专题08 空间几何体的结构、表面积和体积（期末复习专项训练）高一数学下学期人教B版

专题08 空间几何体的结构、表面积和体积 题型一 基本立体图形的结构特征 题型六 旋转体的表面积和体积（重点） 题型二 斜二测画法（重点） 题型七 组合体的表面积和体积 题型三 最短路径问题 题型八 求体积的比值 题型四 球的截面问题 题型九 体积的最值问题（难点） 题型五 多面体的表面积和体积（重点） 题型十 外接球问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 基本立体图形的结构特征 1．（多选）下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】ABC 【详解】对于A，将两个全等棱柱沿底面拼接，所得多面体存在一组互相平行的面， 其余各面均为平行四边形，但不满足棱柱侧棱全部平行的核心要求， 故该多面体不一定是棱柱，A正确. 对于B，棱锥仅有底面为多边形，其余面均为三角形，若存在平行四边形面， 则该面必为四边形底面，对应棱锥为四棱锥，B正确. 对于C，平行六面体的所有面均为平行四边形，由平行四边形对边平行且相等的性质， 可推得相对两个面的边长完全对应相等，即为全等的平行四边形，C正确. 对于D，棱台的必要条件是各侧棱延长后交于同一点， 仅上下底面平行相似、侧面为梯形，无法保证侧棱共顶点， 因此该多面体不一定为棱台，D错误. 2．（多选）下列关于立体图形的说法错误的是（   ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 B．侧面都是矩形的四棱柱是长方体 C．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D．圆台的母线延长后一定交于同一点 【答案】ABC 【详解】对于A，棱锥的一个面是多边形，其余各面的三角形必须有公共顶点，若仅满足“一个面是多边形，其余各面是三角形”， 不一定是棱锥（例如两个同底的三棱锥拼接得到的几何体符合描述，但不是棱锥），A错误； 对于B，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，但直四棱柱的底面不一定是矩形，只有底面为矩形的直四棱柱才是长方体，B错误； 对于C，只有以直角三角形的直角边为轴旋转一周，得到的旋转体才是圆锥， 若绕斜边旋转一周，得到的是两个同底圆锥组成的组合体，不是圆锥，C错误； 对于D，圆台是平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，因此所有母线延长后一定交于原圆锥的同一点，D正确. 3．如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（   ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 【答案】B 【详解】剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥. 4．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设是一长方体的一条棱，若阳马以该长方体的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】如图，    若包含的底面矩形为，则顶点可以从，，，中选取，故有四个不同的阳马； 若包含的底面矩形为，则顶点可以从，，，中选取，故有四个不同的阳马； 若包含的底面矩形为，则从，，，中任取一个作为顶点，都不符合阳马，故舍去. 综上可知，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是8个. 题型二 斜二测画法 5．已知正方形的边长为，则其水平放置的直观图的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由斜二测画法规则可知，其水平放置的直观图是底为4，高为的平行四边形， 所以直观图的面积为. 6．如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个底角为、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由已知直观图，根据斜二测画法规则画出原平面图形，如图， 由题意可知，，则， ，，， 所以周长为. 7．已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中， ，则原四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过点作，垂足为    则由已知可得四边形为矩形，为等腰直角三角形 ，则， 根据直观图画出原图如下：    可得原图形为直角梯形，， 且， 可得原四边形的面积为. 8．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形的周长为（ ） A． B．20 C．12 D． 【答案】B 【详解】将直观图还原为原图，如图， 由题，，则，故 ， 所以，而 ， 所以四边形是平行四边形，周长为. 故选：B. 9．如图，是的斜二测画法的直观图，，，则原平面图形的周长为________. 【答案】 【详解】如图，在中，作于点. 因为，，所以，. 又因为，所以，，. 将直观图还原为原平面图形， 由斜二测画法，可得，，， 所以，， 则原平面图形的周长为. 题型三 最短路径问题 10．现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋．现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为．若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，侧面展开图扇形的圆心角为. 由题意可知，，即，. 根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长，可得， 即，解得. 将圆锥侧面沿母线展开，得到如图所示的扇形， 其中与重合于圆锥的母线，点与点在圆锥上重合. 因为是母线的一个三等分点（靠近点）， 所以. 从点到点绕屋顶侧面一周的最短路径，即为展开图中线段的长度. 在中，，，， 由勾股定理得. 故灯光带的最小长度为. 11．已知正四棱锥的侧棱长，M为SA中点，从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，将正四棱锥沿展开，由可知， 由，为中点，为中点,可知， 所以为等边三角形，即， 故从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为， 故选：A. 12．如图，四边形是圆柱的轴截面，，圆的周长为，是线段的中点，曲线在圆柱的侧面上，且曲线的长度等于在圆柱的侧面上从到的最短距离，若为曲线上的动点，则点到点的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示，将圆柱的侧面展开，则，， 从而， 由余弦定理可得， 所以为钝角，故点到点的距离的最小值为. 故选：C. 13．如图几何体是圆锥的一部分，其中，一只蚂蚁从点出发沿曲面运动到点，则这只蚂蚁行驶的最短路程是__________. 【答案】 【详解】将不完整的圆锥侧面展开，设其圆心角为，则，解得，即， 如图在中，， 则，即这只蚂蚁行驶的最短路程是． 14．在正四棱锥中，，是侧棱上靠近的四等分点，一只蚂蚁从出发沿该正四棱锥的表面爬行到，设该蚂蚁爬行的最短路径长度为，则_________ 【答案】 【详解】根据题意，把正四棱锥的侧面和，沿展开成一个平面图形， 如图所示，可得， 因为点是上靠近的四等分点，且，可得， 在中，由余弦定理得， 即该蚂蚁爬行的最短路径长度为， 所以. 15．如图，一个矩形边长为2和6，绕它的长为6的边旋转一周后所得如图的一个开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为___________． 【答案】 【详解】将此圆柱沿剪开并展开，设点关于的对称点为，如图所示： 易知蚂蚁需经过的最短路程为, 由题意可知此圆柱的底面半径，高， 所以， 又因为是中点， 所以, 所以, 在中， 题型四 球的截面问题 16．明代墩式碗是永乐宣德年间青花瓷器的典范．如图所示的明代墩式碗，其内壁可以近似看作一个半径为的半球面．现将碗平放于水平桌面上，在碗中注入少量水，静止时水面的面积为，若将碗缓慢倾斜，使得水可以从碗口倒出，则至少需要将碗倾斜的角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图一，由，则圆半径，又球半径， 则球心O到水面的距离，， 考虑临界状态，如图二，即倾斜后水面恰好经过点A，由于水的体积不变，则球心O到水面的距离不变， 即，在中，，所以至少需要将碗倾斜的角度为． 17．已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，母线长为6，若一个球与该圆台的上下底面和侧面均相切，则球与圆台的侧面切点所形成的曲线的长为________． 【答案】 【详解】如图，作圆台的轴截面：    设，则，且， 由，则， 由，即， 所以，可得， 由题意，球与圆台的侧面切点所形成的曲线是以为直径的圆，其半径为， 所以曲线的长度为. 18．在半径为13的球面上有A、B、C三点，其中，，，则球心到经过这三个点的截面的距离为____________． 【答案】12 【详解】由线段的长度知是以为斜边的直角三角形， 所以其外接圆的半径，设球的半径为， 所以． 故答案为：12. 19．在球中，一条直径AB垂直于小圆所在的平面，垂足为.若，则小圆的半径为____________. 【答案】4 【详解】经过球心，截面圆心作球的截面，如图： 球的直径为，所以球的半径为. 在中，，，所以. 所以小圆的半径为4. 故答案为：4 20．如图，求是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球所得截面面积为__________. 【答案】 【详解】是边长为的等边三角形， 球与平面、、分别相切于的各边的中点， 平面截球所得的截面为的内切圆， 的内切圆半径， 则所求的截面圆的面积是． 故答案为：． 题型五 多面体的表面积和体积 21．正六棱柱的底面边长为6，高为4.若挖去一个以正六棱柱上底面的中心为顶点，正六棱柱下底面为底面的正六棱锥，则剩余部分几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因正六棱柱的底面正六边形是由6个边长为6的全等正三角形组成， 故其面积为，其体积为， 挖去的正六棱锥底面与棱柱下底面重合，高等于棱柱的高4， 故其体积为， 故剩余几何体的体积. 22．如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，把容器的容积（单位：）表示为（单位：cm）的函数，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 如图：由题意及正四棱锥的性质可知，做平面于， 设，则，， 所以正四棱锥的高为， 所以容积. 23．如图，在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的体积为______． 【答案】/ 【详解】取BD的中点E，连接AE，CE， 因为，， 所以 在中，由余弦定理得，则， 在中，由余弦定理得 所以， 则，所以， 因为，所以平面， 所以是三棱锥的高， 因为， 所以. 24．若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为6，高为2，则其体积为__________． 【答案】/ 【详解】由正四棱台得，上底面和下底面都为正方形， 则体积． 25．与我校毗邻的华岩寺素有“巴山灵境”之称，系重庆市级文物保护单位，如图1．我校某同学为测量寺内古塔AB的高度，选取了我校操场两个观测点C，D进行测量，首先在点C处测得塔顶A的仰角为45°，然后移动60米到达点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°．已知，且观测点与塔底都在同一水平面内，如图2． (1)求出古塔AB的高度； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)米 (2)立方米 【分析】 【详解】（1）三棱锥中，平面，， 则，在中，， 由余弦定理得， 则，即，而， 所以（米）. （2）由（1）知，，的面积， 所以三棱锥的体积（立方米）. 题型六 旋转体的表面积和体积 26．已知圆柱和圆锥的高均为3，侧面积之比为，底面半径之比为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥、圆柱的底面半径为，，则圆锥的母线长为， 则圆锥、圆柱的侧面积分别为、， 则，得，则圆锥的体积为. 27．一圆台的上下底面的半径分别为1和2，高为，则其侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知，，，则. 圆台侧面积为. 28．如图，圆柱体被一个不平行底面的平面截去一部分，尺寸如图则该几何体的体积和侧面积分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由图可知，圆柱底面直径为，因此底面半径，几何体左右侧高分别为和， 两个完全相同的该几何体，可以拼接成一个高为，底面半径为1的完整圆柱， 完整圆柱的体积， 因此原几何体体积为完整圆柱体积的一半：， 完整圆柱的侧面积， 原几何体的侧面积为完整圆柱侧面积的一半：. 29．某圆锥的轴截面（通过轴的平面所得到的截面）是面积为4的直角三角形，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为圆锥的轴截面是等腰三角形，且轴截面是直角三角形，因此轴截面是等腰直角三角形. 设母线长为，底面圆半径为，则，化简得. 轴截面面积，解得，进而 圆锥侧面积为. 30．若球与球的体积之比为，表面积之比为，且棱长为1的正方体的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设球与球的半径分别为，， 球的体积为，表面积为， 球的体积为，表面积为， 所以，，所以， 因为棱长为1的正方体的所有顶点都在球的表面上， 所以，则， 所以球的表面积为. 31．若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，则以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知在斜二测图形中，， 可知在原图形中，，. 又已知，可得原图形中，且，. 如图，作出其原图.    因为梯形以边为轴旋转一周，所以得到的几何体为圆台. 其中圆台的底面半径 ，高； 根据圆台体积公式，可得 . 题型七 组合体的表面积和体积 32．如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，挖去一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】所得几何体的表面积为， 故选：D 33．某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】半球的半径为6，半球的体积为， 圆台的体积为， 故该瓷器的体积为. 34．市面上出现某种如图所示的冰激凌，它可以看作是由下方的圆台和上方的圆锥组成的组合体，经过测量，圆台上底面的半径为，下底半径为，深为，上方的圆锥高为，则此冰激凌的体积为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆锥的高为，底面的半径为，由圆锥体积公式得：（）， 又因为圆台上底面的半径为，下底半径为，高(深)为， 由圆台体积公式得：（） 所以组合体的体积为（）. 因此此冰激凌的体积为（）. 35．如图，在梯形ABCD中，，E为线段AB的中点，先将梯形挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面图形以直线AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】旋转后得到的几何体为两个同底面的圆柱，圆锥，再去掉一个球体得到. 由题可得圆柱，圆锥的底面半径为CB， 又，则， 三角形为等腰直角三角形，则， 又由题可得圆柱，圆锥的高均为2， 则圆柱，圆锥体积之和为：， 又注意到球体半径为，则球体体积为：， 则几何体体积为. 故选：A 36．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．一个二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为，则该二十四等边体的表面积为________． 【答案】/ 【详解】由于二十四等边体的外接球表面积为， 设其半径为，则，解得． 设为球心，依题意可知四边形，，，分别为正方体侧棱的中点， 所以为正方形， 由于，， 所以二十四等边体的边长为2． 所以二十四等边体的边长的表面积为 故答案为： 37．某工件是一个组合体，如图所示，它由两个半球和一个圆柱组成．已知球的直径是4cm，圆柱的高是2cm． (1)求这种工件的体积； (2)现要在这种工件的表面电镀一层防锈金属膜，每平方厘米需要花费20元，共需多少费用？ 【答案】(1) (2)元. 【分析】 【详解】（1）解：由题意知，球的直径为，所以球的半径为， 则圆柱的体积为， 上下两个半球的体积之和为， 所以该几何体的体积为. （2）解：根据题意，中间圆柱的侧面积为， 上下两个半球的表面积之和为， 所以该几何体的表面积为， 因为电镀一层防锈金属膜每平方厘米需要花费20元，所以共花费元. 题型八 求体积的比值 38．如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则余下部分的体积与所截出棱锥的体积的比值是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【详解】 设长方体的长、宽、高分别为，易知长方体的体积为. 不妨令. 由长方体，易知两两垂直， 所以， 于是. 故剩下几何体的体积， 因此， . 故选：B. 39．已知圆柱的底面半径为r，高为，上、下底面圆的圆心分别是，，点O为线段的延长线上一点，圆锥的底面为圆柱的下底面，顶点为O．若圆锥的表面积与圆柱的表面积相等，则圆锥与圆柱的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆锥的母线为l，则由题意知，所以， 所以圆锥的高， 所以圆锥的体积与圆柱的体积比为. 40．我国古代的数学著作《九章算术》中提到了“仓”“堑堵”“阳马”等几何体，其中“仓”是长方体，“堑堵”是两底面为直角三角形的棱柱，“阳马”是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体．在“阳马”中，平面，分别为、、、的中点，、、、分别为、、、的中点，和交于，平面、平面、平面将阳马分割成一个“仓”，2个“堑堵”和2个小“阳马”，那么分割后2个小“阳马”的体积和与“阳马”体积的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设底面的面积为，高为h（即的长度），则“阳马”的体积为， 因为分别为、、、的中点，分别为、、、的中点， 所以小“阳马”与的底面都是底面积的，高是“阳马”的高的一半， 因此，每个小阳马的体积为：， 两个小阳马的总体积为：2个小“阳马”的体积和与“阳马”体积的比值为. 所以2个小“阳马”的体积和与“阳马”体积的比值为. 故选：C. 41．如图，这是一个水上漂浮式警示浮标，它的主体由上面一个圆锥和下面一个半球体组成.已知该浮标上面圆锥的侧面积是下面半球面面积的2倍，则圆锥的体积与半球体的体积的比值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设半球半径为，圆锥高为，由题意，解得. 故圆锥的体积与半球体的体积的比值为. 故选：D 42．已知轴截面为等边三角形的圆锥的体积与球的体积的比值是，则该圆锥的底面半径与球的半径的比值为______． 【答案】 【详解】设圆锥的底面半径为，球的半径为， 因为圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的高， 所以圆锥的体积为，球的体积， 所以，解得． 题型九 体积的最值问题 43．三棱锥的侧面两两垂直，且所有侧棱之和为3，则三棱锥的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设三棱锥的侧面两两垂直的三条侧棱分别为，则该三棱锥的体积为， 又所有侧棱之和为3，， 都为正数，根据均值不等式，得， 即，当且仅当时等号成立，此时取得最大值， 则三棱锥的体积的最大值为. 故选：. 44．在棱长为6的正方体中，是的中点，点是正方形内（包括边界）的动点，且满足，则三棱锥体积的最大值为_____________. 【答案】 【详解】如图，在棱长为6的正方体中， 平面，平面， 又，在平面上，所以，， 又，所以， 所以，即，作，垂足为， 设，，所以， 化简整理得，， 则时，，， 在正方形中，因为，所以， 又在正方体中，平面，所以平面， 所以三棱锥的体积最大值为. 故答案为：. 45．已知直角三角形的两条直角边长分别为3，4，分别以两条直角边和斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，则这三个几何体中，体积的最大值是______；表面积的最小值是______. 【答案】 【详解】由题意可知，斜边，且斜边上的高 当绕边旋转时，此时得到的是以为底面圆半径，母线分别为的两个共底面的圆锥， 其表面是两个扇形的表面，所以其表面积为； 体积； 当绕边旋转时，， 体积； 当绕边旋转时，， 体积． ∴． 故答案为：， 46．如图，已知圆柱底面圆直径为2，高为1，将其截成一个四棱柱，用和圆柱底面平行的平面截这个四棱柱，得到的截面为矩形，设该矩形一条边长为，截面的面积为. (1)求截面的面积关于的函数解析式； (2)求截得棱柱的体积的最大值. 【答案】(1) (2)2 【分析】 【详解】（1）横截面如图所示，由题意得. （2）截得棱柱的体积，因为， 所以当时，，即截得棱柱的体积的最大值为2. 47．如图，在三棱锥中，，，，，，，求三棱锥体积的最大值. 【答案】 【详解】由，易知， 所以，且，即是等边三角形，， 所以，可得，则， 又，由角平分线性质得， 由圆的第二定义知，点的轨迹是圆心在直线上的球面，其半径为. 所以. 题型十 外接球问题 48．在三棱锥中，，其余棱长均为3，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将三棱锥补形成长方体，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，    则，可得， 则球的半径为，所以球的表面积为. 49．已知直三棱柱的各顶点都在以为球心的球面上，且，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，由正弦定理得所在的截面圆的半径为， 则直三棱柱的外接球的半径为， 则直三棱柱的外接球的体积为. 50．在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将三棱锥补为如下图所示的长方体，三棱锥的棱分别为长方体的面对角线，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球. 设长方体的长宽高分别为，外接球半径为，根据题意可得： ， 三式相加得：，即， 长方体的体对角线即为外接球直径，因此，即， 外接球表面积. 51．已知正方体的棱长为3，以为球心，为半径的球的球面与平面在四边形内的交线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示： 设为所求交线上一点，由题意得，解得. 记所求交线分别与，交于点，，则. 在中，，即， 同理可证，在中，， 所以，故交线长为.    52．已知一圆台的上､下底面半径分别为2，4，体积为，则该圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知，圆台上底面面积，下底面面积， 设该圆台的高为，外接球的半径为， 则体积，解得， 可得解得 所以该圆台的外接球的表面积为. 53．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设球的半径为，取的中点，连接. 三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球O的直径且， 球心O是的中点，，. 在中，，， 在中，，， 在中，，. 又，平面，平面， ，平面， 点到底面的距离为. 54．已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），则三棱锥的外接球体积为__________. 【答案】 【详解】设圆锥底面圆半径为r，母线长为l，则圆锥的高为 因为侧面展开图为一个半圆，所以，解得， 又轴截面面积为，所以， 解得，则，圆锥的高为， 由题意三棱锥的外接球的球心在SO上，且设为，外接球半径设为R， 连接，则，所以， 在中，，即， 则，解得， 则三棱锥的外接球的体积. $专题08 空间几何体的结构、表面积和体积 题型一 基本立体图形的结构特征 题型六 旋转体的表面积和体积（重点） 题型二 斜二测画法（重点） 题型七 组合体的表面积和体积 题型三 最短路径问题 题型八 求体积的比值 题型四 球的截面问题 题型九 体积的最值问题（难点） 题型五 多面体的表面积和体积（重点） 题型十 外接球问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 基本立体图形的结构特征 1．（多选）下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 2．（多选）下列关于立体图形的说法错误的是（   ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 B．侧面都是矩形的四棱柱是长方体 C．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D．圆台的母线延长后一定交于同一点 3．如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（   ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 4．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设是一长方体的一条棱，若阳马以该长方体的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 题型二 斜二测画法 5．已知正方形的边长为，则其水平放置的直观图的面积为（     ） A． B． C． D． 6．如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个底角为、腰和上底长均为2的等腰梯形，则这个平面图形的周长是（     ） A． B． C． D． 7．已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中， ，则原四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形的周长为（ ） A． B．20 C．12 D． 9．如图，是的斜二测画法的直观图，，，则原平面图形的周长为________. 题型三 最短路径问题 10．现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋．现测量其中一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为．若是母线的一个三等分点（靠近点），从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（     ） A． B． C． D． 11．已知正四棱锥的侧棱长，M为SA中点，从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 12．如图，四边形是圆柱的轴截面，，圆的周长为，是线段的中点，曲线在圆柱的侧面上，且曲线的长度等于在圆柱的侧面上从到的最短距离，若为曲线上的动点，则点到点的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 13．如图几何体是圆锥的一部分，其中，一只蚂蚁从点出发沿曲面运动到点，则这只蚂蚁行驶的最短路程是__________. 14．在正四棱锥中，，是侧棱上靠近的四等分点，一只蚂蚁从出发沿该正四棱锥的表面爬行到，设该蚂蚁爬行的最短路径长度为，则_________ 15．如图，一个矩形边长为2和6，绕它的长为6的边旋转一周后所得如图的一个开口容器（下表面密封），是中点，现有一只蚂蚁位于外壁处，内壁处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为___________． 题型四 球的截面问题 16．明代墩式碗是永乐宣德年间青花瓷器的典范．如图所示的明代墩式碗，其内壁可以近似看作一个半径为的半球面．现将碗平放于水平桌面上，在碗中注入少量水，静止时水面的面积为，若将碗缓慢倾斜，使得水可以从碗口倒出，则至少需要将碗倾斜的角度为（   ） A． B． C． D． 17．已知圆台的下底面半径是上底面半径的2倍，母线长为6，若一个球与该圆台的上下底面和侧面均相切，则球与圆台的侧面切点所形成的曲线的长为________． 18．在半径为13的球面上有A、B、C三点，其中，，，则球心到经过这三个点的截面的距离为____________． 19．在球中，一条直径AB垂直于小圆所在的平面，垂足为.若，则小圆的半径为____________. 20．如图，求是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球所得截面面积为__________. 题型五 多面体的表面积和体积 21．正六棱柱的底面边长为6，高为4.若挖去一个以正六棱柱上底面的中心为顶点，正六棱柱下底面为底面的正六棱锥，则剩余部分几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 22．如图，一块边长为的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，把容器的容积（单位：）表示为（单位：cm）的函数，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 23．如图，在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的体积为______． 24．若正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为6，高为2，则其体积为__________． 25．与我校毗邻的华岩寺素有“巴山灵境”之称，系重庆市级文物保护单位，如图1．我校某同学为测量寺内古塔AB的高度，选取了我校操场两个观测点C，D进行测量，首先在点C处测得塔顶A的仰角为45°，然后移动60米到达点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°．已知，且观测点与塔底都在同一水平面内，如图2． (1)求出古塔AB的高度； (2)求三棱锥的体积． 题型六 旋转体的表面积和体积 26．已知圆柱和圆锥的高均为3，侧面积之比为，底面半径之比为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 27．一圆台的上下底面的半径分别为1和2，高为，则其侧面积为（   ） A． B． C． D． 28．如图，圆柱体被一个不平行底面的平面截去一部分，尺寸如图则该几何体的体积和侧面积分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 29．某圆锥的轴截面（通过轴的平面所得到的截面）是面积为4的直角三角形，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 30．若球与球的体积之比为，表面积之比为，且棱长为1的正方体的所有顶点都在球的表面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 31．若水平放置的平面四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，则以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体的体积为（    ）    A． B． C． D． 题型七 组合体的表面积和体积 32．如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连线为轴，挖去一个直径为1的圆柱形孔，则所得几何体的表面积为（    ）    A． B． C． D． 33．某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（    ） A． B． C． D． 34．市面上出现某种如图所示的冰激凌，它可以看作是由下方的圆台和上方的圆锥组成的组合体，经过测量，圆台上底面的半径为，下底半径为，深为，上方的圆锥高为，则此冰激凌的体积为（    ）. A． B． C． D． 35．如图，在梯形ABCD中，，E为线段AB的中点，先将梯形挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面图形以直线AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 36．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体．一个二十四等边体的各个顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为，则该二十四等边体的表面积为________． 37．某工件是一个组合体，如图所示，它由两个半球和一个圆柱组成．已知球的直径是4cm，圆柱的高是2cm． (1)求这种工件的体积； (2)现要在这种工件的表面电镀一层防锈金属膜，每平方厘米需要花费20元，共需多少费用？ 题型八 求体积的比值 38．如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则余下部分的体积与所截出棱锥的体积的比值是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 39．已知圆柱的底面半径为r，高为，上、下底面圆的圆心分别是，，点O为线段的延长线上一点，圆锥的底面为圆柱的下底面，顶点为O．若圆锥的表面积与圆柱的表面积相等，则圆锥与圆柱的体积的比值为（   ） A． B． C． D． 40．我国古代的数学著作《九章算术》中提到了“仓”“堑堵”“阳马”等几何体，其中“仓”是长方体，“堑堵”是两底面为直角三角形的棱柱，“阳马”是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体．在“阳马”中，平面，分别为、、、的中点，、、、分别为、、、的中点，和交于，平面、平面、平面将阳马分割成一个“仓”，2个“堑堵”和2个小“阳马”，那么分割后2个小“阳马”的体积和与“阳马”体积的比值为（   ） A． B． C． D． 41．如图，这是一个水上漂浮式警示浮标，它的主体由上面一个圆锥和下面一个半球体组成.已知该浮标上面圆锥的侧面积是下面半球面面积的2倍，则圆锥的体积与半球体的体积的比值为（    ）    A． B． C． D． 42．已知轴截面为等边三角形的圆锥的体积与球的体积的比值是，则该圆锥的底面半径与球的半径的比值为______． 题型九 体积的最值问题 43．三棱锥的侧面两两垂直，且所有侧棱之和为3，则三棱锥的体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 44．在棱长为6的正方体中，是的中点，点是正方形内（包括边界）的动点，且满足，则三棱锥体积的最大值为_____________. 45．已知直角三角形的两条直角边长分别为3，4，分别以两条直角边和斜边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，则这三个几何体中，体积的最大值是______；表面积的最小值是______. 46．如图，已知圆柱底面圆直径为2，高为1，将其截成一个四棱柱，用和圆柱底面平行的平面截这个四棱柱，得到的截面为矩形，设该矩形一条边长为，截面的面积为. (1)求截面的面积关于的函数解析式； (2)求截得棱柱的体积的最大值. 47．如图，在三棱锥中，，，，，，，求三棱锥体积的最大值. 题型十 外接球问题 48．在三棱锥中，，其余棱长均为3，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（   ） A． B． C． D． 49．已知直三棱柱的各顶点都在以为球心的球面上，且，，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 50．在三棱锥中，，则三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 51．已知正方体的棱长为3，以为球心，为半径的球的球面与平面在四边形内的交线长为（   ） A． B． C． D． 52．已知一圆台的上､下底面半径分别为2，4，体积为，则该圆台的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 53．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球O的直径且，则点到底面的距离为（ ） A． B． C． D． 54．已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），则三棱锥的外接球体积为__________. $