上所述，的度数为或； （2）解：①延长交于点， ， ， 由折叠的性质知，、， 在中，， ， ； ②如图，折痕即为所求， 由作图可知，、， 由①知，， ， ， ； （3）解：是的中点， ， 由旋转可知，、、， 过点作于点， ， ， 当点E与点P重合时，有最小值，即， 当点E与点重合时，有最大值，即， 根据题意得，点E在以点A为圆心，内半径为、外半径为8的圆环上运动， 当D、A、E三点共线时，有最大值或最小值， 如图，若点A在点D、E之间，此时有最大值， ， 的最大值为8， ； 若点D在点A、E之间，此时有最小值， ， 的最小值为， ， 综上所述，的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $